湖北省2024年九年级中考数学函数复习习题课件

第14课时 二次函数的应用 第三部分 函数 1．[2023·黄石]某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为10万元/件. 设第x个生产周期设备的售价为z万元/件，售价z与x之间的函数解析式是z＝其中x是正整数. 当x＝16 时，z＝14；当x＝20 时，z＝13. (1)求m，n 的值. 解：把x＝16 时，z＝14；x＝20 时，z＝13 代入z＝mx＋n， 得解得m＝－，n＝18. (2)设第x个生产周期生产并销售完设备的数量为y 件，且y与x 满足关系式y＝5x＋20. ①当12<x≤20时，工厂第几个生产周期获得的利润最大？最大的利润是多少万元？ 解：设第x个生产周期创造的利润为w万元，由(1)知当12<x≤20 时，z＝－x＋18，∴w＝(z－10)y＝(5x＋20)＝－x2＋35x＝－(x－14)2＋405. ∵－< 0，12 < x≤20，∴当x＝14 时，w 取得最大值，最大值为405. 答：工厂第14个生产周期获得的利润最大，最大的利润是 405 万元. ②当0<x≤20时，若有且只有3个生产周期的利润不小于a万元，求实数a 的取值范围. 解：当0 < x≤20 时，z＝15， ∴ w＝(15－10)(5x＋20)＝25x＋100. ∴ w＝ 则w 与x 的函数图象如图所示. 由图象可知，若有且只有3个生产周期的利润不小于a万元，∴当x＝13，15 时，w＝403.75；当x＝12，16 时，w＝400. ∴ a 的取值范围为400 < a≤403.75. 2．[2022·黄冈、孝感、咸宁]为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程. 和谐小区新建一个小型活动广 场，计划在360 m2的绿化带上种植甲、乙两种花卉. 市场调查发现：甲种花卉种植费用y(元/m2)与种植面积x(m2)之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m2. (1)当x≤100 时，求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； 解：当0﹤x≤40 时，y＝30. 当40﹤x≤100 时，设y 与x 的函数关系式为y＝kx＋b. ∵该函数图象过点(40，30)，(100，15)， ∴解得∴ y＝－ x＋40. 综上，y＝ (2)当甲种花卉种植面积不少于30 m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3 倍时， ①如何分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w(元)最少？最少是多少元？ 解：∵甲种花卉种植面积不少于30 m2，∴ x≥30. ∵乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3 倍， ∴ 360－x≥3x，解得x≤90. ∴ 30≤x≤90. 当30≤x≤40 时，由(1)知y＝30. ∴ w＝yx＋15(360－x)＝30x＋15(360－x)＝15x＋5 400. ∵ 15﹥0，∴ w 随x 的增大而增大. ∴当x＝30 时，wmin＝15×30＋5 400＝5 850. 当40﹤x≤90 时，由(1)知y＝－x＋40. ∴ w＝yx＋15(360－x)＝－(x－50)2＋6 025. 易知当x＝90 时，wmin＝－(90－50)2＋6 025＝5 625. ∵ 5 850﹥5 625， ∴种植甲种花卉90 m2、乙种花卉360－90＝270 (m2)时，种植的总费用最少，最少为5 625元. ②受投入资金的限制，种植总费用不超过6 000元，请直接写出甲种花卉种植面积x 的取值范围. 解：30≤x≤40 或60≤x≤90. 3．[2023·丽水]一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t(秒)时球距离地面的高度h(米)适用公式h＝10t－5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t(秒)是( ) A. 5 B. 10 C. 1 D. 2 D 4．[2023·天津]如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD 的长不能超过26 m，其余的三边AB，BC，CD 用篱笆，且这三边的和为40 m. 有下列结论： ① AB 的长可以为6 m；② AB 的长有两 个不同的值满足菜园ABCD的面积为 192 m2；③菜园ABCD 面积的最大值为 200 m2.其中正确结论的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 C 5．[中考·聊城]某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元. 在销售过程中，每天的销售量y(个)与销售价格x(元/个)的关系如图所示，当10≤x≤20 时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为_______元 (利润＝总销售额－总成本). 121 6．2023年5月28日，C919商业首航完成——中国民航商业运营国产大飞机正式起步.12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”(寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪). 如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分. 如图②，当两辆消防车喷水口A，B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面20米，喷水口A，B均距地面4米. 若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A′，B′到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H′距地面_________米. 19 7．[中考·宁波]为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y(千 克)与每平方米种植的株数x(2≤x≤8，且x为整数)构成一种函数关系. 每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，平均单株产量减少0.5千克. (1)求y关于x的函数解析式； 解：∵每平方米种植的株数每增加1 株，平均单株产量减少0.5千克， ∴ y＝4－0. 5(x－2)＝－0.5x＋5. 即y关于x的函数解析式为y＝－0.5x＋5(2≤x≤8，且x 为整数). (2)每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？ 解：设每平方米小番茄产量为W千克. 根据题意，得W＝x(－0.5x＋5)＝－0.5x2＋5x＝－0.5(x－ 5)2＋ 12.5. ∵－0.5﹤0，∴当x＝5 时，W 取最大值，最大值为12.5. 答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克． 8．随着科技的发展，扫地机器人(图①)已广泛应用于生活中. 某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化. 设该产品2022 年第x(x 为整数)个月每台的销售价格为y(单位：元)，y 与x 的函数关系如图②所示(图中ABC 为一条折线). (1)当1≤x≤10 时，求每台的销售价格y与x 之间的函数关系式. 解：当1≤x≤10时，设每台的销售价格y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0). 将A(1，2 850)，B(10，1 500)两点的坐标代入， 得解得 ∴当1≤x≤10时，每台的销售价格y与x之间的函数关系式为 y＝－150x＋3 000. (2)设该产品2022 年第x个月的销售数量为m(单位：万台)，m 与x 的关系可以用m＝x＋1 来描述. 哪个月的销售收入最多？最多为多少万元？(销售收入＝每台的销售价格× 销售数量) 解：设销售收入为w 万元. ①当1≤x≤10 时，w＝(－150x＋3 000)＝－15(x－5)2＋ 3 375. ∵－15﹤0，∴当x＝5 时，w 取最大值，最大值为3 375. ②当10﹤x≤12 时，w＝1 500＝150x＋1 500， ∵ 150﹥0，∴ w 随x 的增大而增大. ∴当x＝12 时，w 取最大值，最大值为150×12＋1 500＝3 300. ∵ 3 375﹥3 300， ∴第5个月的销售收入最多，最多为3 375 万元． 9．[母题·教材九上P47习题T3]如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝－0.2x2＋x＋2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05 m，则他距篮筐中心的水平距离OH是 ________m. 4 10．[母题·人教九上P50 探究2]小明投资销售一种进价为每台 60元的护眼灯，在销售过程中发现，如果每台护眼灯售价为100元，每天可售出20台，若每台护眼灯每降价1元，则每天多售出2台. 已知每台护眼灯的销售单价不低于成本 价，且获利不超过成本价的35%，设这种护眼灯的销售单价为x元，每天的销售量为y 台. (1)求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围. 解：根据题意，得y＝20＋2(100－x)，即y＝－2x＋220. ∵每台护眼灯的销售单价不低于成本价，且获利不超过成本的35%， ∴解得60≤x≤81. (2)如果每天的销售利润要达到1 200元，销售单价应定为多少元？ 解：根据题意，得(x－60)(－2x＋220)＝1 200， 解得x1＝80，x2＝90. ∵ 60≤x≤81，∴ x2＝90 不合题意，舍去. 答：销售单价应定为80元. (3)当护眼灯的销售单价定为多少元时，小明每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 解：设护眼灯的日销售利润为W元. 由题意得W＝(x－60)(－2x＋220)＝－2x2＋340x－13 200＝ －2(x－85)2＋1 250. ∴ －2 < 0，∴抛物线开口向下. 对称轴为直线x＝85，当60≤x≤81 时，W 随x的增大而增大， ∴当x＝81 时，W 最大＝－2×(81－85)2＋1 250＝1 218. 答：当护眼灯的销售单价定为81元时，小明每天获得的利润最大，最大利润是1 218元. $$第10课时 一次函数的图象与 性质 第三部分 函数 1．象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久. 如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点(－2，－1)的位置，则在同一坐标系下，经过棋子 “帅”和“马”所在的点的一次函数的解析式为( ) A. y＝x＋1 B. y＝x－1 C. y＝2x＋1 D. y＝2x－1 A 2．[2022·潜江、天门、仙桃、江汉油田]二次函数y＝(x＋m)2＋n 的图象如图所示，则一次函数y＝mx＋n 的图象经过( ) A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限 D 3．[2023·通辽]在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x－3 的图象是( ) D 4．[2023·长沙]下列一次函数中，y随x的增大而减小的函数是 ( ) A. y＝2x＋1 B. y＝x －4 C. y＝2x D. y＝－x＋1 D 5．[中考·娄底]将直线y＝2x＋1 向上平移2个单位长度，相当于 ( ) A. 向左平移2个单位长度 B. 向左平移1个单位长度 C. 向右平移2个单位长度 D. 向右平移1个单位长度 B 6．对于某个一次函数y＝kx＋b，根据两位同学的对话得出的结论，错误的是( ) A. k﹥0 B. kb﹤0 C. k＋b﹥0 D. k＝－b C 7．[2023·陕西]在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax和y＝x＋a(a 为常数，a﹤0) 的图象可能是( ) D 8．在平面直角坐标系中，点M在y轴的非负半轴上运动，点N 在x轴上运动，满足OM＋ON＝8. 点Q为线段MN的中点，则点Q 运动路径的长为( ) A. 4π B. 8 C. 8π D. 16 点拨：设点M 的坐标为(0，m)，点N 的坐标为(n，0)，则点Q的坐标为. ∵ OM＋ON＝8，∴ |n|＋|m|＝8(－8≤n≤8，0≤m≤8). 当－8≤n<0 时，|n|＋|m|＝－n＋m＝8，∴－＋＝4，即＝＋4. 此时点Q在一条线段上运动，线段的一个端点在x 轴的负半轴上，坐标为(－4，0)；另一个端点在y 轴的非负半轴上，坐标为(0，4). ∴此时点Q运动路径的长为＝4. 当0≤n≤8 时，|n|＋|m|＝n＋m＝8，∴＋＝4，即＝4－ . 此时点Q 在一条线段上运动，线段的一个端点在x 轴的非负半轴上，坐标为(4，0)；另一个端点在y 轴的非负半轴上，坐标为(0，4). ∴此时点Q 运动路径的长为＝4. 综上可知，点Q 运动路径的长为4＋4＝8. 答案： B 9．[2023·苏州]已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点(1，3)和 (－1，2)，则k2－b2＝________. －6 10．[中考·盘锦]已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在一次函数y＝(a－2)x＋1 的图象上，当x1﹥x2 时，y1﹤y2，则a的取值范围是 　 　__________. a﹤2 11．[中考·铁岭、葫芦岛]如图，直线y＝2x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B，D为OB的中点，OCDE的顶点C在x轴上，顶点E在直线AB上，则OCDE的面积为 _______. 2 12．[2023·温州]如图，在直角坐标系中，点A(2，m)在直线y＝2x－上，过点A 的直线交y 轴于点B(0，3). (1)求m的值和直线AB的函数解析式； 解：把点A(2，m)的坐标代入y＝2x－，解得m＝ . 设直线AB 的函数解析式为y＝kx＋b，把点A，B( 0， 3)的坐标分别代入，得解得 ∴直线AB 的函数解析式为y＝－ x＋3. (2)若点P(t，y1)在线段AB上，点Q(t－1，y2)在直线y＝2x－ 上，求y1－y2 的最大值. 解：∵点P(t，y1)在线段AB 上，点Q(t－1，y2)在直线y＝2x－上，∴ y1＝－t＋3(0≤t≤2)，y2＝2(t－1)－＝2t－ . ∴ y1－y2＝－t＋3－＝－t＋(0≤t≤2). ∵－<0，∴ y1－y2的值随t 的增大而减小. ∴当t＝0 时，y1－y2有最大值，最大值为. 13．[2023·北京]在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点A(0，1)和B(1，2)，与过点(0，4)且平行于x轴的直线交于点C. (1)求该函数的解析式及点C 的坐标； 解：把点A(0，1)，B(1，2) 的坐标代入y＝kx＋b(k≠0)，得解得 ∴该函数的解析式为y＝x＋1. 由题意知点C 的纵坐标为 4，令y＝x＋1＝4，解得x＝3， ∴ C(3，4). (2)当x﹤3时，对于x的每一个值，函数y＝x＋n的值大于函数 y＝kx＋b(k≠0)的值且小于4，直接写出n 的值. 解：n＝2. 点拨：当x＝3 时，y＝x＋1＝4. ∵当x < 3 时，函数y＝x＋n 的值大于函数y＝x＋1的值且小于4， ∴如图，当直线y＝ x＋n 过点(3，4) 时满足题意. 将点(3，4)的坐标代入y＝ x＋n，得4＝×3＋n，解得n＝2. 14．[新视角·集约判断题]如图，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x 轴的交点坐标为(－2，0)，给出下列说法： ① y 随x 的增大而减小； ②关于x 的方程kx＋b＝0 的解为x＝－2； ③ kx＋b﹥0 的解集是x ﹥－2； ④ b﹤0. 其中正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 C 15．[新趋势·学科综合]如图，一束光线从点A(－2，5)出发，经过y轴上的点B(0，1)反射后经过点C(m，n)，则2m－n的值是________. －1 $$第11课时 一次函数的实际应用 第三部分 函数 1．[2023·鄂州]1号探测气球从海拔10 m处出发，以1 m/min的速度竖直上升.与此同时，2号探测气球从海拔20 m处出发，以a m/min的速度竖直上升. 两个气球都上升了1 h. 1号、2号气球所在位置的海拔y1，y2(单位：m)与 上升时间x(单位：min)的函数关系如图 所示. 请根据图象回答下列问题： (1)a＝_______，b＝ _______ ； 30 (2)请分别求出y1，y2与x 的函数关系式； 解：由(1) 可得y1 与y2 的函数图象的交点坐标为(20，30). 设y1＝k1x＋10，y2＝k2x＋20. 将点(20，30) 的坐标分别代入，得30＝20k1＋10， 30＝20k2＋20，解得k1＝1，k2＝. ∴ y1＝x＋10，y2＝x＋20. (3)当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为5 m ？ 解：由题意得y1－y2＝5 或y2－y1＝5. 当y1－y2＝5 时，x＋10－＝5，解得x＝30； 当y2－y1＝5 时，x＋20－(x＋10)＝5，解得x＝10. 答：当上升10 min 或30 min 时，两个气球的海拔竖直高度差为5 m. 2．[2023·宜昌]某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度. 小聪想用刻度不超过100 ℃的温度计测算出这种食用油的沸点温度. 在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔10 s 测量一次锅中油温，得到的数据记录如下： 时间t/s 0 10 20 30 40 油温y/℃ 10 30 50 70 90 (1)如图，小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点. 经老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中 油温y(单位：℃)与加热的时间t(单位：s) 符合初中学习过的某种函数关系，填空： 可能是________函数关系(请选填“正比 例”“一次” “二次”“反比例”)； 一次 (2)根据以上判断，求y 关于t 的函数解析式； 解：设这个一次函数的解析式为y＝kt＋b(k≠0). ∵当t＝0 时，y＝10；当t＝10 时，y＝30， ∴解得 ∴ y 关于t 的函数解析式为y＝2t＋10. (3)当加热110 s 时，油沸腾了，请推算这种食用油的沸点温度. 解：当t＝110 时，y＝2×110＋10＝230. ∴推算这种食用油的沸点温度为230℃ . 3．[2023·荆门]某文体商店计划购进一批同种型号的篮球和同种型号的排球，每一个排球的进价是每一个篮球的进价的90%，用3 600元购买排球的个数要比用3 600元购买篮球的个数多 10个. (1)问每一个篮球、排球的进价各是多少元？ 解：设每一个篮球的进价是x元，则每一个排球的进价是0.9x元. 依题意有＋10＝，解得 x＝40. 经检验，x＝40是方程的解，且符合题意. 0.9x＝0.9×40＝36. 答：每一个篮球的进价是 40元，每一个排球的进价是 36元. (2)该文体商店计划购进篮球和排球共100个，且排球个数不低于篮球个数的3倍，篮球的售价定为每一个100元，排球的售价定为每一个90元. 若该批篮球、排球都能卖完，问该文体商店应购进篮球、排球各多少个才能获得最大利润？最大利润是多少？ 解：设文体商店计划购进篮球m个，总利润y元，则y＝(100－40)m＋(90－36)(100－m)＝6m＋5 400. 依题意有解得 0<m≤25 且 m 为整数. ∵ y随m的增大而增大，∴ m＝25 时，y最大，这时y＝6×25＋5 400＝5 550. 100－25＝75(个). 答：该文体商店应购进篮球 25个、排球 75个才能获得最大利 润，最大利润是 5 550元. 4．一种弹簧秤最大能称 10 kg 的物体，不挂物体时弹簧的长为12 cm，每挂重1 kg 的物体，弹簧伸长0.5 cm，在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的函数关系式为( ) A. y＝12 －0.5x B. y＝12＋0.5x C. y＝10＋0.5x D. y＝0.5x B 5．[2023·贵州]今年“五一”假期，小星一家驾车前往黄果树旅游，在行驶过程中，汽车离黄果树景点的路程y(km)与所用时间x(h)之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是( ) A. 小星家离黄果树景点的路程为50 km B. 小星从家出发第1 小时的平均速度为75 km/h C. 小星从家出发2 h 后离景点的路程为125 km D. 小星从家到黄果树景点共用了3 h D 6．[2023·聊城]甲乙两地相距a千米，小亮8:00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地. 两人分别距甲地的距离y(千米)与两人行驶时刻t(×时×分)的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为( ) A. 8：28 B. 8：30 C. 8：32 D. 8：35 点拨：令小亮出发时对应的t 值为0，则小莹出发时对应的t 值为10，小亮到达乙地时对应的t 值为70，小莹到达甲地时对应的t 值为40.求出小亮对应函数图象的解析式为y1＝t，小莹对应函数图象的解析式为y2＝－t＋a. 令y1＝y2，得t＝－t＋ a，解得t＝28. 所以小亮与小莹相遇的时刻为8：28. 答案： A 7．[2023·威海]一辆汽车在行驶过程中，其行驶路程y(千米)与行驶时间x(时)之间的函数关系如图所示. 当0≤x≤0.5时，y与x 之间的函数解析式为y＝60x；当0.5≤x≤2时，y与x之间的函数解析式为____________. y＝80x－10 8．[2023·陕西]经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径(树的主干在地面以上1.3 m处的直径)越大，树就越高. 通过对某种树进行测量研究，发现这种树的树高y(m)是其胸径x(m)的一次函数. 已知这种树的胸径为0.2 m时，树高为20 m；这种树的胸径为0.28 m时，树高为22 m. (1)求y与x之间的函数解析式； 解：设y＝kx＋b(k≠0). 根据题意，得解得 ∴ y 与x 之间的函数解析式为y＝25x＋15. (2)当这种树的胸径为0.3 m时，其树高是多少？ 解：当x＝0.3 时，y＝25×0.3＋15＝22.5. ∴当这种树的胸径为0.3 m 时，其树高为22.5 m. 9．2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运动会在成都举行.“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买A，B 两种食材制作小吃. 已知购买1千克A种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元. (1)求A，B 两种食材的单价. 解：设A种食材的单价为x元/千克，B种食材的单价为y元/千克. 由题意得解得 答：A种食材的单价是每千克38元，B种食材的单价是每千克 30元. (2)该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B 两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用. 解：设购买A种食材的质量为m千克，总费用为w元，则购买B种食材的质量为(36－m)千克. 由题意得w＝38m＋30(36－m)＝8m＋1 080， ∵ m≥2(36－m)，∴ 24≤m﹤36. ∵ 8﹥0，∴w随m的增大而增大. ∴当m＝24 时，w 有最小值，最小值为8×24＋1 080＝1 272. 此时36－m＝36－24＝12. 答：A种食材购买24千克，B种食材购买12千克时，总费用最 少，为1 272元． 10．[2023·广元]某移动公司推出A，B 两种电话计费方式. 计费 方式 月使用费 /元 主叫限定 时间/min 主叫超时费/ (元/min) 被叫 A 78 200 0.25 免费 B 108 500 0.19 免费 (1)设一个月内用移动电话主叫时间为t min，根据上表，分别写出在不同时间范围内，方式A、方式B的计费金额关于t的函数解析式. 解：设方式A 的计费金额为y1元，方式B 的计费金额为y2元. 根据表格数据可知，当0≤t≤200 时，y1＝78； 当t﹥200 时，y1＝78＋0.25(t－200)＝0.25t＋28. 当0≤t≤500 时，y2＝108； 当t﹥500 时，y2＝108＋0.19(t－500)＝0.19t＋13. 综上，y1＝y2＝ (2)若你预计每月主叫时间为350 min，你将选择A，B哪种计费方式？并说明理由. 解：选择方式B. 理由如下： 当每月主叫时间为350 min 时， y1＝0.25×350＋28＝115.5，y2＝108. ∵ 115.5﹥108，∴选择方式B. (3)请你根据月主叫时间t的不同范围，直接写出最省钱的计费 方式. 解：当0≤t﹤320 时，方式A 更省钱； 当t＝320 时，方式A 和方式B 的计费金额相同； 当t﹥320 时，方式B 更省钱. 11．[新视角·方案设计题]某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用A，B两型客车(每种型号的客车至少租用一辆). A型车每辆租金500元，B型车每辆租金600元. 若5辆A型和2辆B 型车坐满后共载客310人；3辆A型和4辆B型车坐满后共载客340人. (1)每辆A型车、B型车坐满后各载客多少人？ 解：设每辆A型车坐满后载客x人，每辆B型车坐满后载客y人. 根据题意，得解得 答：每辆A 型车坐满后载客40人，每辆B 型车坐满后载客 55人. (2)若该校计划租用A型和B型两种客车共10 辆，总租金不高于 5 500元，并将全校420人载至目的地. 该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？ 解：设租用A 型车m 辆，则租用B 型车(10－m)辆. 由题意得 解得5≤m≤8. ∵ m是正整数，∴ m 可取5，6，7，8，共有4种方案. 设总租金为w元. 根据题意，得w＝500m＋600(10－m)＝－100m＋6 000. ∵－100﹤0，∴ w 随m 的增大而减小. ∴当m＝8 时，w 最小. 此时10－m＝2. 答：该校有4种租车方案. 租用A 型车8 辆，租用B型车2 辆最省钱. (3)在这次活动中，学校除租用A，B两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车.已知从学校到夏令营目的地的路程为300千米，甲车从学校出发0.5小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早0.5 小时到达目的地. 如图是两车 离开学校的路程s(千米)与甲车行驶的时 间t(小时)之间的函数图象. 根据图象信 息，求甲、乙两车第一次相遇后，t 为 何值时两车相距25千米. 解：设s甲＝kt，由题意知其图象经过点(4，300)，把该点坐标代入，得300＝4k，解得k＝75，∴s甲＝75t. 设s乙＝k't＋b，把点(0.5，0)，(3.5，300)的坐标代入， 得解得∴ s乙＝100t－50. ∵两车第一次相遇后，相距25千米， ∴ 100t－50－75t＝25 或300－75t＝25，解得t＝3 或t＝. 答：在甲、乙两车第一次相遇后，当t＝3或时，两车相距 25千米． $$第13课时 二次函数的图象与 性质 第三部分 函数 1．[2023·随州三模]已知二次函数y＝ax2＋bx－c(a≠0)，其中b﹥0，c﹥0，则该函数的图象可能为( ) C 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x 轴的一个交点位于(2，0)，(3，0)两点之间. 下列结论： ① 2a＋b > 0；② bc < 0；③ a <－c； ④ 若x1，x2为方程ax2＋bx＋c＝0 的两 个根，则－3 < x1·x2 < 0．其中正确的有( ). A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 点拨：∵图象开口向下，∴ a < 0；∵与y 轴交于正半轴， ∴ c > 0；∵对称轴x＝－＝1，∴ b＝－2a > 0，2a＋b＝0， 故① 2a＋b>0 错误. 易得bc>0，故② bc<0 错误. ∵抛物线与x轴的一个交点位于(2，0)，(3，0)两点之间，对称轴为直线x＝1，∴另一个交点在(－1，0)，(0，0)之间， ∴当x＝－1 时，y＝a－b＋c<0，∴ a－(－2a)＋c < 0， ∴ a<－c，故③ a<－c 正确. 由a<－c，a < 0，c > 0 知－3< <0， ∵ x1，x2为方程ax2＋bx＋c＝0 的两个根，∴ x1·x2＝. ∴ －3<x1·x2<0，故④ －3<x1·x2<0 正确. 答案： B 3．[2023·广西]将抛物线y＝x2 向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的抛物线是( ) A. y＝(x－3)2＋4 B. y＝(x＋3)2＋4 C. y＝(x＋3)2－4 D. y＝(x－3)2－4 A 4．[2023·南充]若点P(m，n) 在抛物线y＝ax2(a≠0)上，则下列各点在抛物线y＝a(x＋1)2 上的是( ) A. (m，n＋1) B. (m＋1，n) C. (m，n－1) D. (m－1，n) D 5．[2023·兰州]已知二次函数y＝－3(x－2)2－3，下列说法正确的是( ) A. 对称轴为直线x＝－2 B. 顶点坐标为(2，3) C. 函数的最大值是－3 D. 函数的最小值是－3 C 6．[2023·成都]如图，二次函数y＝ax2＋x－6的图象与x 轴交于A(－3，0)，B 两点，下列说法正确的是( ) A. 抛物线的对称轴为直线x＝1 B. 抛物线的顶点坐标为 C. A，B 两点之间的距离为5 D. 当x ﹤－1 时，y 的值随x 值的增大而增大 C 7．[2023·陕西]在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋mx＋ m2－m(m为常数)的图象经过点(0，6)，其对称轴在y轴左 侧，则该二次函数有( ) A. 最大值5 B. 最大值 C. 最小值5 D. 最小值 D 8．[2023·广东]如图，抛物线y＝ax2＋c 经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B 在y 轴上，则ac 的值为( ) A. －1 B. －2 C. －3 D. －4 点拨：连接AC，交y 轴于点D，如图所示. 当x＝0 时，y＝c，即OB＝c. ∵四边形OABC是正方形， ∴ AC＝OB＝2AD＝2OD＝c，AC ⊥ OB. ∴点A.∴ ＝a· ＋c，解得 ac＝－2. 答案： B 9．[2023·河北]已知二次函数y＝－x2＋m2x 和y＝x2－m2(m是常数)的图象与x 轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为( ) A. 2 B. m2 C. 4 D. 2m2 点拨：令y＝0，则－x2＋m2x＝0，x2－m2＝0，解得x＝0或 x＝m2 或x＝－m 或x＝m.不妨设m>0，∵(m，0)和(－m，0)关于原点对称，并且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，∴(m2，0)与原点关于点(m，0)对称.∴ 2m＝m2.∴ m＝2 或 m＝0(舍去).∴抛物线y＝－x2＋m2x 的对称轴为直线x＝＝2. ∵抛物线y＝x2－m2 的对称轴为直线x＝0，∴这两个函数图象的对称轴之间的距离为2. 答案： A 10．[2023·日照]在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx (a≠0)满足已知点(－3，m)，(2，n)，(4，t)在该抛物线上，则m，n，t 的大小关系为( ) A. t﹤n﹤m B. m﹤t﹤n C. n﹤t﹤m D. n﹤m﹤t 点拨：解不等式组，可得－3a<b<－a，且a>0， ∴ <－<. 由对称轴位置可知到对称轴的距离最近的是(2，n)， 其次是(4，t)，最远的是(－3，m)， ∴根据二次函数的增减性可得n < t < m. 答案： C 11．[2023·郴州]抛物线y＝x2－6x＋c与x轴只有一个交点，则 c＝__________. 9 12．一个二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点在y轴正半轴 上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是_______________________. y＝－x2＋1(答案不唯一) 13．[2023·福建]已知抛物线y＝ax2－2ax＋b(a﹥0) 经过A(2n＋ 3，y1)，B(n－1，y2)两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1﹤y2，则n 的取值范围是__________. －1< n <0 14．如图，抛物线y＝x2－6x＋5与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点D(2，m)在抛物线上，点E在直线BC上，若 ∠DEB＝2∠DCB，则点E 的坐标是________. 点拨：在y＝x2－6x＋5 中，当x＝0 时，y＝5，∴ C(0，5). 令y＝0，则有x2－6x＋5＝0，解得x1＝1，x2＝5， ∴ A(1，0)，B(5，0). 根据D在抛物线上，得m＝22－6×2＋5＝－3， ∴ D 点坐标为(2，－3). 设BC 所在直线的解析式为y＝kx＋b， ∵其过点C(0，5)，B(5，0)，∴解得 ∴ BC 所在直线的解析式为y＝－x＋5. 如图①，当点E 在线段BC上时，设E(a，－a＋5). ∵∠DEB ＝∠DCE＋∠CDE，∠DEB＝2∠DCB， ∴∠DCE＝ ∠CDE. ∴ CE＝ DE. ∵ E(a，－a＋5)，C(0，5)，D(2，－3)， ∴ ＝ ， 解得a＝，∴ －a＋5＝. ∴E点的坐标为. 在△ BDC 中，BD2＝(5－2)2＋32＝18，BC2＝52＋52＝50， DC2＝(5＋3)2＋22＝68， ∴ BD2＋BC2＝DC2. ∴ BD ⊥ BC. 如图②，在射线BC的反向延长线上取BE'＝BE， 则有△ DEE'为等腰三角形，DE＝DE' ， ∴∠ DEE' ＝ ∠DE'E. 又∵∠DEB＝2∠DCB，∴∠ DE'E＝2∠DCB. ∴E'为符合题意的点. 易知E' 的横坐标为5＋＝，纵坐标为－. 综上，E 点的坐标为或. 答案：或 15．[中考·广东]如图，抛物线y＝x2＋bx＋c(b，c是常数)的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A(1，0)，AB＝4，点P为线段AB上的动点，过点P 作PQ∥BC 交AC 于点Q. (1)求该抛物线的解析式； 解：∵抛物线y＝x2＋bx＋c(b，c是常数)与x轴交于A，B两 点，A(1，0)，AB＝4，∴ B(－ 3，0). ∴解得 ∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x － 3. (2)求△CPQ 面积的最大值，并求此时P 点坐标. 解：如图，过点Q 作QE ⊥ x 轴于点E，过点C 作CF ⊥ x 轴于点F. 设P(m，0)(－3﹤m﹤1)，则PA＝1－m. ∵ y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2 － 4， ∴顶点C(－ 1，－ 4). ∴ CF＝4. 又∵ B(－3，0)，∴ OB＝3. ∵ PQ∥BC，∴△PQA ∽△BCA. ∴＝，即＝. ∴ QE＝1－m. ∴ S△CPQ ＝ S△PCA －S△PQA＝AP·CF－AP·QE＝(1－m)·4－ (1－m)(1－m)＝－(m＋1)2＋2. ∵ －<0，－ 3 ≤ m ≤ 1， ∴当m＝－ 1 时， S△CPQ有最大值, 最大值为2. ∴△CPQ 面积的最大值为2，此时P 点坐标为(－ 1，0). 16．[新考法·性质辨析法]设二次函数y＝a(x－m)(x－m－k) (a﹥0，m，k是实数)，则( ) A. 当k＝2 时，函数y 的最小值为－a B. 当k＝2 时，函数y 的最小值为－2a C. 当k＝4 时，函数y 的最小值为－a D. 当k＝4 时，函数y 的最小值为－2a A 17．[新视角·集约判断题]如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数)关于直线x＝1 对称，下列五个结论： ① abc﹥0；② 2a＋b＝0； ③ 4a＋2b＋c﹥0； ④ am2＋bm﹥a＋b； ⑤ 3a＋c﹥0. 其中正确的有( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 B $$第9课时 函数的基础知识 第三部分 函数 1．[2023·黄石]函数y＝中，自变量x 的取值范围是( ) A. x≥0 B. x≠1 C. x﹥1 D. x≥0 且 x≠1 D 2．[2023·十堰四调]在平面直角坐标系中，若点A(a，－b)在第三象限，则点B(－ab，b)所在的象限是( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 A 3．[2022·宜昌]如图是一个教室的平面示意图，我们把小刚的座位“第1列第3排”记为(1，3). 若小丽的座位为(3，2)，以下四个座位中，与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是( ) A. (1，3) B. (3，4) C. (4，2) D. (2，4) C 4．[2022·随州]已知张强家、体育场、文具店在同一直线上，下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家.图中x表示时间，y表示张强离家的距离，则下列结论不正确的是( ) A. 张强从家到体育场用了15 min B. 体育场离文具店1.5 km C. 张强在文具店停留了20 min D. 张强从文具店回家用了35 min B 5．匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满. 在注水过程 中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示(图中OABC为一条折线). 这个容器的形状可能是( ) A 6．如图，长方体水池内有一个无盖圆柱形铁桶，现用水管往铁桶中持续匀速注水，直到长方体水池有水溢出一会儿为止. 设注水时间为t，y1(细实线)表示铁桶中水面高度，y2(粗实 线)表示水池中水面高度(铁桶高度低于水池高度，铁桶底面积小于水池底面积的一半，注水前铁桶和水池内均无水)，则y1，y2随时间t 变化的函数图象大致为( ) C 7．[2023·丽水]在平面直角坐标系中，点P(－1，m2＋1)位于 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 B 8．[2023·内江]函数y＝的自变量x 的取值范围在数轴上可表示为( ) D 9．[中考·天津]如图，△OAB 的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴. 若AB＝6，OA＝OB＝5，则点A 的坐标是( ) A. (5，4) B. (3，4) C. (5，3) D. (4，3) D 10．[2023·广元]向高为10的容器(形状如图)中注水，注满为 止，则水深h 与注水量v 的函数关系的大致图象是( ) D 11．已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍0.6 km，体育场离宿舍1.2 km，张强从宿舍出 发，先用了10 min 匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了 30 min，之后匀速步行了10 min 到文具店买笔，在文具店停留10 min 后，用了20 min 匀速散步返回宿舍. 如图x 表示时间，y 表示离宿舍的距离. 图象 反映了这个过程中张强离宿舍的 距离与时间之间的对应关系. 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 张强离开宿舍的时间/min 1 10 20 60 张强离宿舍的距离/km 1.2     ②填空：张强从体育场到文具店的速度为_______km/min； 0.12 1.2 0.6 0.06 ③当50≤x≤80 时，请直接写出张强离宿舍的距离y 关于时间x 的函数解析式； 解：y＝ (2)当张强离开体育场15 min 时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果李明的速度为0.06 km/min，那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少(直接写出结果即可)？ 解：所求距离是0.3 km. 点拨：当张强离开体育场15 min，即x＝40＋15＝55 时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍.当李明在回宿舍的途中遇到张强时，他俩离宿舍的距离是相等的，由此可得－0.03x＋2.4＝1.2－0.06(x－55)，解得x＝70.当x＝70 时，1.2－0.06×(70－55)＝0.3 (km). 因此他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是0.3 km. 12．[母题·教材八下P83习题T9]如图①，小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上. 小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家. 小亮离家距离y 与时间x 之间的关系如图②所示. 下列结论错误的是( ) A. 小亮从家到羽毛球馆用了7 min B. 小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75 m C. 报亭到小亮家的距离是400 m D. 小亮打羽毛球的时间是37 min D 13．[母题·教材八下P82习题T5(1)]函数y＝的自变量x 的取值范围是____________. x≥－2 且x≠1 $$第12课时 反比例函数 第三部分 函数 1．[2022· 武汉]已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在反比例函数y＝ 的图象上，且x1 ﹤0﹤ x2，则下列结论一定正确的是( ) A. y1＋y2 < 0 B. y1＋y2 > 0 C. y1 < y2 D. y1 > y2 C 2．[2023·潜江、天门、仙桃、江汉油田]在反比例函数y＝的图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1 < 0 < x2时，有y1< y2，则k 的取值范围是( ) A. k﹤0 B. k﹥0 C. k﹤4 D. k﹥4 C 3．已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系.下列反映电流I 与电阻R 之间函数关系的图象大致是( ) D 4．[2022·宜昌]已知经过闭合电路的电流I(单位：A)与电路的电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系. 根据下表判断a和b的大小关系为( ) A. a > b B. a≥b C. a < b D. a≤b I/A 5 … a … … … b … 1 R/Ω 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A 5．[2023·潜江、天门、仙桃、江汉油田]在平面直角坐标系xOy 中，若反比例函数y＝(k≠0)的图象经过点A(－1，－2)和点B(2，m)，则△ AOB的面积为________. 6．[2023·荆州]如图，点A(2，2)在双曲线y＝(x>0)上，将直线OA 向上平移若干个单位长度交y 轴于点B，交双曲线于点C. 若BC＝2，则点C 的坐标是________. 点拨：把点A(2，2)的坐标代入y＝(x>0)，可得2＝，解得 k＝4，∴反比例函数的解析式为 y＝(x>0). 如图，过点 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 E，过点 C 作 y 轴的垂线交 y 轴于点 D. ∵ A(2，2)，∴ AE＝OE. ∴∠ AOE＝45° . ∴∠ AOD＝90°－∠ AOE＝45° . ∵将直线 OA 向上平移若干个单位长度交 y 轴于点 B， ∴∠ CBD＝∠ AOD＝45° . 在Rt△CBD中，＝sin 45°＝. ∵ BC＝2，∴ CD＝BC＝，即点 C的横坐标为. 把 x＝代入 y＝(x > 0)，可得 y＝2，∴ C(，2). 答案： (，2) 7．[2023·恩施州]如图，在平面直角坐标系xOy 中，O为坐标原点，直线y＝x＋2 交y轴于点A，交x轴于点B，与双曲线y＝(k≠0)在第一、三象限分别交于C，D 两点，AB＝BC，连接CO，DO． (1)求k 的值； 解：对于函数y＝x＋2，当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝ －2，∴ A(0，2)，B(－2，0). ∴ OA＝2，OB＝2. 在Rt△OAB 中，OA＝OB＝2，∴ AB＝OA＝2. ∵ AB＝BC， ∴ BC＝2AB＝4. 设C(m，m＋2)(m>0)，则BC2＝(m＋2)2＋(m＋2)2＝(4)2，解得m＝2 或m＝－6(舍去). ∴ C(2，4). ∵点C 在双曲线y＝(k≠0)上，∴ 4＝，解得k＝8. (2)求△CDO的面积． 解：联立，得方程组解得或 ∴ D(－4，－2). ∴ S△CDO＝S△OAC＋S△OAD＝×2×2＋ ×2×4＝6. 8．[2023·云南]若点A(1，3)是反比例函数y＝(k≠0)图象上一 点，则常数k 的值为( ) A. 3 B. －3 C. D. － A 9．[2023·山西]若点A(－3，a)，B(－1，b)，C(2，c)都在反比例函数y＝(k﹤0)的图象上，则a，b，c的大小关系用“﹤”连接的结果为( ) A. b﹤a﹤c B. c﹤b﹤a C. a﹤b﹤c D. c﹤a﹤b D 10．[2023·金华]如图，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数 y＝的图象交于点A(2，3)，B(m，－2)，则不等式ax＋b﹥的解集是( ) A. －3﹤x﹤0 或x﹥2 B. x ﹤－3 或0﹤x﹤2 C. －2﹤x﹤0 或x﹥2 D. －3﹤x﹤0 或x﹥3 A 11．小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1 000 N和0.6 m，当动力臂由1.5 m 增加到2 m 时，撬动这块大石头可以节省_______N 的力. 100 12．[中考·呼和浩特]已知点(2a－1，y1)，(a，y2)在反比例函数 y＝(k﹥0)的图象上，若0﹤y1﹤y2，则a 的取值范围是_________. a﹥1 13．[2023·兰州]如图，反比例函数y＝(x<0)与一次函数y＝ －2x＋m 的图象交于点A(－1，4)，BC⊥y轴于点 D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点 B，C. (1)求反比例函数y＝与一次函数y＝－2x＋m的解析式； 解：∵反比例函数y＝ (x<0)的图象与一次函数y＝－2x＋m 的图象交于点A(－1，4)， ∴ k＝－1×4＝－4，4＝－2×(－1)＋m，则m＝2. ∴反比例函数的解析式为y＝－， 一次函数的解析式为y＝－2x＋2. (2)当OD＝1 时，求线段BC 的长. 解：∵ OD＝1，∴ D(0，1). ∴直线 BC 的解析式为y＝1. 当y＝1 时，1＝－，解得x＝－4，则B(－4，1)； 当y＝1 时，1＝－2x＋2，解得x＝，则C. ∴ BC＝－(－4)＝4 . 14．[新考法·性质辨析法]函数y＝的图象可以由函数y＝的图象左右平移得到. (1)将函数y＝的图象向右平移4个单位长度得到函数y＝的图象，则a＝_______. －4 (2)下列关于函数y＝的性质： ①图象关于点(－a，0)对称；② y 随x 的增大而减小； ③图象关于直线y＝－x＋a 对称；④ y 的取值范围为y≠0． 其中说法正确的是________(填序号). ①④ 点拨：①∵ y＝的图象可以看作是由y＝的图象向左平移a(a > 0)个单位长度得到的，而函数y＝的图象的对称中心为点(0，0)，∴将其对称中心向左平移a个单位长度，得到函数 y＝的图象的对称中心为(－a，0)，故①正确；②类比反比例函数图象，可得x≠－a，故函数图象不是连续的，在直线x＝－a 两侧，y 随x 的增大而减小，故②错误； ③∵ y＝的图象关于直线y＝－x 对称，同①可得直线y＝－x 向左平移a个单位长度得到直线y＝－(x＋a)＝－x－a，∴函数 y＝的图象关于直线y＝－x－a对称，故③错误； ④∵平移后图象的对称中心为点(－a，0)，左右平移图象后，函数y＝的图象与x 轴没有交点，∴ y 的取值范围为y≠0，故④正确. 15．[新考法·分类讨论法]一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y＝的图象(如图)交于A(m，1)，B(－2，n)两点. (1)求一次函数的解析式，并在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象； 解：∵ A(m，1)，B(－2，n)在反比例函数y＝的图象上， ∴ 1＝，n＝，解得m＝4，n＝－2. ∴A(4，1)，B(－2，－2). 将A，B两点的坐标代入y＝kx＋b，得解得∴一次函数的解析式 为y＝ x－1. y＝ x－1 的图象如图所示. (2)观察图象，直接写出不等式kx＋b< 的解集； 解：由图象可知，不等式kx＋b < 的解集为x<－2 或 0 < x <4. (3)设直线AB 与x 轴交于点C，若P(0，a)为y 轴上的一动点，连接AP，CP，当△APC 的面积为时，求点P 的坐标. 解：设直线 AB与y轴交于点D， 对于y＝x－1，当x＝0 时，y＝－1； 当y＝0 时，x＝2， ∴ C(2，0)，D(0，－1). 如图，当点P 在y 轴正半轴上时： 易知PD＝a＋1，∴ S△APC＝S△APD－S△PCD＝×(a＋1)×4－×(a＋1)×2＝，解得a＝. ∴ P. 如图，当点P 在y 轴负半轴上时： 易知PD＝|－1－a|， ∴ S△APC＝S△APD－S△PCD＝× |－1－a|×4－×|－1－a|×2＝， 解得a＝－或a＝(不合题意，合去). ∴ P. 综上，P或P. $$