精品解析：山东省东营市2024—2025学年上学期八年级数学期末题

2024－2025学年第一学期教学质量反馈 八年级数学试题 （满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分，第I卷为选择题，30分；第II卷为非选择题，90分；本试题共6页． 2．数学试题答题卡共4页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束，试题和答题卡一并收回． 3．第I卷每题选出答案后，都必须用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第II卷按要求用碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第I卷（选择题共30分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 2024年4月25日神舟十八号载人飞船成功发射，3名航天员开启“太空”之旅，展现了中国航天科技新高度．下列航空航天图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果分式的值为零，那么等于( ) A B. C. D. 3. 小强是一位密码编译爱好者，在他密码手册中，有这样一条信息：，分别对应下列六个字：林、爱、我、桂、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 我爱美 B. 桂林游 C. 我爱桂林 D. 美我桂林 4. 在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写正确的是（ ） A. ①对角相等 B. ③对边相等 C. ②对角线互相垂直 D. ④邻角互补 5. 为深入落实“立德树人”的根本任务，坚持德、智、体、美、劳全面发展，某学校积极推进学生综合素质评价改革，某同学在本学期德智体美劳的评价得分如图所示，则该同学五项评价得分的众数，中位数，平均数分别为（ ） A. 8，8，8 B. 7，7，7.8 C. 8，8，8.6 D. 8，8，8.4 6. 如图，中，，将逆时针旋转得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于（ ） A. B. C. D. 7. 阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界．某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是米/分，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点P的坐标为（a，b）（a＞0），点Q的坐标为（c，2），且|a－c|+=0，将线段PQ向右平移a个单位长度，其扫过的面积为24，那么a+b+c的值为( ) A. 12 B. 14 C. 16 D. 20 9. 如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB=3，BC=5，则DE的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，，点A在上，四边形是矩形，连接、交于点E，连接交于点F．下列4个判断：①平分；②；③；④若点G是线段的中点，则为等腰直角三角形．正确判断的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 第II卷（非选择题共90分） 二、填空题：本大题共8小题，其中11－14题每小题3分，15－18题每小题4分，共28分．要求只填写最后结果． 11. 因式分解：______． 12. 一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形是_____边形． 13. 某校开展主题为“青春逢盛世，奋斗正当时”的演讲比赛，比赛从演讲内容、演讲技巧、演讲效果三个方面按百分制打分，最终得分按的比确定，若甲选手在演讲内容、演讲技巧、演讲效果三个方面的成绩分别为90分、80分和85分，则甲选手的最终成绩为______分． 14. 如图，在中，．按以下步骤作图：①以点为圆心，长为半径作弧，交于点；②分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，连接，四边形的周长为_____． 15. 如图，是重叠的两个直角三角形，将其中一个直角三角形沿方向平移得到，如果，，，则图中阴影部分的面积为________． 16. 已知关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是______________ 17. 如图，在中，，P为上任意一点，于F，于E，则的最小值是__________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的两边在坐标轴上，以它的对角线为边作正方形，再以正方形的对角线为边作正方形…以此类推，则正方形的顶点的坐标是_____． 三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）解方程：． （2）先化简，后求值：，然后在，，三个数中选一个适合的数，代入求值． 20. 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标． （2）作出关于坐标原点成中心对称，并写出点的坐标． （3）是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标． 21. 2024年4月15日是第九个全民国家安全教育日．树立国家安全意识，自觉关心、维护国家安全，是每个公民的基本义务．为了增强学生国家安全意识，某中学组织七、八年级各200名学生举行了国家安全法知识竞赛，现分别从七、八两个年级参赛学生中各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计、整理如下： 【收集数据】 七年级10名同学测试成绩统计如下： 72，84，72，91，79，69，78，85，75，95 八年级10名同学测试成绩统计如下： 85，72，92，84，80，74，75，80，76，82 【整理数据】两组数据各分数段，如表所示： 成绩 七年级 1 5 2 八年级 0 4 5 1 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 年级统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 72 八年级 80 80 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_____，_____，_____； （2）小明同学说自己的成绩能在本年级排到前，小强说“你的成绩在我们年级进不了前”，则小明是_____（填“七”或“八”）年级的学生； （3）按照比赛规定90分及其以上算优秀，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数共有多少人？ （4）计算八年级同学测试成绩的方差，并说明哪个年级的竞赛成绩更整齐？ 22. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于点E，CF∥AE交AD延长线于点F． （1）求证：四边形AECF是矩形； （2）连接OE，若BD＝10，AD＝13，求线段OE长． 23. 年4月日点分，神舟十八号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多元，用元购进A款和用元购进B款的文化衫的数量相同． （1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？ （2）已知毕业班的同学一共有人，要求购买的A款文化衫的数量不少于B款文化衫数量的两倍，学校应如何设计采购方案才能使得购买费用最低，最低费用为多少？ 24. 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO． （1）求证：四边形AECD是平行四边形； （2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积． 25. 综合与探究： （1）【教材呈现】下面是华师版上教材页的一道习题，请完成证明： 如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：； （2）【拓展延伸】 如图，在四边形中，是的中点，是的中点．连接并延长分别与的延长线交于点．求证：； （3）【问题解决】 如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接．若，当是直角三角形时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年第一学期教学质量反馈 八年级数学试题 （满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分，第I卷为选择题，30分；第II卷为非选择题，90分；本试题共6页． 2．数学试题答题卡共4页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束，试题和答题卡一并收回． 3．第I卷每题选出答案后，都必须用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第II卷按要求用碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第I卷（选择题共30分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 2024年4月25日神舟十八号载人飞船成功发射，3名航天员开启“太空”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列航空航天图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．熟知定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 如果分式的值为零，那么等于( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式值为零的条件（分母不等于零，分子等于零）计算即可. 【详解】解： 故选A 【点睛】本题考查了分式值为0的条件，当分式满足分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0，分母不等于0这一条件是保证分式有意义的前提在计算时经常被忽视. 3. 小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，分别对应下列六个字：林、爱、我、桂、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 我爱美 B. 桂林游 C. 我爱桂林 D. 美我桂林 【答案】C 【解析】 【分析】将所给整式利用提取公因式法和平方差公式进行因式分解，再与所给的整式与对应的汉字比较，即可得解， 本题主要考查因式分解，掌握提取公因式和公式法分解因式是解题的关键． 【详解】解： ， ∴结果呈现的密码信息可能是：我爱桂林， 故选：C． 4. 在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写正确的是（ ） A. ①对角相等 B. ③对边相等 C. ②对角线互相垂直 D. ④邻角互补 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形、菱形、正方形的判定，根据矩形、菱形、正方形的判定定理逐一判断即可求解，掌握矩形、菱形、正方形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：、平行四边形的对角都相等但不一定是矩形，该选项错误； 、矩形的对边都相等但不一定是正方形，该选项错误； 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，该选项正确； 、菱形的邻角都互补但不一定是正方形，该选项错误； 故选：． 5. 为深入落实“立德树人”的根本任务，坚持德、智、体、美、劳全面发展，某学校积极推进学生综合素质评价改革，某同学在本学期德智体美劳的评价得分如图所示，则该同学五项评价得分的众数，中位数，平均数分别为（ ） A. 8，8，8 B. 7，7，7.8 C. 8，8，8.6 D. 8，8，8.4 【答案】D 【解析】 【分析】先从图中读取该同学五项评价得分，再根据众数、中位数、平均数的定义，依次计算即可． 【详解】解：该同学五项评价得分分别为7，8，8，9，10， 出现次数最多的数是8，所以众数为8， 这组数据从小到大排列后，位于中间位置的数是8，所以中位数是8， 平均数为， 故选：D． 【点睛】本题考查了众数、中位数、平均数的定义，注意在求一组数据的中位数时，应先将这组数按从小到大或从大到小的关系排序，再求出这组数的中位数． 6. 如图，中，，将逆时针旋转得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转可得，再结合旋转角即可求解． 【详解】解：由旋转性质可得：，， ∵， ∴，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了几何—旋转问题，掌握旋转的性质是关键． 7. 阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界．某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是米/分，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设乙同学的速度是米/分，根据乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，列出方程即可． 【详解】解∶设乙同学的速度是米/分，可得： 故选∶ D． 【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 8. 已知点P的坐标为（a，b）（a＞0），点Q的坐标为（c，2），且|a－c|+=0，将线段PQ向右平移a个单位长度，其扫过的面积为24，那么a+b+c的值为( ) A. 12 B. 14 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】有非负数的性质得到a=c，b=8，，PQ∥y轴，由于其扫过的图形是矩形可求得，代入即可求得结论． 【详解】解：|a－c|+=0， ∴a=c，b=8， ，PQ∥y轴， ∴PQ=8-2=6， 将线段PQ向右平移a个单位长度，其扫过的图形是边长为a和6的矩形， ， ∴a=4, ∴c=4， ∴a+b+c=4+8+4=16； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，坐标的平移，矩形的性质，能根据点的坐标判断出PQ∥y轴，进而求得PQ是解题的关键． 9. 如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB=3，BC=5，则DE的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据矩形的性质得AD=BC=5，AB=CD=3，再根据折叠的性质得AF=AD=5，EF=DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=4，则CF=BC-BF=1，设CE=x，则DE=EF=3-x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2+12=（3-x）2，解方程即可得到DE的长． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AD=BC=5，AB=CD=3， ∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处， ∴AF=AD=5，EF=DE， 在Rt△ABF中，BF==4， ∴CF=BC-BF=5-4=1， 设CE=x，则DE=EF=3-x， 在Rt△ECF中，CE2+FC2=EF2， ∴x2+12=（3-x）2， 解得x=， ∴DE=3-x=， 故选：B． 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理的综合运用．灵活运用这些性质进行推理与计算是解题的关键． 10. 如图，，，点A在上，四边形是矩形，连接、交于点E，连接交于点F．下列4个判断：①平分；②；③；④若点G是线段的中点，则为等腰直角三角形．正确判断的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】①，先说明△OBD是等腰三角形，再由矩形的性质可得DE=BE，最后根据等腰三角形的性质即可判断；②证明△OFA≌△OBD即可判断；③过F作FH⊥AD，垂足为H,然后根据角平分线定理可得FH=FA,再求得∠HDF=45°，最后用三角函数即可判定；④连接AG,然后证明△OGA≌△ADE,最后根据全等三角形的性质和角的和差即可判断． 【详解】解：①∵ ∴△OBD是等腰三角形 ∵四边形是矩形 ∴DE=BE=BD，DA⊥OB ∴平分，OE⊥BD故①正确； ②∵OE⊥BD, DA⊥OB，即∠DAO=∠DAB ∴∠EDF+∠DFE=90°，∠AOF+∠AFO=90° ∵∠EDF=∠AOF ∵DA⊥OB， ∴OA=AD 在△OFA和△OBD中 ∠EDF=∠AOF ,OA=AD,∠DAO=∠DAB ∴△OFA≌△DAB ∴OF=BD,即②正确； ③过F作FH⊥OD，垂足为H, ∵平分，DA⊥OB ∴FH=AF ∵，DA⊥OB ∴∠HDF=45° ∴sin∠HDF=即；故③正确； ④由②得∠EDF=∠AOF， ∵G为OF中点 ∴OG=OF ∵DE=BE=BD，OF=BD ∴OG=DE 在△OGA和△AED中 OG=DE, ∠EDF=∠AOF，AD=OA ∴△OGA≌△AED ∴OG=EF,∠GAO=∠DAE ∴△GAE是等腰三角形 ∵DA⊥OB ∴∠OAG+∠DAG=90° ∴∠DAE+∠DAG =90°,即∠GAE=90° ∴△GAE是等腰直角三角形，故④正确． 故答案为A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质以及解直角三角形等知识点，考查知识点较多，故灵活应用所学知识成为解答本题的关键． 第II卷（非选择题共90分） 二、填空题：本大题共8小题，其中11－14题每小题3分，15－18题每小题4分，共28分．要求只填写最后结果． 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，后采用公式法分解即可 【详解】∵ =-a = 故答案为: ． 【点睛】本题考查了因式分解，熟记先提取公因式，后套用公式法分解因式是解题的关键． 12. 一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形是_____边形． 【答案】八 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和与外角和，掌握多边形内角和公式是解题的关键．设这个多边形的边数是，根据多边形内角和以及外角和列出方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数是， 则， ， ， 故答案为：八． 13. 某校开展主题为“青春逢盛世，奋斗正当时”的演讲比赛，比赛从演讲内容、演讲技巧、演讲效果三个方面按百分制打分，最终得分按的比确定，若甲选手在演讲内容、演讲技巧、演讲效果三个方面的成绩分别为90分、80分和85分，则甲选手的最终成绩为______分． 【答案】86 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算公式列出式子，再进行计算即可． 【详解】解：甲选手的最终得分为：（分）． 故答案为：86． 【点睛】此题考查了加权平均数，关键是根据加权平均数的计算公式列出式子． 14. 如图，在中，．按以下步骤作图：①以点为圆心，长为半径作弧，交于点；②分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，连接，四边形的周长为_____． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的作法、菱形的判定与性质和平行四边形的性质，解题关键是明确角平分线作法，证出四边形是菱形．根据作图可知是角平分线，根据等腰三角形的性质判断四边形是菱形，求出周长即可． 【详解】解：由作图可知，平分，， ， 在和中， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， 四边形的周长为：， 故答案为：12． 15. 如图，是重叠的两个直角三角形，将其中一个直角三角形沿方向平移得到，如果，，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】28 【解析】 【分析】因为四边形ABEH是一个梯形，因为两个直角三角形是完全重合的，所以阴影部分的面积等于梯形ABEH的面积，又因为AB=DE=8，据此求出EH=8-2=6，再利用梯形的面积公式计算即可解答． 【详解】解：（8-2+8）×4÷2=28， 答：图中阴影部分面积为28． 故答案为：28． 【点睛】本题考查了平移的性质，解答此题的关键是明确阴影部分的面积等于梯形ABEH的面积，据此即可解答． 16. 已知关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是______________ 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解方程得到，再根据分式方程的解为正数求出m的取值范围，再由，即，得到，即，据此可得答案． 【详解】解： 去分母得， 解得 ∵关于x的分式方程的解是正数， ∴， 解得． ∵，即， ∴，即． ∴m的取值范围是且． 故答案为：且． 17. 如图，在中，，P为上任意一点，于F，于E，则的最小值是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质和判定、勾股定理、垂线段最短等知识点，是确定出何时最短是解题的关键． 根据已知得出四边形是矩形得出，要使最小，只要最小即可，再根据勾股定理求得，最后根据垂线段最短即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵，于F，于E， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴要使最小，只要最小即可，即当时，最小， 在中，， 由勾股定理得：， 由三角形面积公式得：， ∴，即的最小值是． 故答案为：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的两边在坐标轴上，以它的对角线为边作正方形，再以正方形的对角线为边作正方形…以此类推，则正方形的顶点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了规律型：点的坐标．根据题意，可以从各个B点到原点的距离变化规律和所在象限的规律入手． 【详解】解：由图形可知，， ， ， , 每一个B点到原点的距离依次是前一个B点到原点的距离的倍，同时，各个B点每次旋转，每八次旋转一周． ∴顶点到原点的距离， ∵， ∴顶点的恰好在x轴的正半轴上， ∴顶点的恰好在第一象限角平分线上， ∴顶点的坐标是． 故答案为：． 三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）解方程：． （2）先化简，后求值：，然后在，，三个数中选一个适合数，代入求值． 【答案】（1）； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程、分式的化简求值，分式有意义的条件，解题关键是掌握分式方程、分式的运算法则及有意义的条件． （1）先把分式方程通分，求解后，检验，使分母不能等于即可； （2）先对括号内的式子进行通分运算，然后将分式的除法转化为乘法，将分式的分子，分母进行因式分解，并进行约分即可化简，再根据分式有意义的条件选取合适的值代入计算即可． 【详解】解：（1）， 方程两边都乘得： ， 解得：， 检验：把代入得：， 分式方程的解为； （2）解：原式 ， 且， 且， ， 则原式． 20. 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标． （2）作出关于坐标原点成中心对称的，并写出点的坐标． （3）是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）画图见解析，点的坐标 （2）画图见解析，点的坐标 （3）存在，点D的坐标为或或 【解析】 【分析】（）根据旋转的性质作出图形，再根据图形写出坐标即可； （）根据中心对称图形的性质作出图形，再根据图形写出坐标即可； （）根据平行四边形的性质解答即可求解． 小问1详解】 解：如图所示，即为所求，由图可得点的坐标； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求，由图可得点的坐标； 【小问3详解】 解：存在．当为对角线时，点的坐标为；当为对角线时，点的坐标为；当为对角线时，点的坐标为， 综上，点D的坐标为或或． 【点睛】本题考查了旋转作图，作中心对称图形，平行四边形的性质，坐标与图形，掌握以上知识点是解题的关键． 21. 2024年4月15日是第九个全民国家安全教育日．树立国家安全意识，自觉关心、维护国家安全，是每个公民的基本义务．为了增强学生国家安全意识，某中学组织七、八年级各200名学生举行了国家安全法知识竞赛，现分别从七、八两个年级参赛学生中各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计、整理如下： 【收集数据】 七年级10名同学测试成绩统计如下： 72，84，72，91，79，69，78，85，75，95 八年级10名同学测试成绩统计如下： 85，72，92，84，80，74，75，80，76，82 【整理数据】两组数据各分数段，如表所示： 成绩 七年级 1 5 2 八年级 0 4 5 1 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 年级统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 72 八年级 80 80 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_____，_____，_____； （2）小明同学说自己的成绩能在本年级排到前，小强说“你的成绩在我们年级进不了前”，则小明是_____（填“七”或“八”）年级的学生； （3）按照比赛规定90分及其以上算优秀，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数共有多少人？ （4）计算八年级同学测试成绩的方差，并说明哪个年级的竞赛成绩更整齐？ 【答案】（1）2；；80 （2）七 （3）60人 （4），八年级 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表，求众数、中位数及方差，用样本估计总体的数量，用方差判断稳定性等知识，熟练掌握相关统计知识是解题的关键． （1）观察七年级10名同学测试成绩在范围内的数据可确定a的值，将七年级抽样成绩按大小排列后，中间两个数的平均数是中位数，可确定b；根据八年级成绩中出现次数最多的可求得c； （2）利用七年级数据的中位数低于八年级数据的中位数，再结合题意即可解答； （3）根据样本估计总体的方法，分别计算两个年级大约达到优秀的人数，再相加即可； （4）由方差公式计算，再与七年级的方差比较即可得出结论． 【小问1详解】 解：由数据可得，七年级10名同学测试成绩在范围内有2个， ； 将七年级10名同学测试成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为，即中位数为， ； 八年级10名同学测试成绩的众数为80， ； 故答案为：2；；80． 【小问2详解】 解：， 七年级数据的中位数低于八年级数据的中位数， 结合小明和小强同学的说法可得：小明是七年级的学生． 故答案为：七． 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数共有60人． 【小问4详解】 解：， ， 八年级的竞赛成绩更整齐． 22. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于点E，CF∥AE交AD延长线于点F． （1）求证：四边形AECF是矩形； （2）连接OE，若BD＝10，AD＝13，求线段OE的长． 【答案】（1）见解析；（2）12． 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC，推出四边形AECF是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）如图，连接，根据（1）的结论可知，根据勾股定理求得即可． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∵CF∥AE， ∴四边形AECF是平行四边形． ∵AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∴平行四边形AECF是矩形； （2）如图，连接， 四边形AECF是矩形， ， ∵四边形ABCD是菱形， ，， ， ， ． ． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，掌握图形的基本性质是解题的关键． 23. 年4月日点分，神舟十八号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多元，用元购进A款和用元购进B款的文化衫的数量相同． （1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？ （2）已知毕业班的同学一共有人，要求购买的A款文化衫的数量不少于B款文化衫数量的两倍，学校应如何设计采购方案才能使得购买费用最低，最低费用为多少？ 【答案】（1）B款文化衫每件元，A款文化衫每件元 （2）购买A款文化衫件，B款文化衫件，费用最低，为元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量与不等量关系，正确列出分式方程和不等式． （1）设B款文化衫每件元，则A款文化衫每件元，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （2）设购买A款文化衫件，则B款文化衫件，费用为元，依题意得，，可求，由题意知，，然后根据一次函数的图象与性质求解作答即可． 【小问1详解】 解：设B款文化衫每件元，则A款文化衫每件元， 依题意得，， 解得，， 经检验，是原分式方程的解，且符合要求； ∴， ∴B款文化衫每件元，A款文化衫每件元； 【小问2详解】 解：设购买A款文化衫件，则B款文化衫件，费用为元， 依题意得，， 解得，， 由题意知，， ∵， ∴当时，费用最低为（元）， ∴购买A款文化衫件，B款文化衫件，费用最低，为元． 24. 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO． （1）求证：四边形AECD是平行四边形； （2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积． 【答案】（1）见解析；（2）24 【解析】 【分析】（1）根据题意可证明，得到OD＝OE，从而根据“对角线互相平分的四边形为平行四边形”证明即可； （2）根据AB=BC，AO=CO，可证明BD为AC 的中垂线，从而推出四边形AECD为菱形，然后根据条件求出DE的长度，即可利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：在△AOE 和△COD中， ∴． ∴OD＝OE． 又∵AO＝CO， ∴四边形AECD 平行四边形． （2）∵AB＝BC，AO＝CO， ∴BO为AC的垂直平分线，． ∴平行四边形 AECD是菱形． ∵AC＝8， ． Rt△COD 中，CD＝5， ， ∴， ， ∴四边形 AECD 的面积为24． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定与面积计算，掌握基本的判定方法，熟练掌握菱形的面积计算公式是解题关键． 25. 综合与探究： （1）【教材呈现】下面是华师版上教材页的一道习题，请完成证明： 如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：； （2）【拓展延伸】 如图，在四边形中，是的中点，是的中点．连接并延长分别与的延长线交于点．求证：； （3）【问题解决】 如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接．若，当是直角三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）的长为或． 【解析】 【分析】（）证是的中位线，是的中位线，则，，再证，即可得出结论； （）连接，取中点，连接，，由（）得，再证明，即可求证； （）连接，取中点，连接，，由（）得，证明，，由，是的中点，则，，最后分当，当两种情况即可求解； 此题考查了三角形中位线定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握三角形中位线定理及正确添加辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 ∵是对角线的中点，是的中点，是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图，连接，取中点，连接，，由（）得， ∵是的中点，是的中点， ∴，， ∴，， ∴； 【小问3详解】 如图，连接，取中点，连接，，由（）得， 同（）可知，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，是的中点， ∴， ∴， ∵是直角三角形，， ∴当， 由勾股定理得，， 当， 由勾股定理得，， 综上可知的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$