精品解析：安徽省安庆市2024-2025学年上学期期末调研九年级数学试题

安庆市2024－2025上学期期末调研 九年级数学（沪科版） （试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答答卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知与成反比例，当时，，那么当时，的值为（ ） A. B. C. D. 3. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，则的长度是（ ） A. B. C. D. 4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则下列选项正确的是（　　） A. sinA＝ B. cosA＝ C. cosB＝ D. tanB＝ 5. 如图，内接于，，，则半径为（ ） A. B. C. D. 5 6. 如图，点是内一点，点在线段的延长线上，与交于点，分别连接，，，若，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的高．若，，则的面积为（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 8. 已知二次函数，则下列表述正确的是（ ） A. 若，抛物线的开口向下 B. 当时，随的增大而增大 C. 图象与轴一定有两个交点 D. 图象与轴的交点坐标为 9. 如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，等边三角形的边长为，的半径为，为边上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 抛物线的对称轴是直线，则b的值为______． 12. 小红沿坡比为的斜坡上走了100米，则她实际上升了______米． 13. 如图，是的内切圆，若，则的度数为________°． 14. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，OABC的两个顶点A，B分别在反比例函数，的图象上，顶点C在x轴的正半轴上，已知OABC的面积为8． （1）______； （2）延长OA交反比例函数的图象于点D，连接BD，则△ABD的面积=______． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请按要求画图． （1）以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得，画出； （2）以为位似中心，画一个，使它与的位似比为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知抛物线． （1）求证：不论为何实数，这个抛物线与轴总有两个交点； （2）如果有一交点坐标为，求的值． 18. 如图为一圆弧形钢梁，该钢梁的拱高为，跨径为． （1）用尺规作出该圆弧所在圆的圆心； （2）求这钢梁圆弧的半径长． 五、（本大还共2小顾，每小题10分，满分20分） 19. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4.4米，当太阳光线与地面的夹角为时． （1）求遮阳棚边缘点A到墙体的距离； （2）求阴影的长． （结果精确到米．参考数据：，，） 20. 已知：如图，在中，点，分别在，上，，点在边上，，与相交于点． （1）求证：． （2）当点为的中点时，求证：． 六、（本题满分12分） 21. 如图．是的直径，点是的中点，连接，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 七、（本题满分12分） 22. 有一座横截面由矩形和抛物线构成的拱桥，抛物线上方是路面，拋物线下方是水面，如图，并建立平面直角坐标系．已知水面宽是；当水面上升时．水面宽减少了． （1）求该抛物线的表达式； （2）一艘横截面为矩形的货船，最宽处为，露出水面的高度为，该货船能否正常通过这座拱桥？请说明理由． 23. 如图，是正方形边上一个动点E（不与重合），是延长线上一点，且，连接． （1）求证：为等腰直角三角形． （2）过点作的垂线，与直线分别交于两点，记交于点． ①当，求线段的长． ②设的面积记作的面积记作，用含的代数式表示． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安庆市2024－2025上学期期末调研 九年级数学（沪科版） （试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答答卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形及中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形及中心对称图形的概念是解题的关键． 据轴对称图形：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与原图形重合；由此问题可求解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，但是轴对称图形，故不符合题意； B、不是轴对称图形但是中心对称图形，故不符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：C． 2. 已知与成反比例，当时，，那么当时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的知识，解题的关键是根据题意，设反比例函数的解析式为，把，代入解析式求出，再把代入解析式，即可求出． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 把，代入解析式， ∴， ∴反比例函数的解析式为：， 当时，， 解得：． 故选：B． 3. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，理解并掌握黄金分割点的定义是解题关键．线段上一点把线段分成两段，其中较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么这个点就是这条线段的黄金分割点．根据，即可作答． 【详解】解：∵P为的黄金分割点， ∴． 故选：A． 4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则下列选项正确的是（　　） A. sinA＝ B. cosA＝ C. cosB＝ D. tanB＝ 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义求出sinA，cosA，cosB和tanB即可． 【详解】解： 由勾股定理得：， 所以，，，， 即只有选项B正确，选项A、选项C、选项D都错误． 故选：B． 【点睛】本题主要是考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，熟练掌握每个锐角三角函数的定义，是求解该类问题的关键． 5. 如图，内接于，，，则半径为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，勾股定理，连接常用的辅助线是解题关键．连接，由圆周角定理可求出，再结合勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， 解得：（舍去负值）， ∴半径为． 故选：C． 6. 如图，点是内一点，点在线段的延长线上，与交于点，分别连接，，，若，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键； 利用相似三角形的判定与性质解答，即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 选项A，B，C条件不足，不能证明， 故选：D． 7. 如图，是的高．若，，则的面积为（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，三角形的面积，根据已知易得，从而可得，再根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴的面积， 故选：B． 8. 已知二次函数，则下列表述正确的是（ ） A. 若，抛物线的开口向下 B. 当时，随的增大而增大 C. 图象与轴一定有两个交点 D. 图象与轴的交点坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的图象和性质．利用二次函数的性质对A、B选项进行判断；由于不能确定抛物线的开口方向，所以不能确定抛物线与轴的交点情况，于是可对C选项进行判断；通过计算自变量为0对应的函数值可对D选项进行判断． 【详解】解：对于， A、当，即时，抛物线的开口向下，所以A选项不符合题意； B、当，即，则时，随的增大而增大，所以B选项不符合题意； C、抛物线的顶点坐标为，当时，抛物线开口向上，此时抛物线与轴没有公共点，，所以C选项不符合题意； D、当时，，则抛物线与轴的交点坐标为，所以D选项符合题意． 故选：D． 9. 如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质是解答的关键．设，，利用勾股定理求得，，再证明得到，再利用角平分线的性质和三角形的面积得到即可求解． 【详解】解：∵， 设，， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴点F到、的距离相等，又点A到、的距离相等， ∴，即， 故选：A． 10. 如图，等边三角形的边长为，的半径为，为边上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接、，过点作于，由三线合一可求出的长，再利用勾股定理可求出的长，根据切线的性质得到，利用勾股定理可求出的长，然后根据垂线段最短即可得解． 【详解】解：如图，连接、，过点作于， ， 是等边三角形，且， ， ， 是的切线， ， ， ， 当取得最小值时，取得最小值， 根据垂线段最短可知，当时，最小，取得最小值，此时， 的最小值为：， 故选：． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，三线合一，勾股定理，切线的性质，垂线段最短等知识点，熟练掌握切线的性质及垂线段最短是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 抛物线的对称轴是直线，则b的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴公式即可求解． 【详解】解：的对称轴是直线，， ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线的对称轴是直线是解题的关键． 12. 小红沿坡比为的斜坡上走了100米，则她实际上升了______米． 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，此题关键是用同一未知数表示出上升高度和水平前进距离.根据题意设铅直距离为x，则水平距离为，根据勾股定理求出x的值，即可得到结果． 【详解】解：设垂直距离为x米，则水平距离为米， 根据题意得：， 解得：（负值舍去）， ∴她实际上升了50米， 故答案为：50 13. 如图，是的内切圆，若，则的度数为________°． 【答案】120 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，掌握三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点是解题的关键． 根据三角形内角和定理得，根据三角形的内心得，根据三角形内角和定理计算即得． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵是的内切圆， ∴平分， ∴， ∴． 故答案为：120． 14. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，OABC的两个顶点A，B分别在反比例函数，的图象上，顶点C在x轴的正半轴上，已知OABC的面积为8． （1）______； （2）延长OA交反比例函数的图象于点D，连接BD，则△ABD的面积=______． 【答案】 ①. 9 ②. 8 【解析】 【分析】（1）设点 则 ，根据平行四边形面积列出 ，解得： 即可； （2）根据反比例函数系数的几何意义以及相似三角形的性质得出 ，再根据三角形、平行四边形的面积公式进行计算即可. 【详解】解：(1)设点 则 ， 的面积为8. 解得： ， 故答案为：9； (2)如图，过点 作 轴，垂足为 过 点 作 轴，垂足为， 交 于点 ， 由(1)可知两个反比例函数解析式为： 和 ， . 故答案为：8. 【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握反比例函数系数的几何意义，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质以及三角形、平行四边形的面积的计算方法是正确解答的关键. 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解： ． 16. 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请按要求画图． （1）以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得，画出； （2）以为位似中心，画一个，使它与的位似比为． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图-位似变换，旋转变换，熟练掌握画位似图形的一般步骤是解题的关键． （1）利用网格特点和旋转的性质画出点的对应点即可； （2）延长到点使，延长到点使，连接，则满足条件． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知抛物线． （1）求证：不论为何实数，这个抛物线与轴总有两个交点； （2）如果有一交点坐标为，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明判别式即可判断； （2）把代入即可求得的值． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴不论为何实数，这个抛物线与轴总有两个交点； 【小问2详解】 把代入抛物线得：， 解得：． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，以及抛物线与轴的交点，当时，函数图像与轴有个交点，当时函数图像与轴只有个交点,即顶点在轴上，当时函数图像与轴没有交点． 18. 如图为一圆弧形钢梁，该钢梁的拱高为，跨径为． （1）用尺规作出该圆弧所在圆的圆心； （2）求这钢梁圆弧的半径长． 【答案】（1）图见详解 （2）这钢梁圆弧的半径长为 【解析】 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）在上取一点E，连接，作线段，的垂直平分线交于点O，点O即为所求； （2）设，的垂直平分线交于点C，交于点D．利用勾股定理构建方程求解． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求； 【小问2详解】 解：设，的垂直平分线交于点C，交于点D． ， ， ∵， ∴， 在中，则有， 解得， ∴这钢梁圆弧的半径长为． 五、（本大还共2小顾，每小题10分，满分20分） 19. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4.4米，当太阳光线与地面的夹角为时． （1）求遮阳棚边缘点A到墙体的距离； （2）求阴影的长． （结果精确到米．参考数据：，，） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度． （1）过作于，在中，根据余弦定义求出即可； （2）过作于，在中，根据余弦定义求出，根据矩形的判定与性质可得米，（米），而，知米，故，计算即可． 【小问1详解】 解：如图，过作于， 在中， （米）， 即遮阳棚边缘点A到墙体的距离米； 【小问2详解】 解：过作于， 在中， （米）， ， 四边形是矩形， 米，（米）， 在中， ， 米， （米）， 阴影的长约为米． 20. 已知：如图，在中，点，分别在，上，，点在边上，，与相交于点． （1）求证：． （2）当点为的中点时，求证：． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ， ； （2） 证明：如图，作交的延长线于， ， ， ， 点为的中点， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）由，可判断，再由可判断，所以； （2）作交的延长线于，易得从而可证，得到，由点为的中点得，再利用可判定，则根据相似三角形的性质得然后利用等线段代换即可得到． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 证明：略． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系． 六、（本题满分12分） 21. 如图．是的直径，点是的中点，连接，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）连接，由点是的中点可得，由圆周角定理得，即得，即可求证； （）由等腰三角形的性质可得，，进而由三角形中位线的性质得到，设，则，利用勾股定理求出即可求解． 【小问1详解】 解：连接，如图， 点是的中点， ， ， 是所对的圆周角， ， ∴， ； 【小问2详解】 解：如图，连接交于点， ，， ， ，， 点是的中点， ， 是的中位线， ， ， ∴， 设，则， 在中，， ， 解得， ． 【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理，平行线的判定，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 七、（本题满分12分） 22. 有一座横截面由矩形和抛物线构成的拱桥，抛物线上方是路面，拋物线下方是水面，如图，并建立平面直角坐标系．已知水面宽是；当水面上升时．水面宽减少了． （1）求该抛物线的表达式； （2）一艘横截面为矩形的货船，最宽处为，露出水面的高度为，该货船能否正常通过这座拱桥？请说明理由． 【答案】（1）； （2）货船能正常通过拱桥，见解析． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，待定系数法求二次函数，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）设抛物线的解析式为，当水面上升时，水面宽减少了，则抛物线经过，又因为抛物线经过，，利用待定系数法求得该抛物线的解析式为； （2）船露出水面的高度为，故当水面与拱桥的距离不低于时，船能安全通过．当时，，求得的值，船的最宽处为，且，则该轮船能正常通过这座拱桥． 【小问1详解】 解；由图象可知抛物线经过原点，故设抛物线的表达式为， 由是，得点的坐标为， 将代入中， 得， 即， 即抛物线的表达式为， 因为水面上升，即纵坐标为，此时水面宽减少了， 由于抛物线是轴对称图形，意味着对称轴的左右两侧各减少了， 所以抛物线经过点， 将代入中， 得， 解得， 则， 所以该抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：货船能正常通过这座拱桥，理由： 由于货船露出水面的高度为，即， 将代入中， 得， 解得， 所以当时，拱桥宽度为， 因为，所以货船能正常通过拱桥， 答：货船能正常通过拱桥． 23. 如图，是正方形边上一个动点E（不与重合），是延长线上一点，且，连接． （1）求证：为等腰直角三角形． （2）过点作的垂线，与直线分别交于两点，记交于点． ①当，求线段的长． ②设的面积记作的面积记作，用含的代数式表示． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质可证，推出，，进而推出，即可证明为等腰直角三角形； （2）①先证，为等腰直角三角形，通过导角证明，解求出，即可求出线段的长；②证明，推出，结合，可得 ，再证，可得与的相似比为k，根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解． 【小问1详解】 证明：四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 为等腰直角三角形． 【小问2详解】 解：①为等腰直角三角形， ， 又， ，为等腰直角三角形， 在和中，，， ， 在中，， ， ， 为等腰直角三角形， ； ②，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 正方形中， ，， ， ， 与的相似比为k， 与的面积比为， ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $