2025年中考数学二轮专题复习高频考点相似三角形及锐角三角函数的实际应用

2025年中考数学二轮专题复习高频考点相似三角形及锐角三角函数的实际应用 1．（2024·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角（）为，测得桥塔底部的俯角（）为，又在处测得桥塔顶部的仰角（）为． (1)求线段的长（结果取整数）； (2)求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：． 2．（2023·江苏南京·中考真题）如图，玻璃桌面与地面平行、桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，在地面上形成的影子为（不计折射），． (1)在桌面上沿着方向平移铅笔，试说明的长度不变． (2)桌面上一点P恰在点O的正下方，且，，，桌面的高度为．在点O与所确定的平面内，将绕点A旋转，使得的长度最大． ①画出此时所在位置的示意图； ②的长度的最大值为 cm． 3．（2025·山东青岛·一模）阿代的数学研学日记 课题：测量旗杆的高度 地点：青岛市山海二十六中学操场 时间：2025月3月2日 昨天上午代兴国老师要带我们去操场测量旗杆的高度，昨天我们小组设计了一个方案，方案如下：小亮拿着标杆垂直于地面放置，我和小聪用卷尺测量标杆、标杆的影长和旗杆的影长，如图1所示，标杆，影长，旗杆的影长，则可求得旗杆的高度为_______． 今天测量时阴天就不能用昨天的方案了，如图2所示，张世昌老师将升旗用绳子拉直，使绳子的底端G刚好触到地面，用仪器测得绳子与地面的夹角为，然后又将绳子拉到一个0.5米高的平台上，拉直绳子使绳子上的H点刚好触到平台，剩余的绳子长度为5米，此时测得绳子与平台的夹角为，利用这些数据能求出旗杆的高度吗？ 请你回答阿代的问题．若能，请求出旗杆的高度；若不能，请说明理由． （参考数据：，，；，，） 4．（2024·陕西咸阳·模拟预测）周末，聪聪和几个好友到郊外游玩，看到了高高矗立在田野间的电线塔．他们准备测量电线塔的高度：聪聪在点处直立一个2米的标杆，小明在点处发现三点共线，经测量的长度为6米，．已知，并且三点在一条水平线上，请你帮助聪聪求出电线塔的高度．（结果保留整数．参考数据：） 5．（2024·甘肃临夏·中考真题）乾元塔（图1）位于临夏州临夏市的北山公园内，共九级，为砼框架式结构，造型独特别致，远可眺太子山露骨风月，近可收临夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立苍穹．某校数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了测量乾元塔高度的实践活动．为乾元塔的顶端，，点，在点的正东方向，在点用高度为1.6米的测角仪（即米）测得点仰角为，向西平移14.5米至点，测得点仰角为，请根据测量数据，求乾元塔的高度．（结果保留整数，参考数据：，，） 6．（2024·重庆江津·模拟预测）我国一艘巡逻船在某海域B处进行巡逻时，发现在东北方向海里的A处有一外国舰艇正在侦查我国海域，我方巡逻船立刻与其交涉文明劝返，当巡逻船沿着正东方向航行一段距离到达C处时，发现外国舰艇在位于北偏东方向A处原地不动． (1)求此时巡逻船航行的距离的长；（保留整数，参考数据：，，） (2)我方巡逻船立刻对其喊话驱离，外国舰艇立即以30海里/小时的速度沿着南偏东方向逃窜，此刻我方巡逻船同时从C处立即沿着正东方向在D处将其截获，求巡逻船的航行速度（结果保留根号） 7．（2024·河南·中考真题）如图1，塑像在底座上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时为最大视角． (1)请仅就图2的情形证明． (2)经测量，最大视角为，在点P处看塑像顶部点A的仰角为，点P到塑像的水平距离为．求塑像的高（结果精确到．参考数据：）． 8．（2024·陕西咸阳·模拟预测）何尊出土于宝鸡，是最早记录“中国”一词的青铜器．在宝鸡南站广场，有一座“何尊”造型的喷泉景观．周末小明和同学游览时想测量该喷泉景观（含底座）的高度，小明先站在水平地面上的点D处，同学在点B，D之间的水平地面上放置一个平面镜并来回移动，当平面镜移动到点E时，小明刚好在平面镜内看到景观顶端A，此时测得米，小明眼睛到地面的距离是米；然后小明后退米在点G处用测角仪测得景观顶端A处的仰角为，测角仪米．已知点G，D，E，B在同一水平线上，，，都与垂直．请根据以上信息，求出喷泉景观（含底座）的高度．（结果保留整数．参考数据：，，） 9．（2024·河北石家庄·一模）如图1，某玩具风车的支撑杆垂直于桌面，点为风车中心，，风车在风吹动下绕着中心旋转，叶片端点，，，将四等分，已知的半径为． (1)风车在转动过程中，当时，点在左侧，如图2所示，求点到桌面的距离（结果保留根号）； (2)在风车转动一周的过程中，求点A到桌面的距离不超过时，点A所经过的路径长（结果保留）； (3)连接，当与相切时，求切线长的值，并直接写出，两点到桌面的距离的差． 10．（2024·广东汕头·模拟预测）综合与实践． 【实践背景】夜间在高速公路上行车时，对向来车的灯光易引发眩光现象，进而导致交通事故，因此高速公路设置了防眩板遮挡对向车辆灯光． 【数学建模】如图是一条高速公路的俯视示意图，中央隔离带的中轴线垂直平分每块防眩板，防眩板宽度是米（米）．一辆汽车车灯位于点时，车灯发出的光线分别经过防眩板，的点和点，光线经过防眩板的点，，道路米，光线和行驶路线的夹角．（参考数据：，） 【解决问题】 (1)的长度是多少米？ (2)防眩板，间的距离是多少米？ 11．（2024·贵州贵阳·二模）杨老师组织学生开展测量物体高度的实践活动，小文同学所在小组的任务是测量观山湖公园一棵大树的高度，由于有围栏保护，他们无法到达底部．于是小文同学制订了测量方案进行实地测量，得出如下的测量报告： 课题 测量大树的高度 测量工具 平面镜、测倾器和皮尺 测量示意图及说明 说明：①D、C、B、F四点共线，均垂直于 ②光线经点C处平面镜反射后的光线是 ③平面镜大小忽略 ④测倾器高度忽略 测量数据 小文眼睛与地面高度米，小文到平面镜的距离米，平面镜到测倾器的距离为米， 参考数据 ，， 请你根据以上测量报告，求大树AB的高度． 12．（2024·河南漯河·二模）某公司设计制作一款摇椅，图1为效果图，图2为其侧面设计图，其中为椅背，为坐垫，，为焊接点，且与平行，支架，所在直线交于圆弧形底座所在圆的圆心．已知，两点间的距离为，，两点间的距离为，，两点间的距离为．经研究，当时，舒适感最佳．为安全起见，摇椅后摇至底座与地面相切于点时（如图3），点比点在竖直方向上至少高出．在舒适感最佳的情况下，若椅背与坐垫的长均为，试判断此设计是否合理，并说明理由．（参考数据：，，） 13．（2024·山西·中考真题）研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集纪念碑的相关数据． 数据采集：如图，点是纪念碑顶部一点，的长表示点到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点处竖直上升，飞行至距离地面20米的点处时，测得点的仰角；然后沿方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点正上方的点处时，测得米； 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，，，三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点到地面的距离的长（结果精确到1米．参考数据：，，，，，． 14．（2024·山东青岛·中考真题）“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题． 方案名称 滑梯安全改造 测量工具 测角仪、皮尺等 方案设计 如图，将滑梯顶端拓宽为，使，并将原来的滑梯改为，（图中所有点均在同一平面内，点在同一直线上，点在同一直线上） 测量数据 【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度； 【步骤二】在点处用测角仪测得； 【步骤三】在点处用测角仪测得． 解决问题 调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求的长） （参考数据：） 15．（2024·海南·中考真题）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．    航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东方向． 请你根据以上信息解决下列问题： (1)填空：________，________， ________海里； (2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明． （参考数据：） 16．（2024·江苏宿迁·中考真题）双塔是古黄河宿迁景观带的标志性建筑之一，由九层的九龙塔和七层的七凤塔构成．某校数学实践小组开展测量七凤塔高度的实践活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，报告部分内容如下表： 测量七凤塔高度 测量工具 测角仪、皮尺等 活动形式 以小组为单位 测量示意图 测量步骤及结果 如图，步骤如下： ①在C处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角； ②沿着CA方向走到E处，用皮尺测得米； ③在E处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角． … 已知测角仪的高度为1.2米，点C、E、A在同一水平直线上．根据以上信息，求塔的高度， （参考数据：） 17．（2025·上海闵行·一模）如图，一种遮阳伞的截面由主伞骨和、支伞骨和以及伞柄组成，伞柄垂直于地面且平分，厘米，，厘米．使用遮阳伞时，可以通过调节点在伞柄上的位置来确定的大小．当点、、三点在同一直线上时，遮阳伞完全打开，此时达到最大为．（参考数据：，，，计算结果保留根号） (1)当厘米， ⅰ）在遮阳伞完全打开时，求、之间的距离． ⅱ）在伞打开的过程中（从变到），点上升了_____厘米． (2)设的度数为，在平行的太阳光照射下，遮阳伞能遮住的地面长为_____（用式子表示）；如果想通过只改变一个条件来增大遮阳伞遮住地面的长，你的建议是_____． 18．（2024·贵州·中考真题）综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： (1)求的长； (2)求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）． （参考数据：，，） 19．（2024·山东威海·中考真题）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角．测量报告如下表（尚不完整） 课题 测量某护堤石坝与地平面的倾斜角 成员 组长：×××  组员：×××，×××，××× 测量工具 竹竿，米尺 测量示意图 说明：是一根笔直的竹竿．点是竹竿上一点．线段的长度是点到地面的距离．是要测量的倾斜角． 测量数据 …… …… (1)设，，，，，，，，请根据表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏． (2)根据（）中选择的数据，写出求的一种三角函数值的推导过程． (3)假设，，，根据（）中的推导结果，利用计算器求出的度数，你选择的按键顺序为________． 20．（2024·新疆·中考真题）数学活动课上为了测量学校旗杆的高度，某小组进行了以下实践活动： （1）准备测量工具 ①测角仪：把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪（图1），利用它可以测量仰角或俯角； ②皮尺． （2）实地测量数据 ①将这个测角仪用手托起，拿到眼前，使视线沿着测角仪的直径刚好到达旗杆的最高点（图2）； ②用皮尺测出所站位置到旗杆底部的距离为，眼睛到地面的距离为． （3）计算旗杆高度 ①根据图3中测角仪的读数，得出仰角的度数为 ； ②根据测量数据，画出示意图4，，求旗杆的高度（精确到）；（参考数据：，，，，，） ③若测量者仍站在原处（B点），能否用三角板替代测角仪测出仰角？若能，请写出测量方法；若不能，该如何调整位置才能用三角板测出仰角，请写出测量方法． 参考答案 1．(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合是解题的关键． （1）设，在中，．在中，．则．解方程即可； （2）求出，根据即可得到答案． 【详解】（1）解：设，由，得． ，垂足为， ． 在中，， ． 在中，， ． ． 得． 答：线段的长约为． （2）在中，， ． ． 答：桥塔的高度约为． 2．(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题考查了相似三角形的应用举例，勾股定理的实际应用，正确写出比例式，并进行换算是解题关键． （1）设平移到，在地面上形成的影子为．利用平行相似即可； （2）①以为圆心，长为半径画圆，当与相切于时，此时最大为．②先证明，再利用勾股定理求出，由，即可求出的长度的最大值． 【详解】（1）解：设平移到，在地面上形成的影子为． ， ，，， ，，， ， ， ， 沿着方向平移时，长度不变． （2）解：①以为圆心，长为半径画圆， 当与相切于时，此时最大为． 此时所在位置为． ②，， ， ， 设，则， 在中， ， ， ， ，（舍去）， ， 由①， ， ， 即的长度的最大值为， 故答案为：80． 3．；旗杆高度可求，为米 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，相似三角形的应用，解决本题的关键是要熟练掌握解直角三角形的方法． （1）首先证明出，得到，然后代入即可求出； （2）如图所示，过点H，作于N，设米，解直角三角形得到的长，进而求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以； （2）如图所示，过点H，作于N， 设米， 米， 在中，， ， 在中，，， ， ， ， 解得：， 答：旗杆高度可求，为米． 4．电线塔的高度约为42米 【详解】本题考查相似测高与三角函数测高综合，涉及三角形相似的判定与性质、解直角三角形等知识，根据题意得到，利用相似比列式得到，再解直角三角形，由正切函数得到，联立方程组求解即可得到答案，熟练掌握相似测高与三角函数测高的题型解法是解决问题的关键． 解：， ． 又， ， ， ． 在中，，则，                                   ， ，解得米， （米）， 答：电线塔的高度约为42米． 5．乾元塔的高度约为米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，设平移后得到，延长交于点，设，分别解，表示出的长，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设平移后得到，延长交于点，则：，，， 设，则：， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴； 答：乾元塔的高度约为米． 6．(1)29 (2)巡逻船的航行速度海里/小时． 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，方位角的问题，相似三角形的判定与性质． （1）分别过点B，C作点A所在水平线的垂线，垂足分别为，根据题意得：，证明四边形是矩形，解直角三角形求出，即可解答； （2）过点作，垂足为，证明，求，，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图，分别过点B，C作点A所在水平线的垂线，垂足分别为， 根据题意得：， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 在中，（海里）， （海里）， 在中，（海里）， （海里）， （海里）； （2）解：过点作，垂足为， 根据题意得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 则（海里/小时） 答：巡逻船的航行速度海里/小时． 7．(1)见解析 (2)塑像的高约为 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，解直角三角形的应用等知识，解题的关键是： （1）连接，根据圆周角定理得出，根据三角形外角的性质得出，然后等量代换即可得证； （2）在中，利用正切的定义求出，在中，利用正切的定义求出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接． 则． ∵， ∴． （2）解：在中，，． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． ∴． 答：塑像的高约为． 8．喷泉景观（含底座）的高度约为10米 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点F作于点H．则四边形为矩形，可得米，．设米，证明，利用相似三角形的性质求出米，再解直角三角形得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图，过点F作于点H． ∵，， 四边形为矩形， 米，． 设米． 由题意得，， ， ，即 解得米， 米． ∵在中，，米， 解得． 答：喷泉景观（含底座）的高度约为10米． 9．(1)； (2)； (3)切线长的值为，，两点到桌面的距离的差为． 【分析】（1）过点作于点，作于点，则四边形为矩形，有，在中，利用三角函数解得的值，进而可得的值即可； （2）设点在旋转过程中运动到点，的位置时，点到桌面的距离均为，过点作于H，则，作于点D，则四动形为矩形，在中，利用三角函数解得，进而可得，由圆的轴对称性可知，然后利用弧长公式求解即可； （3）连接，过点作，交延长线于点，过点作于点，根据题意可得，在中，利用勾股定理解得；证明，利用相似三角形的性质解得的值，再证明，易得即可． 【详解】（1）解：如下图，过点作于点，作于点， 则四边形为矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 答：点到桌面的距离是； （2）解：如下图，设点在旋转过程中运动到点，的位置时，点到桌面的距离均为， 过点作于H，则，作于点D， 则四动形为矩形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 由圆的轴对称性可知，， ∴． ∴符合条件的点所经过的路径长为； （3）解：如下图，连接，过点作，交延长线于点，过点作于点， ∵弧是半圆， ∴为的直径， ∵直线切于点，且经过点， ∴， 在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即，两点到桌面的距离的差为． 答：切线长的值为，，两点到桌面的距离的差为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形、矩形的判定与性质、弧长计算、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解题意并正确作出辅助线是解题关键． 10．(1)的长度约是米 (2)防眩板，间的距离是米 【分析】本题主要考查了解直角三角形、相似三角形的判定与性质的应用及解分式方程，熟练掌握相关定义及判定定理是解题关键． （1）根据锐角三角函数的定义求解即可； （2）分别过点，作于点，于点，可证明，，设米，根据相似三角形的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：（1）依题意，在中， ∵，，，米， ∴， ∴（米）． 答：的长度约是米． （2）解：如图，分别过点，作于点，于点， 依题意得（米）， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（米）． 设米， ∵， ∴， ∴， ∴=， 解得x=， 经检验x=是原方程的解． ∴防眩板，间的距离是米． 11．大树的高度约为米． 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义、相似三角形的判定和性质是解题的关键． 设米，根据正切的定义用x表示出，进而表示出，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：设米， 在中，， ， （米）， 米， ，， ∴， ，即， 解得：， 答：大树的高度约为米． 12．此设计合理，理由见解析 【分析】此题主要考查了解直角三角形，圆的有关计算，切线的性质等，解答此题的关键是理解题意，在图2中，过点作于，证明 ，可求出，可得，在图3中，过作于，过点作于，在中，，在中，，可求得，从而可得答案． 【详解】解：此设计合理，理由如下： 过点作于，如图所示： 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 过作于，过点作于，如图所示： 摇椅后摇至底座与地面相切于点， ，且平行于地面， 在中，， 在中，， ， 点比点在竖直方向上高出12，大于10， 此设计合理． 13．点A到地面的距离的长约为27米 【分析】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 延长交于点，根据矩形的性质得到，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：延长交于点， 由题意得，四边形为矩形， ， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， 设米． ， ， ， 解得， （米）； 答：点到地面的距离的长约为27米． 14．调整后的滑梯会多占的一段地面 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点E作于H，则四边形是矩形，可得，再解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点E作于H，则四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 答：调整后的滑梯会多占的一段地面． 15．(1)30；75；5 (2)该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区 【分析】本题主要考查了方位角的计算，解直角三角形的实际应用，三角形内角和定理： （1）根据方位角的描述和三角形内角和定理可求出两个角的度数，根据路程等于速度乘以时间可以计算出对应线段的长度； （2）设海里，先解得到，再解得到海里，海里，据此可得，解得海里；证明，则海里；再求出上午9时时船与C点的距离即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，过点P作于D， 由题意得， ， ∴； ∵一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，上午8时从A出发到上午8时30分到达B， ∴海里． （2）解：设海里， 在中，海里， 在中，海里，海里， ∵， ∴， 解得， ∴海里， ∵， ∴， ∴海里； 上午9时时，船距离A的距离为海里， ∵， ∴该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区． 16．73.2米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．根据题意得到米，米，，，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：由题意得，米，米，，， 在中，， ， 在中，， ， 米， ， 解得， （米， 答：塔的高度为73.2米． 17．(1)i）； (2)；增大主伞骨的长度 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，解直角三角形等，理解题意，正确作出辅助线是解题关键． （1）i）连接，由题意得：，根据三角函数求出的长度，再利用，求出的长； ii）分别求出时和时的长度，作差即可得到点M上升的高度； （2）用l和α表示的长度，即可得到的长；如可以通过增大主伞骨的长度，来增大遮阳伞遮住地面的长． 【详解】（1）解：i）连接，由题意得：， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即、之间的距离为； ii）当时，， 当时，， ∴上升的高度为：， 故答案为：； （2）解：连接，遮阳伞完全打开，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如果想通过只改变一个条件来增大遮阳伞遮住地面的长，我的建议是增大主伞骨的长度， 故答案为：；增大主伞骨的长度． 18．(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据等腰三角形的性质计算出的值； （2）利用锐角三角函数求出长，然后根据计算即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∴， （2）解：由题可知， ∴， 又∵， ∴， ∴． 19．(1)，，，； (2)，推导见解析； (3)． 【分析】（）根据题意选择需要的数据即可； （）过点作于点，可得，得到，即得，得到，再根据正弦的定义即可求解； （）根据（）的结果即可求解； 本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：需要的数据为：，，，； （2）解：过点作于点，则， ∵， ∴， ∴ ∴， 即 ∴， ∴； （3）解：∵， ∴按键顺序为， 故答案为：． 20．①；②；③不能，见详解 【分析】本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形的实际应用，熟练掌握知识点，正确理解题意是解决本题的关键． ①根据直角三角形两锐角互余即可求解； ②由题意得：，，，解可求出，由即可求解； ③不能，若使用的三角板，可以把三角板的角对着眼睛，直角边在水平线上，视线沿着三角板的斜边向上看，然后向后退，直至退到角的顶点与点D重合即可停下，即得到此时的仰角为，标记自己的位置，测量自己的位置与点C的距离，即可解直角三角形进行计算；若使用的三角板，可以把三角板的角对着眼睛，直角边在水平线上，视线沿着三角板的斜边向上看，然后向前走，直至走到另一个角的顶点与点D重合即可停下，即得到此时的仰角为，标记自己的位置，测量自己的位置与点C的距离，即可解直角三角形进行计算． 【详解】解：①如图： 由题意得， ∴； ②由题意得：，，， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， 答：旗杆的高度约为； ③不能， 若使用的三角板，可以把三角板的角对着眼睛，直角边在水平线上，视线沿着三角板的斜边向上看，然后向后退，直至退到角的顶点与点D重合即可停下，即得到此时的仰角为，标记自己的位置，测量自己的位置与点C的距离，即可解直角三角形进行计算，如示意图： 若使用的三角板，可以把三角板的角对着眼睛，直角边在水平线上，视线沿着三角板的斜边向上看，然后向前走，直至走到另一个角的顶点与点D重合即可停下，即得到此时的仰角为，标记自己的位置，测量自己的位置与点C的距离，即可解直角三角形进行计算，如示意图： 学科网（北京）股份有限公司 $$