第21课时 圆的有关概念及性质-【中考必备】2025年教与学数学课件PPT（广东专版）

2025 教与学 中考必备 数 学 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 第一部分 知识梳理 第六章　圆 第21课时　圆的有关概念及性质 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 目 录 CONTENTS 01 课前循环练 02 课标要求 03 考点梳理 04 广东中考 05 高分击破 06 中考演练 07 命题趋势 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 课前循环练 （限时5分钟） 1. （广东真题）计算的结果是-1的式子是 （ ） A. - B. （-1）0 C. -（-1） D. 1-1 2. （广东真题）将4个红球、3个白球、2个黑球放入一个不透明的袋子里，从中摸出8个球，恰好红球、白球、黑球都摸到，这件事情 （ ） A. 可能发生 B. 不可能发生 C. 很可能发生 D. 必然发生 A D 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 3. （广东真题）在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=2AC，则cos A的值等于 （ ） A. B. C. D. C 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 4. （广东真题）如图6-21-1，在△ABC中，M，N分别是AB，AC的中点，且∠A+∠B=120°，则∠ANM=　 .  图6-21-1 60°　 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 5. （广东真题）如图6-21-2，已知AB是☉O的直径，BC为弦，∠ABC=30°. 过圆心O作OD⊥BC交☉O于点D，连接DC，则∠DCB=　 　.   图6-21-2 30° 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ①理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念. ②探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧. ③探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧（或等弧）所对的圆周角相等. 了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补. 课标要求 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 对接教材 人教：九上第二十四章　圆 北师：九下第三章　圆 　 考点梳理 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 考点复习 1.圆 平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.其中，定点称为　 　，定长称为　 　  圆心 半径 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 广东省对应考点例题 例1. 下列条件中，能确定一个圆的是 （ ） A.以点O为圆心 B.以2 cm长为半径 C.以点O为圆心，5 cm长为半径 D.经过点A C 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 2.圆的对称性 （1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条　 的直线，有 　 　条对称轴.  （2）圆是中心对称图形，对称中心为　 　  过圆心　 无数 圆心 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 例2. 下列说法中，不正确的是 （ ） A.圆是轴对称图形，有无数条对称轴 B.圆是中心对称图形，有无数个对称中心 C. 圆的任意一条直径所在直线都是圆的对称轴 D.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 3.与圆有关的概念 （1）弧：圆上任意　 　的部分叫做圆弧，简称弧.  （2）弦：连接圆上任意两点的　 　叫做弦.  （3）直径：经过　 　的弦叫做直径.  （4）圆心角：顶点在　 　的角叫做圆心角.  （5）圆周角：顶点在　 　，两边分别与圆还有另一个交点.像这样的角，叫做圆周角  两点间 线段 圆心 圆心 圆上 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 例3. 下列命题：①圆上任意两点间的部分叫弧；②圆心角相等则它们所对的弧相等；③在同一个圆中，直径是最长的弦；④直径是圆的对称轴；⑤顶点在圆上的角是圆周角；⑥顶点在圆心的角是圆心角. 其中正确的有 （ ） A. ①③⑤ B. ②④⑥ C. ①③⑥ D. ②③⑤ C 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 4.圆心角、弧、弦之间的关系 （1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧　 　，所对的弦 　 　.  （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别　 　  相等 相等 相等 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 例4. 如图6-21-3，AB，CD是☉O的两条弦，OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F.如果AB=CD，那么下列结论中错误的是 （ ） A. = B.∠AOB=∠COD C. OE=OF D.∠AOC=∠BOD 图6-21-3 D 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 5.垂径定理及其推论 （1）垂径定理：垂直于弦的直径　 　这条弦，并且　 　弦所对的弧.  （2）推论：①平分弦（不是直径）的直径　 　于弦，并且　 　弦所对的弧；  ②弦的垂直平分线经过　 　，并且平分弦所对的两条弧；  ③平分弦所对的一条弧的直径　 弦，并且　 　弦所对的另一条弧  平分 平分 垂直 平分 圆心 垂直平分　 平分 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 例5. 如图6-21-4，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB=8，AE=1，则弦CD的长是 （ ） A. B. 2 C. 6　 D. 8 图6-21-4 B 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 6.圆周角定理及其推论 （1）圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的______ 　 　.  （2）推论：①同弧或等弧所对的圆周角　 　；  ②半圆（或直径）所对的圆周角是　 　，90°的圆周角所对的弦是　 　；  ③圆内接四边形的对角　 　  一半 相等 直角 直径 互补 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 例6. 如图6-21-5，四边形ABCD内接于☉O，E为DC延长线上一点，BF为☉O的直径，连接DF，DB，∠FBD=40°，则∠BCE的度数为 （ ） A. 40° B. 50° C. 60° D. 130° 图6-21-5 B 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 广东中考 1. （2023·广东题9，3分，圆周角定理的推论）如图6-21-6，AB是☉O的直径，∠BAC=50°，则∠D= （ ） A. 20° B. 40° C. 50° D. 80° 图6-21-6 B 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 2. （2021·广东题7，3分，圆周角定理的推论；角平分线的性质；解直角三角形）如图6-21-7，AB是☉O的直径，C为圆上一点，AC=3，∠ABC的平分线交AC于点D，CD=1，则☉O的直径为 （ ） A. B. 2 C. 1 D. 2 图6-21-7 B 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 3. （2022·广东题22，12分，圆周角定理的推论；等腰直角三角形；勾股定理）如图6-21-8，四边形ABCD内接于☉O，AC为☉O的直径，∠ADB=∠CDB. （1）试判断△ABC的形状，并给出证明； 图6-21-8 解：（1）△ABC是等腰直角三角形. 证明如下： ∵AC为☉O的直径，∴∠ADC=∠ABC=90°. ∵∠ADB=∠CDB，∴. ∴AB=BC. 又∵∠ABC=90°，∴△ABC是等腰直角三角形. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （2）若AB=，AD=1，求CD的长度. （2）在Rt△ABC中，BC=AB= =2. 在Rt△ADC中，AD=1，AC=2， ∴CD=. 图6-21-8 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 高分击破 【典型考点】圆内接四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；圆周角定理 得分点分析 1. （2022·广东改编，综合探究）如图6-21-9①，已知四边形ABCD内接于☉O，AC为☉O的直径，∠BAC=∠ADB. ···································································· 图6-21-9 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （1）试说明△ABC的形状； 解：（1）∵AC为☉O的直径， ∴∠ABC=90°. ·····························1分（利用“直径所对的圆周角是直角”得1分） ∵∠ADB=∠ACB，∠BAC=∠ADB， 2分（利用“同弧所对的圆周角相等”得1分） ∴∠BAC=∠ACB.∴AB=BC. ··················3分（利用等量代换，等角对等边得1分） ∴△ABC是等腰直角三角形. ··············4分（利用等腰直角三角形的判定得1分） 图6-21-9 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （2）若AB=，AD=. ①求CD的长； （2）①∵AC为☉O的直径，∴∠ADC=∠ABC=90°. ················································5分（利用圆周角定理的推论得1分） ∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC=AB=. ·······································6分（利用等腰直角三角形的性质得1分） ∴AC===2. ······························7分（利用勾股定理求出AC的长得1分） 在Rt△ADC中，AD=，AC=2， ∴CD===3. ·······································8分（利用勾股定理求出CD的长得1分） 图6-21-9 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ②将△ABD沿BD所在的直线折叠（如图6-21-9②），得到△A'BD，连接A'C，求∠BA'C的度数. ②在Rt△ADC中，AC=2，AD=，∴cos∠DAC===. ∴∠DAC=60°. ·····················9分（利用锐角三角函数求出∠DAC的度数得1分） 在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=∠BAC=45°， ∴∠ADB=∠ACB=∠BAC=∠BDC=45°. 图6-21-9 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ∴折叠后，点A的对应点A'恰好落在DC上. ·······10分（确定点A'的位置得1分） ∵∠BAD=∠BAC+∠DAC=45°+60°=105°， ····························11分（求出∠BAD的度数得1分） ∴∠BA'D=∠BAD=105°. ···································12分（利用折叠的性质得1分） ∴∠BA'C=180°-∠BA'D=180°-105°=75°. ····························13分（求出∠BA'C的度数得1分） 图6-21-9 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 温馨提示：此类考题常见于广东省中考数学试卷的第22题，分值一般为13分，答题时要注意书写格式，分步书写，慢做会求全对，评卷老师是分步给分的哦！ 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 【典型错例】无图题考察圆周角的应用时没有分类讨论导致漏解 2. 已知☉O是△ABC的外接圆，过顶点A，B分别作☉O的切线，它们交于点P，若∠APB=50°，求∠ACB的度数. 解：如答图6-21-1，连接OA，OB，则OA⊥AP，OB⊥BP. ∴∠AOB+∠APB=180°. ∵∠APB=50°，∴∠AOB=130°. ①当△ABC是锐角三角形时，此时点C位于优弧ACB上. ∴∠ACB=∠AOB=65°； 答图6-21-1 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ②当△ABC'是钝角三角形时，此时点C'位于劣弧AC'B上. ∴∠AC'B=180°-∠ACB=115°. 综上所述，∠ACB的度数是65°或115°. 答图6-21-1 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 错解分析 错解：如图6-21-10，连接OA，OB，则OA⊥AP，OB⊥BP. ∴∠AOB+∠APB=180°. ∴∠AOB=180°-∠APB=130°. ∴∠ACB=∠AOB=65°. 剖析：本题并没有给出图形而需要自己画出图形，在考虑画图时，△ABC可以画成锐角三角形，也可以画成钝角三角形，而错解恰恰是漏了钝角三角形这种情况. 图6-21-10 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 【生长式训练】知识生长→变式创新 3. （中考创新，原创题）如图6-21-11，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，连接AD，AG，CG. 知识种子：基本概念 （1）①若=，∠BAD=30°，则∠BAG=　 ， ∠AGC=　 ；  ②比较大小：AD　 　AG+CG；（填“>”“<”或“=”）  图6-21-11 60°　 120°　 < 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 种子生长：垂径定理 （2）若AE=CD，BE=2，求☉O的半径； 解：如答图6-21-2，连接OD. 设☉O的半径为r，则OD=r，AB=2r. ∵AE=CD，BE=2，∴OE=r-2，CD=AE=2r-2. ∵直径AB⊥CD，∴DE=CD=r-1. 在Rt△DOE中，由勾股定理，得OD2=OE2+DE2， 即r2=（r-2）2+（r-1）2. 解得r1=5，r2=1（不合题意，舍去）. ∴☉O的半径为5. 答图6-21-2 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 生长变式：图形变式 （3）如图6-21-12，在（2）的条件下，延长AG，DC交于点F，连接DG.若G是AF的中点，求AG的长； 　图6-21-12 解：如答图6-21-3，连接BG. ∵AB是☉O的直径，∴∠AGB=90°.∴∠B+∠BAG=90°. ∵AB⊥CD，∴∠AEF=90°.∴∠F+∠BAG=90°.∴∠B=∠F. ∵∠ADG=∠B，∴∠ADG=∠F. 又∵∠DAG=∠FAD，∴△ADG∽△AFD. ∴，即AD2=AG·AF. 　答图6-21-3 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ∵☉O的半径为5，AE=CD，BE=2，∴AE=8，DE=4. 在Rt△ADE中，由勾股定理，得AD2=DE2+AE2=42+82=80. ∴AG·AF=80. ∵G是AF的中点，∴AF=2AG. ∴AG·2AG=80，即AG2=40.解得AG=2（负值已舍去）. ∴AG的长为2. 　答图6-21-3 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 种子成树：综合创新 （4）若（3）中G是上一动点，求AG·CG的最大值. 解： 如答图6-21-4，连接AC，过点C作CH⊥AF于点H. 在Rt△ADE中，DE=4，AE=8，∴AD=. ∴sin∠ADE=. ∵四边形ADCG内接于☉O，∴∠ADE+∠AGC=180°. 又∵∠CGH+∠AGC=180°，∴∠CGH=∠ADE. 答图6-21-4 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ∴sin∠CGH=CG. ∴S△AGC=AG·CG. ∴当△AGC的面积最大时，AG·CG的值最大. ∵G是的中点时，△AGC的面积最大. 答图6-21-4 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 如答图6-21-5，当G为的中点时，连接OG交AC于点P，则OG⊥AC，AP=CP. ∵AB⊥CD，CE=DE，∴AC=AD=4. 在Rt△APO中，OA=5，AP=2. ∴PG=OG-OP=5-. ∴S△AGC=-10. ∴. ∴AG·CG的最大值为50-10. 答图6-21-5 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 中考演练 （限时15分钟） 一、选择题 1. （2024·湖南）如图6-21-13，AB，AC为☉O的两条弦，连接OB，OC.若∠A=45°，则∠BOC的度数为 （ ） A. 60° B. 75° C. 90° D. 135° 图6-21-13 C 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 2. （2024·长沙）如图6-21-14，在☉O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE=4，则☉O的半径长为 （ ） A. 4 B. 4 C. 5 D. 5 图6-21-14 B 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 3. （2024·西藏）如图6-21-15，AC为☉O的直径，点B，D在☉O上，∠ABD=60°，CD=2，则AD的长为 （ ） A. 2　　　 B. 2　　 C. 2　　 D. 4 图6-21-15 C 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 4. （2024·广元）如图6-21-16，已知四边形ABCD是☉O的内接四边形，E为AD延长线上一点，∠AOC=128°，则∠CDE等于 （ ） A. 64° B. 60° C. 54° D. 52° 图6-21-16 A 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 5. （2024·通辽）如图6-21-17，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心.若AB=1 m，CD=2.5 m，则拱门所在圆的半径为 （ ） A. 1.25 m B. 1.3 m C. 1.4 m D. 1.45 m 图6-21-17 B 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 二、填空题 6. （2024·苏州）如图6-21-18，△ABC是☉O的内接三角形，若∠OBC=28°，则∠A=　 　°.   图6-21-18 62 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 7. （2024·巴中）如图6-21-19，四边形ABCD为☉O的内接四边形. 若四边形ABCO为菱形，则∠ADC的大小为　 　.   图6-21-19 60° 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 8. （2024·牡丹江）如图6-21-20，在☉O中，直径AB⊥CD于点E，CD=6，BE=1，则弦AC的长为　 　.   图6-21-20 3 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 三、解答题 9. （2024·安徽）如图6-21-21，☉O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB于点E，交☉O于另一点F，FA=FE. （1）求证：CD⊥AB； （1）证明：∵FA=FE，∴∠FAE=∠FEA. ∵∠FAE=∠FCB，∠FEA=∠CEB，∴∠FCB=∠CEB. ∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE. ∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°，即∠ACE+∠FCB=90°. ∴∠DCE+∠CEB=90°.∴∠CDE=90°.∴CD⊥AB. 图6-21-21 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （2）作FM⊥AB，垂足为M，若OM=OE=1，求AC的长. （2）解：∵OM=OE=1，∴ME=OM+OE=2. ∵FA=FE，FM⊥AB，∴MA=ME=2. ∴OB=OA=MA+OM=3.∴BE=OB-OE=2. 由（1）知∠FCB=∠CEB，∴BC=BE=2. 在Rt△ABC中，BC=2，AB=OA+OB=6， ∴AC=. 图6-21-21 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 10. （2024·浙江）如图6-21-22，在圆内接四边形ABCD中，AD<AC，∠ADC<∠BAD，延长AD至点E，使AE=AC，延长BA至点F，连接EF，使∠AFE=∠ADC. （1）若∠AFE=60°，CD为直径，求∠ABD的度数； 图6-21-22 （1）解：∵CD为直径， ∴∠CAD=90°. ∵∠ADC=∠AFE=60°， ∴∠ACD=90°-∠ADC=30°. ∴∠ABD=∠ACD=30°. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （2）求证：①EF∥BC； （2）证明：①∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠ADC+∠ABC=180°. ∵∠AFE=∠ADC，∴∠AFE+∠ABC=180°.∴EF∥BC. 图6-21-22 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ②EF=BD. ②如答图6-21-6，过点D作DP∥EF交AF于点P，则∠BPD=∠AFE. ∵∠AFE=∠ADC，∴∠BPD=∠ADC. 又∵∠ABD=∠ACD，∴△BDP∽△CAD.∴. ∵DP∥EF，∴△ADP∽△AEF. ∴. 又∵AE=AC，∴EF=BD. 答图6-21-6 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 命题趋势 （ 限时 5 分钟） （教材改编）如图6-21-23，△ABC内接于☉O，连接AO并延长交BC于点D，且AD⊥BC于点D. 【知识技能】（1）如图6-21-23①，求证：∠B=∠C； 图6-21-23 （1）证明：∵AD⊥BC，AD过圆心O， ∴BD=CD.∴AB=AC.∴∠B=∠C. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 【数学理解】（2）如图6-21-23②，点E在上，连接AE，CE，∠ACE=∠ACB，求证：∠CAE=2∠ACE； （2）证明：如答图6-21-7，连接BE. ∵∠ACE=∠ACB， 设∠ACE=α，则∠ACB=3α. ∴∠ABE=∠ACE=α，∠ABC=∠ACB=3α. ∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=3α-α=2α. ∴∠CAE=∠CBE=2α. ∴∠CAE=2∠ACE. 答图6-21-7 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 【拓展探索】（3）如图6-21-23③，在（2）的条件下，过点A作AF⊥CE交CE的延长线于点F，若AE=5，AB=13，求AF的长. （3）解：如答图6-21-8，过点E作EG⊥AC于点G， 在CG上截取GH=AG，连接HE，则HE=AE=5. ∴∠AHE=∠CAE=2α. ∴∠CEH=∠AHE-∠ACE=2α-α=α. ∴∠ACE=∠CEH.∴CH=HE=5. ∵AC=AB=13，∴AH=AC-CH=13-5=8. ∴AG=GH=AH=4.∴CG=GH+CH=4+5=9. 答图6-21-8 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 在Rt△AEG中，EG==3. 在Rt△CEG中，CE=. ∵S△ACE=CE·AF， ∴AF=. 答图6-21-8 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 命题解读：根据最新课程标准和近三年广东中考命题动向，预测2025年广东中考命题方向可能注重考查圆的基本概念、性质和定理，如圆的对称性、圆周角定理、垂径定理等；强调与三角形、四边形等几何图形的综合运用，可能涉及三角形的相似、三角函数等知识；还可能会考查综合探究类题型，通过变换图形位置或构造特殊图形综合考查. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 谢 谢 ! 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 $$