2025年中考数学二轮专题复习高频考点相似三角形的性质与判定的综合应用

2025年中考数学二轮专题复习高频考点相似三角形的性质与判定的综合应用 相似三角形的综合应用是初中数学的重要内容，它将相似三角形的性质与判定知识广泛应用于几何、函数及实际生活等多个领域。以下从不同应用场景进行概述： 一、几何图形中的应用 （1）求线段长度 ①利用相似三角形对应边成比例的性质，当已知一组相似三角形以及其中部分边的长度时，可建立比例式求解未知边的长度。例如在三角形ABC与三角形DEF相似，已知AB=4，DE=2，BC=6，且AB与DE是对应边，BC与EF是对应边，根据相似三角形对应边成比例，从而算出EF =3。 ②在复杂图形中，通过寻找或构造相似三角形，借助中间比来间接求出线段长度。比如在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，可证明△AOD∽△COB，若已知AD、BC的长度，以及AO或CO其中一条线段长度，就可利用相似三角形对应边比例关系求出另一条线段长度。 （2）求角度大小 ①相似三角形对应角相等，若能判定两个三角形相似，已知其中一个三角形的角的度数，可直接得出另一个三角形对应角的度数。例如在相似三角形中，已知一个三角形的一个内角为50°，那么其相似三角形的对应内角也为50°。 ②利用相似三角形的性质，结合三角形内角和定理等知识，可求出一些复杂图形中角的度数。如在一个包含多个相似三角形的多边形中，通过相似关系逐步推导角之间的关系，进而求出特定角的度数。 （3）证明线段比例关系 ①直接证明两个三角形相似，根据相似三角形对应边成比例得出线段比例关系。 ②当直接证明三角形相似较困难时，通过“中间比”进行转化。 （4）证明线段平行 ①如果两个三角形相似，且对应角的同位角或内错角相等，可根据平行线的判定定理证明线段平行。例如△ABC∽△ADE，若∠ABC =∠ADE，那么BC∥DE（同位角相等，两直线平行）。 ②利用相似三角形对应边成比例，结合平行线分线段成比例定理的逆定理来证明。 二、函数问题中的应用 （1）一次函数与相似三角形 ①在平面直角坐标系中，已知一次函数图像与坐标轴围成的三角形，与其他几何图形中的三角形相似。可通过求出一次函数与坐标轴的交点坐标，得到所围成三角形的边长，再利用相似三角形对应边成比例的性质，建立方程求解相关参数。例如已知一次函数y=kx+ b与x轴、y轴分别交于点A、B，另一个已知三角形的顶点坐标已知，且这两个三角形相似，通过求出A、B两点坐标，利用相似关系列出方程求解k、b。 ②利用相似三角形来确定一次函数图像上点的坐标。例如已知一个动点在一次函数图像上运动，且与另外两个定点构成的三角形与某个已知三角形相似，通过相似三角形的性质建立方程，求出动点的坐标。 （2）二次函数与相似三角形 ①二次函数图像与几何图形结合，利用相似三角形求二次函数的解析式。例如已知二次函数图像上的几个点，以及与这些点相关的三角形与另一个已知三角形相似，通过相似三角形对应边成比例，得出点的坐标之间的关系，进而代入二次函数解析式，求出a、b、c的值。 ②在二次函数的动态问题中，如动点在抛物线上运动，与其他点构成的三角形与已知三角形相似。通过设动点坐标，利用相似三角形的性质建立方程，可研究动点的运动轨迹、存在性等问题。例如探究在抛物线上是否存在一点，使得它与给定的两个定点构成的三角形与某个直角三角形相似，通过设点坐标，根据相似三角形对应边成比例或对应角相等建立方程求解。 三、实际生活中的应用 （1）测量问题 ①测量高度：如测量旗杆高度，在同一时刻，测量出一根已知长度的标杆的影长以及旗杆的影长，由于太阳光线可近似看作平行光线，所以标杆与它的影子、旗杆与它的影子分别构成的两个直角三角形相似。根据相似三角形对应边成比例，可求出旗杆的高度。 ②测量距离：测量一条河流的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在这边河岸选两点B、C，使得BC与河岸垂直，再从C点出发沿着与河岸平行的方向走到D点，使得D点与A、B共线，测量出BC、CD的长度，通过证明△ABC与△EDC相似（E为过D点作与BC平行的直线与AB延长线的交点），利用相似三角形对应边成比例求出河宽AB。 （2）光学问题 ①在小孔成像、平面镜成像等光学现象中，存在相似三角形的模型。例如小孔成像时，物体与它的像以及光线所构成的三角形是相似的。通过测量物体的长度、像的长度以及小孔到物体和像的距离等相关数据，利用相似三角形的性质可分析成像规律，如像的大小与物体大小的关系、像距与物距的关系等。 ②在研究光线反射问题时，根据入射角等于反射角以及几何图形的性质，可构造相似三角形。例如一束光线从点A射向平面镜，经反射后经过点B，通过作辅助线构造出相似三角形，利用相似三角形对应边成比例等性质可求出光线的传播路径等相关问题。 1．（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 2．（2022·陕西渭南·一模）已知，如图，， (1)求证：； (2)若平分，平分，且，，求． 3．（2023·上海·中考真题）如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且，    (1)求证： (2)若，求证： 4．（2025·上海闵行·一模）如图：在四边形中，对角线平分，且，点在线段上且，连接并延长交于点，连接并延长交于点． (1)求证：； (2)求证：． 5．（2024·新疆·中考真题）如图，在中，是的直径，弦交于点E，． (1)求证：； (2)若，求的长． 6．（2024·上海·中考真题）如图所示，在矩形中，为边上一点，且． (1)求证：； (2)为线段延长线上一点，且满足，求证：． 7．（2024·四川德阳·中考真题）如图，在菱形中，，对角线与相交于点，点为的中点，连接与相交于点，连接并延长交于点． (1)证明：； (2)证明：． 8．（2023·四川乐山·模拟预测）如图，平行四边形，E，F为上的点，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求证：； (3)延长交于点，若P为中点，，，求的长 9．（2023·湖南益阳·中考真题）如图，在中，，，点D在边上，将线段绕点D按顺时针方向旋转得到，线段交于点E，作于点F，与线段交于点G，连接．    (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，当平分四边形的面积时，求的长． 10．（2023·湖南常德·中考真题）如图，在中，，D是的中点，延长至E，连接．    (1)求证：； (2)在如图1中，若，其它条件不变得到图2，在图2中过点D作于F，设H是的中点，过点H作交于G，交于M． 求证： ①； ②． 11．（2023·吉林·中考真题）如图，在正方形中，，点是对角线的中点，动点，分别从点，同时出发，点以的速度沿边向终点匀速运动，点以的速度沿折线向终点匀速运动．连接并延长交边于点，连接并延长交折线于点，连接，，，，得到四边形．设点的运动时间为（）（），四边形的面积为（）   　　   (1)的长为__________，的长为_________．（用含x的代数式表示） (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (3)当四边形是轴对称图形时，直接写出的值． 12．（2023·黑龙江绥化·中考真题）已知：四边形为矩形，，，点是延长线上的一个动点（点不与点重合）．连接交于点．    (1)如图一，当点为的中点时，求证：． (2)如图二，过点作，垂足为．连接，设，．求关于的函数关系式． (3)如图三，在（2）的条件下，过点作，交的延长线于点．当时，求线段的长． 13．（2023·山东·中考真题）（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．    【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 14．（2024·湖北·中考真题）某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量校园中树的高度 活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案 方案示意图 实施过程 1．选取与树底B位于同一水平地面的D处； 2．测量D，B两点间的距离； 3．站在D处，用测角仪测量从眼睛C处看树顶A的仰角； 4．测量C到地面的高度． 1．选取与树底B位于同一水平地面的E处； 2．测量E，B两点间的距离； 3．在E处水平放置一个平面镜，沿射线方向后退至D处，眼睛C刚好从镜中看到树顶A； 4．测量E，D两点间的距离； 5．测量C到地面的高度． 测量数据 1．； 2．； 3．． 1．； 2．； 3．． 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．均与地面垂直； 3．参考数据：． 1．图上所有点均在同一平面内； 2．均与地面垂直； 3．把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得． 请你从以上两种方案中任选一种，计算树的高度． 15．（2023·四川达州·模拟预测）在一次数学活动课上，小宁证明了一个关于三角形角平分线的结论．如图1，已知是的角平分线，则．小宁的证明思路是：如图2，过点作，交的延长线于点，通过构造相似三角形来证明． (1)参照小宁提供的思路，利用图2证明； (2)如图3，在中，，是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处，若，，求的长． 16．（2025·湖南娄底·一模）如图1，在矩形中，，，点E是线段上的动点（点不与点重合），连接，过点作，交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，过点作，垂足为，连接，点是线段的中点，连接． ①求的最小值； ②当取最小值时，求线段的长． 17．（2025·甘肃·模拟预测）【模型建立】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，且AE⊥DF，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，在矩形中，，，点E在边上，点M，N分别在边，上，且，求的值； 【模型迁移】 （3）如图3，在四边形中，，，，，点E，F分别在边，上，且，垂足为G，求的值． 18．（2024·山东东营·中考真题）在中，，，． (1)问题发现 如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)类比探究 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由； (3)迁移应用 如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 19．（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．          (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； (2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； (3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：          如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 20．（2023·山东济南·中考真题）在矩形中，，，点在边上，将射线绕点逆时针旋转90°，交延长线于点，以线段，为邻边作矩形．    (1)如图1，连接，求的度数和的值； (2)如图2，当点在射线上时，求线段的长； (3)如图3，当时，在平面内有一动点，满足，连接，，求的最小值． 参考答案 1．见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】解：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 2．(1)见解析 (2)12 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及相似三角形的性质； （1）根据可得到，，进而得出，，根据和中有两个角相等即可得到 （2）根据相似图形的面积比等于相似比的平方得到，根据比例关系即可求出面积． 【详解】（1）证明：， ，， ， ， 在和中； ，， ； （2）解：，，分别为，的角平分线，且 ； ； ； 3．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据三角形的全等的判定可得，然后根据全等的三角形的性质即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质即可得证． 【详解】（1）证明：， ， 在和中，， ， ． （2）证明：， ， ，即， 在和中，， ， ， 由（1）已证：， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 4．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，掌握全等三角形与相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）证明即可得到 （2）证明即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴． 5．(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用圆周角定理可得出，，然后根据相似三角形的判定即可得证； （2）利用勾股定理可求出，，利用等面积法求出，可求出，然后利用（1）中求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又， ∴； （2）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴E到、的距离相等， 设E到的距离为，C到的距离为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键． 6．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由矩形性质得到，，，由角的互余得到，从而确定，利用相似三角形性质得到； （2）由矩形性质，结合题中条件，利用等腰三角形的判定与性质得到，，， 进而由三角形全等的判定与性质即可得到． 【详解】（1）证明：在矩形中，，，， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ； （2）证明：连接交于点，如图所示： 在矩形中，，则， ， ， ， ， ， 在矩形中，， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ． 【点睛】本题考查矩形综合，涉及矩形性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题第的关键． 7．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定、三角形全等的判定等知识，熟练掌握菱形的性质和相似三角形的判定是解题关键． （1）先根据菱形的性质可得，再证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，然后根据相似三角形的判定即可得证； （2）先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再根据定理即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵点为的中点， ∴， ∴ ∵， ∴． （2）证明：∵是等边三角形，，， ∴， ∴ ∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴． 8．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，交于，证明，可得，然后利用平角定义即可解决问题； （2）根据菱形的性质证明，可得，然后证明，即可解决问题； （3）取中点，得到是的中位线，，，再由，得到，设，则， ，所以，设，则，然后利用勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）证明：连接，交于， 平行四边形， ， 在和中， ， ∴， ， 又， ， ， 四边形为菱形； （2）证明：四边形为菱形， 垂直平分，，， ， ， 垂直平分， ， 又， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ∴， ， ∴； （3）解：取中点， ∵为中点， ∴是的中位线， ∴，， 为中点， ∴， ∵， ∴， ， ， 设，则，， 由（2）得， 中，，， 中，，， ∴， 解得， ． 【点睛】此题属于四边形综合题，考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质定理是解题的关键． 9．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据旋转的性质可得，再根据，可得，即可； （2）根据，可得点B，C，G，F四点共圆，从而得到，，从而得到，进而得到，可证明，即可； （3）连接，根据，，可得，，，设，则可得，，，，，，再由平分四边形的面积，可得，从而得到关于x的方程，即可求解． 【详解】（1）证明：∵线段绕点D按顺时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ， ∴； （2）证明：∵， ∴点B，C，G，F四点共圆， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （3）解：如图，连接，    ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∴，，， ∴， ∴，， ∵平分四边形的面积， ∴， ∴， 即， 解得：（负值舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 10．(1)证明见解析 (2)①见解析，②见解析 【分析】（1）先证出是的垂直平分线，再由线段垂直平分线的性质得到，最后由证得； （2）①连接，由三角形中位线的性质得到，从而，再由，，得到，可证得，从而，又，等量代换即可； ②先证明，再由为的中位线，得到，从而为中点，由于为中点，故得证. 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴是的垂直平分线， 又∵E在上， ∴， 在和中， ∴ （2）证明：①连接，    ∵分别是和的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； ②在和中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵A、H分别为和中点， ∴为的中位线，   ∴， ∴，即为中点， 又∵， ∴为中点， ∴. 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定和性质、三角形中位线的定义和性质，熟练掌握相应的判定和性质是解答此题的关键. 11．(1)； (2) (3)或 【分析】（1）根据正方形中心对称的性质得出，可得四边形是平行四边形，证明即可； （2）分，两种情况分别画出图形，根据正方形的面积，以及平行四边形的性质即可求解； （3）根据（2）的图形，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：依题意，，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点是正方形对角线的中点， ∴，则四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴ 故答案为：；． （2）解：当时，点在上，    由（1）可得， 同理可得， ∵，， 则 ； 当时，如图所示，    则，， ， ∴； 综上所述，； （3）依题意，①如图，当四边形是矩形时，此时， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 即， 解得：，    当四边形是菱形时，则， ∴， 解得：（舍去）； ②如图所示，当时，四边形是轴对称图形，   ，解得， 当四边形是菱形时，则，即，解得：（舍去）， 综上所述，当四边形是轴对称图形时，或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，动点问题，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质，轴对称图形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 12．(1)见解析 (2)（或） (3) 【分析】（1）根据矩形的性质得出，则，根据题意得出，即可证明； （2）在中，，证明，根据相似三角形的性质即可求解； （3）过点作于点，得出，为等腰直角三角形，在中，勾股定理求得，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵为中点， ∴，     在和中 ，    ∴； （2）∵四边形为矩形，    ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴在中，，    ∵， ∴， ∴（或）； （3）过点作于点，    ∵四边形为矩形，且， ∴， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，     ∵， ∴平分， ∴， 在中， ∵， ∴，     ∵， ∴，   ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，列函数关系式，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 13．（1）见解析    （2）见解析    （3）3 【分析】（1）由矩形的性质可得，则，再由，可得，则，根据等角的余角相等得，即可得证； （2）利用“”证明，可得，由，可得，利用“”证明，则，由正方形的性质可得，根据平行线的性质，即可得证； （3）延长到点，使，连接，由菱形的性质可得，，则，推出，由全等的性质可得，，进而推出是等边三角形，再根据线段的和差关系计算求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 又， ， 点在的延长线上， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，延长到点，使，连接，   四边形是菱形， ，， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解题的关键． 14． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、相似三角形的应用等知识，熟练掌握解直角三角形的方法和相似三角形的判定和性质是解题的关键． “测角仪”方案：如图：过C作于F，根据矩形的性质得到,再根据三角函数的定义求解即可； “平面镜”方案：根据垂直的定义得到，根据相似三角形的判定和性质定理求解即可． 【详解】解：选择“测角仪”方案： 如图：过C作于F，则，， 在中，，， ， ． 选择“平面镜”方案： 由题意得，， ． 又， ， ，即， ． 15．(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用，可证得，即，由平分，可知，利用相似三角形的性质即可证得结果； （2）由折叠的性质得出平分，，由（1）知，由勾股定理求出的值即可得出答案； 【详解】（1）， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 即． ； （2）由折叠可知，平分，， 由（1）得，， ，， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、相似三角形的判定及性质、勾股定理、比例的性质以及等腰三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定及性质以及勾股定理是解题的关键． 16．(1)详见解析 (2)①的最小值为5 ②当取最小值时，线段的长为1 【分析】（1）证明出即可求解； （2）①连接，先证明．确定出点G在以点M为圆心，3为半径的圆上．当A，G，M三点共线时，．此时，取最小值．在中利用勾股定理即可求出，则问题得解．②过点M作交于点N，即有，进而有．设，则，．再根据，得到，得到，则有，解方程即可求出． 【详解】（1）证明：如图1， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）①解：如图2-1，连接AM． ∵， ∴是直角二角形． ∴． ∴点G在以点M为圆心，3为半径的圆上． 当A，G，M三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得：， 当A，G，M三点共线时，． 此时，取最小值．在中，． ∴的最小值为5． ②如图2-2，过点M作交于点N， ∴． ∴． 设，则， ∴． ∵， ∴， ∴， 由①知的最小值为5、即， 又∵， ∴． ∴，解得， 经检验，是分式方程的解， 即． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行的性质、勾股定理以及分式方程的应用等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 17．（1）见解析；（2）＝；（3） 【分析】（1）证明，即可得证； （2）证明四边形是矩形，得出，，再证明，即可得解； （3）过点C作于点N，交的延长线于点M，连接，证明四边形是矩形，得出，，证明，得出，证明，得出．设，则，设，则，由勾股定理可得，再证明，即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：过点N作于点H， ， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：过点C作于点N，交的延长线于点M，连接， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 设，则，设，则， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得 (舍去)， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 18．(1)； (2)一致；理由见解析 (3) 【分析】（1）延长交于点H，根据旋转得出，，，根据勾股定理得出，，根据等腰三角形的性质得出，，根据三角形内角和定理求出，即可得出结论； （2）延长交于点H，证明，得出，，根据三角形内角和定理得出，即可证明结论； （3）过点C作于点N，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理得出，证明，得出，求出，根据解析（2）得出． 【详解】（1）解：延长交于点H，如图所示： ∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，，， ∴根据勾股定理得：，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴． （2）解：线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论一致；理由如下： 延长交于点H，如图所示： ∵将绕点旋转得到， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 又∵，，， ∴， ∴； （3）解：过点C作于点N，如图所示： 根据旋转可知：， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 根据解析（2）可知：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 19．(1) (2)旗杆高度为； (3)雕塑高度为． 【分析】本题考查平行投影，相似三角形的应用． （1）根据同一时刻物高与影长对应成比例，进行求解即可； （2）根据镜面反射性质，可求出，得出，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案； （3），由题意得：，，利用相似三角形的性质列出式子，计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，由题意得：， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，由题意得，， 根据镜面反射可知：， ，， ， ， ，即， ， 答：旗杆高度为； （3）解：设， 由题意得：，， ∴，， 即，， ∴， 整理得， 解得，经检验符合他 ∴， 答：雕塑高度为． 20．(1)，； (2)； (3)． 【分析】（1）根据矩形的性质得出，，，进而根据正切函数得出，可求出，由矩形和矩形可得，，求出，证明，根据相似三角形的性质即可得出答案； （2）过点作于点，由矩形和矩形可得，，，证明，进而得出，设，则，根据，得出，求出，进而可得出答案； （3）连接，先证明是等边三角形，，得出， 将绕点顺时针旋转120°，与重合，得到，进而求出，，，得出，可得当点，，三点共线时，的值最小，此时为． 【详解】（1）解：∵矩形中，，， ∴，，， ∴， ∴， 由矩形和矩形可得，， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：如答案图1，过点作于点， 由矩形和矩形可得，， ， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； （3）解：如答案图2，连接， ∵矩形中，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， 将绕点顺时针旋转120°，与重合，得到， ∴，，， ∴， ∴当点，，三点共线时，的值最小，此时为．    学科网（北京）股份有限公司 $$