2025年中考数学二轮专题复习高频压轴考点阅读理解综合

2025年中考数学二轮专题复习高频压轴考点阅读理解综合 1．（2024·四川凉山·二模）阅读理解： 若一个整数能表示（a，b为整数）的形式，则称这个数为“平和数”， 例如：．因为，所以是“平和数” (1)请你直接写出个“平和数”．并判断是否为“平和数”，并说明理由； (2)无论，取何整数，代数式（k是常数）的值都是“平和数”，求k的值； (3)如果数，都是“平和数”，试说明也是“平和数”． 2．（2024·福建龙岩·模拟预测）阅读理解： 复数是数学中的一个重要概念，它在实际生活和各个领域中都有广泛应用．复数由实部和虚部组成，可以用的形式表示，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，且规定，即．如：． 复数的运算符合加法、乘法的交换律、结合律、分配律以及加减乘除运算法则． 如：；． 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，水平的数轴代表复数的实部，竖直的数轴代表复数的虚部，这样的平面我们称它为复平面，在复平面内，每一个复数和复平面内的点之间构成一一对应关系，每个复数．对应复平面内点的坐标记为． 请根据上述材料，解决下列问题： 问题1：在复平面内点A对应的复数为，将点A绕原点O逆时针旋转，得对应点B，则点B对应的复数为______； 问题2：利用乘法公式计算：； 问题3：根据复数的性质，在复数范围内求解一元二次方程：． 3．（2017·贵州贵阳·中考真题）（1）阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB=FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断． AB、AD、DC之间的等量关系为 ； （2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论． （3）问题解决：如图③，AB∥CF，AE与BC交于点E，BE：EC=2：3，点D在线段AE上，且∠EDF=∠BAE，试判断AB、DF、CF之间的数量关系，并证明你的结论． 4．（2024·江苏徐州·二模）[阅读理解]如图1，在学习三角形的中位线时，我们发现三角形的三条中位线在三角形内部构成一个新的三角形，则其面积与原三角形面积的比是 ． [探究思考]如图2，已知，，分别是三边的三等分点，且，依次连接、、，则与的面积比是定值吗？如果是，请求出该数值；如果不是，请说明理由． [发现结论]如图3，已知，E，分别是三边的等分点，且，依次连接、、，则与的面积比是 ． 5．（2023·江苏徐州·中考真题）【阅读理解】如图1，在矩形中，若，由勾股定理，得，同理，故． 【探究发现】如图2，四边形为平行四边形，若，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由． 【拓展提升】如图3，已知为的一条中线，．求证：． 【尝试应用】如图4，在矩形中，若，点P在边上，则的最小值为_______．    6．（2023·四川凉山·中考真题）阅读理解题： 阅读材料： 如图1，四边形是矩形，是等腰直角三角形，记为、为，若，则．    证明：设，∵，∴， 易证 ∴， ∴ ∴， 若时，当，则． 同理：若时，当，则． 根据上述材料，完成下列问题： 如图2，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，已知．    (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出的值； (3)求直线的解析式． 7．（2013·湖北咸宁·中考真题）阅读理解： 如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题： （1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由； （2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E； 拓展探究： （3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系． 8．（2016·贵州贵阳·中考真题）阅读     （1）阅读理解： 如图①，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断． 中线AD的取值范围是________；     （2）问题解决： 如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；     （3）问题拓展： 如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明． 9．（2024·吉林长春·模拟预测）阅读理解： (1)【学习心得】 小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一：“定点+定长”：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：若以点A（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，（请你在图1上画圆）则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到______°． ②类型二：“定角+定弦”：如图，中，，，，P是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解：∵，∴，∵，∴， ∴______，（定角） ∴点P在以（定弦）为直径的上，请完成后面的过程． (2)【问题解决】 如图3，在矩形中，已知，，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为______． (3)【问题拓展】 如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边上移动，且满足．连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请直接写出点P的运动路径长． 10．（2023·河南信阳·模拟预测）阅读理解：如图，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系． (1)解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证≌，得到，从而把，，转化在一个三角形中，即可判断，，之间的等量关系为______； (2)问题探究：如图，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论； (3)问题解决：如图，，与交于点，：：，点在线段上，且，试判断，，之间的数量关系，直接写出你的结论． 11．（2024·山东青岛·模拟预测）如图1至图5，均作无滑动滚动，，，，均表示与线段或相切于端点时刻的位置，的周长为c． 阅读理解： 如图1，从的位置出发，沿滚动到的位置，当时，恰好自转1周； 如图2，相邻的补角是，在外部沿滚动，在点B处，必须由的位置旋转到的位置，绕点B旋转的角，在点B处自转周． 实践应用： (1)在阅读理解的（1）中，若，则自转_______周；若，则自转_______周．在阅读理解的（2）中，若，则在点B处自转_______周；若，则在点B处自转________周； (2)如图3，，．从的位置出发，在外部沿滚动到的位置，自转_______周． 12．（2024·青海西宁·一模）【阅读理解】 在中，，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D． (1)特例体验，如图①，若直线，，则线段_____， _____， _____； (2)规律探究： （Ⅰ）如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转a，则线段和的数量关系为_____． （Ⅱ）如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α，与线段相交于点H，请探究线段和的数量关系并说明理由； (3)尝试应用：在图③中，延长线段交线段于点F，若，求的长． 13．（2024·四川乐山·模拟预测）创新题推荐阅读理解题请阅读下列材料，完成相应的任务： 著名数学家华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休．”数形结合是数学研究和学习中的重要思想和解题方法，用数形结合方法可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化，有助于把握数学问题的本质，解决更加广泛领域的问题．比如有这样一个题目：设有两只电阻，分别为和，问并联后的电阻值是多少？ 我们可以利用公式求得的值，也可以设计一种图形直接得出结果，具体如下： 如图①，在直线上任取两点，，分别过点，作直线的垂线，并在这两条垂线上分别截取，，且点，位于直线的同侧，连接，，交于点，过点作直线，则线段的长度就是并联后的电阻值． 证明：，， ， 又， ∽（依据1）， （依据2）． 同理可得：， ， ， ， 即：． 任务： (1)上面证明过程中的“依据”和“依据”分别是谁： 依据1：______； 依据2：______． (2)如图②，两个电阻并联在同一电路中，已知千欧，千欧，请在图③中（1个单位长度代表千欧）画出表示该电路图中总阻值的线段长． (3)受以上作图法的启发，小明提出了已知和，求的一种作图方法，如图④，作，使，，过点作的垂线，并在垂线上截取，使点与点在直线的同一侧，作射线，交的延长线于点，则即为．你认为他的方法是否正确，若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由． 14．（2024·河北邯郸·模拟预测）阅读理解：在平面直角坐标系中设计了某种台阶，如图是8个台阶的示意图（各拐角均为），每个台阶宽相等，每个台阶的高也相等．例如第一个台阶面的右端点坐标为（x，y），则的坐标为（，y），第二个台阶面右端点的坐标为（，），以此类……为第八个台阶面． 应用： (1)求直线的解析式；并判断是否在直线上； (2)点、、、、、________（填“在”或“不在”）直线上；点、、、、、、、在直线________上（写出直线解析式）； (3)嘉琪同学拿着激光笔照射台阶，射出的光线可以看成直线：（），若使光线照到所有台阶，求m的取值范围； (4)蚂蚁（看做点P）从N出发，沿爬到点M，爬行的平均速度为每秒2个单位长度，爬行时间为t秒．当点P（a，b）在第n个台阶面上时，直接用含n、t的式子表示点P的横坐标，并用含n的式子写出t的取值范围． 15．（2023·贵州贵阳·模拟预测） (1)【阅读理解】如图①，在中，，是斜边上的中线．试判断与的数量关系．解决此问题可以用如下方法：延长至点，使，连接，．易证四边形是矩形，得到，即可作出判断．则与的数量关系为 ； (2)【问题探究】如图②，直角三角形纸片中，，点是边的中点，连接，将沿折叠，点落在点处，此时恰好有．若，求的长度； (3)【拓展延伸】如图③，在等腰直角三角形中，，，是边的中点，，分别是边，上的动点，且，当点从点运动到点时，的中点M所经过的路径长是多少？ 16．（2023·辽宁·一模）阅读理解：小浅遇到这样一个问题： 如图1，在中，，探究与的数量关系，并证明． 小浅在经过思考后，决定通过分割角度的方法解决问题． 如图2，小浅作交于，将割成与，发现是特殊角，进而通过三角函数解决了问题． (1)请沿着小浅同学的思路，解决如上问题； (2)请你使用小浅同学解决问题的方法或使用其他方法，解决如下问题： ①如图3，在等腰中，，求的度数； ②如图4，在中，，点为上方一动点，满足，连接．若，试求的度数． 17．（2022·江苏淮安·一模）【阅读理解】三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”． 如图1，中，点D是AB边上一点，连接CD，若，则称点D是中AB边上的“好点”． 【探究应用】 (1)如图2，的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出（或在图中直接描出）AB边上的“好点”； (2)如图3，中，，，，若点D是AB边上的“好点”，求线段AD的长； (3)如图4，是⊙O的内接三角形，点H在AB上，连接CH并延长交⊙O于点D，若点H是中CD边上的“好点”． ①求证：； ②若，⊙O的半径为r，且，求的值． 18．（2023·山东青岛·一模）【阅读理解】 三角形内角和定理告诉我们：如图①，三角形三个内角的和等于． 如图②，在中，有，点D是延长线上一点．由平角的定义可得，所以．从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【初步应用】 如图③，点D，E分别是的边延长线上一点， （1）若，则______； （2）若，则______； （3）若，则______． 【拓展延伸】 如图④，点D，E分别是的边延长线上一点， （4）若，分别作和的平分线交于点O，则______； （5）若，分别作和的三等分线交于点O，且，，则______； （6）若，分别作和的n等分线交于点O，且，，则______． 19．（2024·广东东莞·三模）阅读理解 【信息提取】 新定义：在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于坐标原点对称，则一条抛物线叫另一条抛物线的“友好抛物线”． 新知识：对于直线和，若，则直线与互相垂直；若直线与互相垂直，则． 【感知理解】 （1）抛物线的“友好抛物线”为____________________； （2）若抛物线与互为“友好抛物线”，则a与m的数量关系为__________，b与n的数量关系为__________，c与q的数量关系为__________； 【综合应用】 （3）如图，抛物线的顶点为E，的“友好抛物线”的顶点为F，过点O的直线与抛物线交于点A，B（点A在B的左侧），与抛物线交于点C，D（点C在D的左侧）．若四边形AFDE为菱形，求AB的长． 20．（2024·江苏镇江·中考真题）主题学习：仅用一把无刻度的直尺作图 【阅读理解】 任务：如图1，点D、E分别在的边、上，，仅用一把无刻度的直尺作、的中点．      操作：如图2，连接、交于点P，连接交于点M，延长交于点N，则M、N分别为、的中点． 理由：由可得及，所以，．所以，．同理，由及，可得，．所以．所以，则，，即M、N分别为、的中点． 【实践操作】 请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹． （1）如图3，，点E、F在直线上． ①作线段的中点； ②在①中作图的基础上，在直线上位于点Ｆ的右侧作一点P，使得； （2）小明发现，如果重复上面的过程，就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、…k倍（k为正整数）的线段．如图4，，已知点、在上，他利用上述方法作出了．点E、F在直线上，请在图4中作出线段的三等分点； 【探索发现】 请仅用一把无刻度的直尺完成作图，要求：不写作法，保留作图痕迹． （3）如图5，是的中位线．请在线段上作出一点Q，使得（要求用两种方法）． 参考答案 1．(1)10、13是“平和数”；104是“平和数”；理由见解析 (2)10 (3)见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算，因式分解、完全平方公式的应用； （1）根据新定义进行验证，即可求解； （2）根据完全平方公式因式分解，得，根据新定义可得； （3）设，，进而计算的值，根据完全平方公式因式分解，即可求解． 【详解】（1）如：10、13等，答案不唯一 104是“平和数” （2） ∵无论x，y取何整数，该代数式的值都是“平和数” （3）∵数m，n都是“平和数” 设，（a，b，c，d为整数） 也是“平和数” 2．问题1：；问题2：；问题3：，． 【分析】本题考查了定义新运算，完全平方公式，解一元二次方程等知识，读懂定义及其运算法则是解题的关键． 问题1：首先得到在复平面内点A对应的复数为，然后利用旋转的性质得到点B的坐标记为，进而求解即可； 问题2：根据复数的运算法则求解即可； 问题3：利用公式法求解即可． 【详解】解：问题1：∵在复平面内点A对应的复数为， ∴对应复平面内点的坐标记为 ∴将点A绕原点O逆时针旋转得对应点B的坐标记为 ∴点对应的复数为； 问题2：利用乘法公式计算： ； 问题3：在复数范围内求解一元二次方程：． 解： 由求根公式可得： ∴，． 3．（1）AD=AB+DC；（2）AB=AF+CF，证明见解析；（3）AB=（CF+DF），证明见解析． 【分析】（1）延长交的延长线于点，证明，根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的判定得到，证明结论； （2）延长交的延长线于点，利用同（1）相同的方法证明； （3）延长交的延长线于点，根据相似三角形的判定定理得到，根据相似三角形的性质得到，计算即可． 【详解】解：（1）如图①，延长交的延长线于点， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， 故答案为：； （2）， 证明：如图②，延长交的延长线于点， 是的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ， ； （3）， 证明：如图③，延长交的延长线于点， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，正确作出辅助性、解题的关键是灵活运用相关的性质定理和判定定理． 4．阅读理解：；探究思考：是定值，定值为；发现结论： 【分析】本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． 阅读理解：由中位线可得，进而证明，，同理可证，，即可求解； 探究思考：取中点G，中点H，中点I，连接，，，先证，推出，根据等高三角形面积比等于底边长度之比，可得，同理推出，，即可求解； 发现结论：取G、H、I分别是三边的n等分点，且，先证，推出，根据等高三角形面积比等于底边长度之比，可得，同理可得，，即可求解． 【详解】解：阅读理解： 是的中位线， ， 又， ， ，即， 同理可证，， ， ， 故答案为：； 探究思考: 如图，取中点G，中点H，中点I，连接，，， ， ，，， ， 又， ， ，即， ， ， 同理可证，， ， 综上可知，与的面积比是定值，定值为； 发现结论： 如图，取G、H、I分别是三边的n等分点，且， ， ，，， ，， ， ，即， ， ， 同理可证，， ， ， 故答案为：． 5．探究发现：结论依然成立，理由见解析；拓展提升：证明见解析；尝试应用： 【分析】探究发现：作于点E，作交的延长线于点F，则，证明，，利用勾股定理进行计算即可得到答案； 拓展提升：延长到点C，使，证明四边形是平行四边形，由【探究发现】可知，，则，得到，即可得到结论； 尝试应用：由四边形是矩形，，得到，，设，，由勾股定理得到，根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】探究发现：结论依然成立，理由如下： 作于点E，作交的延长线于点F，则，    ∵四边形为平行四边形，若， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 拓展提升：延长到点C，使，    ∵为的一条中线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵． ∴由【探究发现】可知，， ∴， ∴， ∴； 尝试应用：∵四边形是矩形，， ∴，， 设，则， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，的最小值是 故答案为： 【点睛】此题考查了二次函数的应用、勾股定理、平行四边形的判定和性质、矩形的性质等知识，熟练掌握勾股定理和数形结合是解题的关键． 6．(1) (2)， (3) 【分析】（1）首先求出点，然后设，在中，利用勾股定理求出，得到，然后代入求解即可； （2）首先根据，得到，，求出，，然后利用正切值的概念求出，然后证明出四边形是矩形，得到，然后由即可求出； （3）首先根据矩形的性质得到，，然后利用求出，进而得到，然后设直线的解析式为，利用待定系数法将和代入求解即可． 【详解】（1）将代入得，， ∴， ∵直线与反比例函数的图象交于点， ∴设， ∵，， ∴在中，， ∴， ∴解得，， ∵点A的横坐标要大于点B的横坐标， ∴应舍去， ∴， ∴， ∴将代入，解得； ∴反比例函数的解析式为； （2）∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴解得， ∴， ∴， ∴设直线的解析式为， ∴将和代入得，， ∴解得， ∴直线的解析式为． 【点睛】此题考查了反比例函数，一次函数和几何综合题，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是正确理解材料的内容． 7．解：（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．理由如下： ∵∠A=55°，∴∠ADE+∠DEA=125°． ∵∠DEC=55°，∴∠BEC+∠DEA=125°． ∴∠ADE=∠BEC． ∵∠A=∠B，∴△ADE∽△BEC． ∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点． （2）作图如下： （3）∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点， ∴△AEM∽△BCE∽△ECM．∴∠BCE=∠ECM=∠AEM． 由折叠可知：△ECM≌△DCM，∴∠ECM=∠DCM，CE=CD． ∴∠BCE=∠BCD=30°．∴BE=CE=AB． 在Rt△BCE中，， ∴，∴． 【详解】试题分析：（1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△BEC，所以问题得解． （2）根据两个直角三角形相似得到强相似点的两种情况即可． （3）因为点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，所以就有相似三角形出现，根据相似三角形的对应线段成比例，可以判断出AE和BE的数量关系，从而可求出解． 8．（1）2＜AD＜8；（2）证明见解析；（3）BE+DF=EF；理由见解析. 【分析】（1）延长AD至E，使DE=AD，由SAS证明△ACD≌△EBD，得出BE=AC=6，在△ABE中，由三角形的三边关系求出AE的取值范围，即可得出AD的取值范围； （2）延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM=CF，由线段垂直平分线的性质得出EM=EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论； （3）延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，证出∠NBC=∠D，由SAS证明△NBC≌△FDC，得出CN=CF，∠NCB=∠FCD，证出∠ECN=70°=∠ECF，再由SAS证明△NCE≌△FCE，得出EN=EF，即可得出结论． 【详解】（1）解：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，如图①所示： ∵AD是BC边上的中线， ∴BD=CD， 在△BDE和△CDA中，BD=CD，∠BDE=∠CDA，DE=AD， ∴△BDE≌△CDA（SAS）， ∴BE=AC=6， 在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∴10﹣6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16， ∴2＜AD＜8； 故答案为2＜AD＜8； （2）证明：延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，如图②所示： 同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS）， ∴BM=CF， ∵DE⊥DF，DM=DF， ∴EM=EF， 在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM， ∴BE+CF＞EF； （3）解：BE+DF=EF；理由如下： 延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，如图3所示： ∵∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180°， ∴∠NBC=∠D， 在△NBC和△FDC中， BN=DF，∠NBC =∠D，BC=DC， ∴△NBC≌△FDC（SAS）， ∴CN=CF，∠NCB=∠FCD， ∵∠BCD=140°，∠ECF=70°， ∴∠BCE+∠FCD=70°， ∴∠ECN=70°=∠ECF， 在△NCE和△FCE中， CN=CF，∠ECN=∠ECF，CE=CE， ∴△NCE≌△FCE（SAS）， ∴EN=EF， ∵BE+BN=EN， ∴BE+DF=EF． 考点：全等三角形的判定和性质；三角形的三边关系定理. 9．(1)① ②，后面过程见解析 (2)4 (3) 【分析】（1）①根据得到点B，点C，点D在以点A为圆心，为半径的圆上，再根据圆周角定理求出答案； ②根据图形结合推理过程直接解答即可； （2）连接，由对称性得到，得到点M在以点A为圆心，为半径的圆上运动，当点M在线段上时，有最小值，利用勾股定理求出，即可得到的最小值； （3）连接交于点O，证明，得到，推出，得到点P的运动路径是以为直径的圆弧，根据弧长公式求出点P的运动路径长为． 【详解】（1）解：①∵， ∴点B，点C，点D在以点A为圆心，为半径的圆上， 如图1，∴，故答案为：； ②∵，∴， ∵，∴，∴， ∴点P在以（定弦）为直径的上， 如图2，连接交于点P，此时最小， ∵点O是的中点， ∴， 在中，，，， ∴，∴． ∴最小值为2，故答案为：； （2）解：如图3，连接， ∵点B，点M关于直线对称，∴， ∴点M在以点A为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点M在线段上时，有最小值， ∵，，∴， ∴的最小值为，故答案为：4； （3）解：如图4，连接交于点O， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴点P的运动路径是以为直径的圆弧， ∴点P的运动路径长为． 【点睛】此题考查了圆周角定理，弧长公式，三角形全等的判定和性质，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握各定理并熟练应用是解题的关键． 10．(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，正确作出辅助性、解题的关键是灵活运用相关的性质定理和判定定理． （1）延长交的延长线于点，证明，根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的判定得到，证明结论； （2）延长交的延长线于点，利用同（1）相同的方法证明； （3）延长交的延长线于点，根据相似三角形的判定定理得到，根据相似三角形的性质得到，计算即可． 【详解】（1）解：如图①，延长交的延长线于点， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， 故答案为：； （2）， 证明：如图②，延长交的延长线于点， 是的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ， ； （3）， 证明：如图③，延长交的延长线于点， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ． 11．(1)2；；； (2) 【分析】此题主要考查三角形外角的性质，圆的基本性质，阅读理解能力，也是一道探索规律题，找准规律是关键． （1）读懂题意，套公式易得若，则自转2周；若，则自转周．在阅读理解的（2）中，若，则在点B处自转周；若，则在点B处自转周． （2）因，，则自转周． 【详解】（1）解：由阅读材料①可知：若，则自转周数（周）； 若，则自转周数为（周）． 由阅读材料②可知：若，则在点B处自转周数（周）； 若∠ABC=60°，则在点B处自转周数（周）． 故答案分别为：2；；；． （2）解：∵，， ∴自转（周）． 故答案为：． 12．(1)1，1，2； (2)（Ⅰ）；（Ⅱ），理由见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、正切的定义等知识点；灵活运用相关性质是解题的关键． （1）由等腰直角三角形及平行线的性质可得，然后根据等腰三角形的性质即可解答； （2）（Ⅰ）先根据即可得出，然后根据全等三角形的性质及线段的和差即可解答；（Ⅱ）方法同（Ⅰ）； （3）先求得，再根据正切的定义和勾股定理可得，再代入即可解答． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵直线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：1，1，2； （2）解：（Ⅰ），理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （Ⅱ），理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：由（2）知； ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 13．(1)依据1：两组角对应相等的两个三角形相似；依据2：相似三角形的对应边成比例 (2)见解析 (3)小明的方法正确，证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由相似三角形的判定与性质可得出答案； 在上取点，使，在上取点使，连接，交于点，过点作于点，则可得出答案； 证明，得出，求出的长，则可得出答案． 【详解】（1）证明：，， ， 又， （两组角对应相等的两个三角形相似， （相似三角形的对应边成比例． 故答案为：两组角对应相等的两个三角形相似，相似三角形的对应边成比例； （2）解：如图，线段表示的长． 在上取点，使，在上取点，使，连接，交于点，过点作于点， 则线段为所求线段； （3）解：小明的方法正确． 理由：， ， ， ， ， ， 由题意可知，，， ， ， ， ， ． 14．(1)，在直线上 (2)在 (3) (4)，t的取值范围是秒 【分析】本题考查了一元一次函数的实际应用，用待定系数法求函数解析式，规律探索，解题关键是关键题意得出点的坐标． （1）设直线的解析式为，将和代入解析式即可求解； （2）由题可得将点代入函数解析式即可判断，将直线向上平移即可求解； （3）将和代入即可求解； （4）由题意可得蚂蚁的爬行路程为：，因为点P在第n个台阶面上，所以蚂蚁爬行路程为：，即可求得点P的横坐标，点P在第1个台阶面上时，，点P在第2个台阶面上时，，点P在第3个台阶面上时，，点P在第8个台阶面上时，，据此即可得出t的取值范围． 【详解】（1）解：∵（x，y），则的坐标为（，y），第二个台阶面右端点的坐标为（，）， ∴每个台阶宽、高分别为和， ，， 将和代入解析式得∶， 解得 ， 当时，， 在直线上， （2）由（1）问可得， 当时，， 在直线， 同理可得均在直线上； 由图可知：将直线向上平移一个单位长度可得：， 点在直线， 故答案为：在；； （3）把代入， 得， 把代入， 得， ， （4）蚂蚁（看做点P）从N出发，沿爬到点M，平均速度为每秒2个单位长度，爬行时间为t秒， 蚂蚁爬行路程为：， 点在第n个台阶面上， 蚂蚁爬行的水平路程：， ， 点P在第1个台阶面上时，， 点P在第2个台阶面上时，， 点P在第3个台阶面上时，， 点P在第8个台阶面上时，， t的取值范围是秒． 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）延长到，使，连接，，则，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可； （2）如图2中，设交于点．证明，可得结论； （3）过点作，，如图，证明四边形为正方形，再证明．推出．为等腰直角三角形，可得结论． 【详解】（1）解： ，理由如下： 延长到，使，连接，，则， 是斜边上的中线， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形， ， ； （2）解：如图2中，设交于点． ，， ， ， 由翻折的性质可知， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； （3）解：过点作，，如图， ，， ． 是边中点， ， 同理：， ， ． 四边形为正方形， ． ， ， ． ． 在和中， ， ． ． 为等腰直角三角形， 当点从点运动到点时，的中点所经过的路径为，中点的连线， 即所经过的路径为， ，， ， 的中点所经过的路径长为． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解直角 三角形，折叠问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 16．(1) (2)①；② 【分析】本题考查了勾股定理、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由等角对等边得出，求出，根据含角的直角三角形的性质得出，由勾股定理得出，即可得出答案； （2）取中点，连接，由等腰直角三角形的性质可得，证明是等边三角形，得出．设，则，从而即可得解；过点作，截取，连接．过点作于，连接，求出，设，根据勾股定理可得，由含角的直角三角形的性质可得，由勾股定理得出，结合得出，证明得出，，进而得出是等边三角形，即可得解． 【详解】（1）解：由图2中辅助线： ， ， ， ． ． 在中，，根据勾股定理，． ． （2）解：如图，取中点，连接． ， 为等腰直角三角形， ． 又点为中点， ． ， ， 为等边三角形． ． 设， ． ． 过点作，截取，连接．过点作于，连接，如图， ， ， ， ． 设，根据勾股定理，． ， ， 根据勾股定理得． ， ， 为等腰直角三角形． ． ． 又， ． ． ， ． ． 是等边三角形． ． 17．(1)图见解析 (2)4或9 (3)①见解析；② 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和“好点”定义解答即可； （2）过点A作AH⊥AB于H，可设CH=3k，BH=4k，解直角三角形可求得BH=8，AH=CH=6，设AD=x，则DH=6-x，BD=14-x，根据勾股定理和“好点”定义解方程求得x值即可； （3）①根据圆周角定理可得∠ADH=∠CBH，证明△ADH∽△CBH得到DH·CH=AH·BH，再根据“好点”定义得到DH·CH=AH2即可得证； ②连接OH、BD，根据90°的圆心角所对的弦是直径知BD为直径，再根据垂径定理得到OH⊥AB，由三角形中位线性质和勾股定理可求得BH= r，进而可求得AD、DH、CH即可求解． 【详解】（1）解：如图，点D即为求作的AB边上的“好点”； （2）解：过点A作AH⊥AB于H， ∵，， ∴∠A=45°，， 设CH=3k，BH=4k，则AH=CH==3k， ∵AB=14，∴3k+4k=14，解得：k=2， ∴BH=8，AH=CH=6， 设AD=x，则DH=6-x，BD=14-x， 在Rt△CHD中，AD2=CH2+DH2=62+（6-x）2， 由点D为AB边上的“好点”得：AD2=AD·BD=x（14-x）， ∴62+（6-x）2= x（14-x），即x2-14x+36=0， 解得：x=4或x=9， 故线段AD的长是4或9； （3）解：①∵∠ADH=∠CBH，∠AHD=∠CHB， ∴△ADH∽△CBH， ∴即DH·CH=AH·BH， ∵点H是中CD边上的“好点”， ∴DH·CH=AH2， ∴AH2=AH·BH， ∴AH=BH； ②连接OH、BD， ∵BC⊥CH，∴BD是直径，则∠DAB=90°， ∵AH=HB， ∴OH⊥AB，OH= AD=r， 在Rt△OHB中，， ∴AH=， 在Rt△DAH中，， ∵点H是中CD边上的“好点”， ∴DH·CH=AH2， ∴， ∴==. 【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质、三角形的中位线、直角三角形的斜边上的中线性质、解直角三角形、解一元二次方程等知识，理解题意，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键. 18．（1）；（2）；（3）；（4）60；（5）100；（6）． 【分析】 （1）根据三角形外角的性质求解即可； （2）根据三角形外角的性质结合三角形内角和定理求解即可； （3）由（2）同理求解即可； （4）根据角平分线的定义可得出，，即可求出，再结合（2）即得出，最后由三角形内角和定理求解即可； （5）由，，即可求出，再结合（2）即得出，最后由三角形内角和定理求解即可； （6）由，，即可求出，结合（3）可知，最后由三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）由三角形外角的性质可得出． 故答案为：； （2）∵，， ∴． ∵，， ∴． 故答案为：； （3）由（2）同理可得． ∵，， ∴ 故答案为：； （4）∵和的平分线交于点O， ∴，， ∴． 由（2）可知， ∴， ∴． 故答案为：； （5）∵，， ∴． 由（2）可知， ∴， ∴． 故答案为：100； （6）∵，， ∴． 由（3）可知， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，角平分线的定义和角的n等分点的定义．利用数形结合的思想是解题关键． 19．（1） （2），， （3） 【分析】（1）根据“友好抛物线”定义可得顶点关于坐标原点对称，开口方向相反，形状相同写出解析式即可． （2）将抛物线与化为顶点式，根据它们互为“友好抛物线”求解； （3）求出抛物线的顶点为的坐标为，根据“友好抛物线”可得．抛物线，利用待定系数法可得直线的解析式为．根据新知识得直线的解析式为．由，可得，．利用两点的距离公式即可求解． 【详解】解：（1）由已知抛物线与它的“友好抛物线”的顶点关于坐标原点对称，形状相同，开口方向相反． 抛物线的顶点坐标为， 它的“友好抛物线”的顶点坐标为， ， 故答案为：； （2）抛物线，， 抛物线的顶点坐标为，，抛物线的顶点坐标为，， 抛物线与互为“友好抛物线”． ，，， ，，． 故答案为：，，． （3）抛物线的顶点为，， ． 抛物线的顶点为，的“友好抛物线” 的顶点为， ． 抛物线， ．． 直线的解析式为． 若四边形为菱形，则． 直线的解析式为． 由，可得，． ，． ． 【点睛】本题属于二次函数的综合题，主要考查了抛物线的解析式、抛物线与坐标轴的顶点坐标以及新定义的问题，菱形的性质，着重理解“友好抛物线”这个新定义，解题的关键是根据新定义找出等量关系． 20．（1）①见解析，②见解析； （2）见解析； （3）见解析 【分析】实践操作（1）①根据[阅读理解]部分的作法：在上方任取一点，得到，与交于点，交于点，连接，交于点，作射线交，分别于，，点即为所求点； ②作射线交于点，作射线交于点，点即为所求； （2）根据上述作法，有两种作法； [探索发现]如作法一，根据相似可知，连接，交于点，则，即点是的三等分点之一，由此可以得出过点作的平行线；同理可得点是的三等分点之一，则，即点为所求作点． 【详解】解：[实践操作] （1）①如图， 点即为所求作的点； ②如图， 点即为所求作的点； （2）如图， 作法一、 作法二、 点，即为所求作的点； [探索发现]（3）如图， 作法一、 作法二、 作法三、 作法四、 作法五、 点即为所求的点． 学科网（北京）股份有限公司 $$