第十八章 平行四边形 单元测试题2024-2025学年人教版八年级数学下册

八年级数学下册人教版第十八章《平行四边形》单元测试题 一、单选题 1．下列命题中正确的是 A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是等腰梯形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形 C．对角线互相平分且相等的四边形是正方形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 2．如图，在菱形中，，，为对角线的中点，过点作，垂足为．则下列说法错误的是（    ） A．点为菱形的对称中心 B． C．为等边三角形 D． 3．［传统文化］如图①所示的七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形组成的．如图②所示的是一个用七巧板拼成的装饰图，装饰图中的三角形顶点分别在矩形的边上，三角形的边在矩形的边上，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．如图，的周长是，对角线与交于点，，的周长比的周长多是的中点，则的长度为（    ） A． B． C． D． 5．如图，正方形的周长为24，点，，分别为，，上任意一点，，分别为，的中点，连接，则线段的最小值为（   ） A．2 B． C． D．3 6．如图，在平行四边形中，过点作的垂线交对角线于点，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在菱形中，，则菱形的边长是（   ） A．5 B．10 C．6 D．8 8．如图，在中，，以，为边作正方形，点落在上．记正方形的面积为，的面积为，设，．若，则下列代数式的值不变的是（   ）． A． B． C． D． 9．（教村母题变式）如图，边长为6的正方形的中心与正方形的顶点E重合，且与边分别相交于点，图中阴影部分的面积记为，两条线段的长度之和记为，将正方形绕点逆时针转动适当角度，则有（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 10．如图，先将正方形对折，折痕为，再沿折叠，使点C落在折痕上，记为点F，连接，已知正方形边长为2，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 11．如图，在菱形中，，的垂直平分线交于点，点为垂足，连接，则（   ）      A． B． C． D． 二、填空题 12．如图，在中，，，的平分线交的延长线于点，交于点，则 ． 13．将矩形纸片按如图所示的方式折叠，得到菱形（折叠后点都落在的中点处）．若，则的长为 ． 14．如图，矩形中，，点在射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长是 ． 15．如图，在正方形中，，点是线段上一点，且，点是正方形边上一动点，运动路线为，速度为每秒，运动时间为，是等腰三角形，则的值为 ． 16．图①是一种矩形钟表，图②是钟表示意图，钟表数字2的刻度在矩形的对角线上，钟表中心在矩形对角线的交点上．若，则的长为 ． 17．如图，在中，，，，分别是边，的中点，若，则的长度是 ． 18．如图，在中，，于点，，是斜边的中点，则的度数为 ． 19．如图，在中，，是边上中线，E是上一点，且．若，则的长为 ． 三、解答题 20．如图，四边形是矩形，为的中点，连接，将沿折叠使得点落在矩形内部的点处，连接．若，求的面积． 21．如图，长方形中，为上一点，将沿翻折至与相交于点，且与相交于点． (1)求证：； (2)求的长． 22．已知，如图，在中，，．分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线分别交，于点，，过点作交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)连接，当的面积为时，直接写出的长． 23．如图，已知四边形是正方形，为对角线上一动点，连接，过点作，交射线于点，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)连接，求证：． 24．我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 【概念理解】 （1）我们已经学习了平行四边形，菱形，矩形和正方形，在这四种图形中一定是垂美四边形的是_______； 【性质探究】 （2）如图①，已知四边形是垂美四边形，请探究两组对边与之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图②，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，已知，求． 25．如图，在平行四边形中，平分，交于点E，点F是线段上一点，连接，点G是线段上一点，连接，交于点N． (1)如图1，若，，求的面积； (2)如图2，点H是线段的中点，连接，若，求证：； (3)如图3，若，，，，将绕着点A旋转，得到．连接．点O是线段的中点，连接．请直接写出线段长度的最小值． 26．如图，取一张矩形纸进行折叠，具体操作过程如下： (1)【操作发现】 操作一：对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展开； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展开，连接，，． 根据以上操作，当点在上时： ①则图1中_____°； ②若，，则_____． (2)【迁移探究】 如果将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接．如图2，当点在上时，_____°，_____； (3)【拓展应用】 如图3，改变点在上的位置（点不与点，重合），正方形的边长仍为，仍然按（1）中的方式操作，延长交于点，连接，当时，请直接写出的长_____． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1-10 DBDCD CADBC 12． 13． 14．或 15．或或 16． 17．/ 18． 19．2 20．解：如图，连接，交于点． 将沿折叠得到， ，垂直平分． 为的中点， ， ． ， ， ， ． 由题可知， 在中，由勾股定理，得 ， ． 21．（1）证明：四边形是长方形， ． 由翻折的性质可知． 在和中， ， ， ． （2）解：， ． ， ． 设， 则， ． 在中，根据勾股定理，得， ， 解得：， ． 22．（1）解：四边形是菱形． 理由：由作图方法可知：垂直平分， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为， ∴，即， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴    即， ∴． 23．（1）证明：如答图，过点作于点，于点， 则． 是正方形对角线上的点， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形； （2）证明：如答图，连接， 由题意，知， 由（1）知，四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ． 24．解：（1）∵菱形，正方形的对角线互相垂直 ∴菱形，正方形是垂美四边形； （2）四边形是垂美四边形， ， ． 由勾股定理，得， ， ； （3）如答图，连接，设交于点． ， ， 即． 在和中， ， ． ， ． ， ， ， 四边形是垂美四边形． 由（2）可知． ， 由勾股定理，得， ． 25．（1）解：作，如图所示，    ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：延长，交的延长线于点M，    ∵在中，， ∴，， ∵点H是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴； （3）解：取的中点K，连接，，则，即的最小值为，    ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 设，过点G作于点P，则和是直角三角形， ∵在中，， ∴， ∴， ， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵，即， 解得：， 即， 过点G作于点Q，则和是直角三角形， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴，即， ∵在中，，即， ∴， ∴， ∴由旋转可得， ∵点O是的中点，点K是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴在中，，，， 过点C作于点H，则和是直角三角形， ∵在中，， ∴， ∴， ， ∵点K是的中点， ∴， ∴， ∴在中，， ∴的最小值为． 26．（1）解：①对折矩形，使与重合，得到折痕，沿折叠，使点落在矩形内部点处， 如图1，取的中点，连接， 为等边三角形， 故答案为：30； ②， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）四边形是正方形， 由折叠性质得：， 同法（1）可得：， 在中，， 根据勾股定理：， ， 即， 解得(负值舍去)， 在中，， 根据勾股定理：，即， 故答案为：； （3）解：当点在点的下方时，如图3.1， ， 由(2)可知，， 设， 即， 解得， 当点在点的上方时，如图3.2， 由(2)可知，， 设， 即， 解得， 综上所述，或． 故答案为：或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$