第37讲 广东中考中档解答题专练（2）——几何证明题-【教与学·课时导学案】2025年中考总复习数学课件PPT（广东专版）

2025 中考总复习 数学 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 第37讲 广东中考中档解答题专练（2）——几何证明题 第二部分 广东中考题型专练 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 目 录 CONTENTS 01 题型突破 02 变式诊断 03 强化训练 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 题型突破 题型一：与三角形有关的证明 【例1】如图2－37－1，在△ABC中，AB＝AC，AB∥CD，过点B作BE⊥AC于点E，BE与CD交于点F，BD⊥CD于点D，CD＝9，BD＝3． 图2－37－1 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 (1)证明：∵AB∥CD， ∴∠ABC＝∠DCB． ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB． ∴∠ACB＝∠DCB，即CB平分∠ACD． ∵BE⊥AC，BD⊥CD， ∴BE＝BD． (1)求证：BE＝BD； 图2－37－1 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 (2)解：∵BE⊥AC，BD⊥CD， ∴∠E＝∠CDB＝90°． 在Rt△BCE和Rt△BCD中， ∴Rt△BCE≌Rt△BCD(HL)． ∴CE＝CD＝9． ∴AB＝AC＝9－AE． ∵AE2＋BE2＝AB2，且BE＝BD＝3，∴AE2＋32＝(9－AE)2． 解得AE＝4． ∴S△ABE＝AE·BE＝×4×3＝6． (2)求△ABE的面积． 图2－37－1 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 变式诊断 1． (2023·聊城)如图2－37－2，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C． 图2－37－2 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 (1)证明：∵∠B＝∠AED， ∴180°－∠B＝180°－∠AED， 即∠BEA＋∠BAE＝∠BEA＋∠CED． ∴∠BAE＝∠CED． 在△BAE和△CED中， ∴△BAE≌△CED． ∴EA＝ED． ∴∠EAD＝∠EDA． (1)求证：∠EAD＝∠EDA； 图2－37－2 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 (2)解：如答图2－37－2，过点E作EF⊥AD于点F． 由(1)知EA＝ED． ∵∠AED＝∠C＝60°， ∴∠AEF＝∠DEF＝30°． ∵DE＝4， ∴DF＝DE＝2． ∴AD＝2DF＝4，EF＝＝ ＝2 ． ∴S△AED＝AD·EF＝×4×2 ＝4 ． 答图2－37－2 (2)若∠C＝60°，DE＝4，求△AED的面积． 图2－37－2 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 题型二：与四边形有关的证明 【例2】 (2024·呼和浩特)如图2－37－3，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝FE，AB平分∠CAE，AB∥DF． 图2－37－3 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 (1)证明：∵AB平分∠CAE， ∴∠CAB＝∠BAE． ∵AB∥DF，∴∠BAE＝∠EFD．∴∠CAB＝∠EFD． 在△CAB和△EFD中， ∴△CAB≌△EFD(ASA)． ∴AB＝FD． 又∵AB∥FD， ∴四边形ABDF是平行四边形． (1)求证：四边形ABDF是平行四边形； 图2－37－3 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 (2)解：四边形BGED是正方形． 【提示】如答图2－37－1．  由(1)可知，BC＝DE，四边形ABDF是平行四边形， ∴BD＝AF． ∵AB平分∠CAE，BC⊥AC，BG⊥AE， ∴BC＝BG，∠BGE＝∠GED＝90°． ∵BC＝AF，∴BD＝DE＝BG． ∵BG∥DE，BG＝DE，∴四边形BGED是平行四边形． ∵BD＝DE，∴四边形BGED是菱形． ∵∠BGE＝∠GED＝90°， ∴四边形BGED是正方形． 答图2－37－1 (2)过点B作BG⊥AE于点G，若CB＝AF，请直接写出四边形BGED的形状． 图2－37－3 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 2． 如图2－37－4，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，E，F分别是AB，CD的中点，过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G． 图2－37－4 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD． ∵E，F分别是AB，CD的中点，∴BE＝AE＝AB，DF＝CD． ∴BE＝DF． ∴四边形DEBF是平行四边形． ∵AB＝2AD，∴AE＝AB＝AD． 又∵∠DAB＝60°，∴△ADE是等边三角形，即DE＝AE＝AD． ∴DE＝BE． ∴四边形DEBF是菱形． (1)求证：四边形DEBF是菱形； 图2－37－4 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 (2)解：四边形AGBD是矩形． 证明如下： ∵AG∥DB，AD∥BC， ∴四边形AGBD是平行四边形． 由(1)可得，△ADE是等边三角形，DE＝BE． ∴∠ADE＝∠DEA＝60°，∠EDB＝∠EBD． ∵∠EDB＋∠EBD＝∠DEA＝60°， ∴∠EDB＝∠EBD＝30°． ∴∠ADB＝90°． ∴四边形AGBD是矩形． (2)请判断四边形AGBD是什么特殊四边形，并加以证明． 图2－37－4 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 题型三：与圆有关的证明 【例3】(2024·安徽)如图2－37－5，☉O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB于点E，交☉O于另一点F，FA＝FE． 图2－37－5 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 (1)证明：∵FA＝FE，∴∠FAE＝∠AEF． 又∵∠FAB与∠BCF都是所对的圆周角， ∴∠FAE＝∠BCE． ∵∠AEF＝∠CEB，∴∠CEB＝∠BCE． ∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE． ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°． ∴∠CEB＋∠DCE＝∠BCE＋∠ACE＝ ∠ACB＝90°． ∴∠CDE＝90°，即CD⊥AB． (1)求证：CD⊥AB； 图2－37－5 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 (2)解：由(1)知，∠CEB＝∠BCE， ∴BE＝BC． 又∵FA＝FE，FM⊥AB， ∴MA＝ME＝MO＋OE＝2，则AE＝4． ∴☉O的半径OA＝OB＝AE－OE＝3． ∴BC＝BE＝OB－OE＝2． 在Rt△ABC中， AB＝2OA＝6，BC＝2， ∴AC＝＝4． (2)设FM⊥AB，垂足为M，若OM＝OE＝1，求AC的长． 图2－37－5 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 3． (2024·济南)如图2－37－6，AB，CD为☉O的直径，点E在上，连接AE，DE，点G在BD的延长线上，AB＝AG，∠EAD＋∠EDB＝45°． 图2－37－6 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 (1)证明：∵∠EDB，∠EAB所对的弧是同弧， ∴∠EDB＝∠EAB． ∵∠EAD＋∠EDB＝45°， ∴∠EAD＋∠EAB＝45°，即∠BAD＝45°． ∵AB是直径，∴∠ADB＝90°． ∴∠B＝45°． ∵AB＝AG，∴∠G＝∠B＝45°． ∴∠GAB＝90°． 又∵AB为☉O的直径， ∴AG与☉O相切． (1)求证：AG与☉O相切； 图2－37－6 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 (2)解：如答图2－37－3，连接CE．  ∵∠DAE，∠DCE所对的弧是同弧， ∴∠DAE＝∠DCE． ∵DC是直径， ∴∠DEC＝90°． 在Rt△DEC中，sin∠DCE＝sin ∠DAE＝． ∵BG＝4，∠B＝45°，∠BAG＝90°， ∴DC＝AB＝BG＝2． ∴DE＝DC·sin∠DAE＝2． 答图2－37－3 (2)若BG＝4，sin∠DAE＝，求DE的长． 图2－37－6 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 4． (2024·宁夏)综合与实践 如图2－37－7①，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线交外角∠CAM的平分线于点E． 【发现结论】 结论1：∠AEB＝ 　∠ACB；  结论2：当图2－37－7①中∠ACB＝90°时，如图2－37－7②所示，延长BC交AE于点F，过点E作AF的垂线交BF于点G，交AC的延长线于点H．则AE与EG的数量关系是　 　；  　AE＝EG　 强化训练   图2－37－7 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 【应用结论】 (1)求证：AH＝GF； 图2－37－7 【应用结论】证明：(1)∵∠ACB＝90°，EH⊥AF， ∴∠ACF＝90°，∠AEH＝∠FEH＝90°． ∴在Rt△AFC中，∠EFG＋∠EAH＝90°； 在Rt△AEH中，∠AHE＋∠EAH＝90°． ∴∠EFG＝∠EHA． 由结论2可知，AE＝EG． 在△EHA和△EFG中， ∴△EHA≌△EFG(AAS)． ∴AH＝GF． 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 图2－37－7 (2)补全图形如答图2－37－4． 由结论1和结论2，得∠AEB＝∠HEB＝∠ACB＝45°． 在Rt△AEG中， ∠AEG＝90°，AE＝EG，∴∠EAG＝∠AGE＝45°，AG＝AE． ∵△EFG≌△EHA，∴EF＝EH． ∵∠FEH＝90°，∴∠EFH＝∠EHF＝45°． ∴∠AFN＝∠FAN＝45°，∠NGH＝∠AGE＝45°． ∴FN＝AN，∠NGH＝∠NHG＝45°． ∴GN＝HN． 又∵AN＝AG＋GN，∴FN＝AE＋HN． 答图2－37－4 (2)在图②中连接FH，AG，延长AG交FH于点N，补全图形，求证：FN＝NH＋AE． 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 5． (2023·温州)如图2－37－8，已知矩形ABCD，点E在CB的延长线上，点F在BC的延长线上，过点F作FH⊥EF交ED的延长线于点H，连接AF交EH于点G，GE＝GH． (1)求证：BE＝CF； 图2－37－8 (1)证明：∵FH⊥EF，GE＝GH， ∴GE＝GF＝GH． ∴∠GFE＝∠E． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°． ∴△ABF≌△DCE(AAS)．∴BF＝CE． ∴CE－BC＝BF－BC，即BE＝CF． 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 (2)解：∵CD∥FH，∴△DCE∽△HFE． ∴． ∵CD＝AB，∴． 设BE＝CF＝x． ∵BC＝AD＝4，∴CE＝x＋4，EF＝2x＋4． ∴． 解得x＝1． ∴EF＝2×1＋4＝6． (2)当，AD＝4时，求EF的长． 图2－37－8 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 证明：(1)在矩形ABCD中，∠BAD＝∠ADE＝90°，AB＝DC， ∴∠ABD＋∠ADB＝90°． ∵AE⊥BD，∴∠DAE＋∠ADB＝90°． ∴∠ABD＝∠DAE．∴△ADE∽△BAD． ∴，即AD2＝DE·BA． ∵AB＝DC， ∴AD2＝DE·DC． 6． (2024·上海)如图2－37－9，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且AE⊥BD． (1)求证：AD2＝DE·DC； 图2－37－9 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 (2)如答图2－37－5，连接AC交BD于点O．  在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，则∠DAE＋∠AED＝90°． 由(1)可知，∠DAE＋∠ADB＝90°． ∴∠ADB＝∠AED． ∵∠FEC＝∠AED， ∴∠ADO＝∠FEC． 在矩形ABCD中，OA＝OD＝BD． ∵EF＝CF＝BD，∴OA＝OD＝EF＝CF． ∴∠ADO＝∠OAD，∠FEC＝∠FCE． 答图2－37－5 (2)F为线段AE延长线上一点，且满足EF＝CF＝BD，求证：CE＝AD． 图2－37－9 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 ∴∠ADO＝∠OAD＝∠FEC＝∠FCE． 在△ODA和△FEC中， ∴△ODA≌△FEC(AAS)． ∴CE＝AD． 答图2－37－5 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 7． (2021·深圳)如图2－37－10，AB为☉O的弦，D，C为的三等分点，AC∥BE． (1)求证：∠A＝∠E； 图2－37－10 (1)证明：如答图2－37－6，连接AD． ∵A，D，C，B四点共圆，∴∠BAD＋∠BCD＝180°． 又∵∠BCD＋∠BCE＝180°，∴∠BAD＝∠BCE． ∵D，C为的三等分点，∴． ∴∠BAD＝∠ABC． ∴∠ABC＝∠BCE． ∴AB∥CE． 又∵AC∥BE，∴四边形ACEB为平行四边形． ∴∠BAC＝∠E．   答图2－37－6 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 (2)解：∵四边形ACEB为平行四边形，BE＝5，∴AC＝BE＝5． ∵D，C为的三等分点，BC＝3， ∴， ． ∴CD＝AD＝BC＝3，BD＝AC＝5，∠CDB＝∠CAB＝∠CBD． 又∵∠CAB＝∠E，∴∠E＝∠CDB＝∠CBD． ∴△CBD∽△BED．∴，即． ∴ED＝． ∴CE＝ED－CD＝－3＝． (2)若BC＝3，BE＝5，求CE的长． 图2－37－10 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 谢 谢 ! 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 $$