专题01 解一次方程（组）和一次不等式（组）2024-2025学年华东师大版七年级数学下册期末解答压轴题必刷专项训练

专题01 解一次方程（组）和一次不等式（组） 七年级下册考试的第一个解答题，通常有解一元一次方程、解二元一次方程组、解不等式、解不等式组、解三元一次方程组，其中以方程和不等式组为主，考察学生的计算能力和谨慎细心程度。 考点一、解一元一次方程 1．解方程：． 2．解方程：． 3．解方程：． 4．解方程：． 5．解方程：． 6．解方程：． 7．解方程：． 8．解方程：． 9．解方程： 10．解方程：． 考点二、解二元一次方程组 11．解方程组： 12．解方程组：． 13．解方程组 14．解二元一次方程组：． 15．解方程组：． 16．计算：． 17．解二元一次方程组：． 18．解方程组： 19．解方程组： 20．解方程组：． 考点三、解不等式 21．解不等式． 22．解不等式： 23．解不等式，并把解在数轴上表示出来． 24．求不等式的正整数解． 25．若不等式的最小整数解是关于的方程的解，求式子的值． 26．已知不等式的解都是不等式的解，求m的取值范围． 27．解下列不等式，并将第（1）小题的解在数轴上表示出来． (1)； (2)． 28．解不等式，并在数轴上表示出不等式的解集： (1)； (2)． 29．解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)． 30．解下列不等式： (1)； (2)． 考点四、解不等式组 31．解不等式组： 32．解一元一次不等式组，并把解表示在数轴上． 33．已知不等式组的解集是，求的取值范围． 34．已知方程组的解满足x为负，y为正，求a的取值范围． 35．（1）解不等式：并把解集表示在数轴上；    （2）解不等式组 解不等式组①，得______． 解不等式组②，得______． 将不等式①②的解集分别表示在数轴上：    则原不等式组的解集为______． 36．已知关于的不等式组的解集是，求，的值． 37．定义：若不等式组的解集是，且满足，则称该不等式组的解集是一个“对称集”．若关于x的不等式组的解集是一个“对称集”，求m的值． 38．解不等式组：，并写出它的所有整数解． 39．解不等式组：，并在数轴上把解集表示出来． 40．解决下面问题 (1)解不等式； (2)解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 考点五、解三元一次方程组 41．解方程组：． 42．解下列方程组： (1) (2) 43．已知，当时，；当时，；当时，．求、、的值． 44．【数学问题】解方程组 【思路分析】小明观察后发现可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的． (1)【完成解答】请你按照小明的思路，完成解方程组的过程． (2)【迁移运用】请你按照小明的方法，解方程组 解一元一次方程 解二元一次方程组 解一元一次不等式 解一元一次不等式组 解三元一次方程组 试卷第2页，共5页 试卷第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 解一次方程（组）和一次不等式（组） 七年级下册考试的第一个解答题，通常有解一元一次方程、解二元一次方程组、解不等式、解不等式组、解三元一次方程组，其中以方程和不等式组为主，考察学生的计算能力和谨慎细心程度。 考点一、解一元一次方程 1．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解此题的关键． 根据解一元一次方程的步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1，进行计算即可得出答案． 【详解】解： ． 2．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，根据解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可． 【详解】解： 去分母，得， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 系数化为1，得． 3．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，根据去分母、移项、合并同类项、化系数为1的求解步骤解答即可． 【详解】解：去分母，得： 移项，得： 合并同类项，得： 化系数为1，得：． 4．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）是解题关键．按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得． 【详解】解：， 方程两边同乘以6去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 5．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，根据去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 将未知数的系数化为1，得． 6．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，根据解一元一次方程步骤求解，即可解题。 【详解】解：， 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化1，得． 7．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键； 先去分母，再去括号，然后移项，合并同类项，系数化成1，即可作答． 【详解】解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化成1，得． 8．解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，根据“先去分母、再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1”，准确计算，即可得出答案． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 化系数为1，得． 9．解方程： 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键．根据去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：去括号，得， 移项，合并同类项， 化系数为1，得． 10．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． 按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，进行计算即可解答． 【详解】解： ． 考点二、解二元一次方程组 11．解方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握代入消元法，加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 方法一：运用加减消元法①+②，得，再代入①得，即可求解；方法二：运用代入消元法得③，代入②解得，再代入③得，即可求解． 【详解】解：方法一：①+②，得， 解得，， 将代入①，得， 解得，， 所以原方程组的解是； 方法二：由①，得③， 将③代入②，得， 解得，， 将代入③，得， 解得，， 所以原方程组的解是． 12．解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，正确计算是解题的关键．利用代入消元法求解即可． 【详解】解： 由②得③ 把③代入①得 ， 解得， 把代入③中，得 ， ∴方程组的解为． 13．解方程组 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程的消元思想是解题的关键．用可消去x求出y的值，将y的值代入①即可求出x的值； 【详解】解：，得 ， 解得， 将代入①， 得， 解得， 方程组的解为 14．解二元一次方程组：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴二元一次方程组的解为：． 15．解方程组：． 【答案】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据加减消元法进行计算即可． 【详解】解：， ①②，得， 解得， 把代入①得， 解得， 原方程组的解是． 16．计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，利用加减消元法解二元一次方程组即可，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：， 得：， 解得， 把代入得：， ∴二元一次方程组的解为． 17．解二元一次方程组：． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，先将方程组化简，再运用加减消元法求解即可． 【详解】解：方程组整理，得， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴方程组的解为． 18．解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，运用加减消元法，即得：，则，再把代入②，得，解得，即可作答． 【详解】解：依题意 得：， ∴， 把代入②，得， 解得：， ∴原方程组的解是． 19．解方程组： 【答案】原方程组的解是 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程的方法是解题的关键． 用加减法求解即可． 【详解】解：得． 得． 将代入②，得，解得． 所以原方程组的解是． 20．解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．利用加减消元法求解即可． 【详解】解：， ，得：， 解得：， 将代入①，得：， 解得：， 故方程组的解为：． 考点三、解不等式 21．解不等式． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤求解即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 22．解不等式： 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，关键是能根据不等式的性质解出不等式．根据不等式的性质求出不等式的解即可． 【详解】解：两边同时乘以6得，， 去括号得，， 移项得，， 整理得， 系数化为1得，． 23．解不等式，并把解在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，先根据去分母、移项、合并同类项，得到不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 去分母得，， 移项得，， 合并同类项，得，， 将不等式的解集在数轴上表示如下： 24．求不等式的正整数解． 【答案】1，2，3，4，5 【分析】本题考查了求一元一次不等式的正整数解，先根据解一元一次不等式的步骤解不等式，再写出正整数解即可，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴正整数解有1，2，3，4，5． 25．若不等式的最小整数解是关于的方程的解，求式子的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，一元一次方程的解，代数式求值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 先解一元一次不等式得到，得出不等式的最小整数解为，代入一元一次方程求出，再代入中计算即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式，得， 不等式的最小整数解为． 不等式的最小整数解是关于的方程的解， 将代入方程，得， 解得， 则． 26．已知不等式的解都是不等式的解，求m的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次不等式的应用及其解法，先分别解不等式与，再结合题意可得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵不等式的解都是不等式的解， ∴， ∴解得． 27．解下列不等式，并将第（1）小题的解在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴上表示见解析 (2) 【分析】本题考查解一元一次不等式，并把解集表示在数轴上，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）按解一元一次不等式的步骤求解即可，再在数轴上表示，注意不取等时用空心点； （2）按解一元一次不等式的步骤求解即可． 【详解】（1）解：， 移项，得：， 合并，得：， 系数化为，得：， 在数轴上表示为： （2）解：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并，得：， 系数化为，得：． 28．解不等式，并在数轴上表示出不等式的解集： (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． （2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【详解】（1）解：， ， ， ； 解集在数轴上表示如下： ； （2）解：， ， ， ， ， ， 解集在数轴上表示如下： 29．解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解此题的关键． （1）根据解一元一次不等式的步骤计算即可得解，再将解集表示在数轴上即可； （2）根据解一元一次不等式的步骤计算即可得解，再将解集表示在数轴上即可． 【详解】（1）解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 解集在数轴上表示如答图①． （2）解：去分母，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 解集在数轴上表示如答图②． 30．解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，掌握解法步骤是解本题的关键； （1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可 【详解】（1）解：， 去分母得：， 移项得：， ∴， 解得：； （2）解：， 去分母得：， 移项得：， ∴， 解得：． 考点四、解不等式组 31．解不等式组： 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 先求出每个不等式的解集，再求其公共部分即可． 【详解】解：解不等式①，得． 解不等式②，得， 所以原不等式组的解集是． 32．解一元一次不等式组，并把解表示在数轴上． 【答案】，见解析 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集表示在数轴上即可． 【详解】解：解不等式，得．    解不等式，得．    原不等式组的解是．     把两个不等式的解表示在数轴上，如图． 33．已知不等式组的解集是，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法和步骤．先分别求解两个不等式，结合原不等式组的解集是，得出关于的不等式，求解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 因为该不等式组的解集是， 所以， 所以． 34．已知方程组的解满足x为负，y为正，求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解不等式组，掌握方程组与不等式组的解法是解题的关键；由求出二元一次方程组的解，再根据解的正负性得到关于a的不等式组，即可求得a的取值范围． 【详解】解：解方程组，得， x为负，y为正， ，解得． 35．（1）解不等式：并把解集表示在数轴上；    （2）解不等式组 解不等式组①，得______． 解不等式组②，得______． 将不等式①②的解集分别表示在数轴上：    则原不等式组的解集为______． 【答案】（1），数轴见解析；（2），数轴见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示出不等式的解集： （1）去分母，去括号，移项，合并，系数化1，进行求解，定边界，定方向，在数轴上表示出解集即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，在数轴上表示出解集，找到它们的公共部分，即可得出结果． 【详解】解：（1）去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 将不等式的解集在数轴上表示如图①．    （2）解不等式组①，得． 解不等式组②，得． 将不等式①②的解集分别表示在数轴上：      则原不等式组的解集为． 36．已知关于的不等式组的解集是，求，的值． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题关键．解两个不等式得出且，根据不等式组的解集为得，解之可得答案． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：， 则， 所以． 37．定义：若不等式组的解集是，且满足，则称该不等式组的解集是一个“对称集”．若关于x的不等式组的解集是一个“对称集”，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，掌握“对称集”的定义是解答此题的关键．解每个不等式得出，根据“对称集”的定义得出，解方程即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵该不等式组的解集是一个“对称集”， ∴， 解得． 38．解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、求不等式组的整数解等知识点，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，然后再确定不等式组的解集，最后确定所有整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为． 39．解不等式组：，并在数轴上把解集表示出来． 【答案】解集表示在数轴上见详解， 【分析】本题主要考查解不等式组，掌握不等式的性质，不等式组的取值方法是解题的关键． 根据不等式的性质，分别求出解集，把解集表示在数轴上，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”即可求解． 【详解】解：， 解①得，， 解②得，， 如图所示， ∴不等式组的解集为：． 40．解决下面问题 (1)解不等式； (2)解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)； (2)，数轴见解析． 【分析】此题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集．解一元一次不等式组需分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． （1）不等式移项，合并同类项，化系数为1即可； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可． 【详解】（1）解：将不等式两边同乘以得， ， 移项合并得， 解得； （2）解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， 则不等式组的解集为， 在数轴上表示： 考点五、解三元一次方程组 41．解方程组：． 【答案】 【分析】此题主要考查了三元一次方程组的解法，能够熟练运用加减消元法求解是关键． 利用加减消元法即可求解． 【详解】解：， 把①代入②，可得，整理可得， ④×2，可得， ③+⑤，可得，解得， 把代入①，可得， 把代入③，可得，解得， ∴原方程组的解为． 42．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，熟练掌握方程组的解法是解题的关键； （1）利用加减消元法即可解答； （2）方程①是用未知数x表示y的式子，将①代入②可得关于x、z二元一次方程组，利用加减消元法解方程组，再将x的值代入①可得y的值． 【详解】（1）解：，得④ ，得 ，得 ，得 原方程组的解为； （2）把①代入②，得．④ 由④和③组成方程组 解得 把代入①，得， 原方程组的解为 43．已知，当时，；当时，；当时，．求、、的值． 【答案】，， 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，有加减消元法和代入消元法两种，本题通过建立关于��，��，c的三元一次方程组，求得��、��、��的值． 【详解】解：根据题意，得 把③分别代入①和②，得，解得 ，，． 44．【数学问题】解方程组 【思路分析】小明观察后发现可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的． (1)【完成解答】请你按照小明的思路，完成解方程组的过程． (2)【迁移运用】请你按照小明的方法，解方程组 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解三元一次方程组、解二元一次方程组； （1）把①代入②，求出x的值，再把x的值带入①，求出y的值； （2）先把①代入③，求出c的值，再把c的值代入②，求出a的值，最后把a的值代入①，求出b的值，即可． 【详解】（1）解： 把①代入②，得， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解： 把①代入③得：，解得：， 把代入②得：，解得：， 把代入①得：，解得：， ∴原方程组的解为． 解一元一次方程 解二元一次方程组 解一元一次不等式 解一元一次不等式组 解三元一次方程组 试卷第24页，共24页 试卷第23页，共24页 学科网（北京）股份有限公司 $$