福建省2024年中考数学2专题突破篇专题课件

专题二　图形变换小综合 破篇 1.如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D'，C'的位置.若∠AED'＝50°，则∠EFC等于（　C　） A.65° B.110° C.115° D.130° C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长是（　B　） A.8 B.10 C.12 D.16 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB'C'的位置，使CC'∥AB，则旋转角的度数为（　C　） A.35° B.40° C.50° D.65° C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.如图，在正方形ABCD中，AB＝6，M是AD边上的一点，AM∶MD＝1∶2.将△BMA沿BM对折至△BMN，连接DN，则DN的长是（　D　） A. B. C.3 D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥.如图，将边长为2 cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1 cm得到正方形A'B'C'D'，形成一个“方胜”图案，则重叠部分的小正方形边长为（　C　） A.1 cm B.2 cm C. cm D.（2－1）cm C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，且有一个内角为72°，现将其绕点D顺时针旋转得到菱形A'B'C'D，线段AB与线段B'C'交于点P，连接BB'.当五边形A'B'BCD为正五边形时，为（　B　） A.1 B. C.－1 D. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，E是BC上一点，把△CDE沿DE折叠得到△C'DE，当点C'落在线段AE上时，CE的长为_____ ⁠. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形.若OA∶AD＝2∶3，则△ABC与△DEF的周长比是_______⁠. 2∶5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，则点D到BC的距离是____ ⁠. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.如图，正方形ABCD的边长为4，点M，N分别在AB，CD上.将该正方形沿MN折叠，使点D落在BC边上的点E处，折痕MN与DE相交于点Q. （1）若E是BC的中点，则DN的长为____ ； （2）若G为EF的中点，随着折痕MN位置的变化，GQ＋QE的最小值为________ . ​ 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处. （1）请写出图中的一对全等三角形，并说明理由； 解：（1）△ABM≌△AEN.理由如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AB＝CD，∠B＝∠D＝90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由折叠的性质可得CD＝AE＝AB，DN＝EN，∠E＝∠D＝90°，∠CMN＝∠AMN，∵AD∥BC，∴∠ANM＝∠CMN， ∴∠AMN＝∠ANM，∴AM＝AN. 在Rt△ABM和Rt△AEN中， ∴Rt△ABM≌Rt△AEN（HL）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2）若AB＝4，BC＝8，则折痕MN的长为 　2　⁠. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处. 12.在正方形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，点E和点F分别是BC，CD上的动点，且EO⊥FO，连接EF. （1）如图①，若AC＝4，BE＝1，求线段EF的长； （1）解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝90°＝∠COD，OC＝OD，∠OCB＝∠ODC＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 又∵AC＝4，∴易得BC＝AB＝4，∴CD＝4. ∵EO⊥FO，∴∠EOF＝90°，即∠COE＋∠COF＝90°. ∵∠DOF＋∠COF＝90°，∴∠COE＝∠DOF. 在△COE和△DOF中， ∴△COE≌△DOF（ASA），∴CE＝DF. ∵BE＝1，∴CE＝BC－BE＝4－1＝3， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∴DF＝CE＝3，∴CF＝CD－DF＝4－3＝1. 在Rt△CEF中，EF＝＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2）如图②，将∠EOF的顶点移到AO上任意一点O'处，∠EO'F绕点O'旋转，仍满足EO'⊥FO'，O'E交BC的延长线于点E，射线O'F交CD的延长线于点F，连接EF.求证：CF－CE＝O'C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.在正方形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，点E和点F分别是BC，CD上的动点，且EO⊥FO，连接EF. （2）证明：过点O'作O'G∥BD交CF于点G. ∵四边形ABCD为正方形， ∴AC⊥BD，∠OCD＝∠ODC＝45°，易得∠FCE＝90°. ∴O'G⊥AC，∠OCE＝∠OCD＋∠FCE＝45°＋90°＝135°. ∵EO'⊥FO'，∴∠EO'F＝90°， ∴∠FO'G＋∠EO'G＝90°. ∵∠CO'E＋∠EO'G＝90°，∴∠FO'G＝∠CO'E. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∵O'G∥BD，∴∠O'GC＝∠ODC＝45°， ∴△O'GC为等腰直角三角形，∠O'GF＝180°－∠O'GC＝180°－45°＝135°， ∴CG＝O'C，O'G＝O'C，∠O'GF＝∠O'CE. 在△O'GF和△O'CE中， ∴△O'GF≌△O'CE（ASA），∴GF＝CE， ∴CF－CE＝CF－GF＝CG＝O'C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$专题八 几何压轴题标准化解题程序解析 02 专题突破篇 程序一 程序二 程序三 找出基本图形，并画出动点固定在某一点时的图形 进一步分析由于动点变化带动从动点及其他量的变化 加入新的点变为更 复杂的图形 常通过建系或作辅助线(常用弦图) 来思考 例 程序1 程序2 程序3 例：【2023福建第25题】如图①, 在△ABC中, ∠BAC＝90°, AB＝AC, D是AB边上不与A, B重合的一个定点. AO⊥BC于点O, 交CD于点E.DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的, FD, CA的延长线相交于点M. (1) 求证: △ADE∽△FMC; (2) 求∠ABF的度数; (3) 若N是AF的中点, 如图②.求证: ND＝NO. 例 程序1 程序2 程序3 程序1 找出基本图形, 并画出动点固定在某一点时的图形 如图①，在△ABC中，∠BAC=90%，AB=AC，D是AB边上不与A，B重合的一个定点. AO⊥BC于点O，交CD于点E. DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的, FD, CA的延长线相交于点M. 基本图形 加入动点D(点D位置不周定，可看成动点) 出现从动点F：可把动点固定到某一点，获取完整的 基本信息， ∠FDC=90°，FD=CD 读题 在基本图形中画出完整图形 例 程序1 程序2 程序3 解: 画出完整图形如图①. 例 程序1 程序2 程序3 程序2 进一步分析由于动点变化带动从动点及其他量的变化 分析： ①动点变化导致相关角和边的变化，由于所求为角度，所以分析角度关系 ②旋转后生出的等腰直角三角形, 可以联想到常用辅助线. 具体分析 找变化源头，从源头中找各几何量之间的关系 整体分析 仔细分析旋转后图形变化 例 程序1 程序2 程序3 ③本题是动点D变化导致角度变化，设∠ACD= α,由于∠ACB=∠DCF=45°,故∠BCF=α，∠BCD=45°-α ，∠M=90°-α，∠ADE=____，∠ADM=∠BDF=α. ④结合常用模型求解 整体分析 在图中标出相等的角 例 程序1 程序2 程序3 ①出现直角三角形，可以联想到常用辅助线 (平时注意积累经验) 构造一线三等角，如右图. ②两个等腰直角三角形 ；可以出现相似，从而出现边的比例关系，进而有可能得到两个新三角形相似. 例 程序1 程序2 程序3 (1) 证明： (2) 方法一：通过两个等腰直角三角形得出相似证明【自主作答】 例 程序1 程序2 程序3 【难点展示】 △BAC∽△FDC，∴ ，∴ ， 又∵∠ACD=∠BCF， ∴△ACD ∽△BCF， ∴∠BFC=∠ADC=90°-∠MCD， 又∵∠BFD=∠BFC-45°=45°-∠MCD， 又∵∠BCD=45°-∠MCD，∴∠BFD= ∠BCD， ∴易得∠FBC=∠FDC=90 ③中的结论 例 程序1 程序2 程序3 方法二: 通过四点共圆证明 ∠DFC＝∠DBC＝45°, 从而得出B、F、C、D四点共圆. 可得∠CBF＝∠CDF＝90°. 例 程序1 程序2 程序3 例 程序1 程序2 程序3 ∴∠BAO＝∠DFC. ∵易知∠EDA＋∠ADM＝90°, ∠M＋∠ADM＝90°, ∴∠EDA＝∠M. ∴△ADE∽△FMC. (2)方法一: 略. 　方法二: 略. 例 程序1 程序2 程序3 1. 读题: 若N是AF的中点, 如图②. 求证: ND＝NO. 2. 分析: 解题的关键点就是中点, 中点的用法不同也就有了不同的解题方法. 方法一: 由中点, 联想到构建 全等(中点的典型用法) 程序3 加入新的点变为更复杂的图形 例 程序1 程序2 程序3 ①由于点N为中点, 延长ON交FB于点G, 连接DG, DO, 如图, 求证: △FGN≌△AON. ②求证: △GFD≌△OCD. ③求证: ND＝NO. 例 程序1 程序2 程序3 方法二: 通过建立坐标系(利用中点坐标公式) : 总体思路: 例 程序1 程序2 程序3 具体做法: ①建系: 以O为原点, BC、OA所在直线分别为x轴和y轴, 设点A的坐标为(0, 1) , 点C的坐标为(1, 0) . 请在图中标出坐标系. ②找点D坐标: D点在AB上, 易得直线AB的 解析式为y＝x＋1, 所以可设点D的坐标 为(n, n＋1) (－1<n<0) . 例 程序1 程序2 程序3 ③找从动点F的坐标: 点F是点C旋转后的对应点, 可利用一线三等角(经常用到) 得到F的坐标为(－1, 2n) . 请同学们具体写一下过程: ④求点N坐标: 根据中点坐标公式求出点N坐标. 请同学们求一下: ⑤求出DN和NO的值:利用两点间距离公式求出并证明二者相等. 请同学们证明： 点A(x1, y1), B(x2, y2)的距离为AB= 例 程序1 程序2 程序3 方法一: 证明: ①由(2)知∠CBF＝90°, ∵AO⊥BC, ∴∠AOB＝90°, ∴∠CBF＝∠AOB. ∴AO∥BF, ∴∠GFN＝∠OAN. ∵N是AF的中点, ∴AN＝FN. ∴△FGN≌△AON. 例 程序1 程序2 程序3 ②由①得△FGN≌△AON, ∴FG＝AO, ∵∠BAC＝90°, AB＝AC, AO⊥BC, ∴AO＝CO, ∴FG＝CO. 由(2)知∠BFD＝∠BCD, 即∠GFD＝∠OCD. 又∵DF＝DC, ∴△GFD≌△OCD. 例 程序1 程序2 程序3 ③由②得△GFD≌△OCD, ∴DG＝DO, ∠FDG＝∠CDO, ∴∠FDG＋∠FDO＝∠CDO＋∠FDO, 即∠GDO＝∠FDC＝90°. 由①知△FGN≌△AON, ∴GN＝ON, 例 程序1 程序2 程序3 方法二: ①解: 如图②所示. ③解: 过点D作DH∥y轴交x轴于点H, 过点F作FI∥x轴交y轴于点I, DH的延长线与FI交于点K, 则∠FKD＝∠DHC＝90°, KI＝OH, DH＝n＋1, OH＝－n, HC＝1－n. 例 程序1 程序2 程序3 ∴∠KFD＋∠FDK＝90°, ∵∠FDK＋∠CDK＝∠FDC＝90°, ∴∠KFD＝∠CDH, 又∵FD＝CD, ∴△FKD≌△DHC. ∴FK＝DH＝n＋1, DK＝HC, 例 程序1 程序2 程序3 ∴FI＝FK＋KI＝FK＋OH＝n＋1＋(－n)＝1, HK＝DK－DH＝HC－DH＝1－n－(n＋1)＝－2n, ∵点F在第三象限, ∴点F的坐标为(－1, 2n). 例 程序1 程序2 程序3 例 程序1 程序2 程序3 = = 90°－α　(1)证明: DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的, ∴∠FDC＝90°, FD＝CD, ∴∠DFC＝45°. ∵AB＝AC, AO⊥BC, ∴∠BAO＝∠BAC. ∵∠BAC＝90°, ∴∠BAO＝45°. 在△FGN和△AON中, ∴ND＝GO＝NO. ④解: ∵点N是AF的中点, F(－1, 2n), A(0, 1), ∴点N的坐标为. ⑤证明: 由②④得点D(n, n＋1), N, ∴DN＝＝, NO＝＝, ∴DN＝NO. $$专题四 综合实践(一) ——实践作图类中考趋势题 02 专题突破篇 常见作图类型 1 例1：【人教八上P51题1】用三角尺可按如图所示的方式画角平分线: 在已知的∠AOB的两边上, 分别取OM＝ON, 再分别过点M, N作OA, OB的垂线, 交点为P, 画射线OP, 则OP平分 ∠AOB, 为什么? 类型1 利用全等作图 例1 例2 例3 例4 例5 例6 解: 在Rt△POM和Rt△PON中, ∵PO＝PO, OM＝ON, ∴Rt△POM≌Rt△PON(HL). ∴∠POM＝∠PON, ∴OP平分∠AOB. 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例2：【人教八上P41题2】如图, 要测量池塘两岸相对的两点A, B的距离, 可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C, D, 使BC＝CD, 再画出BF的垂线DE, 使E与A, C在一条直线上, 这时测得的DE的长就是 AB的长, 为什么? 例1 例2 例3 例4 例5 例6 解: ∵BF⊥AB, DE⊥BF, ∴∠EDC＝∠B＝90°, ∵E, A, C在同一条直线上, ∴∠DCE＝∠BCA. 在△EDC和△ABC中, ∵∠EDC＝∠B, CD＝CB, ∠DCE＝∠BCA, ∴△EDC≌△ABC(ASA)∴DE＝AB, 即测得的DE的长就是AB的长. 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例3：【利用相似】如图①, 在△ABC中, ∠BAC＝30°, D为边AC上一点, 在BD的延长线上求作一点E使得∠CAE＝∠CBD.小东提出了如下作图方案: 如图②, 将含30°角的直角三角板中较长的直角边贴在直线BD上滑动, 使得斜边恰好经过点C, 记此时三角板的斜边与BD的延长线交点为E, 则点E即为所求. 你认为小东的作法正确吗? 请说明理由. 类型2 利用相似或三角函数作图 例1 例2 例3 例4 例5 例6 解: 小东的作法正确. 理由: 由题意可知∠CED＝30°, ∴∠CED＝∠BAD, 又∵∠EDC＝∠ADB, ∴△EDC∽△ADB, ∴ , 又∵∠ADE＝∠BDC, ∴△ADE∽△BDC, ∴∠CAE＝∠CBD, ∴小东的作法正确. 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例4：【利用位似】如图①, △ABC是一块三角形废铁片, 欲利用其裁剪出一个正方形, 使正方形的一条边落在边BC上, 另外两个顶点分别在边AC, AB上. 探究怎样在铁片上准确地剪出该正方形? (1) 小明给出的作法如下: ①在边AB上任取一点G′, 作G′D′⊥BC, 垂足为D′; ②以G′D′为边, 在△ABC内作正方形G′D′E′F′; 例1 例2 例3 例4 例5 例6 ③连接BF′并延长, 交边AC于点F; ④作FE∥F′E′, 交边BC于点E, 作FG∥F′G′, 交边AB于点G, 作GD∥G′D′, 交边BC于点D, 那么四边形DEFG即为所求, 如图②所示, 然后裁剪下来即可. 你认为小明的作法正确吗? 说明理由. (2) 请模仿上述方法, 在如图③所示的半圆形中作出其内接正方形, 即正方形的一边在直径上, 另两个顶点在弧上. 例1 例2 例3 例4 例5 例6 解: (1)小明的作法正确. 理由: ∵FE∥F′E′, FG∥F′G′, GD∥G′D′, ∴△BEF∽△BE′F′, △BGF∽△BG′F′, △BGD∽△BG′D′, 例1 例2 例3 例4 例5 例6 ∴四边形DEFG与正方形D′E′F′G′关于点B位似, ∴四边形DEFG是正方形. 因此小明的作法正确. (2)如图, 设半圆的直径为AB, 取AB的中点O. 作法如下: ①在AO上任取点C′, 在BO上取点D′, 使D′O＝C′O; ②以C′D′为边作正方形C′D′E′F′; ③作射线OE′, OF′, 分别交圆弧于点E, F; ④连接EF, 过点E作ED⊥AB于点D, 过点F作FC⊥AB于点C, 则四边形CDEF即为所求. 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例5：【利用相似和三角函数】【2023福建10分】阅读下列材料, 回答问题. 任务: 测量一个扁平状的小水池的最大宽度, 该水池东西走向的最大宽度AB远大于南北走向的最大宽度, 如图①. 例1 例2 例3 例4 例5 例6 工具: 一把皮尺(测量长度略小于AB) 和一台测角仪, 如图②.皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离(这两点间的距离不大于皮尺的测量长度) ; 测角仪的功能是测量角的大小, 即在任一点O处, 对其视线可及的P, Q两点, 可测得∠POQ的大小, 如图③. 小明利用皮尺测量, 求出了小水池的最大宽度AB, 其测量及求解过程如下: 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例1 例2 例3 例4 例5 例6 (1) 补全小明求解过程中①②所缺的内容; (2) 小明求得AB用到的几何知识是___________; (3) 小明仅利用皮尺, 通过5次测量, 求得AB.请你同时利用皮尺和测角仪, 通过测量长度、角度等几何量, 并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度AB, 写出你的测量及求解过程. 要求: 测量得到的长度用字母d, e, f, …表示, 角度用α, β, γ, …表示; 测量次数不超过4次(测量的几何量能求出AB, 且测量的次数最少, 才能得满分) . 例1 例2 例3 例4 例5 例6 解: (1)∠C＝∠C　②3c (2)相似三角形的判定与性质 (3)测量过程: ①在小水池外选一点C, 如图, 用测角仪在点B处测得∠ABC＝α, 在点A处测得∠BAC＝β; ②用皮尺测得BC＝d m. 例1 例2 例3 例4 例5 例6 求解过程: 由测量知, 在△ABC中, ∠ABC＝α, ∠BAC＝β, BC＝d m. 过点C作CD⊥AB, 垂足为D. 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例6：【2022兰州】【综合与实践】 问题情境: 我国东周到汉代一些出土 实物上反映出一些几何作图方法, 如侯马铸铜遗址出土车軎(wèi) 范、芯组成的铸型(如图①) , 它的端面是圆形. 类型3 利用圆的性质作图 例1 例2 例3 例4 例5 例6 如图②是用“矩”(带直角的角尺) 确定端面圆心的方法: 将“矩”的直角尖端A沿圆周移动, 直到AB＝AC, 在圆上标记A, B, C三点; 将“矩”向右旋转, 使它左侧边落在A, B点上, “矩”的另一条边与圆的交点标记为D点, 这样就用“矩”确定了圆上等距离的 A, B, C, D四点, 连接AD, BC, 它们 相交于点O, 即O为圆心. 例1 例2 例3 例4 例5 例6 问题解决: (1) 请你根据“问题情境”中提供的方法, 用三角板还原我国古代几何作图确定圆心O. 如图③, 点A, B, C在⊙O上, AB⊥AC, 且AB＝AC, 请作出圆心O. (保留作图痕迹, 不写作法) 例1 例2 例3 例4 例5 例6 类比迁移: (2) 小梅受此问题的启发, 在研究了用“矩” (带直角的角尺) 确定端面圆心的方法后发现, 如果AB和AC不相等, 用三角板也可以确定圆心O. 如图④, 点A, B, C在⊙O上, AB⊥AC, 请作出圆心O. (保留作图痕迹, 不写作法) 例1 例2 例3 例4 例5 例6 拓展探究: (3) 小梅进一步研究, 发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差, 用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差. 如图⑤, 点A, B, C是⊙O上任意三点, 请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心O. (保留作图痕迹, 不写作法) , 并写出确定圆心的理由: __________. 例1 例2 例3 例4 例5 例6 解: (1)如图①, 点O即为圆心. (2)如图②, O即为所求作的圆心. (3)如图③, O即为所求作的圆心. 垂直平分弦的直线经过圆心 例1 例2 例3 例4 例5 例6 ＝ ∴＝, ＝, ＝, ∴＝＝＝, 测量过程: (ⅰ) 在小水池外选一点C, 如图④, 测得AC＝a m, BC＝b m; (ⅱ) 分别在AC, BC上取一点M, N, 使CM＝ m, CN＝ m, 此时测得MN＝c m. 求解过程: 由测量知, AC＝a m, BC＝b m, CM＝ m, CN＝ m, ∴＝＝, 又∵__①__, ∴△CMN∽△CAB. ∴＝＝, 又∵MN＝c m, ∴AB＝__②__ m. 故小水池的最大宽度为***m. 在Rt△CBD中, cos∠CBD＝, 即cosα＝, ∴BD＝dcosα m. 同理可得CD＝dsinα m. 在Rt△ACD中, tan∠CAD＝, 即tanβ＝, ∴AD＝ m, ∴AB＝BD＋AD＝ m. 故小水池的最大宽度为m. $$专题六 概率与统计 02 专题突破篇 类型1 统计与概率相结合 例1：【2023漳州质检10分】为了传承中华优秀传统文化, 增强文化自信, 某校组织了“弘扬民族文化, 品味诗词精华”的竞赛, 对参加竞赛的学生成绩 (得分取正整数, 满分为100分) 进行统计, 绘制了两幅不完整 的统计图(如图) . 例1 例2 例3 (1) 请补全频数分布直方图, 并求出a与n; (2) 学校为了奖励竞赛成绩80分以上的同学, 设计了以下两种奖励方案: 方案一: 成绩位于D组的同学, 每人奖励18元, 成绩位于E组的同学, 每人奖励27元; 例1 例2 例3 方案二: 通过参与摸球活动获得奖励. 具体方法如下: 在一个不透明的袋子里装有除数字标记外其他完全相同的三个小球, 数字分别标为“5”“10”“15”, 学生先随机摸出一球后不放回, 再随机摸出第二球, 则两球标记的数字之和为该学生所获奖励金额(单位: 元) . 请你以学生所获奖金的平均数为决策依据, 学校应采用哪种方案, 奖金总额较少? 例1 例2 例3 例1 例2 例3 例1 例2 例3 例1 例2 例3 例2：【2019福建10分】某种机器使用期为三年, 买方在购进机器时, 可以给各台机器分别一次性额外购买若干次维修服务, 每次维修服务费为2 000元. 每台机器在使用期间, 如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数, 每次实际维修还需向维修人员支付工时费500元; 如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数, 超出部分每次维修需支付维修服务费5 000元, 但无需支付工时费. 例1 例2 例3 某公司计划购买1台这种机器, 为决策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务, 搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数, 整理得下表: 维修次数 8 9 10 11 12 频数(台数) 10 20 30 30 10 例1 例2 例3 (1) 以这100台机器为样本, 估计“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率; (2) 试以这100台机器维修费用的平均数作为决策依据, 说明购买1台这种机器的同时应一次性额外购买10次还是11次维修服务. 例1 例2 例3 某台机器使用 期内维修次数 8 9 10 11 12 这台机器的维 修费用(元) 24 000 24 500 25 000 30 000 35 000 例1 例2 例3 某台机器使用 期内维修次数 8 9 10 11 12 这台机器的维 修费用(元) 26 000 26 500 27 000 27 500 32 500 例1 例2 例3 例1 例2 例3 例3：【2023福建10分】为促进消费, 助力经济发展, 某商场决定“让利酬宾”, 于“五一”期间举办了抽奖促销活动. 活动规定: 凡在商场消费一定金额的顾客, 均可获得一次抽奖机会. 抽奖方案如下: 从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中, 随机摸出1个球, 若摸得红球, 则中奖, 可获得奖品; 类型2 概率决策问题 例1 例2 例3 若摸得黄球, 则不中奖. 同时, 还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中, 并再往袋中加入1个红球或黄球(它们的大小质地与袋中的4个球完全相同) , 然后从中随机摸出1个球, 记下颜色后不放回, 再从中随机摸出1个球, 若摸得的两球的颜色相同, 则该顾客可获得精美礼品一份. 现已知某顾客获得抽奖机会. 例1 例2 例3 (1) 求该顾客首次摸球中奖的概率; (2) 假如该顾客首次摸球未中奖, 为了有更大机会获得精美礼品, 他应往袋中加入哪种颜色的球? 说明你的理由. 例1 例2 例3 例1 例2 例3 第二球 第一球　　 红 黄① 黄② 黄③ 新 红   红, 黄① 红, 黄② 红, 黄③ 红, 新 黄① 黄①, 红   黄①, 黄② 黄①, 黄③ 黄①, 新 黄② 黄②, 红 黄②, 黄①   黄②, 黄③ 黄②, 新 黄③ 黄③, 红 黄③, 黄① 黄③, 黄②   黄③, 新 新 新, 红 新, 黄① 新, 黄② 新, 黄③   例1 例2 例3 例1 例2 例3 解: (1)根据题意, 得参加竞赛的学生人数为30÷10%＝300. ∴a＝300×25%＝75, B组学生的人数为300×20%＝60. ∴E组学生的人数为300－30－ 60－75－90＝45. ∴n°＝×360°＝54°, 即n＝54. 补图如图①. (2)方案一: 学生所获奖金的平均数为 ＝21(元). 方案二: 如图②所示. 共有6种结果, 每种结果的可能性相同, 和为15的结果有2种, 和为20的结果有2种, 和为25的结果有2种. ∴和为15的概率为, 和为20的概率为, 和为25的概率为, ∴学生所获奖金的平均数为15×＋20×＋25×＝20(元). ∵20<21, ∴学校采用方案二奖金总额较少. 解: (1) 估计“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率为＝0. 6. (2)购买10次时, 此时这100台机器维修费用的平均数为×(24 000×10＋24 500×20＋25 000×30＋30 000×30＋35 000×10)＝27 300(元); 购买11次时, 此时这100台机器维修费用的平均数为×(26 000×10＋26 500×20＋27 000×30＋27 500×30＋32 500×10)＝27 500(元). 因为27 300<27 500, 所以应一次性额外购买10次维修服务. 解: (1)该顾客首次摸球的所有可能结果为红, 黄①, 黄②, 黄③, 共4种等可能的结果, 记“该顾客首次摸得红球”为事件A, 则事件A发生的结果只有1种, ∴P(A)＝, ∴该顾客首次摸球中奖的概率为. (2)他应往袋中加入黄球. 理由如下: 记往袋中加入的球为“新”, 摸得的两球所有可能的结果列表如下: 共有20种等可能结果, (i)若往袋中加入的是红球, 两球颜色相同的结果共有8种, 此时该顾客获得精美礼品的概率P1＝＝. (ii)若往袋中加入的是黄球, 两球颜色相同的结果共有12种, 此时该顾客获得精美礼品的概率P2＝＝. ∵<, ∴P1<P2, ∴他应往袋中加入黄球. $$专题一 选填重难题型 02 专题突破篇 例1：【2023福建4分】已知抛物线y＝ax2－2ax＋b (a>0) 经过A(2n＋3, y1) , B(n－1, y2) 两点, 若A, B分别位于抛物线对称轴的两侧, 且y1<y2, 则n的取值范围是_____________. －1<n<0 题型1 含参函数的计算问题 例1 1 2 3 例2 4 5 例3 6 【思维可视化】 【思维可视化】 例1 1 2 3 例2 4 5 例3 6 针对训练： 1. 【2022福建4分】已知抛物线y＝x2＋2x－n与x轴交于A, B两点, 抛物线y＝x2－2x－n与x轴交于C, D两点, 其中n＞0.若AD＝2BC, 则n的值为________. 8 例1 1 2 3 例2 4 5 例3 6 例1 1 2 3 例2 4 5 例3 6 例1 1 2 3 例2 4 5 例3 6 2. 【2021福建4分】二次函数y＝ax2－2ax＋c(a＞0) 的图象过A(－3, y1) , B(－1, y2) , C(2, y3) , D(4, y4) 四个点, 下列说法一定正确的是(　　) A. 若y1y2＞0, 则y3y4＞0 B. 若y1y4＞0, 则y2y3＞0 C. 若y2y4＜0, 则y1y3＜0 D. 若y3y4＜0, 则y1y2＜0 C 例1 1 2 3 例2 4 5 例3 6 3. 【2017福建改编】若直线y＝kx＋k＋1经过点(m, n＋3) 和(m＋1, 2n－1) , 且0＜k＜2, 求n的取值范围. 例1 1 2 3 例2 4 5 例3 6 A 题型2 反比例函数与几何综合问题 例1 1 2 3 例2 4 5 例3 6 【思维可视化】 【思维可视化】 例1 1 2 3 例2 4 5 例3 6 针对训练： 4. 【2020福建4分】设A, B, C, D是反比例函数y＝ (k>0) 图象上的任意四点, 现有以下结论: ①以A, B, C, D为顶点的四边形可以是平行四边形; ②以A, B, C, D为顶点的四边形可以是菱形; ③以A, B, C, D为顶点的四边形不可能是矩形; ④以A, B, C, D为顶点的四边形不可能是正方形. 其中正确的是________. (写出所有正确结论的序号) ①④ 例1 1 2 3 例2 4 5 例3 6 例1 1 2 3 例2 4 5 例3 6 例1 1 2 3 例2 4 5 例3 6 例1 1 2 3 例2 4 5 例3 6 例1 1 2 3 例2 4 5 例3 6 例1 1 2 3 例2 4 5 例3 6 例1 1 2 3 例2 4 5 例3 6 题型3 几何动态问题 例3：【2021福建4分】如图, 在矩形ABCD中, AB＝4, AD＝5, 点E, F分别是边AB, BC上的动点, 点E不与A, B重合, 且EF＝AB, G是五边形AEFCD内满足GE＝GF且∠EGF＝90°的点. 例1 1 2 3 例2 4 5 例3 6 ①②④ 现给出以下结论: ①∠GEB与∠GFB一定互补; ②点G到边AB, BC的距离一定相等; ③点G到边AD, DC的距离可能相等; ④点G到边AB的距离的最大值为2 其中正确的是________. (写出所有正确结论的序号) 例1 1 2 3 例2 4 5 例3 6 【思维可视化】 【思维可视化】 例1 1 2 3 例2 4 5 例3 6 针对训练： 6. 【2023泉州二模4分】如图, 在菱形ABCD中, AB＝2, ∠ABC＝60°, 点E在边AD上, 连接BE. 例1 1 2 3 例2 4 5 例3 6 ①③④ 例1 1 2 3 例2 4 5 例3 6 例1 1 2 3 例2 4 5 例3 6 【分析过程】把y＝0代入y＝x2＋2x－n, 得x2＋2x－n＝0, 解得x1＝－1－, x2＝－1＋, 把y＝0代入y＝x2－2x－n, 得x2－2x－n＝0, 解得x3＝1－, x4＝1＋, ∵AD＝2BC, ∴AD2＝4BC2, ∴(x1－x4)2＝4(x2－x3)2, 即(－1－－1－)2＝4(－1＋－1＋)2, 整理, 得(－1－)2＝4(－1＋)2, 令＝m, 则(－1－m)2＝4(1－m)2, 解得m1＝, m2＝3, 当m＝时, ＝, 解得n＝－, ∵n>0, ∴n＝－不符合题意, 舍去; 当m＝3时, ＝3, 解得n＝8, ∵8>0, ∴n＝8符合题意, 即n的值为8. 解: 由题意得 解得k＝n－4, ∵0<k<2, ∴0<n－4<2, ∴4<n<6. 例2：【2023福建4分】如图, 正方形的四个顶点分别位于两个反比例函数y＝和y＝的图象的四个分支上, 则实数n的值为(　　) A. －3 B. － C. D. 3 【分析过程】如图, 连接AC, BD, 若交点为O, ∵反比例函数y＝的图象关于原点成中心对称, ∴OA＝OC, OB＝OD, ∴四边形ABCD是平行四边形, ∴①正确. 若四边形ABCD是菱形, 则AC⊥BD, 由图易知∠COD＜90°, ∴四边形ABCD不可能是菱形, ∴②错误. 如图, 作一次函数y＝x的图象, ∵反比例函数y＝的图象关于直线y＝x成轴对称, ∴当CD垂直于直线y＝x时, OC＝OD, OA＝OB, ∵OA＝OC, ∴OA＝OB＝OC＝OD, ∴AC＝BD, ∴四边形ABCD是矩形, ∴③错误. ∵四边形ABCD不可能是菱形, ∴四边形ABCD不可能是正方形, ∴④正确. 5. 【2019福建4分】如图, 菱形ABCD的顶点A在函数y＝(x＞0) 的图象上, 函数y＝(k＞3, x＞0) 的图象关于直线AC对称, 且经过B, D两点, 若AB＝2, ∠BAD＝30°, 则k的值为___________. 6＋2 【分析过程】 过A作AE⊥x轴于点E, 延长DA与x轴交于点F, 过点D作DG⊥x轴于点G, 如图, 则AE∥DG. ∵函数y＝(k＞3, x＞0)的图象关于直线AC对称, ∴O、A、C三点在同一直线上, 且∠COE＝45°, ∴∠OAE＝45°, ∴∠COE＝∠OAE, ∴OE＝AE, 设OE＝AE＝a, 则A(a, a), ∵点A在反比例函数y＝(x＞0)的图象上, ∴a2＝3, ∴a＝(负值已舍去), ∴AE＝OE＝, ∵四边形ABCD为菱形, ∠BAD＝30°, ∴∠CAD＝∠BAD＝15°, ∴∠OAF＝∠CAD＝15°, ∴∠EAF＝30°, ∴AF＝＝2, EF＝AE·tan30°＝1, ∵四边形ABCD为菱形, ∴AB＝AD＝2, ∴AD＝AF＝2, ∵AE∥DG, ∴△AFE∽△DFG, ∴EF＝EG＝1, DG＝2AE＝2 , ∴OG＝OE＋EG＝＋1, ∴D(＋1, 2 ), ∴k＝(＋1)×2 ＝6＋2 . . 作点A关于BE的对称点F, 连接EF、BF、DF.现给出以下4个结论: ①BE平分∠ABF; ②菱形ABCD的面积等于; ③△DEF周长的最小值为2 ; ④当EF⊥AD时, AE＝－1.其中正确的是________. (写出所有正确结论的序号) 【分析过程】根据题意易得△ABE≌△FBE, 得到∠ABE＝∠FBE, 可判断①; 连接AC, 根据菱形的性质和等边三角形的判定和性质求BC边上的高, 可判断②; 连接BD, 根据题意可判断当DF最小时, △DEF的周长最小, 再求得BD, 由DF≥BD－BF求解可判断③; 过点B作BT⊥DA交DA的延长线于点T, 利用锐角三角函数求得AT＝1, BT＝, 再由结论①和EF⊥AD得到∠TBE＝∠BET＝45°, 则TB＝TE＝, 进而可判断④. $$专题二 图形变换小综合 02 专题突破篇 备考指导 1 例1：一题多变: <原创题> 在等边三角形ABC中, 点D是边BC上一点, 连接AD. (1) 【对称变换】如图, 点E是点D关于AB的对称点, 连接AE, BE, DE. 若AB＝6, CD＝4, 求DE的长. 方法点拨：本题可以从以下两个方面来考虑: ①三角函数 (构造直角三角形) ; ②面积法. 例1 例2 例1 例2 例1 例2 例1 例2 例1 例2 (2) 【平移变换】如图, 若点D是线段BC的三等分点(靠近点B一侧) , 将△ABD沿着BC方向平移得到△EFC, 求sin∠DEF的值. 例1 例2 解：如图③, 过点D作DG⊥EF的延长线于点G. 在等边三角形ABC中, ∠ABC＝60°, 设AB＝6a, ∵点D是边BC的三等分点, ∴BD＝2a, CD＝4a, 由平移可知CF＝BD＝2a, EF∥AB, EF＝AB＝6a, ∴∠DFG＝∠ABC＝60°, DF＝2a, 例1 例2 例1 例2 (3) 【旋转变换】如图, 将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE, 连接DE交AC于点F. 若BD＝1, , 求AB的长. 例1 例2 解：∵△ABC是等边三角形, ∴AB＝BC＝AC, ∠B＝∠ACB＝60°, 由旋转可知AD＝AE, ∠ACE＝∠B＝60°, ∠DAE＝60°, ∴△ADE是等边三角形, ∴DE＝AD, ∠ADE＝60°, ∵∠ADC是△ABD的外角, ∴∠ADC＝∠BAD＋∠B＝∠BAD＋60°, 又∵∠ADC＝∠CDF＋∠ADE＝∠CDF＋60°, 例1 例2 例1 例2 例2：一题多变: <原创题> 在△ABC中, AB＝AC, ∠BAC＝90°, 点D是边BC上一点. (1) 【对称变换】如图, 连接AD, 将△ABD沿着AD所在的直线折叠, 得到△AED, EF⊥ED 交边BC于点F, 求证: DF2＝BD2＋CF2. 例1 例2 证明: 如图①, 连接EC, ∵AB＝AC, ∠BAC＝90°, ∴∠ABD＝∠ACB＝45°, 由折叠可知AE＝AB, DE＝BD, ∠AED＝∠ABD＝45°, ∴AC＝AE, ∴∠AEC＝∠ACE. ∵EF⊥DE, ∴∠DEF＝90°, ∴∠AEF＝∠DEF－∠AED＝90°－45°＝45°, ∴∠AEF＝∠ACB, ∴∠AEC－∠AEF＝∠ACE－∠ACB, ∴∠FEC＝∠FCE, ∴CF＝EF. 在Rt△DEF中, DE2＋EF2＝DF2, ∴BD2＋CF2＝DF2. 例1 例2 (2) 【平移变换】如图, CE⊥AD于点E, 将线段AE沿AB方向平移, 得到线段BF, 连接EF, 交BD于点G. ①若AB＝2, GE2＝GD·GC, 求CG的长. 例1 例2 例1 例2 例1 例2 例1 例2 ②<选做> 【旋转变换】将BF绕点B逆时针旋转90°, 得到BH, M为边BC的中点, 求证: F, H, M三点共线. 证明: 如图②, 连接FH, HM, AH, AM. 例1 例2 由旋转可知BH＝BF, ∠FBH＝90°, ∴∠BHF＝45°, 设∠CBH＝α, 则∠ABF＝∠ABC＋∠CBH＋∠FBH＝135°＋α, 由平移可知AE∥BF, AE＝BF, ∴∠BAD＝180°－∠ABF＝45°－α, BH＝AE, ∴∠CAE＝∠BAC－∠BAD＝90°－(45°－α)＝45°＋α, ∵∠ABH＝∠ABC＋∠CBH＝45°＋α, 例1 例2 ∴∠ABH＝∠CAE. 在△ABH和△CAE中, ∵AB＝AC, ∠ABH＝∠CAE, BH＝AE, ∴△ABH≌△CAE, ∴∠AHB＝∠CEA＝90°, ∵M是BC的中点, ∴∠AMB＝90°, ∴A, B, H, M四点共圆, ∴∠AHM＝∠ABM＝45°, ∴∠BHF＋∠AHB＋∠AHM＝180°, ∴F, H, M三点共线. 例1 例2 解: (1)解法1: 如图①, 过点E作EF⊥CB的延长线于点F. ∵△ABC是等边三角形, ∴BC＝AB＝6, ∠ABC＝60°, ∴BD＝BC－CD＝6－4＝2, 由题意可得 BE＝BD＝2, ∠ABE＝∠ABD＝60°, ∴∠EBF＝180°－∠ABD－∠ABE＝60°, 在Rt△BEF中, EF＝BE·sin∠EBF＝2×sin60°＝, BF＝BE·cos∠EBF＝2×cos60°＝1, ∴DF＝BD＋BF＝1＋2＝3, 在Rt△EDF中, 根据勾股定理可得DE＝＝＝2 . 解法2: 如图②, 设DE与AB的交点为F, 过点A作AG⊥BC于点G. ∵△ABC是等边三角形, ∴BC＝AB＝6, ∠ABC＝60°, ∴BD＝BC－CD＝6－4＝2, 在Rt△ABG中, AG＝AB·sin∠ABG ＝6×sin60°＝3 , ∴S△ABD＝BD·AG＝3 , 由题意可知△ABE≌△ABD, AB⊥DE, ∴S△ABD＝S△ABE, ∴S四边形ADBE＝2S△ABD＝2×3 ＝6 , ∵S四边形ADBE＝AB·EF＋AB·DF＝DE·AB＝3DE, ∴3DE＝6 , ∴DE＝2 . 在Rt△DFG中, DG＝DF·sin∠DFG＝2a×sin60°＝a, GF＝DF·cos∠DFG＝2a×cos60°＝a, ∴GE＝EF＋GF＝6a＋a＝7a, 在Rt△DEG中, 根据勾股定理, 可得DE＝＝2 a, ∴sin∠DEF＝＝＝. ＝ ∴∠BAD＝∠CDF, ∴△ABD∽△DCF, ∴＝, ∵＝, ∴DF＝DE＝AD, 即＝, ∴AB＝CD, 又∵CD＝BC－BD＝AB－BD＝AB－1, ∴AB＝(AB－1), 解得AB＝. ①解: ∵GE2＝GD·GC, ∴＝, 又∵∠EGD＝∠CGE, ∴△GED∽△GCE, ∴∠GED＝∠GCE, 由平移可知EF∥AB, ∴∠GED＝∠BAD, ∵CE⊥AD, ∴∠ACE＋∠CAE＝90°, 又∵∠BAD＋∠CAE＝∠BAC＝90°, ∴∠ACE＝∠BAD, ∴∠ACE＝∠DCE, 在△ACE和△DCE中, ∵∠AEC＝∠DEC＝90°, CE＝CE, ∠ACE＝∠DCE, ∴△ACE≌△DCE, ∴AE＝DE, CD＝AC, ∴CD＝AB＝2, ∵EF∥AB, ∴＝＝1, ∴DG＝BG＝BD, ∵AB＝AC, ∠BAC＝90°, ∴△ABC是等腰直角三角形, ∴易得BC＝2 , ∴BD＝BC－CD＝2 －2, ∴DG＝BD＝＝－1, ∴CG＝DG＋CD＝－1＋2＝＋1. $$专题三　圆的综合 专题突破篇 1.如图，在☉O中，AB为直径，EF为弦，AF，BE交于点P，且F为的中点. （1）求证：△FBP∽△FAB； （1）证明：∵F是的中点，∴＝，∴∠FBE＝∠A. ∵∠PFB＝∠BFA，∴△FBP∽△FAB. 1 2 3 4 5 （2）若tan∠BEF＝，求sin∠ABE的值. （2）解：如图，连接OF，交EB于点M. ∵＝，∴易得OF垂直平分BE. ∵AB是直径，∴∠AFB＝90°， tan A＝tan∠BEF＝＝. 设BF＝3a，则AF＝4a， 由勾股定理得AB＝＝5a， 1 2 3 4 5 1.如图，在☉O中，AB为直径，EF为弦，AF，BE交于点P，且F为的中点. ∴OF＝OB＝AB＝a. ∵△FBP∽△FAB，∴∠FBM＝∠A， ∴sin∠FBM＝＝sin A＝. ∴FM＝BF＝a，∴OM＝OF－FM＝a. 在Rt△BMO中，OM＝a，OB＝a， ∴sin∠ABE＝＝. 1 2 3 4 5 2.如图，以AB为直径的半圆O中，点D为半圆上不与A，B重合的一个动点，AC平分∠BAD交半圆O于点C，过点C作半圆O的切线EC，交射线AD于点E. （1）求证：∠E＝90°； 1 2 3 4 5 ∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA， ∴∠EAC＝∠OCA， ∴OC∥AE，∴∠E＋∠OCE＝180°. ∵EC是半圆O的切线，∴OC⊥EC，∴∠OCE＝90°， ∴∠E＝180°－∠OCE＝90°. （1）证明：如图，连接OC. ∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠EAC. 1 2 3 4 5 （2）若AE＝4，AB＝6，则AC的长为 　2　⁠. 2 1 2 3 4 5 2.如图，以AB为直径的半圆O中，点D为半圆上不与A，B重合的一个动点，AC平分∠BAD交半圆O于点C，过点C作半圆O的切线EC，交射线AD于点E. 3.如图，AB是☉O的直径，C是☉O上一点，过点C作CD⊥AB于点E，交☉O于点D，点F是AB延长线上一点，连接CF，AD，∠FCD＝2∠DAF. （1）求证：CF是☉O的切线； （1）证明：如图，连接OC，OD， ∵CD⊥AB，AB是☉O的直径， 1 2 3 4 5 ∴＝，∴∠COB＝∠DOB. ∵∠DOB＝2∠DAF， ∴∠COB＝2∠DAF. ∵∠FCD＝2∠DAF，∴∠FCD＝∠COB. ∵CD⊥AB，∴∠CEO＝90°，∴∠COB＋∠OCE＝90°， ∴∠FCD＋∠OCE＝90°，即∠OCF＝90°，∴OC⊥CF. 又∵OC为☉O的半径，∴CF是☉O的切线. 1 2 3 4 5 （2）若AF＝10，sin F＝，求CD的长. （2）解：由（1）知OC⊥CF，∴sin F＝＝. 设OC＝2x，则OF＝3x，OA＝OC＝2x.∵AF＝10， ∴OA＋OF＝10，即2x＋3x＝10，解得x＝2，∴OC＝4. ∵CD⊥AB，∴∠F＋∠FCE＝90°， 1 2 3 4 5 3.如图，AB是☉O的直径，C是☉O上一点，过点C作CD⊥AB于点E，交☉O于点D，点F是AB延长线上一点，连接CF，AD，∠FCD＝2∠DAF. ∵∠OCE＋∠FCE＝90°，∴∠F＝∠OCE，∴sin F＝sin∠OCE. 在Rt△CEO中，sin∠OCE＝＝， 即＝，∴OE＝. 由勾股定理得CE＝＝＝， ∵CD⊥AB，AB是☉O的直径，∴CD＝2CE＝. 1 2 3 4 5 4.如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是∠ACB的平分线，连接DA，DB，且DA⊥DB于点D. （1）求证：DA＝DB； （1）证明：∵∠ACB＝90°，CD是∠ACB的平分线， ∴∠ACD＝∠BCD＝45°.∵DA⊥DB， ∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∴点A，C，B，D四点共圆. ∵∠ACD＝∠BCD＝45°，∴DA＝DB. 1 2 3 4 5 （2）如图②，点E，F分别是CD，AC上的点，且BE⊥EF于点E，求的值. 1 2 3 4 5 4.如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是∠ACB的平分线，连接DA，DB，且DA⊥DB于点D. （2）解：∵DA⊥DB，DA＝DB， ∴△DAB是等腰直角三角形，∴∠DBA＝45°，＝. ∵BE⊥EF，∴∠BEF＝∠ACB＝90°， ∴点F，C，B，E四点共圆，∴∠EFB＝∠ECB＝45°， ∴∠EBF＝45°，∴∠ABF＝45°－∠ABE＝∠DBE. ∵点A，C，B，D四点共圆，∴∠BAF＝∠BDE， ∴△ABF∽△DBE，∴＝＝. 1 2 3 4 5 5.如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，AC＝4，点D为边AC的中点.动点Р从点A出发，沿折线AB－BC向点C运动，点P在AB上以每秒1个单位长度的速度运动，在BC上以每秒个单位长度的速度运动，在点P的运动过程中，连接PD，将△APD沿PD翻折得到△A'PD.设点P的运动时间为t秒（0＜t＜4）. （1）BC的长为_________ ； 2 1 2 3 4 5 （2）用含t的代数式表示线段BP的长； （2）当0＜t≤2时，PB＝2－t； 当2＜t＜4时，PB＝（t－2）＝t－2. 1 2 3 4 5 5.如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，AC＝4，点D为边AC的中点.动点Р从点A出发，沿折线AB－BC向点C运动，点P在AB上以每秒1个单位长度的速度运动，在BC上以每秒个单位长度的速度运动，在点P的运动过程中，连接PD，将△APD沿PD翻折得到△A'PD.设点P的运动时间为t秒（0＜t＜4）. （3）连接BA'，当BA'最短时，求△A'BP的面积； （3）如图，由题意得，点A'在以点D为圆心，AD为半径的圆上，连接BD，当点A'在线段BD与☉D的交点处时，BA'最短，此时∠PAD＝∠PA'D＝∠PA'B＝90°，又易知AB＝AD＝2＝A'D， 1 2 3 4 5 ∴BD＝＝2，∠ABD＝∠ADB＝45°， ∴△A'BP是等腰直角三角形， ∴A'B＝A'P＝BD－A'D＝2－2， ∴△A'BP的面积＝A'B×A'P＝（2－2）2＝6－4. 1 2 3 4 5 （4）当四边形APA'D为中心对称图形时， 直接写出t的值. （4）t的值为2或. 1 2 3 4 5 5.如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，AC＝4，点D为边AC的中点.动点Р从点A出发，沿折线AB－BC向点C运动，点P在AB上以每秒1个单位长度的速度运动，在BC上以每秒个单位长度的速度运动，在点P的运动过程中，连接PD，将△APD沿PD翻折得到△A'PD.设点P的运动时间为t秒（0＜t＜4）. $$专题七 代数压轴题标准化解题程序解析 02 专题突破篇 程序一 写出解析式构建函数图象(即求系数a、b、c, 找到3个方程待定系数即可) 类型1 条件直接充足型 例1：【2023福建节选】已知抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A (1，0)，B(3，0)两点. 求抛物线对应的二次函数的解析式. 条件2、3 将A、B两点的 坐标代入y=ax2+bx+3 条件1 c=3 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 (2)记AB的中点为点E，若C(4, 3)，D(m,- )在抛物线上, 且m<2,请画出草图并证明C、D、E 三点共线. 证明坐标系中三点共线的两种思路: ① 通过两点求直线对应的解析式，再代入第3点的坐标验证； ②两两之间求K，K一样即可. 坐标可求出 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例2: 【2018福建改编】已知抛物线 y=ax2+bx+c 过点A (0, 2)若该抛物线上任意不同两点M(x1，,y1;), N(x2，y2;), 都满足: 当x1<x2<0时, (x1-x2) (y1-y2)>0; 当0<x1<x2时, (x1-x2) (y1-y2) <0. 以原点0为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°. 求抛物线对应的二次函数的解析式. 类型2 条件间接充足型: 题目间接给足3组条件, 需要理解题意, 先画出草图数形结合等确定待定系数 通过画出特殊图形， 确定图象上点的坐标 通过这两个条件，判断函数增减性，从而确定图象的大概形状 【思维可视化】 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 【思维可视化】 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 解: ∵当x1<x2<0时, (x1－x2)(y1－y2)>0, ∴当x<0时, y随x的增大而增大. 同理可得, 当x>0时, y随x的增大而减小, ∴抛物线的对称轴为y轴, 开口向下, ∴b＝0, 点A为抛物线的顶点. ∵以原点O为圆心, OA长为半径的圆与拋物线的另两个交点为B, C, ∴△ABC为等腰三角形. 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 又∵△ABC有一个内角为60°, ∴△ABC为等边三角形. 如图, 设点C在y轴的右侧, 线段BC与y轴交于点D, 连接OB, OC, 则BD＝CD, ∠OCD＝30°. ∵OB＝OC＝OA＝2, ∴CD＝OC·cos 30°＝ , OD＝OC·sin 30° ＝1. 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 ∴点C的坐标为( , －1). ∵点C在抛物线上, c＝2, b＝0, ∴3a＋2＝－1, ∴a＝－1, ∴抛物线对应的二次函数的解析式为y＝－x2＋2. 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 【练】【2020福建节选】已知直线l: y＝－2x＋10交y轴于点A, 交x轴于点B, 二次函数的图象过A, B两点, 交x轴于另一点C, BC＝4, 且对于该二次函数图象上的任意两点P1(x1, y1) , P2(x2, y2) , 当x1＞x2≥5时, 总有y1＞y2. 求二次函数的解析式. 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 解: 因为直线l: y＝－2x＋10交y轴于点A, 交x轴于点B, 所以A(0, 10), B(5, 0), 因为BC＝4, 所以C(9, 0)或C(1, 0), 因为P1(x1, y1), P2(x2, y2), 当x1>x2≥5时, 总有y1>y2, 所以该抛物线的对称轴在直线x＝5的左侧, 当抛物线过C(9, 0)时, 则该抛物线的对称轴为直线x＝7, 不符合题意, 舍去. 当抛物线过C(1, 0)时, 则该抛物线的对称轴为直线x＝3, 符合题意. 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 所以设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋10, 根据题意知二次函数的图象过B(5, 0), C(1, 0)两点, 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 类型3 条件不足型: 题目条件不足以确定3个待定系数时, 一般会给出2组条件, 需引入1个参数列出含参的函数解析式 例3：[2017福建改编] 已知点M (1,0)在抛物线y=ax2+ax+b上，且a<b. 求抛物线顶点Q的坐标 (用含a的代数式表示), 并画出草图. 两个未知数，一个已知点， 可求出a、b之间的关系 【思维可视化】 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 【思维可视化】 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 【自主作答】 【难点展示】 求出顶点坐标后画草图时的难点是确定抛物线的开口方向. 由题意可知 b=-2a，∵ a<b ∴ a<-2a, ∴ 3a<0, ∴ a<0. 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例4：[2021福建节选] 已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴只有一个公共点, 若抛物线过点P (0,1)求a+b的最小值. 条件1 即△=b2-4ac=0 条件2 代入解析式 考虑方向 : ① 3个未知数，2个条件，可求出a与b之间的关系；② 把a+b用a或b表示，通过二次函数求最值. 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 程序二 联立方程求交点 程序三 化形为数, 列代数式或方程, 解决问题 类型1 交点易求 例5：【2017福建改编】已知直线y＝2x＋m与抛物线y＝ax2＋ax＋b有一个公共点M(1, 0) , 且a＜b. 程序2: 通过联立方程, 求出抛物线与直线的交点坐标. (基本都为含参计算) 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 (1) 求证: 直线与抛物线有两个交点; (2) 直线与抛物线的另一个交点记为N，求点N的坐标 (用含a的代数式来表示 ); 程序3: 将几何直观信息转换为代数运算(出现方程)，主要包括: 线段、周长、面积、角度等 (3) 若-1≤a≤- ，求线段MN长度的取值范围. 联立方程，△>0 求交点坐标，可考虑①十字交叉分解因式②根与系数的关系 线段问题 : 两点间距离公式 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 ∴直线对应的一次函数的解析式为y＝2x－2. 联立直线与抛物线对应的函数解析式, 消去y可得ax2＋(a－2)x－2a＋2＝0, ∴Δ＝(a－2)2－4a(－2a＋2)＝9a2－12a＋4＝(3a－2)2, ∵a<0, ∴Δ＞0, ∴关于x的方程ax2＋(a－2)x－2a＋2＝0有两个不相等的实数根, ∴直线与抛物线有两个交点. 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例6：[2020福建改编]二次函数y=2x-12x+10的图象交y轴于点A，交x轴于点B，C (点C在点B的左侧)，E为线段BC上不与端点重合的点，直线l: y=-2x+q过点C且交直线AE于点F，求△CEF与△ABE面积之和的最小值. A、B、C可求出 E为动点，设参 l可求出 联立方程求交点 【思维可视化】 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 【思维可视化】 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 解: 由题易知A(0, 10). 当y＝0, 即2x2－12x＋10＝0时, 解得x1＝1, x2＝5, 因为点C在点B的左侧, 所以B(5, 0), C(1, 0), 因为点E在BC上, 所以设点E的坐标为(p, 0). 设直线AE对应的函数解析式为y＝kx＋b, 将A(0, 10), E(p, 0)的坐标代入y＝kx＋b, 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 程序3: 写出所求面积之和, 再求最值. 【自主作答】 【难点展示】 设点E的坐标为(p,0)，S=S△CEF +S△ABE. 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 判别式法求最值: 将此函数化为方程形式 即10p2+(S-60)p+130-5S=0 △=(S-60)2-4×10(130-5S) ≥0 S2+80S-1 600≥0 S≥40 -40或S≤-40-40 (舍去) S的最小值为40 -40 其中p可看成未知数，S看成参数想要方程有解，需△≥0 通过二次函数的图象 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例7：【2022福建改编】在平面直角坐标系xOy中, 已知抛物线y＝ax2＋bx经过A(4, 0) , B(1, 4) 两点, P是抛物线上一点, 且在直线AB的上方. (1) 若△OAB的面积是△ PAB面积的2倍， 求点P的坐标; 出现等量关系，列出方程 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 程序1: 写出解析式构建函数图象; 程序2: 未出现交点, 直接进入程序3; 程序3: 根据等量关系列出方程. 本问涉及面积问题, △OAB的面积易求, △PAB的面积可用割补法(或铅垂线法) 来求. 最后列出方程求解即可. 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 (2) 如图，OP交AB于点C，PD//BO交AB于点D. 记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1, S2. 判断 + 是否存在最大值. 若存在，求出最大值; 若不存在，请说明理由. 程序2: 交点D可求 出 面积比可转化为线段比 此步骤心里清楚即可，可先往后看最后看是否用求 出现“平行”思考方向: ①几何方向: 8字模型 (相似、全等) ②函数方向: 平行的两条直线对应的 函数解析式的k值相等 【思维可视化】 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 【思维可视化】 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 计算PD太复杂，所以需要进行转化(参考方法二) 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例8: 【2018福建改编】已知抛物线y=-x2+2的顶点为A，点P的坐标为(0,4)，M(x1,y1)、N(x1,y1)为抛物线上的两点，且O、M、N三点共线，求证: PA平分∠MPN. 类型2 交点不易求(联立函数解析式, 整理后得到一元二次方程, 当交点不容易直接求出时, 根据根与系数的关系, 间接获得交点关系信息 角度问题 直线MN为过原点的直线 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 程序2: 联立抛物线与直线MN的解析式可得出一个一元二次方程, 从而求出交点横坐标x1与x2之间的关系. 【自主作答】 【难点展示】 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 程序3: 根据几何关系列出代数式 (通过两角的正切值相等来证角相等) . 【自主作答】 【难点展示】 角度问题: 可构建直角三角形， 将三角函数问题转化为角度问题 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 【自主作答】 【难点展示】 作差法 x1+x2=-k, x1x2=-2 将 代入 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 综合例题: 例9：【2019福建】已知抛物线y=ax2+bx+c (b<0) 与x轴只有一个公共点. (1) 若抛物线与x轴的公共点坐标为(2，0)，求a，c满足的关系式; 条件1 条件2 程序1: 待定系数 (3个未知数， 需要2个方程求得a，c关系式) 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 (2)设A为抛物线上的一个定点,直线l: y=kx+1-k与抛物线交于点B，C (B在C的左侧)，直线BD垂直于直线y=-1, 垂足为点D. 当K=0时，直线l与抛物线的一个交点在y轴上,且△ABC是等腰直角三角形. ①求点A的坐标和抛物线的解析式: 程序1: 画出草图，数形结合确定待定系数 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 【自主作答】 【难点展示】草图 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 ②证明: 对于每个给定的实数k,都有A，C，D三点共线. 程序3: 通过k相等 证三点共线 程序2: 直线BC与抛物线的解析式联立 得到交点横坐标之间的关系 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 【自主作答】 【难点展示】 1. 求交点B(x1, y1), C(x1, y1)的横坐标之间的关系. 2. 求直线AD和直线AC对应的函数解析式的k值. ① ② 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 【自主作答】 ①设直线AD的解析式为y=k1x+b1, 将A (1,0), D(x1, -1)的坐标代入, 得k1= ; ②设直线AC的解析式为y=k2x+b2,将A (1,0)， 作差法 将式子①②代入 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 ∵直线y＝1与x轴平行, ∴等腰直角三角形ABC的直角顶点是A, 且A是抛物线的顶点, ∴易得点A的坐标为(1, 0), ∴抛物线的解析式可改为y＝a(x－1)2. ∵点(0, 1)在抛物线上, ∴1＝a(0－1)2, ∴a＝1, ∴抛物线的解析式为y＝(x－1)2＝x2－2x＋1. 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 解: (1) 因为抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(1, 0), B(3, 0), 所以解得 所以抛物线对应的二次函数的 解析式为y＝x2－4x＋3. (2)草图如图所示. 证明: 设直线CE对应的函数解析式为y＝kx＋n(k≠0), 根据题意易得E(2, 0). 因为C(4, 3), E(2, 0), 所以解得 所以直线CE对应的函数解析式为y＝x－3. 因为点D在抛物线上, 所以m2－4m＋3＝－. 解得m1＝, m2＝. 因为m<2, 所以m＝. 所以D. 因为×－3＝－, 即D满足直线CE对应的函数解析式, 所以点D在直线CE上, 即C, D, E三点共线. 所以解得 所以二次函数的解析式为y＝2x2－12x＋10. 解: ∵点M(1, 0)在抛物线y＝ax2＋ax＋b上, ∴a＋a＋b＝0, 即b＝－2a, ∴y＝ax2＋ax＋b＝ax2＋ax－2a＝a－, ∴抛物线顶点Q的坐标为 . 草图如图. 解: 因为抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有一个公共点, 所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根, 所以Δ＝b2－4ac＝0, 即b2＝4ac. 因为抛物线过点P(0, 1), 所以c＝1, 所以b2＝4a, 即a＝. 所以a＋b＝＋b＝(b＋2)2－1, 当b＝－2时, a＋b取到最小值, 最小值是－1. (1)证明: ∵抛物线y＝ax2＋ax＋b过点M(1, 0), ∴a＋a＋b＝0, 即b＝－2a, ∴y＝ax2＋ax＋b＝ax2＋ax－2a＝a－, ∵a<b, ∴a＜－2a, ∴a<0, ∵直线y＝2x＋m经过点M(1, 0), ∴0＝2×1＋m, 解得m＝－2, (2)解: 由(1)知ax2＋(a－2)x－2a＋2＝0, 即x2＋x－2＋＝0, ∴(x－1)＝0, 解得x1＝1, x2＝－2, 将x＝－2代入y＝2x－2, 得y＝－6. ∴点N的坐标为. (3)解: 由勾股定理, 得MN2＝＋＝－＋45＝20, ∵－1≤a≤－, ∴－2≤≤－1, ∴易知MN2随的增大而减小, ∴当＝－2时, MN2有最大值, 为20×＝245, 此时MN＝7 , 当＝－1时, MN2有最小值, 为20×＝125, 此时MN＝5 , ∴线段MN长度的取值范围为5 ≤MN≤7 . 得解得 所以直线AE对应的函数解析式为y＝－x＋10. 将点C(1, 0)的坐标代入y＝－2x＋q, 得－2＋q＝0, 解得q＝2, 所以y＝－2x＋2. 联立方程得解得 ∴点F的坐标为. 由题意可知点F在第四象限. 记△CEF与△ABE的面积之和为S. ∴S＝S△CEF＋S△ABE＝CE·|yF|＋BE·|yA|＝(p－1)·＋(5－p)×10＝＋5(5－p). 化简, 得10p2＋(S－60)p＋130－5S＝0, ∴Δ＝(S－60)2－4×10(130－5S)≥0, ∴S2＋80S－1 600≥0, 设m＝S2＋80S－1 600, 根据其图象可得当m≥0时, S的取值范围为 S≥40 －40或S≤－40－40 , ∵S>0, ∴S≥40 －40, 即S的最小值为40 －40. 解: (1)将A(4, 0), B(1, 4)的坐标代入y＝ax2＋bx, 得解得所以抛物线对应的二次函数的解析式为y＝－x2＋x. 设直线AB对应的一次函数的解析式为y＝kx＋t(k≠0), 将A(4, 0), B(1, 4)的坐标代入y＝kx＋t, 得解得 所以直线AB对应的一次函数的解析式为y＝－x＋. 如图①, 过点P作PM⊥x轴, 垂足为点M, PM交AB于点N. 过点B作BE⊥PM, 垂足为点E. 所以S△PAB＝S△PNB＋S△PNA＝PN×BE＋PN×AM＝ PN×3＝PN. 因为A(4, 0), B(1, 4), 所以S△OAB＝×4×4＝8. 因为△OAB的面积是△PAB面积的2倍, 所以2×PN＝8, 所以PN＝. 设P(m, －m2＋m)(1<m<4), 则N. 所以PN＝(－m2＋m)－＝, 即－m2＋m－＝, 解得m1＝2, m2＝3. 所以点P的坐标为或(3, 4). (2)存在. ∵PD∥OB, ∴∠DPC＝∠BOC, ∠PDC＝∠OBC, ∴△DPC∽△BOC, ∴＝＝. ∵＝, ＝, ∴＋＝. 如图②, 过点P作PH⊥x轴, 垂足为H, PH交AB于点G, 设直线AB交y轴于点F. 则F, ∴OF＝. ∵∠PDC＝∠OBC, ∴∠PDG＝∠OBF, ∵易知PG∥OF, ∴∠PGD＝∠OFB, ∴△PDG∽△OBF, ∴＝, 设P(1＜n＜4), ∴G. ∴PG＝－n2＋n－, ∴＋＝＝＝PG＝－＋. ∵－＜0, 1＜n＜4, ∴当n＝时, ＋取最大值, 为. 程序3: 根据几何关系列出代数式, 根据面积比等于线段比, 发现＋的值可转化为. 方法一: 用两点间距离公式表示出PD、BO, 再通过二次函数最值求出其最大值. 方法二: 将再进行转化(化斜为直, 构造辅助线进行转化) : 设直线AB交y轴于点F, 过点P作PH⊥x轴, 垂足为H, PH交AB于点G(即PH∥y轴) , 转化为求的最值即可. 设直线MN的解析式为y＝kx, 联立 整理得x2＋kx－2＝0, ∴ → (1)解: 由题意得Δ＝b2－4ac＝0, －＝2, ∴(－4a)2－4ac＝0, ∵a≠0, ∴c＝4a. (2)①解: 当k＝0时, 直线l为y＝1, 它与y轴的交点为(0, 1). ∵直线y＝1与抛物线有2个交点, 抛物线与x轴只有一个公共点, ∴a>0, 又∵b<0, ∴－>0. ②证明: 设B(x1, y1), C(x2, y2), 则D(x1, －1). 由得x2－(2＋k)x＋k＝0, ∴x1＋x2＝2＋k, x1x2＝k. 设直线AD的解析式为y＝k1x＋b1, 直线AC的解析式为y＝k2x＋b2. 将A(1, 0), D(x1, －1)的坐标代入y＝k1x＋b1, 得∴k1＝. 将A(1, 0), C(x2, y2)的坐标代入y＝k2x＋b2, 得∴k2＝＝. ∴k1－k2＝－ ＝ ＝＝0, ∴k1＝k2, ∴对于每个给定的实数k, 都有A, C, D三点共线. $$专题八　几何压轴题标准化解题程序解析 专题突破篇 （1）如图①，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形； 1 2 1.【2022 福建12分】已知△ABC≌△DEC，AB＝AC，AB＞BC.⁠ ⁠ （1）证明：∵△ABC≌△DEC，∴AC＝DC. ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，AB＝DC. ∵CB平分∠ACD，∴∠ACB＝∠DCB，∴∠ABC＝∠DCB， ∴AB∥CD，∴四边形ABDC是平行四边形. 又∵AB＝AC，∴四边形ABDC是菱形. 1 2 （2）如图②，将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明； 几何设参解题通法： 步骤1：设参 设变量∠BCD＝θ（旋转引起角度变化）； 设常量∠A＝γ（等腰三角形ABC中的角度）. 1 2 步骤2：求角 等腰三角形ABC，等腰三角形DEC中的角度都可以用γ表示，然后可得 ∠ACF＝__________，∠ECF＝____________ ，∠ACE＝____________，∠EFC＝___________ . 步骤3：观察 观察步骤2中得到的∠ACE，∠EFC的代数式，探究其代数式之间的数量关系. 步骤4：得出结论 90°＋ 90°＋－θ 180°＋γ－θ θ－γ 1 2 （2）解：∠ACE＋∠EFC＝180°. 证明略. （3）如图③，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若∠BAD＝∠BCD，求∠ADB的度数. 1 2 分析： 步骤1：从几何变换的完整信息入手，固定的等腰三角形，再加上新条件∠BAD＝∠BCD，可以联想到截长补短法证全等. 步骤2：由全等关系，得到隐藏条件：∠BDA＝∠BMD＝∠ABM＋∠BAD＝∠BDC＋∠BCD. 步骤3：利用其他等量关系（三角形内角和等）列出方程得出结论. 1 2 （3）解：在AD上取一点M，使得AM＝CB，连接BM，如图. （第1题） ∵AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，∴△ABM≌△CDB， ∴BM＝BD，∠MBA＝∠BDC，∴∠ADB＝∠BMD. ∵∠BMD＝∠BAD＋∠MBA，∴∠ADB＝∠BCD＋∠BDC. 设∠BCD＝∠BAD＝α，∠BDC＝β，则∠ADB＝α＋β. ∵CA＝CD，∴∠CAD＝∠CDA＝α＋2β， ∴∠BAC＝∠CAD－∠BAD＝2β， 1 2 ∴∠ACB＝（180°－∠BAC）＝90°－β， ∴∠ACD＝90°－β＋α， ∵∠ACD＋∠CAD＋∠CDA＝180°， ∴90°－β＋α＋2（α＋2β）＝180°， ∴α＋β＝30°，即∠ADB＝30°. 1 2 2.【2023厦门质检12分】已知点O是直线MN上的定点，等边三角形ABC的边长为，顶点A在直线MN上，△ABC从O点出发沿着射线OM方向平移，BC的延长线与射线ON交于点D，且在平移过程中始终有∠BDO＝30°，连接OB，OC，OB交AC于点P，如图①所示. 1 2 （1）以O为圆心，OD为半径作圆，交射线OM于点E. ①当点B在☉O上时，如图②所示，求的长； ②设☉O的半径为r，当△ABC平移距离为2r时，判断点C与☉O的位置关系，并说明理由； 1 2 解：（1）①∵点 B 在☉O 上，∴OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB＝30°，∴∠AOB＝60°. ∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC＝60°， ∴∠BAD＝90°，∴BO＝＝＝2， ∴的长为＝. 1 2 ②点C在☉O上.理由如下： 过点O作OH⊥BD于H，如图①. 由①得，∠BAD＝90°，∵∠BDO＝30°， ∴AD＝＝＝3，BD＝2AB＝2. ∴CD＝BD－BC＝，OA＋OD＝AD＝3. ∵OA＝2r，OD＝r，∴3r＝3，∴r＝1，即 OD＝1. ∴HD＝OD·cos∠BDO＝1×＝. ∵CD＝，∴CH＝CD－HD＝＝HD. ∵OH⊥BD，∴OC＝OD，∴点C在☉O上. 1 2 （2）在平移过程中，是否存在OC＝OP的情形？若存在，请求出此时点O到直线BC的距离；若不存在，请说明理由. 解：（2）存在OC＝OP的情形. 过点O作OQ⊥BD于Q，如图②. 若OC＝OP，则∠OPC＝∠OCP. ∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°. 1 2 ∴∠OPC＝∠APB＝180°－∠BAC－∠1＝120°－∠1， ∠OCP＝180°－∠ACB－∠2＝120°－∠2，∴∠1＝∠2. 又∵∠BAO＝∠CQO＝90°， ∴△BAO∽△CQO，∴＝. 在Rt△ODQ 中，∵∠ODQ＝30°，∴OQ＝OD. 1 2 ∴根据勾股定理可得QD＝OD. 由（1）知CD＝，AD＝3. ∴CQ＝CD－QD＝－OD. 又∵OA＝AD－OD＝3－OD，∴＝. 解得OD＝3＋或3－. ∵OA＝3－OD≥0，∴OD＝3－.∴OQ＝OD＝. ∴此时点 O 到直线 BC 的距离为. 1 2 $$专题三 圆的综合 02 专题突破篇 备考指导 1 常考图形 (2018、2022) : 平行弦得弧(弦) 相等 常考类型1 圆的基本性质 (圆周角、圆心角与弧、弦关系) 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例10 例11 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例10 例11 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例10 例11 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例10 例11 例2：【2018福建节选】如图, 已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形, AC是⊙O的直径, DE⊥AB, 垂足为E, 延长DE交⊙O于点F, 延长DC, FB交于点P, 求证: PC＝PB. 线段等→角等→弧等 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例10 例11 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例10 例11 常见图形: 常考类型2 切线的判定与性质 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例10 例11 例3：如图, △ABC内接于⊙O, 点D为圆外AB上方一点, 连接AD, 且∠C＝∠BAD, 连接OB. (1) 求证: AD是⊙O的切线; 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例10 例11 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例10 例11 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例10 例11 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例10 例11 例4：【2023福建8分】如图, 已知△ABC内接于⊙O, CO的延长线交AB于点D, 交⊙O于点E, 交⊙O的切线AF于点F, 且AF∥BC. (1) 求证: AO∥BE; (2) 求证: AO平分∠BAC. (一题多解) 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例10 例11 证法1: 证角相等 证法2: 通过垂径定理来证 方法点拨: 在圆中证角相等的方法: ①半径所围成的等腰三角形底角相等; ②有同弧或等弧所对的圆周角时, 可以通过找弧来找等角; ③有垂直、中点、直径所对的圆周角时, 可通过垂径定理或圆周角定理形成的直角三角形来倒互余. 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例10 例11 证明: (1) 证法1: ∵AF是⊙O的切线, ∴∠OAF＝90°, ∵CE是⊙O的直径, ∴∠CBE＝90°, ∴∠OAF＝∠CBE, ∵AF∥BC, ∴∠BAF＝∠ABC, ∴∠OAF－∠BAF＝∠CBE－∠ABC, 即∠BAO＝∠ABE, ∴AO∥BE. 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例10 例11 证法2: 如图①, 延长AO, 交BC于点G. ∵AF是⊙O的切线, ∴∠OAF＝90°, ∵AF∥BC, ∴∠AGC＝∠OAF＝90°, ∵CE是⊙O的直径, ∴∠CBE＝90°, ∴∠CBE＝∠AGC, ∴AO∥BE. 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例10 例11 证法3: 如图②, 延长BE交AF于点G. ∵AF是⊙O的切线, ∴∠OAF＝90°, ∵CE是⊙O的直径, ∴∠CBE＝90°, ∵AF∥BC, ∴易得∠AGB＝∠CBE＝90°, ∴∠AGB＋∠OAF＝90°＋90°＝180°, ∴AO∥BE. 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例10 例11 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例10 例11 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例10 例11 例5：【人教九上P102习题12改编】如图, AB为⊙O的直径, C为⊙O上一点, AD和过点C的切线互相垂直, 垂足为D, AD交⊙O于点E, 连接AC, CE. (1) 求证: AC平分∠DAB; (2) 若CE＝6, AC＝8, 求⊙O的直径. 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例10 例11 (1) 证明: 如图, 连接OC. ∵CD切⊙O于点C, ∴OC⊥CD, 又∵AD⊥CD, ∴OC∥AD, ∴∠CAD＝∠OCA, ∵OC＝OA, ∴∠CAB＝∠OCA, ∴∠CAD＝∠CAB, ∴AC平分∠DAB. 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例10 例11 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例10 例11 1. 利用圆的定义(平面内到定点的距离等于定长的所有点构成的集合) 构造隐形圆. 2. 折叠问题中经常用到隐形圆, 考虑方向: 某一边翻折时, 此边长度不变, 轨迹为圆. 3. 定弦定角: ∠APB, AB为定值→P点轨迹为圆弧. 常考类型3 隐形圆 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例10 例11 常见特殊图形: 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例10 例11 45° 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例10 例11 例7：如图, 在菱形ABCD中, AB＝4, ∠A＝144°, 点E是边AD上一个动点, 将△ABE沿BE翻折得到△FBE, 在点E从点A运动到点D的过程中, 点F所经过的路径长为________. 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例10 例11 例8：一题多变: 【2021福建改编】如图, 在正方形ABCD中, E, F为边AB上的两个三等分点, 将△DAE沿DE折叠后, 点A落在点A′位置, 连接AA′并延长交BC于点G, 连接A′F, A′B, A′C. (1) 求证: DE∥A′F; (2) A′, F, B, G四点是否在同一个圆上? 请说明理由, 并求出∠GA′B的大小; 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例10 例11 (1)证明: 设DE与AG的交点为T. 由题易得AT＝TA′, ∵E, F为边AB上的两个三等分点, ∴AE＝EF＝BF, ∴TE为△AFA′的中位线, ∴TE∥A′F, 即DE∥A′F. (2)解: A′, F, B, G四点在同一个圆上. 理由: 连接FG, 取FG的中点O, 连接OA′, OB. 由题易得DE⊥AA′, ∴∠A′TE＝90°. 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例10 例11 又∵DE∥A′F, ∴∠FA′G＝∠A′TE＝90°, ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠FBG＝90°, ∵O是Rt△FA′G和Rt△FBG的斜边FG的中点, ∴OA′＝OF＝OB＝OG, ∴A′, F, B, G四点在以O为圆心, OA′的长为半径的圆上. 易知∠ATD＝90°, ∴∠ADE＋∠DAT＝90°, 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例10 例11 又∵∠BAG＋∠DAT＝90°, ∴∠ADE＝∠BAG, 在△ADE和△BAG中, ∵∠ADE＝∠BAG, AD＝AB, ∠DAE＝∠ABG＝90°, ∴△ADE≌△BAG, ∴BG＝AE, ∴BG＝BF, ∴∠GFB＝45°, ∴∠GA′B＝∠GFB＝45°. (3)解: 延长FA′交CD于点M, 由(2)易得A′F⊥AG, ∵∠DCB＝90°, ∴同(2)可得M, A′, G, C四点共圆. ∵DE∥A′F, DM∥EF, ∴四边形DEFM是平行四边形, 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例10 例11 ∴DM＝EF, 又∵EF＝BF＝BG, CD＝CB, ∴CM＝CG, 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例10 例11 选做：【2022泉州二检4分】如图, 正方形ABCD的边长为4, 点P在边AB上, PE⊥PC交AD于点E, 点F在CP上, 且PF＝PE, G为EF的中点, 若点P沿着AB方向移动(不与A重合) , 则下列结论正确的是________. (填序号) ①∠CEP与∠CPB可能相等; ②点G的运动路径是圆弧; ③点G到AD, AB的距离相等; ④点G到AB的距离的最大值为2. ①③④ 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例10 例11 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例10 例11 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例10 例11 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例10 例11 问题 特征 图形背景 常规作法 操作结论 点圆 最值 定点 定圆 |OP－OA|≤PA≤OP＋OA, 当A、O、P共线时, 等号成立 常考类型4 圆的最值问题 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例10 例11 问题 特征 图形背景 常规作法 操作结论 弦长 最值 定点 定圆 AB≤过点P的弦长MN≤EF 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例10 例11 问题 特征 图形背景 常规作法 操作结论 角度 最值 定点 定圆 sin∠OPB＝ 当OB⊥PC, 即PB与⊙O相切时, 等号成立, ∠OPB最大 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例10 例11 问题 特征 图形背景 常规作法 操作结论 线圆 最值 定线 定圆 AB≥OC－OA, 当OC⊥l, 点B, C重合, 点A在OC上时, 等号成立, 此时AB最小 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例10 例11 例10：如图, ⊙O的弦AB＝4, C是线段AB上的动点, CD⊥OC于点C, 交⊙O于点D, 则CD的最大值为________. 2 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例10 例11 【点拨】 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例10 例11 例11：一题多变: <原创题> 如图, E是正方形ABCD的边BC上一动点, F是边CD上的点, 且BE＝CF, AE, BF交于点G, 连接CG, AB＝6. (1) 点G的运动轨迹为________; (2) 求CG的最小值; (点圆最值) (3) 【考查角度变化】如图, 若点M是边AB的中点, 连接DM, DG, 求sin∠GDM的最大值. (角度最值) 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例10 例11 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例10 例11 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例10 例11 弦AB∥弦CD⇒∠BAD＝∠ADC⇒＝, AC＝BD 例1：【2023南平一检10分】如图, AB为⊙O的直径, 在直径AB的同侧的圆上有两点C, D, ＝, 弦CE平分∠ACB交BD于点F. (2) 求证: EF＝EB. (1) 已知＝2, AB＝6, 求的长; (结果保留π) (1)解: 连接OC. ∵＝, ＝2, ∴＝＝. ∵AB为⊙O的直径, ∴∠BOC＝60°. ∵AB＝6, ∴OB＝AB＝3, ∴的长为＝π. (2)证明: ∵弦CE平分∠ACB交BD于点F, ∴∠ACE＝∠BCE. ∵∠ACE＝∠ABE, ∴∠ABE＝∠BCE. ∵＝, ∴∠ABD＝∠CBD. ∵∠EBF＝∠ABE＋∠ABD, ∠BFE＝∠BCE＋∠CBD, ∴∠BFE＝∠EBF, ∴EF＝EB. 证明: 连接BD, ∵AC是⊙O的直径, ∴∠ABC＝90°, 即BC⊥AB, 又∵DF⊥AB, ∴DF∥BC, ∴∠BDF＝∠CBD, ∴＝, ∴＋＝＋, 即＝, ∴∠CDF＝∠F, ∵DF∥BC, ∴∠PBC＝∠F, ∠PCB＝∠CDF, ∴∠PBC＝∠PCB, ∴PC＝PB. (2) 若tan∠ABO＝, AC＝6 , BC＝8, 求⊙O的半径. (1)证明: 如图, 连接OA, 根据题意, 得∠AOB＝2∠C. ∵OA＝OB, ∴∠OAB＝(180°－∠AOB)＝90°－∠C, ∴∠OAB＋∠C＝90°. ∵∠C＝∠BAD, ∴∠OAB＋∠BAD＝90°, ∴∠OAD＝90°, ∵OA是⊙O的半径, ∴AD是⊙O的切线. (2)解: 如图, 延长BO交⊙O于F, 连接AF, 过A作AE⊥BC于E. ∵BF是⊙O的直径, ∴∠BAF＝90°, ∵tan∠ABO＝, ∴＝. 易得∠BAF＝∠AEC＝90°, ∠F＝∠C, ∴△AFB∽△ECA, ∴＝＝2, ∴AE＝2EC. 在Rt△AEC中, 由勾股定理得EC2＋AE2＝AC2, 即EC2＋4EC2＝(6 )2, 解得EC＝6或EC＝－6(舍去), ∴AE＝12. ∵BC＝8, ∴BE＝BC－EC＝8－6＝2, ∴AB＝＝2 , ∴AF＝AB＝, ∴BF＝＝, ∴OB＝BF＝, 故⊙O的半径为. (2)证法1(接(1)问证法1): ∵＝, ∴∠ABE＝∠ACE, 由(1)知, ∠BAO＝∠ABE, ∴∠BAO＝∠ACE, ∵OC＝OA, ∴∠CAO＝∠ACE, ∴∠BAO＝∠CAO, ∴AO平分∠BAC. 证法2(接(1)问证法2): 延长AG交⊙O于点H, 由(1)知, ∠AGC＝90°, ∴AH⊥BC, ∵AH是⊙O的直径, ∴由垂径定理可知＝, ∴∠BAH＝∠CAH, ∴AO平分∠BAC. (2)解: 如图, 连接BC. ∵∠CAB＝∠CAE, ∴＝, ∴BC＝CE＝6, ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ACB＝90°, ∴AB＝＝＝10, ∴⊙O的直径为10. 例6：如图, 在△ABC中, ∠ACB＝90°, AC＝BC, D是△ABC外一动点, 且CD＝AB, 则∠ADB的度数为________. (3)【拓展设问】若A′C＝2 , 求点C 到直线AG的距离. (构造隐形圆) ∴易得∠MA′C＝∠CA′G＝45°, ∴点C到直线AG的距离为A′C·sin 45°＝2 ×＝2. 例9：一题多变: 如图, 已知△ABC, AB＝, ∠C＝60°, D, E分别是AB, AC的中点, 求: (1) △ABC的最大面积; (定角定弦) (2)【拓展设问】ED的最大值. 解: (1)如图, 作出△ABC的外接圆⊙O. 当C运动到优弧AB的中点C′时, △ABC的面积最大. ∵∠C′＝∠C＝60°, ∴△ABC′为等边三角形. ∴∠C′AB＝60°, AC′＝AB＝. ∴△ABC的最大面积＝AB·AC′sin 60°＝×××＝. (2)∵D, E分别是AB, AC的中点, ∴DE＝BC. 当BC过圆心O时, BC有最大值, 易得此时BC＝＝2, ∴DE的最大值是×2＝1. ≤, 连接OD. ∵CD⊥OC, ∴∠DCO＝90°, ∴CD＝, ∵OD的值不变, ∴当OC的值最小时, CD的值最大. 易知当OC⊥AB时, OC的值最小, 此时D、B两点重合, ∴CD＝CB＝AB＝2, 即CD的最大值为2. 解: (1)以AB为直径的圆弧 (2)设AB的中点为O, 连接OG, OC. ∴由(1)易知OB＝OG＝3. 易得当G在OC上时, CG的值最小. 易得OC＝＝＝3 , ∴CG的最小值为OC－OG＝3 －3. (3)连接MG. 易知当DG与圆弧(点G的运动轨迹)相切时, ∠GDM最大, 即sin ∠GDM最大. 此时∠GDM＝∠ADM. 在Rt△ADM中, AD＝6, AM＝3, ∴MD＝＝3 , ∴sin∠ADM＝＝＝, ∴sin∠GDM的最大值为. $$专题一　选填重难题型 专题突破篇 题型1　含参函数的计算问题 1.【2020福建4分】已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2－2ax上的点，下列判断正确的是（　C　） A.若｜x1－1｜＞｜x2－1｜，则y1＞y2 B.若｜x1－1｜＞｜x2－1｜，则y1＜y2 C.若｜x1－1｜＝｜x2－1｜，则y1＝y2 D.若y1＝y2，则x1＝x2 C 1 2 3 4 5 6 7 点拨：∵抛物线y＝ax2－2ax＝a（x－1）2－a， ∴该抛物线的对称轴是直线x＝1， 当a＞0时，若｜x1－1｜＞｜x2－1｜，则y1＞y2，故选项B错误； 当a＜0时，若｜x1－1｜＞｜x2－1｜，则y1＜y2，故选项A错误； 若｜x1－1｜＝｜x2－1｜，则y1＝y2，故选项C正确； 若y1＝y2，则｜x1－1｜＝｜x2－1｜， 则x1＝x2或x1＋x2＝2，故选项D错误.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 【变式题】【2023漳州一检4分】已知点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都在二次函数y＝ax2－2ax－3a（a＜0）的图象上，若－1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3，求y1，y2，y3之间的大小关系. 解：∵y＝ax2－2ax－3a（a＜0）， ∴对称轴为x＝－＝1. ∵－1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3， ∴｜x3－1｜＞｜x1－1｜＞｜x2－1｜. ∵a＜0，∴函数图象开口向下，∴y2＞y1＞y3. 1 2 3 4 5 6 7 2.【2019福建改编】若二次函数y＝｜a｜x2＋bx＋c的图象经过A（m，n），B（0，y1），C（3－m，n），D（，y2），E（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为____________ （用“＜”连接）. 点拨：∵二次函数的图象经过A（m，n），C（3－m，n）， ∴二次函数的图象的对称轴为直线x＝， ∴B（0，y1），D（，y2），E（2，y3）三点中B与对称轴的距离最远，D与对称轴的距离最近，∵｜a｜＞0，∴y2＜y3＜y1. y2＜y3＜y1 1 2 3 4 5 6 7 【变式题】【2023莆田一检4分】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过点A（x1，y1），B（1－m，n），C（x2，y2），D（m＋3，n）.若｜x1－2｜＞｜x2－2｜，则下列式子正确的是（　C　） A.y1＞y2 B.y1＜y2 C.a（y1－y2）＞0 D.a（y1－y2）＜0 C 1 2 3 4 5 6 7 点拨：∵二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过点B（1－m，n），D（m＋3，n）， ∴二次函数的图象的对称轴为直线x＝＝2. 当a＞0时，∵｜x1－2｜＞｜x2－2｜，∴y1＞y2， 即y1－y2＞0，此时a（y1－y2）＞0； 当a＜0时，∵｜x1－2｜＞｜x2－2｜，∴y1＜y2， 即y1－y2＜0，此时a（y1－y2）＞0. 综上所述，若｜x1－2｜＞｜x2－2｜，则a（y1－y2）＞0. 1 2 3 4 5 6 7 3.【2023龙岩一检8分】已知A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y＝ax2－3x＋1（a≠0）上的两点，其对称轴是直线x＝x0，若｜x1－x0｜＞｜x2－x0｜，总有y1＞y2，同一坐标系中有M（－1，－2），N（3，2），且抛物线y＝ax2－3x＋1（a≠0）与线段MN有两个不相同的交点，求a的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 解：∵抛物线对称轴为直线x＝x0，A（x1，y1），B（x2，y2），｜x1－x0｜＞｜x2－x0｜， ∴点A与对称轴的距离比点B与对称轴的距离更远. 又∵A，B两点都在抛物线上， ∴如果抛物线开口向下，那么y1＜y2，这与题意不符. ∴抛物线开口向上，a＞0. 设直线MN的解析式为y＝kx＋b（k≠0），则依题意可得 1 2 3 4 5 6 7 解得 ∴线段MN的解析式为y＝x－1（－1≤x≤3）. ∵抛物线与线段MN有两个不相同的交点， ∴由得到的一元二次方程ax2－4x＋2＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝16－8a＞0，解得a＜2. 1 2 3 4 5 6 7 同时，要使抛物线与线段MN有两个不相同的交点，则必须满足：当x＝－1和x＝3时，抛物线上对应的点都应该在线段MN上方或与M，N重合， ∵当x＝－1时，抛物线上对应的点（－1，a＋4）必在线段MN上方，∴只需满足9a－9＋1≥2，解得a≥. 综上可知，a的取值范围是≤a＜2. 1 2 3 4 5 6 7 题型2　反比例函数与几何综合问题 4.【2017福建改编】已知矩形ABCD的四个顶点均在反比例函数y＝的图象上，且点A的横坐标是2，求矩形ABCD的面积. 解：∵双曲线既关于原点对称，又关于直线y＝x和y＝－x对称，矩形既是轴对称图形又是中心对称图形， ∴点C与点A关于原点对称，不妨设点B在第一象限，则点A与点B关于直线y＝x对称，由已知可得A， 1 2 3 4 5 6 7 ∴C，B，从而易得D， ∴CD＝＝， AD＝＝， ∴S矩形ABCD＝AD·CD＝. 1 2 3 4 5 6 7 5.【2018福建改编】如图，直线y＝x＋m与双曲线y＝相交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，求△ABC面积的最小值. 1 2 3 4 5 6 7 解：设A，B，则C. 将y＝x＋m代入y＝，得x＋m＝， 整理，得x2＋mx－3＝0，则a＋b＝－m，ab＝－3， ∴（a－b）2＝（a＋b）2－4ab＝m2＋12. ∵S△ABC＝AC·BC＝（a－b） ＝··（a－b）＝（a－b）2 ＝（m2＋12）＝m2＋6， ∴当m＝0时，△ABC的面积有最小值，为6. 1 2 3 4 5 6 7 题型3　几何动态问题 6.【2023莆田一检4分】如图，在△ABC中，若点M是BC边上的任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（　C　） A.AB＝AN B.AB∥NC C.∠AMN＝∠ACN D.MN⊥AC C 1 2 3 4 5 6 7 技巧点睛：由旋转易得∠B＝∠ACN，△MAN∽△BAC，所以∠AMN＝∠B，所以∠AMN＝∠ACN. 1 2 3 4 5 6 7 7.【2023龙岩一检4分】如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E是线段AB上的一个动点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到DF，过点F作FG⊥CD于点G，连接EF，取EF的中点H，连接DH，AH.点E在运动过程中，给出下列结论： ①△ADE≌△GDF； ②当点H和点G互相重合时，AE＝6； ③AH平分∠DAB； ④3≤AH≤7. 其中正确的个数为（　D　） D A.1 B.2 C.3 D.4 1 2 3 4 5 6 7 思路点睛：由四边形ABCD是矩形，线段DE绕点D逆时针旋转90°得到DF，FG⊥CD，易证得△ADE≌△GDF（AAS），故①正确；当点H和点G互相重合时，由题易知△DEF是等腰直角三角形，结合H是EF的中点，FG⊥DC，可得∠AED＝∠EDG＝45°，从而易得AE＝AD＝BC＝6，故②正确；易知∠DHE＋∠DAE＝180°，可得D，H，E，A四点共圆，则有∠HAE＝∠EDH＝45°，即得∠DAH＝∠HAE＝45°，所以AH平分∠DAB，故③正确；当点E在点B，A处时，分别求出相应的AH的值，即为AH的最大、最小值，从而可得3≤AH≤7，故④正确. 1 2 3 4 5 6 7 $$