微专题二 常考的四大相似模型-【中考必备】2025年教与学数学课件PPT（广东专版）

2025 教与学 中考必备 数 学 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 第一部分 微专题拓展 微专题二　常考的四大相似模型 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 目 录 CONTENTS 01 模型一 02 模型二 03 模型三 04 模型四 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 模型一　A　字　型 图示 特征 正A字（平行） 反A字（斜交） 反A字（共边共角） 反A字（燕尾型） 条件 DE∥BC ∠ADE=∠ACB ∠ABE=∠ACB ∠ABE=∠ACD 结论 △ADE∽△ABC， == △ABC∽△AED， AD·AB=AE·AC △ABE∽△ACB， AB2=AE·AC △ADC∽△AEB， AD·AB=AE·AC 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 例1. （教材改编）如图W-2-1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠A=60°，∠ADE=50°，∠B=70°. 求证：△ADE∽△ACB. 图W-2-1 证明：∵∠A=60°，∠ADE=50°， ∴∠AED=180°-∠A-∠ADE=70°. ∵∠B=70°，∴∠AED=∠B. 又∵∠DAE=∠CAB，∴△ADE∽△ACB. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 1. 如图W-2-2，在△ABC中，∠C>∠B，AB=12，AC=9，D是AC上一点，且AD=6.若AB上有一点E，使以A，D，E三点为顶点的三角形与△ABC相似，求AE的长. 图W-2-2 . . ∴AE=8； . . 或8. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 2. （教材改编）如图W-2-3，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BA·BD=BC·BE. （1）求证：△BDE∽△BCA； 图W-2-3 . ∵∠B=∠B，∴△BDE∽△BCA. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （2）如果AE=AC，求证：AC2=AD·AB. . ∵∠B=∠B，∴△BCD∽△BAE. ∴∠BCD=∠BAE. ∵AE=AC，∴∠AEC=∠ACE. ∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠ACE=∠ACD+∠BCD， ∴∠B=∠ACD. ∵∠BAC=∠CAD，∴△ACB∽△ADC. .∴AC2=AD·AB. 图W-2-3 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 模型二　8　字　型 图示 特征 正8字 斜8字（蝴蝶型） 三平行型 双垂直型 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 条件 AB∥CD ∠A=∠D （或∠B=∠C） AB∥CD∥EF 在△ABC中， BE⊥AC，CD⊥AB 结论 △AOB∽△COD， AO·DO=BO·CO △AOB∽△DOC， AO·CO=BO·DO △DEF∽△DAB， △BEF∽△BCD， += ⇒ AD·AB=AE·AC； ⇒ OB·OE=OC·OD 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 例2.（教材改编）如图W-2-4，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O. 求证：△DOC∽∠BOA. 图W-2-4 证明：∵AB∥CD， ∴∠ABO=∠CDO. 又∵∠DOC=∠BOA， ∴△DOC∽△BOA. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 3. 如图W-2-5，在▱ABCD中，AB=4，AD=9，E是AD上的一点，AE=2DE.延长BE交CD的延长线于点F，求DF的长. 　图W-2-5 . ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CF. ∴∠A=∠EDF，∠ABE=∠F. ==. ∵AB=4，∴DF=AB=×4=2. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 4. 如图W-2-6，AB∥EF∥DC，AB=20，DC=80. （1）求EF的长； 图W-2-6 . . =1. . ∴EF=16. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （2）求证：+=. （2）证明：如答图W-2-1，作AH⊥BC于点H，EM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N. ∴AH∥EM∥DN. ， . 答图W-2-1 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 模型三　旋　转　型（手拉手模型） 图示 ⇒ ⇒ ⇒ 特征 AD在△ABC内且拉手线无交点 AD在△ABC外且拉手线无交点 AD在△ABC外且拉手线有交点 条件 在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，将△ADE绕点A逆时针旋转 结论 △ADE∽△ABC，△ADB∽△AEC 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 图示 ⇒ 特征 公共角为直角的手拉手，旋转角相等，夹边成比例 条件 在△ABC中，∠BAC=90°，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，将△ADE绕点A逆时针旋转 结论 ①△ADE∽△ABC，△ADB∽△AEC； ②BD⊥CE； ③连接BE，CD，BE2+CD2=BC2+DE2 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 例3. 如图W-2-7①，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE，将△ADE绕点A逆时针旋转到图W-2-7②的位置，连接BD，CE. 求证：△ABD∽△ACE. 　图W-2-7 证明：∵D，E分别是边AB，AC的中点， ∴DE∥BC. . . 由旋转的性质，得∠BAD=∠CAE， ∴△ABD∽△ACE. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 5. 如图W-2-8，在△ABC中，AC=2AB，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，连接BD，CE. （1）求证：△ADB∽△AEC； 图W-2-8 （1）证明：由旋转的性质，得 AE=AC，AD=AB，∠CAE=∠BAD. . ∴△ADB∽△AEC. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （2）若S△ACE=8，求S△ABD的值. =2. 由（1）知△ADB∽△AEC， =4. ∵S△ACE=8，∴S△ABD=2. 图W-2-8 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 6. 如图W-2-9①，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°，直线BD和直线CE交于点F. （1）线段BD与CE具有怎样的数量关系？写出证明过程； 图W-2-9 CE. 证明如下： ∵∠ACB=∠AED=90°，AC=BC，AE=DE， . ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE. CE. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （2）若AC=BC=3，AE=DE=，将△ADE绕着点A在平面内旋转，当点D落在线段AC上时，在图W-2-9②中补全图形，并求CF的长度. （2）当点D落在线段AC上时，如答图W-2-2. AE=2，CD=AC-AD=3-2=1. . ， ∴△BAD∽△CAE. ∴∠ABD=∠ACE. . . 答图W-2-2 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 模型四　K　字　型（一线三等角） 图示 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 特征 两个三角形在直线同侧（同侧型） 两个三角形在直线异侧（异侧型） 条件 点P在线段AB上，∠1=∠2=∠3 点P在BA的延长线上，∠1=∠2=∠3 （∠1，∠2居两边，∠3跨中间） 结论 △CAP∽△PBD △CAP∽△PBD 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 常见的一线三等角 图示 特征 等腰三角形 底上的一线 三等角 等腰梯形底上 的一线三等角 矩形中的一线 三等角 一次函数中的 一线三等角 反比例函数中 的一线三等角 二次函数中的 一线三等角 条件 ∠B=∠DFE= ∠C ∠B=∠EGF= ∠C ∠A=∠CEF= ∠D ∠AOB=∠ABC= ∠BDC ∠BDO=∠AOB= ∠ACO ∠ACO=∠AEB= ∠BDE 结论 △BFD∽△CEF △BEG∽△CGF △EAF∽△CDE △AOB∽△BDC △BOD∽△OAC △ACE∽△EDB 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 例4.如图W-2-10，在△ABC中，AB=AC，P，D分别是边BC，AC上的点，且∠APD=∠B. （1）求证：△ABP∽△PCD； 　图W-2-10 （1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C. ∵∠APC=∠B+∠BAP， ∴∠APD+∠CPD=∠B+∠BAP. ∵∠APD=∠B，∴∠CPD=∠BAP. 又∵∠B=∠C，∴△ABP∽△PCD. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长. . . . 　图W-2-10 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 7. 【体验】 （1）如图W-2-11①，点P在直线BC上，AB∥CD，∠ABP=90°，当∠APD=90°时，求证：△ABP∽△PCD； （1）证明：∵∠APD=90°，∴∠APB+∠CPD=90°. ∵∠ABP=90°，∴∠APB+∠BAP=90°. ∴∠BAP=∠CPD. ∵AB∥CD，∠ABP=90°， ∴∠PCD=∠ABP=90°. ∴△ABP∽△PCD. 图W-2-11 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 【探究】 （2）如图W-2-11②，点P在直线BC上，当∠1=∠2=∠3时，求证：△ABP∽△PCD； （2）证明：∵∠2=∠APB+∠A，∠3=∠APB+∠CPD，∠2=∠3， ∴∠APB+∠A=∠APB+∠CPD. ∴∠A=∠CPD. ∵∠1=∠2，∴180°-∠1=180°-∠2，即∠PCD=∠ABP. ∴△ABP∽△PCD. 图W-2-11 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 【拓展】 （3）如图W-2-11③，在△ABC中，P是边BC的中点，点D，E分别在边AB，AC上. 若∠B=∠C=∠DPE=45°，BC=8，CE=6，求DE的长. （3）解：∵∠CPD=∠B+∠BDP=∠DPE+∠CPE，∠B=∠DPE，∴∠BDP=∠CPE. . 图W-2-11 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 . . ∵∠B=∠C=45°，∴∠A=180°-∠B-∠C=90°，即AC⊥AB，且AC=AB=8. ，AE=AC-CE=8-6=2. . 图W-2-11 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 谢 谢 ! 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 $$