精品解析：湖南省2023-2024学年跨地区中等专业学校“百校联考”数学试题（高二）

湖南省2023—2024年跨地区中等专业学校“百校联考” 数学（高二） 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页．时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10道小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 已知集合，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合交集的概念和运算，即可求解. 【详解】因为集合，，， 所以. 故选：C. 2. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质逐项判断即可得解. 【详解】当，时，没有意义，故选项错误； 当时，，故选项错误； 因为，则，故选项正确； 当，时，，，故选项错误； 故选：. 3. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】由得或，则“”不是“”成立的充分条件； 另一方面，由得，则“”是“”成立的必要条件； 所以“”是“”成立的必要不充分条件. 故选：B. 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由一元二次不等式解法直接求解即可. 【详解】不等式，即， 解得， 所以的解集是. 故选：A 5. 下列函数中，属于奇函数且在上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义及单调性的定义逐项分析即可得解. 【详解】选项，定义域为，，所以不是奇函数，不符合题意； 选项，在上单调递减，不符合题意； 选项，定义域为，，所以不是奇函数，不符合题意； 选项，定义域为，，为奇函数，且在上单调递增，符合题意； 故选：. 6. 下列关于向量的说法中，正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 若，则向量是单位向量 C. 若，则向量与的方向相同 D. 若，则或 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的基本概念逐项判断即可得解. 【详解】A，零向量的方向为任意方向，故选项错误； B，模长为的向量为单位向量，则若，则向量是单位向量，故选项正确； C，当时，如果都是非零向量，则向量与的方向相同或相反，故选项错误； D，，只能说明与的模相等，但方向不能确定，不能得出或，故错误； 故选：. 7. 函数的最大值和最小正周期分别为（ ） A. 3； B. 3； C. 6； D. 6； 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦函数的最值及最小正周期公式即可得解. 【详解】因为，所以， 所以函数的最大值为， 函数的最小正周期为， 故选：. 8. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的准线方程为 ，即可求得抛物线的准线方程． 【详解】由题知 ， 所以抛物线的准线方程为. 故选：C 9. 已知为两条不重合的直线，为两个不重合的平面，能判断直线平行的是（ ） A. ，， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与直线的位置关系，线面平行的性质及线面垂直的性质逐项判断即可得解. 【详解】A，，，，则直线可能平行，也可能异面，故错误； B，，，则直线可能平行，也可能异面，故错误； C，，，则直线可能平行，相交或异面，故错误； D，，，则直线平行，故正确， 故选：. 10. 若复数表示纯虚数，则实数m的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据纯虚数的定义即可得解. 【详解】复数表示纯虚数, 则，解得， 故选：. 二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分） 11. 投掷一枚1至6点的骰子，出现奇数点的概率是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据古典概型公式即可得解. 【详解】投掷一枚1至6点的骰子，共有种结果，即点，点，点，点，点，点， 其中奇数点有种结果，即点，点，点， 所以奇数点的概率， 故答案为：. 12. 若，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据同角三角函数基本关系式即可得解. 【详解】因为，，则， 故答案为：. 13. 复数的模是______． 【答案】 【解析】 【分析】代入复数模的公式即可得解. 【详解】复数的模是， 故答案为：. 14. 若圆锥的底面半径是，母线长是2，则圆锥的侧面积是______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意，结合圆锥的侧面积公式，即可求解. 【详解】因为圆锥的底面半径是，母线长是2， 所以圆锥的侧面积. 故答案为：4. 15. 点P是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，则周长是______． 【答案】16 【解析】 【分析】根据题意，结合椭圆的方程，先求出a和c的值，根据椭圆的定义，即可求解. 【详解】因为椭圆方程为， 所以， 所以， 因为点P是椭圆上一点， 所以， 所以周长为. 故答案为：16. 三、解答题（本大题共6小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知函数（，）的图像经过点．求： （1）a的值及函数定义域； （2）不等式的解集． 【答案】（1），定义域为. （2）. 【解析】 【分析】（）将点代入函数中即可求出值，利用真数大于零列出不等式即可得解. （）根据对数函数的单调性解不等式即可得解. 【小问1详解】 函数（，）的图像经过点， 则，所以， 所以函数，， 综上所述，，定义域为. 【小问2详解】 函数定义域内为增函数， ， 所以，解得， 所以解集为. 17. 在中，角所对的边分别为，且，，．求： （1）的值； （2）的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合余弦定理，代入即可求解； （2）根据题意，结合同角三角函数的平方关系、三角函数在各象限的符号、正弦的二倍角公式，即可求解. 【小问1详解】 因为在中，，，， 所以； 【小问2详解】 由（1）知， 又， 所以， 所以. 18. 抛物线 的图像经过点． （1）求抛物线F的方程； （2）若圆C以抛物线F的焦点为圆心，且与直线相切，求圆C的一般式方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，将已知点代入抛物线方程，即可求出p的值，继而求出抛物线方程； （2）根据题意，先求出抛物线焦点坐标，结合点到直线的距离公式求出圆的半径，即可求出圆的标准方程，结合圆的标准方程和一般式方程的转化，即可求解. 【小问1详解】 因为抛物线 的图像经过点， 所以，解得， 所以抛物线F的方程为； 【小问2详解】 由（1）知抛物线F的方程为， 所以焦点坐标为， 即圆C的圆心坐标为， 又圆C与直线相切， 所以圆心到直线的距离， 所以圆C的半径也是1， 所以圆C的标准方程为,化为一般式方程是. 19. 如图所示，在长方体中，，，. （1）求证：直线平面； （2）求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合线面平行的判定定理，即可证明结论成立； （2）根据题意，结合线面垂直的性质定理及线面角的定义，即可求解. 【小问1详解】 因为在长方体中，， 又平面，平面， 所以直线平面； 【小问2详解】 因为在长方体中，平面， 所以是直线与平面所成角， 因为平面，平面，所以， 在中，，， 所以，所以. 即直线与平面所成角是. 20. 已知向量，．求： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据平面向量内积的坐标表示即可得解. （）利用模长公式求出与，代入夹角公式即可得解. 【小问1详解】 向量，， 则. 【小问2详解】 ， 因为向量的夹角范围为，所以. 21. 已知双曲线的焦距为4，离心率． （1）求双曲线C的标准方程； （2）经过双曲线C右焦点且倾斜角为的直线l与双曲线C相交于两点，求的值． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合双曲线的焦距和离心率，即可求出a和c的值，继而求出的值，即可求解； （2）根据题意，先求出焦点坐标和直线的斜率，结合点斜式方程求出直线的方程，与双曲线方程联立方程组，结合韦达定理和弦长公式，即可求解. 【小问1详解】 因为双曲线的焦距为4， 所以， 又离心率，即， 所以， 所以， 所以双曲线C的标准方程为； 【小问2详解】 由（1）知， 所以双曲线C的右焦点为， 又直线l的倾斜角为，所以直线l的斜率， 所以直线l的方程为， 所以，消元化简得， 设，则， 所以弦长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省2023—2024年跨地区中等专业学校“百校联考” 数学（高二） 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页．时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10道小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 已知集合，，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，属于奇函数且在上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列关于向量的说法中，正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 若，则向量是单位向量 C. 若，则向量与的方向相同 D. 若，则或 7. 函数的最大值和最小正周期分别为（ ） A. 3； B. 3； C. 6； D. 6； 8. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知为两条不重合的直线，为两个不重合的平面，能判断直线平行的是（ ） A. ，， B. ， C. ， D. ， 10. 若复数表示纯虚数，则实数m的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分） 11. 投掷一枚1至6点的骰子，出现奇数点的概率是_____． 12. 若，，则______． 13. 复数的模是______． 14. 若圆锥的底面半径是，母线长是2，则圆锥的侧面积是______． 15. 点P是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，则周长是______． 三、解答题（本大题共6小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知函数（，）的图像经过点．求： （1）a的值及函数定义域； （2）不等式的解集． 17. 在中，角所对的边分别为，且，，．求： （1）的值； （2）的值． 18. 抛物线 的图像经过点． （1）求抛物线F的方程； （2）若圆C以抛物线F的焦点为圆心，且与直线相切，求圆C的一般式方程． 19. 如图所示，在长方体中，，，. （1）求证：直线平面； （2）求直线与平面所成角的大小. 20. 已知向量，．求： （1）； （2）． 21. 已知双曲线的焦距为4，离心率． （1）求双曲线C的标准方程； （2）经过双曲线C右焦点且倾斜角为的直线l与双曲线C相交于两点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $