7.2勾股定理同步练习2024-2025学年青岛版数学八年级下册

7.2勾股定理 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在中，，，．将折叠，使点B恰好落在边AC上．与点重合，AE为折痕，则的长为（    ） A．12 B．25 C．20 D．15 2．如图，正方形ABCD中AB＝6，点E在CD上，且CD＝3DE，将沿AE对折至，延长边EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的个数是（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图①是一个直角三角形纸片，，，将其折叠，使点落在斜边上的点处，折痕为，如图②，再将②沿折叠，使点落在的延长线上的点处，如图③，则折痕的长为　　 A．cm B．cm C．cm D．3 cm 4．如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（　　） A．600m B．500m C．400m D．300m 5．如图，在中，，分别以，为边作等边和等边，连结，若，，则（    ） A． B． C．4 D． 6．直角三角形的三边为a﹣b，a，a+b且a、b都为正整数，则三角形其中一边长可能为（　　） A．61 B．71 C．81 D．91 7．如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠BCD＝90°，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，若CD＝1cm，则AC等于（　　） A．cm B．cm C．2cm D．1cm 8．如图，中，，，，点D为边上一点，将沿折叠后，点A的对应点恰好落在边上，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 9．如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，．若的三边所围成的区域面积记为，黑色部分面积记为，其余部分面积记为，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，已知于点B，于点A，．点E是的中点，则的长为（    ） A．6 B． C．5 D． 11．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一．在《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺．问折者高几何？”大意是：如图，在中，，，（注：1丈＝10尺）．设的长为x尺，则根据题意列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 12．如图，一个含有角的直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置，若的长为，那么的长为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 13．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千绳索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（AC＝1尺）．将它往前推进两步（EB⊥OC于点E，且EB＝10尺），踏板升高到点B位置，此时踏板离地五尺（BD＝CE＝5尺），则秋千绳索（OA或OB）长 尺． 14．如图，圆内4个正方形的边长均为2a，若点A，B，C，D，E在同一条直线上，点E，F，G在同一个圆上，则此圆的半径为 ． 15．如图，有一个圆柱，它的高等于16cm，底面半径等于4cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是 cm．（π取3） 16．图甲是第七届国际数学教育大会(简称ICME~7)的会徽,会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的,其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把图乙中的直角三角形继续作下去,那么OA1,OA2,…,OA25这些线段中有 条线段的长度为正整数. 17．如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，分别以点B和点C为圆心、大于BC的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线EF交AB于点D，连接CD，则ACD的周长是 ．    三、解答题 18．如图，，，D，E分别为AB，BC的中点，点F在CA的延长线上， (1)求证：； (2)若，，求四边形AEDF的周长． 19．如图，在ABCD中，，，，点E是边AB上的一点，点F是边CD上一点，将ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGH，点A的对应点为点H，点D的对应点为点G．当点H与点C重合时． (1)填空：点E到CD的距离是______； (2)求证：； (3)△CEF的面积为______； 20．如图，在中，过点A作于点E，于点F，且． (1)求证：是菱形． (2)若，求平行四边形的面积． 21．在中，，于点D，于点E，连接． (1)如图1，当为锐角三角形时， ①依题意补全图形，猜想与之间的数量关系并证明； ②用等式表示线段，，的数量关系，并证明． (2)如图2，当为钝角时，直接写出线段，，的数量关系． 22．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证：． 证明：， 又S四边形， ． 请参照上述证法，利用图2完成下面的证明： 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：． 23．如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使，连接CD和EF． （1）求证：DE=CF； （2）求EF的长． 24．如图，长方形纸片ABCD放置在平面直角坐标系中，A与原点O重合．B、D分别在x轴和y轴上，，． (1)直接写出C点坐标； (2)如图①折叠使B落在线段AC的处，折痕为CE，求E点坐标； (3)如图②点P在线段DC上，若为等腰三角形，试求满足条件的所有P点坐标． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《7.2勾股定理》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A B C C B B A B 题号 11 12 答案 C C 1．D 【分析】由勾股定理可求出AC，再由折叠的性质可知，，进而可得，设，在中，由勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ， ∵折叠，点B与点重合， ， ， ， ， 设，则 ， 又 ， 在中， ， 即 ， 解得： ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质以及勾股定理列方程是解题的关键． 2．B 【分析】先根据正方形的性质可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后利用直角三角形全等的判定定理即可判断①；先根据全等三角形的性质可得，设，则，再在中，利用勾股定理求出的值，由此即可判断②；先根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的内角和定理可得，根据平角的定义可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可判断③；根据线段的长度可得，再根据三角形的面积公式可得，由此即可判断④；根据线段的长度分别求出和的值，由此即可判断⑤． 【详解】解：四边形是正方形，且， ， ， ， 由折叠的性质得：， ， 在和中，， ，结论①正确； ， 设，则， 在中，，即， 解得， ， ，结论②正确； ， ， 又， ， ，结论③正确； ， ， ， ， ，结论④错误； ， ， ， ，结论⑤错误； 综上，正确结论的个数是3个， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、直角三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握正方形的性质和折叠的性质是解题关键． 3．A 【分析】根据折叠的性质得出，，证明出为等腰三角形，得，在中，用勾股定理求，根据折叠的性质，证明为等腰三角形，过点作的垂线，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：是直角三角形，， ， 沿折痕折叠点落在斜边上的点处， ，， ， 为等腰三角形， ， 在中，， 设，则 由勾股定理：， 解得：， ， ， 根据折叠的性质，， 为等腰三角形， ， 过点作的垂线，如下图： 由等腰三角形三线合一的性质， ， 设，则， 在中， ， 即， 解得：， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，等腰三角形的判定及性质、勾股定理、含角的直角三角形，解题的关键是利用勾股定理来求解． 4．B 【分析】由于BC∥AD，那么有∠DAE=∠ACB，由题意可知∠ABC=∠DEA=90°，BA=ED，利用AAS可证△ABC≌△DEA，于是AE=BC=300，再利用勾股定理可求AC，即可求CE，根据图可知从B到E的走法有两种，分别计算比较即可． 【详解】解：如右图所示， ∵BC∥AD， ∴∠DAE=∠ACB， 又∵BC⊥AB，DE⊥AC， ∴∠ABC=∠DEA=90°， 又∵AB=DE=400m， ∴△ABC≌△DEA， ∴EA=BC=300m， 在Rt△ABC中，AC==500m， ∴CE=AC-AE=200， 从B到E有两种走法：①BA+AE=700m；②BC+CE=500m， ∴最近的路程是500m． 故选B． 【点睛】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是证明△ABC≌△DEA，并能比较从B到E有两种走法． 5．C 【分析】在Rt△ABC中可直接运用勾股定理求出BC，然后结合“手拉手”模型证得△ABC≌△ADE，即可得到DE=BC，从而求解即可． 【详解】解：在Rt△ABC中，AB=3，AC=5， ∴由勾股定理得：BC=4， ∵和均为等边三角形， ∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°， ∴∠BAD-∠CAD=∠CAE-∠CAD， 即：∠BAC=∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ∴△ABC≌△ADE(SAS)， ∴DE=BC=4， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定与性质，熟练运用勾股定理解三角形是解题关键． 6．C 【详解】由题可知：(a−b)2+a2=(a+b)2，解之得：a=4b， 所以直角三角形三边分别为3b、4b、5b. 当b=27时，3b=81. 故选C. 7．B 【分析】过D作DE⊥BA交BA的延长线于E，根据角平分线的性质得到DE=CD，推出△ADE是等腰直角三角形，得到AE=DE=1，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：过D作DE⊥BA交BA的延长线于E， ∵∠BCD＝90°，BD平分∠ABC， ∴DE＝CD， ∵CD＝1， ∴DE＝1， ∵AD∥BC，∠ABC＝45°， ∴∠EAD＝∠ABC＝45°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴AE＝DE＝1， ∴AD＝， ∵AD∥BC，∠BCD＝90°， ∴∠ADC＝90°， ∴AC＝， 故选B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 8．B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识，在中，利用勾股定理求出，折叠的性质求出，，，然后等面积法求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵折叠， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得， 故选：B． 9．A 【分析】根据面积的和差关系表示出与，与的关系，再利用勾股定理即可得答案． 【详解】∵的三边所围成的区域面积记为，黑色部分面积记为，其余部分面积记为， ∴==， =， ∵在Rt△ABC中，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理及圆的面积公式；熟练掌握勾股定理，正确表示出各图形的面积关系是解题的关键． 10．B 【分析】延长交于点F，根据已知条件证明，得出，根据勾股定理求出的长度，可得结果． 【详解】如图，延长交于点F， ∵， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵点E是的中点， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练运用全等三角形的判定定理以及性质是解本题的关键． 11．C 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理建立方程即可． 【详解】解： ，，， 设，则，则 故选：C． 12．C 【分析】连接AA′．构建Rt△ABA′；由旋转的性质可以推知BC=B′C，AC=A′C；根据图示知Rt△ABC中的∠A=30°，由30°所对的直角边是斜边的一半可以求得AC=30cm，由勾股定理可以求得AB=15cm；最后在根据线段间的和差关系求得A′B=BC+CA′=BC+AC=45cm，根据勾股定理在Rt△ABA′中求得AA′的值即可． 【详解】连接AA′，如图所示： ∵△A′B′C是由△ABC按顺时针方向旋转得到的， ∴BC=B′C，AC=A′C； 又∵△ABC是含有一个30°角的直角三角形， ∴从图中知，∠BAC=30°， ∴AC=2BC，AB=BC； 而BC=15cm； ∴在Rt△ABA′中， AB=15cm，A′B=BC+CA′=BC+AC=45cm， ∴AA′=. 故选C. 【点睛】本题综合考查了勾股定理、含30°角的直角三角形以及旋转的性质．在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，也是解决问题的关键． 13． 【分析】设OB=OA=x（尺），在Rt△OBE中利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：设OB=OA=x（尺）， 在Rt△OBE中，OB=x，OE=x-4，BE=10， ∴x2=102+（x-4）2， ∴x=， ∴OA或OB的长度为（尺）． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 14．a 【分析】作出解图的辅助线，设PO=x，利用勾股定理得到PG2+PO2=OQ2+QE2，即(3a)2+x2=(8a-x)2+a2，解方程得到x=a，再用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵点E，F在⊙O上， ∴圆心O在EF的垂直平分线PQ上，连接OG、OE， ∵4个正方形的边长均为2a， ∴PQ=8a，EQ=a，PG=3a， 设PO=x，则OQ=8a-x， ∵OG=OE，即OG2=OE2， ∴PG2+PO2=OQ2+QE2，即(3a)2+x2=(8a-x)2+a2， 解得：x=a，即PO=a， ∴OG2=(3a)2+(a)2=a2， ∴OG=a， 故答案为a． 【点睛】本题考查了求圆的半径，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 15．20 【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短及勾股定理即可得到结果． 【详解】如图，将圆柱体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短， 根据题意可得：AC是圆周的一半， ， 故答案为：20 16．5 【分析】找到OAn=的规律，所以OA1到OA25的值分别为，，，，…， 【详解】解：根据题意，找到OAn=的规律， 所以OA1到OA25的值分别为，，，，…，， 故正整数为=1， =2， =3， =4， =5． 故答案为5 【点睛】本题主要考查勾股定理，解本题的关键在于利用勾股定理求得直角三角形的边长，发现OAn=的规律. 17．18 【分析】由题可知，EF为线段BC的垂直平分线，则CD＝BD，由勾股定理可得AC5，则△ACD的周长为AC+AD+CD＝AC+AD+BD＝AC+AB，即可得出答案． 【详解】解：由题可知，EF为线段BC的垂直平分线， ∴CD＝BD， ∵∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12， ∴AC5， ∴△ACD的周长为AC+AD+CD＝AC+AD+BD＝AC+AB＝5+13＝18． 故答案为：18． 【点睛】本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质及勾股定理是详解本题的关键． 18．(1)证明见解析 (2)16 【分析】（1）D，E分别为AB，BC的中点，，因此AE=EB，等腰三角形两底角相等，可证明，即可得到结果； （2）由（1）可得四边形AFDE为平行四边形，对边相等，根据勾股定理可得AB的长，因为中点问题，可得到AD、AE、ED的长，即可得到结果． 【详解】（1）证明：∵D，E分别为AB，BC的中点， ∴， ∴,即， ∵D是中点，, ∴AE=EB，即, ∵， ∴ ∵点F在CA的延长线上， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∴四边形AFDE为平行四边形， ∴AE=DF， ∵，， ∴, ∵D，E分别为AB，BC的中点， ∴， ∴， 即DE=AF=3，AE=DF=5， 所以四边形AEDF的周长=5+3+5+3=16． 【点睛】本题考查了三角形中位线的定理，全等三角形的证明及判定，平行四边形的证明及判定，勾股定理，解题的关键是找到角之间的关系和边长之间的关系． 19．(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）要求点E到的距离，由平行四边形两对边平行可知只需求出之间的距离即可，已知和，从而想到过点C作的垂线，构造直角三角形求解； （2）要证，根据平行四边形的对边相等、对角相等及折叠的性质可得，，，观察图形可知是与的公共角，从而可得，利用即可证明； （3）要求，由(2)中全等三角形知需求，过点E作，想到用勾股定理，需求和，在中，设，已知，表示出，，再结合折叠的性质及表示出，，解，即可求出的长，根据三角形面积公式，求出结果即可． 【详解】（1）解：过点作于点，如图所示： ， ∴， ∴， ， ∵点到的距离和点到的距离都是平行线间的距离， ∵点到的距离是， ∴点到的距离是． 故答案为：． （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，∠D＝∠B，∠A＝∠BCD， 由折叠可知，AD＝CG，，， ∴BC＝GC，，， ∴ ∴， ∴（ASA）． （3）过点作于点，如图所示： ，， ， ， 设，则， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 解得， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，三角形全等的判定和性质，折叠的性质，根据题意作出辅助线，构造直角三角形，解直角三角形，是解题的关键． 20．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意证明△ABE≌△ADF（AAS）可得，根据菱形的判定定理即可得证； （2）根据题意求得∠DAF=30°，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理逇的长，进而根据菱形的面积公式即可求解． 【详解】（1）∵AE⊥BC，AF⊥DC， ∴∠AEB=∠AFD=90° ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B=∠D ∵AE=AF， ∴△ABE≌△ADF（AAS）， ∴AB=AD ∴四边形ABCD是菱形． （2）∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC ， ∴∠AEB=∠EAD=90°， ∵∠EAF＝60°， ∴∠DAF=30°， 在Rt△AFD中，DF=2， ∴AD=4， ∴AF= ， ∵AD=CD=4， ∴菱形ABCD面积= 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质与判定是解题的关键． 21．(1)①图形见解析；猜想：， 理由见解析；②见解析； (2)线段，，的数量关系：． 【分析】(1)①依题意补全图形，由直角三角形的性质得出，，即可得出； ②在上截取，可证出是等腰直角三角形，得出，可证明，得出，，可推出，证出是等腰直角三角形，即可得出结论； (2) 在上截取，连接，由，，可得，由可得，可证，可得，，可推出，可得是等腰直角三角形故，即可得线段，，的数量关系． 【详解】（1）解：①依题意，补全图形，如图1所示． 猜想：， 理由如下： ∵，， ∴，， ∴， ②证明：如图2，在上截取， 连接 ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，   ∴． （2）解：依题意补全图形，如图3所示， 在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵，   ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴线段，，的数量关系：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知，证明三角形全等是解题的关键． 22．见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明． 连接，过点B作边上的高，则，仿照已知材料中的方法，利用五边形面积的不同表示方法解答即可． 【详解】证明：连接，过点B作边上的高，则． ∵ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．（1）见解析；（2） 【分析】（1）直接利用三角形中位线定理得出，，进而得出DE=FC； （2）利用平行四边形的判定与性质得出DC=EF，进而利用等边三角形的性质以及勾股定理得出EF的长 【详解】（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点， ∴，， ∵延长BC至点F，使， ∴，； （2）解：∵，， ∴四边形DEFC是平行四边形， ∴DC=EF， ∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2， ∴AD=BD=1，CD⊥AB，BC=2， ∴． 【点睛】考点：三角形中位线定理；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质 24．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据四边形ABCD是矩形，于是得到CD=AB=8，BC=AD=6,，即可求得； （2）在中，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得得到，于是得到，根据勾股定理列方程即可得到结论； （3）分三种情况：①当；②当；③当BA=BP=8，最后都是根据勾股定理求得结果． 【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴CD=AB=8，BC=AD=6, ∴； （2）在中， ∵折叠使B落在线段AC的B处， ∴， ∴ ∴ ∴ 即 解得： ∴； （3）如图，若为等腰三角形， ①当，即点P在AB的垂直平分线上， ∴； ②当 ∴ ∴； ③当BA=BP=8，即 ∴ ∴ ∴； 综上所述，若为等腰三角形，P点坐标为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，求点的坐标，解题的关键是注意（3）要分类讨论，不要漏解． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$