8.2.2 组合（教学设计）-【中职专用】高二数学同步精品课堂（高教版2023修订版·拓展模块一下册）

8.2.2 组合 一、教学内容解析 本节内容是中职数学高教版拓展模块一下册的“8.2.2 组合”部分。组合是数学中排列组合的重要内容之一，主要研究从若干个不同元素中取出部分元素组成一组的方法和规律。本节内容通过实际问题引入组合的概念，探讨组合与排列的区别，并系统地介绍了组合数的定义、公式以及组合数的性质。通过具体的例题和练习，帮助学生掌握组合的基本知识和应用方法，为后续学习概率统计等知识奠定基础。 二、教学目标设置 知识与技能目标 理解组合的定义，掌握从n个不同元素中取出m个元素的组合数公式。 能够运用组合数公式解决简单的实际问题，如从若干元素中选取部分元素的组合问题。 掌握组合数的性质，并能够运用这些性质进行简单的组合数计算。 过程与方法目标 通过列举法和公式法解决组合问题，培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。 引导学生通过对比排列与组合的区别，理解组合的本质特征，即与元素顺序无关。 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的数学应用意识。 情感、态度与价值观目标 通过学习组合知识，让学生感受到数学在实际生活中的广泛应用，增强数学应用意识。 激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的数学思维和科学精神。 三、教学重难点设置 重点：组合的定义和组合数公式的理解和应用。 排列与组合的区别，尤其是“元素顺序”的重要性。 组合数的性质及其应用。 难点： 组合数公式的推导和理解，尤其是如何从排列数公式过渡到组合数公式。 在实际问题中正确判断是排列问题还是组合问题，并选择合适的方法解决问题。 组合数性质的证明和灵活运用，如组合数的对称性等。 四、学生学情分析 学生在之前的学习中已经接触过排列的概念和公式，对排列的基本思想和方法有一定的了解，但对组合的概念和区别可能还不够清晰。学生对数学公式的理解和应用能力存在差异，部分学生可能对组合数公式的推导和记忆感到困难。学生需要通过大量的实例和练习来巩固对组合知识的理解和应用。学生需要教师的引导和帮助，特别是对组合数公式的推导和组合数性质的证明，需要教师详细讲解和逐步引导。 五、教学过程设计 教学环节 解学内容 师生互动 设计意图 第一环节：导入环节 提出问题：“从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？” 变式：从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，有多少种不同的选法? 我们可以列举出所有可能的组合： 甲乙、甲丙、乙丙 通过列举，我们可以看到总共有3种不同的选法. 问题改写：3 个不同元素中取出2个元素,按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？ 变式改写：从3个不同元素取出2个元素合成一组，一共有多少个不同的组？ 观察这两个问题的区别？ 这两个问题的主要区别在于是否考虑元素的顺序. 教师活动： 提出问题：“从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？” 引导学生思考问题，鼓励学生尝试列举所有可能的选法。 通过问题的变式（不考虑上午和下午的顺序），引出组合的概念，强调组合与排列的区别。 学生活动： 思考并尝试列举所有可能的选法。 在教师引导下，对比两种情况，初步理解组合与排列的区别。 通过实际问题引入新知识，激发学生的学习兴趣，使学生感受到组合知识在实际生活中的应用。 引导学生通过对比排列和组合的区别，初步理解组合的本质特征，为后续学习奠定基础。 第二环节：新课讲解环节 给出组合的定义：“从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素组成一组，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。” 从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素的所有组合的个数， 称为从 n 个不同元素中取出m个元素的组合数， 用符号C"表示. 思考：“从n个不同元素中取出m个元素的组合”与“从n个不同元素中取出m个元素的排列”的联系与区别分别是什么？ 联系：两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素. 区别：排列与元素的顺序有关， 组合与元素的顺序无关. 例如: Ab与bA是两个不同的排列，但却是同一个组合. 判断下列“事情”是否为组合： 1.从5本不同的书中选出3本送给朋友. （ ） 2.安排4名同学在4个不同的座位上就坐. （ ） 3.从10名学生中选出2名学生担任班级干部. （ ） 4.用数字1、2、3组成没有重复数字的三位数. （ ） 5.从6道不同的题目中选出4道组成一份试卷. （ ） 一般地，从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素的所有组合的个数，称为从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. 你能求从4个不同元素中取出3个元素的组合数吗? 第1步，从4个元素中取出3个元素作为一组，共有种不同的取法； 第2步，将取出的3个元素作全排列，共有种不同的排法. 于是，根据分步乘法计数原理，有 . 按照这种思路，请尝试研究、之间的数量关系． 第1步，从n个不同元素中取出m个元素作为一组，共有种不同的取法； 第2步，将取出的m个元素作全排列，共有种不同的排法. 根据分步乘法计数原理，有、即. 从n个不同元素中任取m个元素的组合数 . 公式称为组合数公式，其中m,n∈N* ，且m≤n ． 由于， ，因此，组合数的公式也可以写作 另外， 规定=1. 观察例2的（1）与（2）的结果，你有什么发现？ 发现：= ；= 得到：= 观察例2的（3）的结果，你有什么发现？ 发现：= 得到：= 教师活动： 给出组合的定义：“从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素组成一组，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。” 强调组合与元素顺序无关的特点，并通过具体例子（如“Ab与bA是同一个组合”）进行说明。 引导学生判断一些实际问题是否属于组合问题，如“从5本不同的书中选出3本送给朋友”等。 学生活动： 记录组合的定义，理解组合与元素顺序无关的特点。 在教师引导下，判断一些实际问题是否属于组合问题，并说明理由。 明确组合的定义，帮助学生准确理解组合的概念。 通过判断实际问题是否属于组合问题，加深学生对组合概念的理解和应用能力。 第三环节：例题讲解环节 例1.在一次汽车展销会上，某人欲从某新能源汽车公司A、B、C、D共4种不同产品中选购3种．试分析选购方案与产品顺序的关系，列出所有可能的选购方案？ 分析：从A、B、C、D共4种不同的产品中选购3种的方案与所选产品的排列顺序无关，每一种方案对应一个组合． 解 从A、B、C、D共4种不同的产品中选购3 种的方案为 ABC, ABD, ACD, BCD. 例2.计算． （1） 与 ；（2）与  ；（3） 与 ． 解：（1） （2）    （3） 例3.计算 由性质2得， 由性质1，得 例4.“八大菜系”，即鲁菜、川菜、粤菜、苏菜、闽菜、浙菜、湘菜、徽菜.某学校中餐烹饪专业为传承传统美食、弘扬工匠精神，计划举办“八大菜系” 厨艺大赛． （1）从8个菜系中选出3个菜系作为比赛项目，有多少种选法？ （2）从8个菜系中选出3个菜系作为比赛项目，且川菜系必选，有多少种选法？   分析：（1）从8个菜系中选了个菜系的选法个数，等于从8 个不同的元素中取3个元素的组合数． （2）如果川菜系必选，等于从除了川菜系以外的7个菜系中再取2个菜系的组合数． 解：（1）从 8个菜系中选出3个菜系作为比赛项目，不同的选法共有（种） （2）从 8个菜系中选出3个菜系作为比赛项目，且川菜必选，不同的选法共有（种） 有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29 十个质数． 例5.（1）从中任取两个数求它们的积，可以得到多少个不同的结果？ （2）从中任取两个数求它们的商，可以得到多少个不同的结果？   分析：（1）求得的积与选出来的两个数的顺序无关，相当于求从10个不同元素中选出2个元素的组合数； （2）商的结果与选出来的两个数谁是被除数、谁是除数有关，即与顺序有关，相当于求从10个不同的元素中选出2个元素的排列数． 解：（1）从以上10个质数中任取2个求它们的积，可以得到不同的数的个数为（个） （2）从以上10个质数中任取2个求它们的商，可以得到不同的数的个数为（个） 教师活动： 通过具体的例题讲解组合的应用。 引导学生分析问题，明确问题属于组合问题，并列出所有可能的组合。 引入组合数公式，讲解如何使用公式计算组合数。 通过例题2、例题3等，进一步讲解组合数的性质及其应用。 学生活动： 在教师引导下，分析例题，尝试列出所有可能的组合。 学习组合数公式，理解公式的推导过程。 通过例题，掌握组合数的性质及其应用。 · 通过具体的例题，帮助学生理解组合的应用方法，掌握组合数的计算。 · · 引导学生发现组合数的性质，培养学生的观察和归纳能力。 · 第四环节：课堂练习环节 1. 从正五边形 ABCDE的5个顶点中任取3个顶点，可以确定多少个三角形？请你一一列举出来． 10个三角形 它们分别是： ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE. 2. 计算． （1）；（2） ； （3） + ； （4）3 -2  ． 解：（1）；（2） ； （3） + ； （4）3 -2 63−10=53． 3. 为提升学生综合素质，促进学生全面发展，某校设立了12个社团．如果每位学生从中任选2个社团加入，那么每位学生有多少种不同的选择方法？ 4. 在某次国际物流与供应链博览会上，有14 个展区的项目负责人在筹备会中交流商谈． （1）若他们每两人之间互赠一张名片,则共赠出多少张名片？ （2）若他们每两人互相握手一次，则共握多少次手？ 5. “职业生涯规划”是某校“文明风采”活动之一，某年级经过初选有 9件优秀作品． （1）从9件作品中挑选4件参加学校活动，有多少种选法？  （2）从9件作品中挑选4件参加学校活动，且有两件作品必选，有多少种选法？ 1. 2. 教师活动： 3. 出示课堂练习题，如“从8个菜系中选出3个菜系作为比赛项目”等。 4. 巡视课堂，观察学生的解题情况，及时给予指导和帮助。 5. 针对学生在练习中出现的共性问题，进行集中讲解和纠正。 6. 学生活动： 7. 独立完成课堂练习题，尝试运用组合数公式和性质解决问题。 8. 在教师的指导下，纠正自己的错误，加深对组合知识的理解。 通过课堂练习，巩固学生对组合知识的理解和应用能力。 及时发现和解决学生在学习过程中遇到的问题，提高教学效果。 第五环节：课堂小结环节 一般地，从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素的所有组合的个数， 称为从 n 个不同元素中取出m个元素的组合数， 用符号C"表示. 从n个不同元素中任取m个元素的组合数 . 公式称为组合数公式，其中m,n∈N* ，且m≤n ． 由于， ，因此，组合数的公式也可以写作 规定=1. = = 教师活动： 引导学生回顾本节课所学内容，包括组合的定义、组合数公式、组合数的性质等。 强调组合与排列的区别，以及组合在实际问题中的应用。 鼓励学生总结学习方法和解题技巧。 学生活动： 在教师引导下，回顾本节课所学内容，总结重点知识。 分享自己的学习心得和解题经验。 · 帮助学生梳理本节课所学知识，加深对知识的理解和记忆。 · · 通过学生的总结和分享，培养学生的自主学习能力和合作学习能力。 · 第六环节：作业布置环节 1.基础作业：记忆公式与完成《学习指导与练习》； 2.中等作业：复习组合数的性质的证明过程; 3.拓展作业：预习8.2.3内容，探究排列组合的应用. 教师活动： 布置作业。 强调作业要求，提醒学生按时完成作业。 学生活动： 记录作业内容，明确作业要求。 按时完成作业，巩固所学知识。 · 通过分层作业，满足不同层次学生的学习需求，提高学生的学习积极性。 · · 巩固学生对组合知识的理解和应用能力，为后续学习做好准备。 · 六、教学反思 采用了问题引入、讲解示范、实例分析、课堂练习等多种教学方法，注重启发式教学，引导学生自主思考和解决问题。通过具体的实例和实际问题，激发了学生的学习兴趣，使学生能够更好地理解组合知识在实际生活中的应用。 学生在课堂上表现较为积极，尤其是在新知引入环节和课堂练习环节，参与度较高。通过小组讨论和个别提问，学生能够主动表达自己的想法，课堂氛围活跃。但在组合数性质的证明环节，部分学生显得有些被动，需要教师更多的引导和启发。 8 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$