精品解析：新疆喀什地区中等职业技术学校2021-2022学年高一下学期5月月考数学试题

岳普湖县中等职业技术学校2021-2022学年高一下学期5月份月考卷（数学） 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 已知平面向量，，且，则向量（　　） A. B. C. D. 2. 在中，，则（　　） A. B. C. D. 3. 已知复数满足 (为虚数单位），则在复平面内对应点在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知向量、满足，，若，则（　　） A. 1 B. C. 2 D. 5. 已知向量，，，若，则实数m的值为（　　） A. B. C. D. 6. 已知为平面向量，，则夹角的余弦值等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，若为实数，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 将指数函数的定义域扩大到复数以后，有一个公式：，是虚数单位，为自然对数的底数.它建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，此公式被誉为“数学中的天桥”.根据公式可知，表示的复数对应的点位于复平面中的（　　） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 直线的倾斜角的取值范围是（　　） A. B. C. D. 10. 已知为非零向量，且 ，则共线的三点为（　　） A B. C. D. 11. 对于下列四个命题： 其中的真命题是（　　） A. B. C. D. 12. 已知平面向量 ，满足，若 ，则向量 的夹角为（　　） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分） 13. 若向量 ， 满足： ，，，则______________． 14. 已知向量，夹角为，，，则_______. 15. 已知 ， 是第二象限角，则 _______. 16. 已知向量 与 夹角为 ，且 ， ，则 _______. 17. 抛物线的焦点关于其准线的对称点坐标是____________． 18. 已知向量 ， ，则 的最小值为_______. 19. 如图所示，空间四边形中，，，、分别为、的中点，则和所成的角为_______ 20. 如图所示，在边长为 的正方形 中，以 为圆心画一个扇形，以为圆心画一个圆， 、 、 为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆为圆锥底面，围成一个圆锥，则该圆锥的全面积是_______，体积是_______. 三、解答题（本题共4小题，每小题8分，共32分） 21. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若，，的内角平分线交边于点，求． 22. 如图，在正方体 中，分别是 、的中点， （1）证明： ； （2）求异面直线 与 所成的角； （3）证明：平面 平面 . 23. 某小区要建一座八边形的休闲小区，如图所示，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为平方米的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为每平方米元，并在四周的四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为每平方米元，再在四个空角上铺草坪，造价为每平方米元. （1）设总造价为S元，长为x米，试求S关于x的函数关系式； （2）当x为何值时，S取得最小值？并求出这个最小值. 24. 已知椭圆经过点和. （1）求椭圆的方程； （2）经过点的直线与相交于，两点（不经过点），设直线，的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；否则，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 岳普湖县中等职业技术学校2021-2022学年高一下学期5月份月考卷（数学） 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 已知平面向量，，且，则向量（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量垂直的坐标表示求参数，再利用向量坐标的线性运算可求. 【详解】因平面向量，，且， 则，解得，则， 则向量； 故选：A. 2. 中，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形面积公式可求. 【详解】由题可知； 故选：D. 3. 已知复数满足 (为虚数单位），则在复平面内对应的点在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算法则化简、再根据几何意义即可求解． 【详解】由，可得， 故在复平面内对应的点为，在第三象限. 故选：C 4. 已知向量、满足，，若，则（　　） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直的表示列方程，再由内积的运算律求解即可. 【详解】已知向量、满足，， 由得，， 即，解得， 故选：B. 5. 已知向量，，，若，则实数m的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量坐标运算和向量平行的坐标表示即可解得. 【详解】由题，， 又知，则，解得. 故选：B 6. 已知为平面向量，，则夹角的余弦值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知先求向量的坐标，再由两向量的内积公式即可求解. 【详解】设，由已知得， 得，解得，所以 设的夹角为，则. 故选：C． 7. 已知向量，若为实数，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先利用向量线性运算的坐标表示求得的坐标，再利用向量平行的坐标表示列式即可得解. 【详解】因为向量，， 所以， 因为，， 所以，解得. 故选：B. 8. 将指数函数的定义域扩大到复数以后，有一个公式：，是虚数单位，为自然对数的底数.它建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，此公式被誉为“数学中的天桥”.根据公式可知，表示的复数对应的点位于复平面中的（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用定义求出表示的复数，再根据复数的几何意义可得结果. 【详解】由题可知， ， 所以表示的复数对应的点，在第二象限， 故选：B 9. 直线的倾斜角的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用斜率公式求出斜率，再利用斜率求出倾斜角范围即可. 【详解】直线 的斜率， 因为，则，则， 则， 设倾斜角为，则， 因为，则 故选：D. 10. 已知为非零向量，且 ，则共线的三点为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合向量共线定理，即可判断求解. 【详解】因为， 假设三点共线，则存在唯一的实数，使， 所以， 所以，方程组无解， 即不存在实数，使三点共线，故选项A不符合题意； 因为， 假设三点共线，则存在唯一的实数，使， 所以， 所以，方程组无解， 即不存在实数，使三点共线，故选项B不符合题意； 因为， 所以，， 假设三点共线，则存在唯一的实数，使， 所以， 所以，方程组无解， 即不存在实数，使三点共线，故选项C不符合题意； 因为， 假设三点共线，则存在唯一的实数，使， 所以， 所以，解得， 所以， 即三点共线，故选项D符合题意； 故选：D. 11. 对于下列四个命题： 其中的真命题是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据真假命题的判断和指数函数以及对数函数单调性解不等式即可解得. 【详解】：，幂函数为增函数，则恒成立，故为假命题. ：，取，则此时，故为真命题. ：，取，则此时，故为假命题. ：，此时幂函数为减函数，则； 对数函数为减函数，则，故为真命题. 综上，其中为真命题的是. 故选：D 12. 已知平面向量 ，满足，若 ，则向量 的夹角为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合向量内积的定义，即可求解. 【详解】因为， 所以，即， 又， 所以， 所以， 因为， 所以. 故选：C. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分） 13. 若向量 ， 满足： ，，，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】由向量垂直可知向量内积为，列出式子解得. 【详解】设向量，的夹角为， 已知 ，，，可得 ， ， 联立解得， 故答案为：. 14. 已知向量，的夹角为，，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】由向量数量积公式及模长公式求解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 15. 已知 ， 是第二象限角，则 _______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，结合同角三角函数的平方关系和商数关系，及三角函数在各象限的符号，即可求解. 【详解】因为 ， 是第二象限角， 所以， 所以. 故答案为：. 16. 已知向量 与 的夹角为 ，且 ， ，则 _______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知结合向量内积公式列出一元二次方程求解即可解得. 【详解】由题可知，， 则， 即， 可化为， 解得. 故答案为： 17. 抛物线的焦点关于其准线的对称点坐标是____________． 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线写出焦点的坐标和准线方程即可求解. 【详解】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为， 所以焦点关于准线的对称点为. 故答案为：. 18. 已知向量 ， ，则 的最小值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由平面向量模长定义和内积的坐标表示，结合三角函数辅助角公式求得最小值. 【详解】 ， 所以当时，取最小值， 故答案为：. 19. 如图所示，空间四边形中，，，、分别为、的中点，则和所成的角为_______ 【答案】 【解析】 【分析】取中点，通过平行关系找到异面直线所成角，证出等腰直角三角形即可求解. 【详解】取中点，记为，连接， 因为、分别为、的中点， 所以为的中位线，为的中位线， 且有，， 又因为，所以， 且和所成的角即和所成的角， 又因，，且， 所以，则为等腰直角三角形，. 故答案为：. 20. 如图所示，在边长为 的正方形 中，以 为圆心画一个扇形，以为圆心画一个圆， 、 、 为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆为圆锥底面，围成一个圆锥，则该圆锥的全面积是_______，体积是_______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据正方形对角线和圆锥底面周长，列出式子解得底面半径和母线，进而求得圆锥全面积和体积. 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，高为， 由题意可得， 解得，， 因此圆锥全面积为，， 圆锥体积为， 故答案为：；. 三、解答题（本题共4小题，每小题8分，共32分） 21. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若，，的内角平分线交边于点，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换，求角A的大小； （2）方法一：利用面积关系，列式求的长，再求数量积； 方法二： 和中，分别用正弦定理求得，再利用平面向量基本定理，转化求数量积； 方法三：首先利用余弦定理求得，在和中，分别用正弦定理求，中求，最后再求数量积. 【小问1详解】 ∵， 由正弦定理得， ∵，∴， ∴，∴， ∴， ∵， ∴. 【小问2详解】 方法一： 的内角平分线交边于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 方法二：在中，由正弦定理，， 在中，由正弦定理，， ∵，， ∴， ∴， ∴. 方法三：在中，由余弦定理： ， ∴， 在中，由正弦定理，， 在中，由正弦定理，， ∵，， ∴， ∴， 在中，由余弦定理： ， 设，则， 即， 解得或， 在中，由余弦定理：，∴是钝角， 在中，∴， ∴. 22. 如图，在正方体 中，分别是 、的中点， （1）证明： ； （2）求异面直线 与 所成的角； （3）证明：平面 平面 . 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的定义证明线线垂直即可. （2）取中点G，连接 ，得出 是与所成的角，再根据角的等量关系替换即可求出的大小. （3）先由线面垂直的判定定理证明 平面，再根据面面垂直的判定定理证明即可. 【小问1详解】 因为为正方体， 所以平面， 因为平面， 所以. 【小问2详解】 取中点G，连接 ， 因为F是中点，所以平行且相等， 又因为平行且相等，所以平行且相等， 所以是平行四边形，所以 ， 设 与 相交于点H， 则 是 与 所成的角或补角， 因为E是 的中点，是的中点， 则≌，所以， 因为，所以， 所以 ，即与 所成的角是 . 【小问3详解】 由（1）可知 ， 由（2）可知， ， 因为为平面中两条相交的直线， 所以 平面， 又因为平面， 所以平面 平面 . 23. 某小区要建一座八边形的休闲小区，如图所示，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为平方米的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为每平方米元，并在四周的四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为每平方米元，再在四个空角上铺草坪，造价为每平方米元. （1）设总造价为S元，长为x米，试求S关于x的函数关系式； （2）当x为何值时，S取得最小值？并求出这个最小值. 【答案】（1） （2） 米，最小值元 【解析】 【分析】（1）根据已知和题中图形设出未知量，列出函数关系式即可解得. （2）根据已知函数关系式结合基本不等式求得最值即可解得. 【小问1详解】 设 米， 米， 故 ，即 . 依题意，得 依题意 ，且 ， ∴ ，故所求函数为 【小问2详解】 因为 ，由基本不等式可得 ， 当且仅当 ，即 时取等号. ∴当 时， 元. 故 米时，S有最小值元. 24. 已知椭圆经过点和. （1）求椭圆的方程； （2）经过点的直线与相交于，两点（不经过点），设直线，的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；否则，请说明理由. 【答案】（1） （2）是定值， 【解析】 【分析】（1）由椭圆过点和，将点代入方程进行联立求解即可得到椭圆的标准方程. （2）首先通过直线和椭圆方程联立消掉得到关于的一元二次方程，进而使用韦达定理表示出与，再利用斜率计算公式表示出，最后通过带入化简即可得到结果. 【小问1详解】 因为椭圆经过点和， 所以，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题意可知直线的斜率存在，故设方程为，设， 所以联立方程得， 所以，解得， 所以， 所以 直线，的斜率分别为，，， 所以，， 所以. 所以为定值，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$