专题一 考点4 万有引力与天体运动-【金版教程】2025年高考物理大二轮刷题首选卷全书Word

大二轮刷题首选卷 物理 考点4　万有引力与天体运动 考向一　处理天体问题的两个基本思路 1. (2023·海南高考)(多选)如图所示，1、2轨道分别是天宫二号飞船在变轨前后的轨道，下列说法正确的是(　　) A．飞船从1轨道变到2轨道要点火加速 B．飞船在1轨道周期大于2轨道周期 C．飞船在1轨道速度大于2轨道速度 D．飞船在1轨道加速度大于2轨道加速度 答案：ACD 解析：飞船从较低的1轨道进入较高的2轨道，要先点火加速做离心运动，进入近地点在1轨道上、远地点在2轨道上的椭圆轨道，再在远地点点火加速进入2轨道，A正确；根据G＝mr＝m＝ma，可得T＝2π，v＝，a＝，又1轨道的半径小于2轨道的半径，可知飞船在1轨道的周期小于在2轨道的周期，在1轨道的速度大于在2轨道的速度，在1轨道的加速度大于在2轨道的加速度，故B错误，C、D正确。 2．(2023·湖南高考)根据宇宙大爆炸理论，密度较大区域的物质在万有引力作用下，不断聚集可能形成恒星。恒星最终的归宿与其质量有关，如果质量为太阳质量的1～8倍将坍缩成白矮星，质量为太阳质量的10～20倍将坍缩成中子星，质量更大的恒星将坍缩成黑洞。设恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，自转变快。不考虑恒星与其它物体的相互作用。已知逃逸速度为第一宇宙速度的倍，中子星密度大于白矮星。根据万有引力理论，下列说法正确的是(　　) A．同一恒星表面任意位置的重力加速度相同 B．恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大 C．恒星坍缩前后的第一宇宙速度不变 D．中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度 答案：B 解析：恒星可看成质量均匀分布的球体，某物体在同一恒星表面任意位置受到大小相等的万有引力，万有引力提供重力加速度和随恒星自转做圆周运动的向心加速度，各位置转动的角速度相同，轨道半径可能不同，由a向＝rω2可知，不同位置向心加速度大小可能不同，故不同位置重力加速度的大小可能不同，A错误；恒星两极处自转的向心加速度为零，恒星对两极处表面物体的万有引力等于物体的重力，即G＝mg，解得g＝，恒星坍缩前后质量不变，体积缩小，则半径缩小，可知恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大，B正确；由G＝m，可得第一宇宙速度v＝，恒星坍缩前后质量不变，半径缩小，故第一宇宙速度变大，C错误；由质量分布均匀球体的质量表达式M＝R3ρ得R＝，逃逸速度为v′＝v＝，联立整理得v′2＝4G，由题意可知中子星的质量和密度均大于白矮星，则中子星的逃逸速度大于白矮星的逃逸速度，D错误。 考向二　卫星的变轨和椭圆轨道问题 3．我们知道火星轨道在地球轨道的外侧，它们共同绕太阳运动，如左图。2020年7月23日，中国首颗火星探测器“天问一号”带着中华民族的重托踏上了火星探测之旅，可认为火星和地球在同一平面内绕太阳做同向圆周运动，且火星轨道半径为地球的1.5倍，示意图如右图，为节约能量，“天问一号”沿椭圆轨道飞向火星，且出发时地球位置和到达时火星位置分别是椭圆轨道的近日点和远日点，仅考虑太阳对“天问一号”的引力，则“天问一号”(　　) A．在飞向火星的过程中速度越来越大 B．到达火星前的加速度小于火星的加速度 C．到达火星前瞬间的速度小于火星的速度 D．到达火星前的运动周期大于火星的运动周期 答案：C 解析：“天问一号”在飞向火星过程中，太阳对它的万有引力做负功，则动能减小，速度变小，A错误；由a＝可知，到达火星前，“天问一号”到太阳的距离小于火星到太阳的距离，则“天问一号”的加速度大于火星的加速度，B错误；火星绕太阳做圆周运动，有＝m火，若没有火星的存在，“天问一号”到达椭圆轨道远日点后将做向心运动，有>m问，由上述两式得v火>v问，C正确；“天问一号”离开地球到达火星的过程可近似认为做椭圆运动，其椭圆轨道的半长轴小于火星运动的轨道半径，由开普勒第三定律有＝，得“天问一号”的运动周期小于火星的运动周期，D错误。 考向三　双星、多星和拉格朗日点问题 4．(多选)假设宇宙中有一双星系统由质量分别为m和M的A、B两颗星体组成。这两颗星绕它们连线上的某一点在二者万有引力作用下做匀速圆周运动，如图所示，A、B两颗星的距离为L，引力常量为G，则(　　) A．因为OA>OB，所以m>M B．两颗星做圆周运动的周期为2π C．若星体A由于不断吸附宇宙中的尘埃而使得质量缓慢增大，其他量不变，则星体A的周期将缓慢增大 D．若星体A由于不断吸附宇宙中的尘埃而使得质量缓慢增大，其他量不变，则星体A的轨道半径将缓慢减小 答案：BD 解析：设A、B两颗星体的轨道半径分别为r1、r2，双星之间的万有引力提供向心力，则有＝mr1　①，＝Mr2　②，两式联立得mr1＝Mr2，OA>OB，即r1>r2，所以有m<M，A错误；联立①②两式及r1＋r1＝L可得两颗星的周期为T＝2π，若m缓慢增大，其他量不变，由上式可知周期T变小，故B正确，C错误；由r1＋r2＝L，结合mr1＝Mr2，可得r1＝L，若m缓慢增大，其他量不变，由上式可知A的轨道半径将缓慢减小，D正确。 5.1772年，法籍意大利数学家拉格朗日在论文《三体问题》中指出：两个质量相差悬殊的天体(如太阳和地球)所在同一平面上有5个特殊点，如图中的L1、L2、L3、L4、L5所示，人们称为拉格朗日点。若飞行器位于这些点上，会在太阳与地球共同引力作用下，可以几乎不消耗燃料而保持与地球同步绕太阳做圆周运动。若发射一颗卫星定位于拉格朗日L2点，下列说法正确的是(　　) A．该卫星绕太阳运动周期和地球自转周期相等 B．该卫星在L2点处于平衡状态 C．该卫星绕太阳运动的向心加速度大于地球绕太阳运动的向心加速度 D．该卫星在L2点处所受太阳和地球引力的合力比在L1点处小 答案：C 解析：根据题意知，该卫星与地球同步绕太阳做圆周运动，则该卫星绕太阳运动周期和地球公转周期相等，A错误；该卫星围绕太阳做圆周运动，速度方向时刻改变，处于非平衡状态，B错误；由于该卫星与地球绕太阳做圆周运动的周期相同，该卫星的轨道半径比地球的公转轨道半径大，根据公式a＝r可知，该卫星绕太阳运动的向心加速度大于地球绕太阳运动的向心加速度，C正确；由题可知，卫星在L1点与在L2点的周期与角速度是相等的，根据向心力的公式F＝mω2r可知，在L1点处的轨道半径小，所以在L1点处所受的合力小，D错误。 考向四　天体运动的周期性问题 6．(多选)2021年10月16日6时56分，神舟十三号载人飞船与空间站组合体完成自主快速交会对接。航天员翟志刚、王亚平、叶光富进驻天和核心舱。已知空间站离地面高度约为400 km，地球半径约6400 km，地球表面重力加速度g＝10 m/s2，sin70°≈0.94，空间站可看成绕地球做匀速圆周运动，太阳光可近似为平行光，以下说法正确的是(　　) A．空间站绕地球公转周期约3 h B．航天员在空间站中每天能看到约16次日出 C．空间站运行的向心加速度与地球表面重力加速度之比约为16∶17 D．空间站每天有阳光照射的时间与没有阳光照射的时间之比约为11∶7 答案：BD 解析：设空间站的质量为m，空间站所受万有引力提供向心力，有G＝m，由质量为m′的地球表面物体重力近似等于万有引力有＝m′g，R＝6400 km，H＝400 km，联立解得T≈1.5 h，故A错误；航天员在空间站中每天能看到日出的次数n＝＝16，故B正确；由牛顿第二定律可知＝ma，解得空间站运行的向心加速度a＝G，则空间站运行的向心加速度与地球表面重力加速度之比＝＝，故C错误；如图所示，空间站运行一周没有阳光照射时对应角度为θ，sin＝，解得θ≈140°，则空间站每天有阳光照射的时间与没有阳光照射的时间之比为＝，故D正确。 1．(2024·甘肃高考)小杰想在离地表一定高度的天宫实验室内，通过测量以下物理量得到天宫实验室轨道处的重力加速度，可行的是(　　) A．用弹簧秤测出已知质量的砝码所受的重力 B．测量单摆摆线长度、摆球半径以及摆动周期 C．从高处释放一个重物，测量其下落高度和时间 D．测量天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的周期和轨道半径 答案：D 解析：在天宫实验室内，重力全部提供物体绕地球做匀速圆周运动的向心力，物体处于完全失重状态，故A、B、C选项中的实验均无法得到天宫实验室轨道处的重力加速度；设天宫实验室的质量为m，绕地球做匀速圆周运动的周期为T，轨道半径为r，天宫实验室所受的重力提供其绕地球做匀速圆周运动的向心力，有mg＝mr，整理得轨道处的重力加速度为g＝r，故D正确。 2．(2024·江西高考)“嫦娥六号”探测器于2024年5月8日进入环月轨道，后续经调整环月轨道高度和倾角，实施月球背面软着陆。当探测器的轨道半径从r1调整到r2时(两轨道均可视为圆形轨道)，其动能和周期从Ek1、T1分别变为Ek2、T2。下列选项正确的是(　　) A.＝，＝ B.＝，＝ C.＝，＝ D.＝，＝ 答案：A 解析：“嫦娥六号”绕月球做圆周运动时，由万有引力提供向心力，有G＝m，且动能Ek＝mv2，联立可得Ek＝，则＝；由开普勒第三定律，可知＝，则＝，故A正确。 3．(2024·湖北高考)太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则(　　) A．空间站变轨前、后在P点的加速度相同 B．空间站变轨后的运动周期比变轨前的小 C．空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小 D．空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大 答案：A 解析：空间站变轨前、后在P点所受到的万有引力相同，即其所受到的合力相同，根据牛顿第二定律可知，空间站变轨前、后在P点的加速度相同，故A正确；因为空间站变轨后其轨道的半长轴大于原轨道半径，根据开普勒第三定律可知，空间站变轨后的运动周期比变轨前的大，故B错误；空间站在P点沿背离地球球心方向极短时间喷射气体，使空间站获得指向地球球心方向的反冲速度，根据平行四边形定则，空间站变轨后在P点的速度比变轨前的大，故C错误；由开普勒第二定律可知，空间站变轨后在P点的速度比变轨后在近地点的小，结合C项分析可知，空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的小，故D错误。 4.(2024·河北高考)(多选)2024年3月20日，鹊桥二号中继星成功发射升空，为嫦娥六号在月球背面的探月任务提供地月间中继通讯。鹊桥二号采用周期为24 h的环月椭圆冻结轨道(如图)，近月点A距月心约为2.0×103 km，远月点B距月心约为1.8×104 km，CD为椭圆轨道的短轴，下列说法正确的是(　　) A．鹊桥二号从C经B到D的运动时间为12 h B．鹊桥二号在A、B两点的加速度大小之比约为81∶1 C．鹊桥二号在C、D两点的速度方向垂直于其与月心的连线 D．鹊桥二号在地球表面附近的发射速度大于7.9 km/s且小于11.2 km/s 答案：BD 解析：根据开普勒第二定律可知，鹊桥二号在C→B→D过程运动的速率均小于在D→A→C过程运动的速率，而在C→B→D过程运动的路程等于在D→A→C过程运动的路程，则鹊桥二号从C经B到D的运动时间大于半个周期，即大于12 h，故A错误；设月球质量为M，鹊桥二号质量为m，根据牛顿第二定律，鹊桥二号在A点有G＝maA，在B点有G＝maB，联立并代入题中数据，解得鹊桥二号在A、B两点的加速度大小之比aA∶aB＝81∶1，故B正确；由于鹊桥二号做曲线运动，则可知鹊桥二号速度方向沿轨迹的切线方向，则鹊桥二号在C、D两点的速度方向不可能垂直于其与月心的连线，故C错误；由于鹊桥二号环绕月球运动，而月球为地球的“卫星”，则鹊桥二号未脱离地球引力的束缚，故鹊桥二号的发射速度应大于地球的第一宇宙速度7.9 km/s，且小于地球的第二宇宙速度11.2 km/s，故D正确。 5.(2024·广东高考)(多选)如图所示，探测器及其保护背罩通过弹性轻绳连接降落伞，在接近某行星表面时以60 m/s的速度竖直匀速下落。此时启动“背罩分离”，探测器与背罩断开连接，背罩与降落伞保持连接。已知探测器质量为1000 kg，背罩质量为50 kg，该行星的质量和半径分别为地球的和。地球表面重力加速度大小取g＝10 m/s2。忽略大气对探测器和背罩的阻力。下列说法正确的有(　　) A．该行星表面的重力加速度大小为4 m/s2 B．该行星的第一宇宙速度为7.9 km/s C．“背罩分离”后瞬间，背罩的加速度大小为80 m/s2 D．“背罩分离”后瞬间，探测器所受重力对其做功的功率为30 kW 答案：AC 解析：设地球的质量为M、半径为R，则该行星的质量为、半径为，在地球表面，对质量为m的物体有G＝mg，可得地球表面的重力加速度大小g＝，同理可得，该行星表面的重力加速度大小g′＝，则g′＝g＝×10 m/s2＝4 m/s2，故A正确；在地球近地轨道上，对质量为m的环绕物体，根据万有引力提供向心力有G＝m，可得地球的第一宇宙速度v＝，同理可得，该行星的第一宇宙速度v行＝，则v行＝v＝×7.9 km/s＝3.5 km/s，故B错误；设探测器的质量为m1，背罩的质量为m2，“背罩分离”前，探测器及其保护背罩和降落伞整体做匀速直线运动，设速度大小为v′，对探测器受力分析，由平衡条件可知，探测器与保护背罩之间的作用力大小为F＝m1g′＝1000×4 N＝4000 N，“背罩分离”后瞬间，背罩与降落伞间弹性轻绳的弹力不发生突变，则背罩所受的合力大小为F′＝F＝4000 N，根据牛顿第二定律有F′＝m2a，解得背罩的加速度大小为a＝80 m/s2，故C正确；“背罩分离”后瞬间，探测器所受重力对其做功的功率P＝m1g′v′＝1000×4×60 W＝240 kW，故D错误。 6.(2023·湖北高考)2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为3∶2，如图所示。根据以上信息可以得出(　　) A．火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8 B．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大 C．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4 D．下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前 答案：B 解析：火星和地球均绕太阳做圆周运动，根据开普勒第三定律有＝，可得火星与地球绕太阳运动的周期之比＝＝，A错误；火星和地球几乎在同一平面内均沿逆时针方向绕太阳做匀速圆周运动，速度大小均不变，当火星与地球相距最远时，由于两者的速度方向相反，故此时两者的相对速度最大，B正确；在星球表面，物体所受万有引力近似等于物体的重力，即G＝mg，得g＝，从题给条件无法求得火星和地球表面的自由落体加速度大小之比，C错误；火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，有ω火＝，ω地＝，结合A项分析知ω地>ω火，设相邻两次“火星冲日”之间的时间为t，则有(ω地－ω火)t＝2π，可得t＝＝T地＝2.2T地>T地，可知下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之后，D错误。 1．(2024·甘肃省普通高等学校招生考试适应性测试)某星球质量约为地球质量的300倍，半径约为地球半径的10倍，则一物体在该星球和地球表面的重量比约为(　　) A．3 B．30 C．900 D．9000 答案：A 解析：设物体的质量为m，地球的质量为M，半径为r，由万有引力定律可知该物体在地球表面的重量为G1＝G，同理可知该物体在该星球表面的重量为G2＝G＝3G1，即一物体在该星球和地球表面的重量比约为＝3，故选A。 2．(2024·山东省青岛市高三下二模)如图甲是国产科幻大片《流浪地球2》中人类在地球同步静止轨道上建造的空间站，人类通过地面和空间站之间的“太空电梯”往返于天地之间。图乙是人乘坐“太空电梯”时由于随地球自转而需要的向心加速度a与其到地心距离r的关系图像，已知r1为地球半径，r2为地球同步卫星轨道半径，下列说法正确的是(　　) A．地球自转的角速度ω＝ B．地球同步卫星的周期T＝2π C．匀速上升过程中电梯舱对人的支持力保持不变 D．从空间站向舱外自由释放一物体，物体将做自由落体运动 答案：B 解析：根据a＝ω2r，可知a­r图像中，图线的斜率表示角速度的平方，由题图乙可知，ω2＝，解得ω＝，A错误；由题图乙可知，a2＝ω2r2，解得ω＝，故地球同步卫星的周期T＝＝2π，B正确；设地球的质量为M，人的质量为m，电梯舱对人的支持力大小为N，由万有引力定律和牛顿第二定律有G－N＝mω2r，解得N＝G－mω2r，匀速上升过程中r增大，N减小，C错误；在静止轨道，地球对该处物体的万有引力全部用来提供其做匀速圆周运动的向心力，从空间站向舱外自由释放一物体，物体将在该轨道上做匀速圆周运动，D错误。 3.(2024·山东省烟台市等2地高三下二模)迷你系绳卫星在地球赤道正上方大气层外，沿圆形轨道绕地球飞行。如图所示，某系绳卫星由两个质量相等的子卫星a、b组成，它们之间的绳沿地球半径方向，已知子卫星a、b绕地球做圆周运动的半径分别为r1、r2，地球半径为R，地球表面重力加速度大小为g，系绳质量不计，则系绳卫星做圆周运动的角速度大小为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：设地球的质量为M，卫星的质量为m，系绳的拉力大小为T，系绳卫星做圆周运动的角速度大小为ω，根据牛顿第二定律，对卫星a，有G－T＝mω2r1，对卫星b，有G＋T＝mω2r2，对地球表面一质量为m0的物体有G＝m0g，联立解得ω＝，故选A。 4.(2024·江西省吉安市高三下一模)2023年，中国将全面推进探月工程四期，规划包括嫦娥六号、嫦娥七号和嫦娥八号任务。其中嫦娥七号准备在月球南极着陆，主要任务是开展飞跃探测，争取能找到水。假设质量为m的嫦娥七号探测器在距离月面的高度等于月球半径处绕着月球表面做匀速圆周运动时，其周期为T1，当探测器停在月球的两极时，测得重力加速度的大小为g0，已知月球自转的周期为T2，引力常量为G，月球视为均匀球体，下列说法正确的是(　　) A．月球的半径为 B．月球的第一宇宙速度为 C．当停在月球赤道上时，探测器受到水平面的支持力为 D．当停在月球上纬度为60°的区域时，探测器随月球转动的线速度为 答案：C 解析：设月球的质量为M，半径为R，对绕月球做匀速圆周运动的嫦娥七号探测器，由万有引力提供向心力得＝m×2R，当探测器停在月球的两极时，由万有引力等于其重力有＝mg0，联立解得R＝，A错误；设月球的第一宇宙速度为v，由万有引力提供向心力有＝m，联立可得v＝，B错误；当探测器停在月球赤道上时，设水平面对其的支持力为F，对探测器受力分析，由牛顿第二定律可得－F＝mR，联立解得F＝，C正确；当探测器停在月球上纬度为60°的区域时，自转半径为r＝Rcos60°，自转线速度为v′＝r，联立解得v′＝，D错误。 5.(2024·黑龙江省齐齐哈尔市高三下三模)华为mate60手机实现了卫星通信，只要有卫星信号覆盖的地方，就可以实现通信。如图所示，三颗赤道上空的通信卫星恰好能实现环赤道全球通信，已知三颗卫星离地高度相同，地球的半径为R，地球表面重力加速度为g，忽略地球自转影响，下列说法正确的是(　　) A．三颗通信卫星受到地球的万有引力的大小一定相等 B．为了提高通信质量，该卫星可以是近地卫星 C．该卫星离地高度为2R D．该卫星运行的线速度大小为 答案：D 解析：三颗卫星的离地高度h相同，则轨迹半径r＝R＋h也相同，通信卫星受到的万有引力大小为F＝，由于不知道三颗通信卫星的质量m的大小关系，所以三颗通信卫星受到地球的万有引力大小F不一定相等，A错误；三颗通信卫星恰好能实现全面覆盖时，则任意两颗卫星的连线与地球相切，如图所示，由几何关系可知，∠AOB＝120°，∠AOC＝60°，其中OA为地球半径R，OC为卫星的轨迹半径r，由几何关系有cos∠AOC＝，联立解得该卫星高度为h＝R，所以该卫星不是近地卫星，故B、C错误；根据万有引力提供向心力，有＝m，在地球表面的质量为m′的物体有＝m′g，联立解得v＝，故D正确。 6.(2023·吉林省吉林市高三下第三次调研测试)我国天文学家通过FAST，在武仙座球状星团M13中发现一个脉冲双星系统。如图所示，假设在太空中有恒星A、B双星系统绕点O做顺时针匀速圆周运动，运动周期为T1，它们的轨道半径分别为RA、RB，RA<RB，C为B的卫星，绕B做逆时针匀速圆周运动，周期为T2，忽略A与C之间的引力，且A与B之间的引力远大于C与B之间的引力。引力常量为G，则以下说法正确的是(　　) A．若知道C的轨道半径，则可求出C的质量 B．恒星B的质量为MB＝ C．若A也有一颗运动周期为T2的卫星，则其轨道半径一定小于C的轨道半径 D．设A、B、C三星由图示位置到再次共线的时间为t，则t＝ 答案：D 解析：在知道C的轨道半径和周期的情况下，根据万有引力定律和牛顿第二定律列方程只能求解B的质量，无法求解C的质量，故A错误；在A、B组成的双星系统中，对A根据牛顿第二定律有G＝MARA，解得MB＝，故B错误；若A也有一颗运动周期为T2的卫星，设卫星的质量为m，轨道半径为r，则根据牛顿第二定律有G＝mr，解得r＝，同理可得C的轨道半径为RC＝，对A、B组成的双星系统有MARA＝MBRB，因为RA＜RB，所以MA＞MB，则r＞RC，故C错误；如图所示，A、B、C三星由图示位置到再次共线时，A、B转过的圆心角θ1与C转过的圆心角θ2互补，则根据匀速圆周运动规律可得t＋t＝π，解得t＝，故D正确。 1．(2024·辽宁高考)如图a，将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标原点O，竖直向上为正方向建立x轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如图b所示(不考虑自转影响)。设地球、该天体的平均密度分别为ρ1和ρ2，地球半径是该天体半径的n倍。的值为(　　) A．2n B． C． D． 答案：C 解析：设地球表面的重力加速度为g1，该天体表面的重力加速度为g2，小球的质量为m，弹簧的劲度系数为k。根据题意可知，小球在正向最大位移处时，弹簧弹力为0，小球所受合力等于重力，则在地球表面与该天体表面时，小球在正向最大位移处所受的回复力大小分别为F1＝mg1，F2＝mg2，根据简谐运动的对称性可知，小球在负向最大位移处和正向最大位移处所受的回复力大小相等，则在负向最大位移处分别有F1＝k·4A－mg1，F2＝k·2A－mg2，联立解得g1＝，g2＝，＝2。由于不考虑自转影响，则在星球表面万有引力等于重力，有G＝mg，又M＝ρV，V＝πR3，可得星球的平均密度ρ＝。根据题意，地球与该天体的半径之比为＝n，则＝·＝，故选C。 2．(2024·北京高考)科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙物质(星体等)在做彼此远离运动，且质量始终均匀分布，在宇宙中所有位置观测的结果都一样。以某一点O为观测点，以质量为m的小星体(记为P)为观测对象。当前P到O点的距离为r0，宇宙的密度为ρ0。 (1)求小星体P远离到2r0处时宇宙的密度ρ； (2)以O点为球心，以小星体P到O点的距离为半径建立球面。P受到的万有引力相当于球内质量集中于O点对P的引力。已知质量为m1和m2、距离为R的两个质点间的引力势能Ep＝－G，G为引力常量。仅考虑万有引力和P远离O点的径向运动。 a．求小星体P从r0处远离到2r0处的过程中动能的变化量ΔEk； b．宇宙中各星体远离观测点的速率v满足哈勃定律v＝Hr，其中r为星体到观测点的距离，H为哈勃系数。H与时间t有关但与r无关，分析说明H随t增大还是减小。 答案：(1)ρ0 (2)a.－Gπρ0mr　b．H随t减小 解析：(1)由题意可知，以O点为球心，以P到O的距离为半径的球体的质量不变，则有ρ0·πr＝ρ·π(2r0)3 解得ρ＝ρ0。 (2)a.以O点为球心，以P到O的距离为半径的球体的质量M＝ρ0·πr P从r0处远离到2r0处，P与上述球体间引力势能的变化量ΔEp＝－G－ 由机械能守恒定律得ΔEk＝－ΔEp 联立解得ΔEk＝－Gπρ0mr。 b．随时间t推移，星体与观测点间距离r增大，由a中结果知星体的动能减小，各星体远离观测点的速率v减小，由哈勃定律v＝Hr，知哈勃系数H减小，即H随t减小。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$