2025年中考数学压轴题训练——二次函数与四边形综合

2025年中考数学压轴题训练——二次函数与四边形综合 1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴分别交于点A、C与y轴交于点B，顶点为D． (1)点A坐标为______，点D坐标为__________； (2)P为之间抛物线上一点，直线交线段于E，交x轴于点F，若，求P点坐标． (3)M为抛物线对称轴上一动点，若平面内存在点N，使得以B、C、M、N为顶点的四边形为菱形，求点N的坐标． 2．如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)如图，若是线段上一动点，过作轴的平行线交抛物线于点，交于点，设点的横坐标为，的面积为．求关于的函数关系式；当取何值时，有最大值，求出的最大值； (3)若是轴上一个动点，过作直线交抛物线于点，随着点的运动，在轴上是否存在这样的点，使以为顶点的四边形为平行四边形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，直线上方的抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图3，连接，将绕着点顺时针旋转，记旋转过程中的为，点的对应点为点，点的对应点为点．当点刚好落在线段上时，将沿着直线平移，在平移过程中，直线与抛物线对称轴交于点，与轴交于点，设点是平面内任意一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴于点． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)点P是抛物线在第一象限内图象上的一个动点．连接，求当四边形面积最大时点P的坐标； (3)将抛物线先向右平移5个单位，再向上平移2个单位长度得到新抛物线，Q为新抛物线对称轴上的一点，点H是平面内一点；在（2）条件下所求点P在新抛物线上的对应点是M，点N为x轴上一动点，当最小时，直接写出以点C，N，Q，H为顶点的四边形是矩形时点H的坐标． 5．如图，抛物线与 x 轴相交于 A，B两点(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴相交于点 C ，顶点为 D ．    (1)直接写出 A，B，C 三点的坐标和抛物线的对称轴． (2)连接，与抛物线的对称轴交于点 E ，点 P 为线段上的一个动点，过点 P 作交抛物线于点 F ，设点 P 的横坐标为 m ． ①用含 m 的代数式表示线段 的长，并求出当 m 为何值时， 四边形 为平行四边形？ ② △BCF的面积为 S ，求 S 与 m 的函数关系式，并求出 S 的最大值． 6．如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，且，是线段上的一个动点，过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点E的横坐标为m，当m为何值时，线段有最大值？并写出最大值为多少； (3)若P是直线上的一动点，在坐标平面内是否存在Q，使以P，Q，B，C为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出符合条件的菱形的个数并请直接写出其中2个点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 7．综合与探究 如图1，欣欣利用几何画板绘制了抛物线，抛物线的顶点的坐标为，且经过点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图2，欣欣继续利用几何画板绘制了一条平行于轴的直线，当直线上所有点的纵坐标为时，在上取、两点（点在点的左侧），以为边在的下方利用几何画板软件构造正方形，且点、恰好在抛物线上，求点的坐标． (3)如图3，欣欣继续利用几何画板绘制了抛物线，抛物线的顶点的坐标为，向上平移（2）中的直线，使得直线与两条抛物线从左向右依次交于，，，四点，若点，，直接写出的长． 8．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求A、B，C三点的坐标； (2)求直线的函数表达式． (3)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由； 9．如图，已知二次函数的图象与x轴交于B，C两点，与y轴交于点，抛物线的顶点A坐标为），连接． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，点P在直线下方抛物线上的一个动点，过点P作交于点Q，过点P作轴交于点E，求的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点M在新抛物线对称轴上运动，点N是平面内一点，若以B、P、M、N为顶点的四边形是以为边的菱形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 10．如图，抛物线的图象与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，已知， ，点Q为射线上一点，过点Q作y轴的平行线，分别交抛物线、直线于点D、E． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，是否存在与相似，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由； (3)是否存在以点C、D、G、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 11．已知二次函数与y轴交于C，与x轴交于点，两点，作直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，点D是直线上方抛物线上的一动点，过点D作y轴平行线交于点E，当线段的长度取最大时，求点D的坐标； (3)在（2）中取最大值的条件下，点M是抛物线对称轴上一动点，点N是抛物线上一动点，当以B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标． 12．如图1，抛物线与直线相交于点B和C，点B在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，将直线绕点B逆时针旋转交y轴于点D，在直线上有一点P，求周长的最小值及此时点P的坐标； (3)如图3，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，在新抛物线上有一点N，在x轴上有一点M，试问是否存在以点B、M、C、N为顶点的平行四边形？若存在，写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，且． (1)试求抛物线的解析式； (2)直线与y轴交于点D，与抛物线在第一象限交于点P，与直线BC交于点M，记，试求m的最大值及此时点P的坐标： (3)在（2）的条件下，m取最大值时，找坐标轴上的点Q及坐标平面内的点N，当P，D，Q，N四点组成的四边形是矩形时，写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程． 14．如图①，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 拓展设问：点为平面内一点，直线上方的对称轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 15．已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式及点坐标； (2)是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点．使以为顶点的四边形是平行四边形？若有，请求出点的坐标． 16．如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴交于点C． (1)求的值； (2)若点P是抛物线段上的一点，当的面积最大时求出点P的坐标，并求出面积的最大值； (3)点F是抛物线上的动点，作交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由． 17．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A在点B的左侧，点Р是直线下方的抛物线上一动点． (1)求A、B、C三点的坐标． (2)过点P作x轴的垂线，交于点E，过点E作y轴的垂线，交y轴于点F，求的最大值以及此时P点的坐标． (3)将抛物线沿方向平移个单位，点H是新拋物线的顶点，点Q是新抛物线对称轴上的一个动点，点M是平面内一点，若以A，Q、H、M为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的M点坐标． 18．如图，抛物线与轴交于点，点，与轴相交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是第二象限内抛物线上一动点，连接，是线段的中点，连接，，求面积的最大值及此时点的坐标． (3)在（2）中，面积的取最大值的条件下，将原抛物线沿射线的方向平移个单位长度，得到新抛物线．点为新抛物线对称轴上一点，点为平面内一点，若以，，，为顶点的四边形是矩形，直接写出所有符合条件的点的坐标，并选择其中一个写出求解过程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年1月25日初中数学作业》参考答案 1．(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）令，即可求出与x轴交点坐标，把一般式化为顶点式即可求出顶点坐标； （2）分两种情况讨论，当直线与x轴交于x正半轴时，不符合题意，当直线与x轴交于负半轴时，连接，设，分别求出直线的解析式，直线的解析式，联立即可求出与的交点E的坐标，再根据面积关系即可得到关于m的方程，解方程即可求出P点坐标； （3）分三种情况讨论，若以为邻边，则以为圆心，为半径作圆与对称轴直线有交点，根据菱形的性质即可求出点坐标，证明，可证以为顶点不能作菱形；以为邻边，则以为圆心，为半径作圆与对称轴直线有交点，根据勾股定理求出，再根据菱形的性质和中点坐标即可求出，同理可求；以为邻边，则作的垂直平分线与对称轴直线有交点，根据菱形的性质和中点坐标即可求出N点横坐标，再根据列方程即可求出N点的纵坐标． 【详解】（1）解：令得，解得或， ，， ， 抛物线顶点为， 故答案为：； （2）解：当直线与x轴交于x正半轴时，如图， 则，不符合题意； 当直线与x轴交于负半轴时，连接， 设， P为之间抛物线上一点， ， 当时，， ， ， 设直线的解析式为：， 把，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为：， ， ， ， 当时，， 解得：， ， ， 设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：， ， ， ， 整理得， 解得：（舍）或， 当时，， ； （3）解：①若以为邻边，则以为圆心，为半径作圆与对称轴直线有交点，如图： 可作菱形， ， ， ， ， ， 过点B作直线于E， ， ， ， ， ， ， ， 与共线，以为顶点不能作菱形； ②若以为邻边，则以为圆心，为半径作圆与对称轴直线有交点，连接，相交于E，如图： 可作菱形和菱形， ，， ， ， ∵菱形， ， ， 解得， ； 同理可求得； ③若以为邻边，则作的垂直平分线与对称轴直线有交点，如图： 可作菱形，则， ∵四边形是菱形， ， ， 解得：， ， ， ， ， 综上所述，点N的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及求与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数的解析式，菱形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是分类讨论，正确的作出辅助线． 2．(1)，； (2)，时，有最大值，最大值是； (3)存在，点坐标为或或． 【分析】（）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再把解析式转化为顶点式可得到顶点的坐标； （）求出直线的函数解析式，用含的式子表示出点的坐标，得出，再根据求出关于的函数关系式，最后根据二次函数的性质解答即可求解； （）求出点坐标，得到的长，再分、点在点的左侧，和当点点的右侧，三种情况，画出图形解答即可求解． 【详解】（1）解：把，代入得， ， 解得， ∴该抛物线的解析式为， ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）解：设直线的函数解析式为，把，代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 把代入得，， ∴， ∵点的横坐标为， ∴轴， ∴点的横坐标为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：存在，理由如下： 把代入得，， 解得，， ∴， ∴， 如图，当时，四边形为平行四边形， ∴， 把代入得，， 解得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当点在点的左侧，时，四边形是平行四边形， 过点作轴于，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴点的纵坐标为， 把代入得，， 解得，（不符合，舍去）， ∴点的横坐标为， ∴； 如图，当点在点的右侧，时，四边形是平行四边形， 过点作轴于，则， 同理可得； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，求二次函数图象的顶点坐标，二次函数与几何图形，二次函数的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，正确画出图形并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 3．(1) (2)存在， (3)存在，点的坐标为：或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可得到答案； （2）作关于轴的对称点，连接，过点作交抛物线于，如图所示，数形结合，利用待定系数法确定直线解析式，联立求解即可得到答案； （3）由题意表示出点，点，再由菱形的性质分类讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：把 代入得： 解得 ， 抛物线的解析式为； （2）解：直线上方的抛物线上存在点，使， 理由如下： 作关于轴的对称点，连接，过点作交抛物线于，如图所示： ， ， ， ， ， ， 设直线解析式为， 将代入可得，解得， 直线解析式为， 设直线解析式为， 把代入得：，解得， 直线解析式为， 联立，解得或， ； （3）解：设直线解析式为， 将代入可得，解得， 直线解析式为， 设， 又，由勾股定理得，解得：或，故点， 设直线的表达式为， 将代入可得，则直线的表达式为， 由，可得直线的表达式为 ， 设直线的表达式为：， 抛物线的对称轴为：， 点，点，而点； 要使以为顶点的四边形是菱形，则为等腰三角形． ①若，由对称性得， 由，解得， 此时，故； ②若，则， 解得：或， 当时，，此时， 当时，，此时； ③若 ，则， 解得：或， 当时，，，此时， 当时，，四边形不存在，舍去； 综上，点的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及二次函数图象与性质、待定系数法确定函数解析式、求函数图象的交点方法、勾股定理、菱形性质、二次函数与特殊平行四边形综合等知识，熟练掌握二次函数图象与性质、二次函数综合题型解法是解决问题的关键． 4．(1) (2)点 (3)或 【分析】（1）由题意得设，将点代入可求出抛物线的解析式，据此即可求解； （2）求出直线的解析式，设点，则，根据即可建立函数关系式求解； （3）由题意得新抛物线的解析式为：，；作出二、四象限的角平分线，作交轴于点，可求出直线的解析式，进而求出；分类讨论时，时，时，三种情况即可求解； 【详解】（1）解：由题意得设， 将点代入得：， 解得：， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：作轴，如图所示： ∵，为定值， ∴当最大时，四边形面积最大， 设直线的解析式为：， 将代入可得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点，则 ∴当，即点时，最大，此时四边形面积最大， （3）解：由题意得：新抛物线的解析式为：，， 作出二、四象限的角平分线，作交轴于点， 则的解析式为：，， ∴， ∵， ∴， ∴ 此时，设直线的解析式为：， 将代入可得：，得， ∴直线的解析式为：， 由得：， ∴； 设点，， 时， ， 此方程无解； 时， ， 解得：； ∴； 时， ， 解得：； ∴； 综上所述：点H的坐标的坐标为或 【点睛】本题考查了二次函数的解析式求解、二次函数与线段问题、二次函数与特殊四边形问题，综合性较强，需要学生具备扎实的函数基础以及较强的计算能力． 5．(1)，，，对称轴 (2)①，②，S的最大值为 【分析】（1）已知了抛物线的解析式，当时可求出A，B两点的坐标，当时，可求出C点的坐标．根据对称轴，可得出对称轴； （2）①的长就是当时，抛物线的值与直线所在一次函数的值的差．可先根据B，C的坐标求出所在直线的解析式，然后将m分别代入直线和抛物线的解析式中，得出两函数的值的差就是的长．根据直线的解析式，可得出E点的坐标，根据抛物线的解析式可求出D点的坐标，然后根据坐标系中两点的距离公式，可求出的长，然后让，即可求出此时m的值； ②设直线与x轴交于点M，易得，结合，所以，即，作答即可． 【详解】（1）解：∵与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧）， ∴当时，即， 解得，， ∵点A在点B的左侧， ∴，， 当时，即， ∴， ∵对称轴直线， ∴对称轴直线； （2）解：如图：连接，    ①设直线的函数关系式为， 把，，分别代入得： 解得 所以直线的函数关系式为：． 当时， ∴． 当时， ∴． 在中，当时，． ∴ 当时，， ∴ ∴线段， 线段， ∵， ∴当时，四边形为平行四边形． 由， 解得：，（此时点P与点E重合，故不合题意，舍去）． 因此，当时，四边形为平行四边形． ②设直线与x轴交于点M，如图      由，， 可得：． ∵， 即， ∴． 因为点P为线段上的一个动点， 所以， 则， ∵， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数的解析式，涉及线段和面积，平行四边形等知识内容；根据二次函数得出相关点的坐标和对称轴的解析式是解题的基础． 6．(1)二次函数解析式为 (2)当时，有最大值，且最大值为 (3)存在点使得以点为顶点的四边形是菱形，共有4个，点的坐标为或或或． 【分析】（1）根据，，运用待定系数法即可求解； （2）根据，，求出直线的解析式，根据点的横坐标为，可用含的式子表示点的坐标，由此可得的长关于的二次函数，根据最值的计算方法即可求解； （3）根据题意可求出的长，根据菱形的性质，分类讨论：第一种情况：如图所述，点在直线下方；第二种情况：如图所示，点在直线上方；图形结合，即可求解， 第三种情况，为菱形的对角线时． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为， ∴， ∵， ∴，则， 把，代入二次函数解析式得， ，解得，， ∴二次函数解析式为； （2）解：由（1）可知，二次函数解析式为，且，， ∴设直线所在直线的解析式为， ∴，解得，， ∴直线的解析式为， ∵点的横坐标为，直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点， ∴点的横坐标为， ∴，， ∴， ∴当时，有最大值，且最大值为； （3）解：∵二次函数的图象与轴交于两点，且， ∴令时，，则，， ∴，且 在中，，， ∴， 第一种情况：如图所述，点在直线下方，    四边形是菱形，则，， 且直线的解析式为， ∴设直线所在直线的解析为，把点代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 设，过点作轴于点， ∴，， ∴， 整理得，， ∴， ∴当时，，即； 当时，，即； 第二种情况：如图所示，点在直线上方，    四边形是菱形，，， 且，， ∴直线的解析式为， 设， ∴， 整理得，， 解得，（与点重合，不符合题意，舍去），，即， ∴设所在直线的解析式为， 把点代入得，， ∴直线的解析式为， 根据题意，设， ∴， 整理得，， ∴，即，， ，不合题意， ∴； 第三种情况，为菱形的对角线时，如图所示： 作的垂直平分线，交于P，交于N， 在直线上截取，连接、得菱形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设直线为， 代入，， 得， 解得， ， 与联立， 得， 解得， ， 将点P向右平移个单位再向上平移个单位得到点C， 将点也做相同的平移得到点，即， 综上所述，存在点使得以点为顶点的四边形是菱形，共有4个，点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查二次函数与特殊四边形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，菱形的判定和性质等知识是解题的关键． 7．(1)抛物线的解析式为 (2) (3) 【分析】本题是二次函数的综合，涉及二次函数的图像与性质，正方形的性质，一元二次方程，解题的关键是掌握二次函数的图像与性质． （1）设抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）由题意可知，直线为，设，，则，，再根据正方形的性质列方程组，可求出、，即可求解； （3）根据题意可求出，进而求出抛物线的解析式为，令，求出，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的顶点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）直线上所有点的纵坐标为， 直线为， 设，， ，， 四边形是正方形， ， ， 由①得：， ， 当时，（不合题意，舍去）， 当时，，代入②式得：， 解得：或（舍去）， ， ； （3）点，，，都在直线上，且直线平行于轴， ， 抛物线的顶点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 当时，， 解得：，， ， ， ． 8．(1) (2)直线的函数表达式为 (3)存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为或 【分析】（1）分别令即可求出、、三点的坐标； （2）根据、三点的坐标求直线的函数表达式即可； （3）根据直线的表达式设点，然后分为四边形是菱形和四边形是菱形两种情况分别讨论即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得：， ∴， 当时，， ∴； （2）解：∵， 设直线的表达式为：； 将代入得：， 解得：， ∴直线的函数表达式为； （3）解：存在： 设直线的表达式为：； 将代入得：， 解得：， 故直线的表达式为：； 设点的坐标为，其中， ， ， ， ∴当时，以点为顶点的四边形为平行四边形， 分两种情况： 如图，当时，四边形为菱形， ， ， 解得：（舍去）， ∴点的坐标为， ∵点B向左移动2各单位长度，向下移动6个单位长度得到点C， ∴点D向左移动2各单位长度，向下移动6个单位长度得到点E， ∴点E的坐标为； 如图，当时，四边形为菱形， ， ， 解得：(舍去)， ∴点的坐标为， ∵点C向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点B， ∴点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E， ∴点的坐标为； 综上，存在点，使得以点为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质、一次函数图象的性质、一次函数的解析式、勾股定理、菱形的性质，熟练掌握菱形的性质和待定系数法是解题的关键． 9．(1) (2)的最大值为，此时点P的坐标为 (3) 【分析】（1）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法可得直线的解析式为设，可表示出，利用等腰直角三角形性质可将表示的长，进而用点坐标将表示成函数，借助二次函数求最值的方法即可求得的最大值． （3）菱形的存在性问题先转化为求以为边的等腰三角形的存在性问题，然后根据平行四边形存在性问题的处理方法写出第四点N即可． 【详解】（1）解：由题意得抛物线解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴抛物线解析式为 （2）解：在中，当时，解得或， ∴ 设直线的解析式为， 则 解得：， ∴直线的解析式为， 设， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴，点E的纵坐标与点P的纵坐标相同， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵ ∴当时，取得最大值，最大值为，此时点P的坐标为； （3）解：依题意，抛物线沿射线平移个单位即抛物线向右平移2个单位，向上平移2个单位． ∴平移后抛物线解析式为：， ∴平移后的抛物线对称轴为直线． 故设点， 又∵， ∴， ， ， 由题意知，以为腰的等腰三角形有两种情况： 如图1，当时，    则， 解得： 由平行四边形对角线互相平分可知： ∴ ②如图2，当时，    则 解得： ∴ ∴ 综上：使以BM为边的菱形的N点有：． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，菱形的性质，等腰三角形的定义，勾股定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 10．(1) (2)存在， (3)存在，点D的坐标为 或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由轴，则，而与相似，则或，然后用解直角三角形的方法进行求解； （3）当以点C、D、G、E为顶点的四边形是平行四边形，则，即可求解． 【详解】（1）设抛物线的表达式为：， ∵， ， ∴， 故抛物线的表达式为：； （2）存在，理由： 当时，， ∴， 过点C作直线轴交抛物线于点R，设， 由知，， 则，即∠， ∵轴，则， ∵与相似， 则或； ①时，设于交于点S， ∵， ∴， ， 设，则，代入①，得 ， 解得，（舍去）， ∴， 则点； ②时， 延长交x轴于点H，则， ∵， ∴， 在中，过点H作的垂线交的延长线于点M， ∵， 设，则， 在等腰中，， 即， 解得：， 在中，， 即点， 由点C、H的坐标得，直线的表达式为：， 联立①③得：， 解得：（舍去）或， 则点 综上，点Q的坐标为：或； （3）存在，理由： 设点D的坐标为， 根据点A、D的坐标，由待定系数法可求直线AD的表达式为，则点， 同理可得，直线BC的表达式为：，则点， 当以点C、D、G、E为顶点的四边形是平行四边形，则， 即， 解得：或6， 即点或． 【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到一次函数的性质、解直角三角形、平行四边形的性质，其中，分类求解是本题解题的关键． 11．(1) (2) (3)点M的坐标为或或． 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）求解直线为，设，则，可得，再进一步求解； （3）如图，当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，再利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：把点，代入得， ， 解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：∵当时，， ∴， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 最大值为：； ∴； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵以为顶点的四边形是平行四边形； 如图，当为对角线时， ∵，，设，， ∴，解得：， ∴； 当为对角线时，如图， 同理可得：，解得：， ∴； 如图，当为对角线时， 同理可得：，解得：， ∴； 综上：点M的坐标为或或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质，方程组的解法，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 12．(1) (2)； (3)存在；或或或 【分析】（1）求出点和，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）在直线上取一点，使，连接交于点P，证明，则当A、、P三点共线时，有最小值为．求出，得到的最小值为，求出直线的解析式为，进一步得到，求出直线解析式为，联立直线与直线即可求出交点P的坐标； （3）求出平移后新抛物线为，设点M的坐标为，要使点M与以上三点围成平行四边形，可能有以下三种情形：①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时，分别画出图形进行解答即可； 【详解】（1）解：在中， 令，得， ， 令，得， ，   把两点的坐标代入中得， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：在直线上取一点，使，连接交于点P， 垂直平分，， ， 为定值， 当A、、P三点共线时，有最小值为． 点B为的中点， 在中， 令，得（舍）， ， ， 的最小值为， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ， ， ， ， 设直线解析式为， 则， 解得， 直线解析式为， 直线与直线的交点P的坐标满足方程组： ， 解得， 点P的坐标为． （3）解：将抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，， 相当于将抛物线先向右平移1个单位，再向下平移1个单位， ∴平移后新抛物线为 设点M的坐标为， ， 要使点M与以上三点围成平行四边形，可能有以下三种情形： ①当为对角线时，点N的坐标为； 此时若点N在抛物线上， 则，解得， ， ②当为对角线时，点N的坐标为， 此时若点N在抛物线上， 则，解得， ， ③当为对角线时，点N的坐标为； 此时若点N在抛物线上， 则，解得， 当时，得到， 当时，得到 综上，点M的坐标为或或或． 【点睛】此题是二次函数和几何综合题，考查了待定系数法、平行四边形的性质、二次函数的图象和性质、二次函数的平移、勾股定理等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． 13．(1)该抛物线的解析式为 (2)当时，m取得最大值，此时点P的坐标为 (3)，，， 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点P作轴交直线于E，连接，先求出直线的解析式为，设，则，，由得出，因此，最后根据二次函数的性质即可求出m最大值及此时点P的坐标； （3）分点在轴上和在轴上两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵抛物线经过点、， ∴抛物线还可以表示为， ∵抛物线经过点， ∴，解得． ∴该抛物线的解析式为． （2）解：如图1，过点P作轴交直线于E，连接， ∵、， ∴设直线的解析式为直线，把代入，得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵直线与y轴交于点D， ∴， ∴， ∵轴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当时，m取得最大值，此时点P的坐标为； （3）解：存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形． 由（2）知：， 当点在轴上时： ①当是矩形的边时，有两种情形，    当四边形为矩形时，如图2，连接，过点作轴于M， 则， ∴， ∵四边形为矩形， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，   ∴， ∴， ∴； 当四边形是矩形时，如图2，过点作轴交的延长线于，过点作轴于T， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴，   ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当是对角线时，设，则，，， ∵Q是直角顶点， ∴， ∴，   整理得，此方程无解，此种情形不存在； 当点在轴上时： ①当时，此时，； ②当时，设， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴； 综上：，，，． 【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象与性质，待定系数法，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质等知识，综合性较强，熟练掌握二次函数的图象与性质，根据题意正确作出图形，进行分类讨论是解题的关键． 14．（1）； （2）存在，点的坐标为或或或； 拓展设问：存在，点的坐标为或或 【分析】（1）由题意，根据抛物线的交点式列方程求解即可得到答案； （2）求出及对称轴，设，由两点之间距离公式得到，，，根据题意，由等腰三角形性质分三种情况：当时；当时；当时；分类讨论求解即可得到答案； 拓展设问：设点的坐标为，根据坐标两点的距离公式，得到，，，根据题意，分三种情况：当为菱形的对角线时；当为菱形对角线时；当为对角线时，由菱形性质列方程求解即可得到答案． 【详解】解：（1）抛物线与轴交于点和点， ， 解得，， 抛物线的解析式为； （2）存在，点的坐标为或或或，理由如下： 由（1）知， ∴，，抛物线的对称轴为直线， 设点，其中， 点、、， ，，， 当时，则，解得，则点或； 当时，则，解得或（负值舍去），则点； 当时，则，解得，则点； 综上，点的坐标为或或或； 拓展设问：存在，点F的坐标为或或，理由如下： 抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为, 则，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴设点的坐标为，此时， ∵，， ∴，， ， ①当为菱形的对角线时，如图所示： 此时， ∴，解得， ∴； ②当为菱形对角线时，如图所示： 此时， ∴，解得或（不合题意，舍去）， ∴； ③当为对角线时，如图所示： 此时， ∴，解得或（不合题意，舍去）， ∴； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及二次函数图象与性质、待定系数法确定函数解析式、等腰三角形性质、菱形性质、两点之间距离公式、解二次方程等知识，熟练掌握二次函数图象与性质，等腰三角形性质及菱形性质是解决问题的关键． 15．(1)，； (2)面积最大值为，； (3)点的坐标为或或． 【分析】（）利用待定系数法求出二次函数表达式，进而可求出点坐标； （）连接，求出直线的表达式为，过点作轴的垂线，交于点，得，可知当取最大值时，的面积最大，设，则，可得，，即得，最后利用二次函数的性质解答即可求解； （）先求出的长及二次函数的对称轴，再分为平行四边形的边和对角线两种情况，根据平行四边形的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的几何应用，掌握二次函数的性质及运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：把，代入得， ， 解得， ∴二次函数的表达式为， 当时，， 解得，， ∴； （2）解：连接， 设直线的表达式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的表达式为， 过点作轴的垂线，交于点， 则， ∴当取最大值时，的面积最大， 设，则， ∵点位于第三象限， ∴，， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为， 此时，点的坐标为； （3）解：∵， ∴， 由得，抛物线的对称轴为直线， ∵以为顶点的四边形是平行四边形， 当为平行四边形的边时，， 设点的横坐标为， ∵轴， ∴， 解得或， ∵点在抛物线上， ∴点的坐标为或； 当为平行四边形的对角线时， 则， 解得， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 16．(1) (2)，此时 (3)存在，或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）方法一：连接，，通过表示出函数关系，利用函数的性质进行求解；方法二：作于Q，交于点D，，求得函数关系式，进行求解即可； （3）分两种情况，当四边形为平行四边形时或当四边形为平行四边形时，利用平行四边形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：把点和点代入， 得， 解得， ∴； （2）解：当时，， ∴， ∴， 方法一：如图1， 连接， 设点， ∴， ∴ ， ∴当时，，此时； 方法二：如图2， 作于Q，交于点D，设解析式为： ∵，则，解得 ∴直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，此时； （3）解：如图3， 当四边形为平行四边形时，， ∵抛物线对称轴为直线：， ∴点的坐标： 如图4，当四边形为平行四边形时，， 作于G， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 当时，， ∴，， ∴，， 综上所述：或或． 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了二次函数与面积问题，二次函数与特殊的平行四边形，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． 17．(1)，， (2)最大值为，此时P点的坐标为 (3)或或或 【分析】（1）中，分别令，，解方程求得点A、B、C的坐标； （2）先求得直线的解析式为，设点P的横坐标为p，则，，进而表示出与p的关系式，根据二次函数的性质，即可求解； （3）根据平移的性质得出新抛物线顶点，对称轴为直线，设，，进而分3种情况讨论，①，为对角线，②，为对角线，③，为对角线，根据菱形的性质，中点坐标公式列出方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：令， 解得，， 点A在点B的左侧， ，． 当时，， ； （2）解：设直线的解析式为， 将和代入，得：， 解得， 直线的解析式为， 设点P的横坐标为p，则，， ，， ， ， 当时，取最大值，最大值为， ， 此时P点的坐标为． （3）解：， 把抛物线沿方向平移个单位，相当于把抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度， 新抛物线解析式为， 新抛物线顶点，对称轴为直线， 设，，又， 若，为对角线，则，的中点重合，且， ， 解得或（H与Q重合，舍去） ； 若，为对角线，则，的中点重合，且， ， 解得或， 或； 若，为对角线，则，的中点重合，且， ， 解得， ； 综上，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合，求抛物线与坐标轴交点问题，二次函数的性质，二次函数的平移，菱形的性质，熟练掌握以上知识，注意分类讨论是解题的关键． 18．(1)抛物线的函数表达式为； (2)面积的最大值是，此时点P的坐标为 (3)的坐标为或．求解过程见解析 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为； （2）连接，过作轴交于，求出，可得直线函数表达式为，设，即可得，由为的中点，有，根据二次函数性质可得答案； （3）将抛物线沿射线的方向平移个单位长度相当于将抛物线向右移动2个单位，再向上移动2个单位，得新抛物线，新抛物线的对称轴为直线，设，，分三种情况：①若，为对角线，则，的中点重合，且；②若，为对角线，；③若，为对角线，． 【详解】（1）解：把，点代入得： ， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：连接，过作轴交于，如图： 在中，令得， ， 由，得直线函数表达式为， 设，则， ， ， 为的中点， ， ， 当时，取最大值，最大值为， 此时，， 面积的最大值是，此时点的坐标为； （3）解：，， 将抛物线沿射线的方向平移个单位长度相当于将抛物线向右移动2个单位，再向上移动2个单位， 新抛物线， 新抛物线的对称轴为直线， 设，， 又，， ①若，为对角线，则，的中点重合，且， ， 此时方程组无实数解； ②若，为对角线，同理可得： ， 解得， ； ③若，为对角线，同理可得： ， 解得， ； 综上所述，的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，矩形性质及应用，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$