第十一章 不等式与不等式组总复习 课件 2024-2025学年人教版数学七年级下册

人教版（2025）数学七年级下册 不等式与不等式组总复习 授课人：******** 第十一章 不等式与不等式组 结构必知 1. 在运用不等式的基本性质变形时，需注意：(1)不等式两边发生相同变化；(2)当两边同时乘或除以负数时，要改变不等号的方向 . 2. 在数轴上表示不等式(组)的解集时要注意“两定”： 一定边界点，在定边界点时，若不等号是“ ≤ ”或“ ≥ ”，边界点为实心圆点；若不等号是“ <”或“ >”，边界点为空心圆圈 . 二定方向，相对于边界点而言，“小于向左，大于向右” . 3. 解不等式通常按以下步骤进行： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1. 4. 一元一次不等式组的解法是： 对组成不等式组的不等式分别求解，取各个不等式解集的公共部分，即为不等式组的解集；确定一元一次不等式组解集应遵循的原则是：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找 . 专题 不等式的性质 1 链接中考 >>不等式的性质是解不等式的理论依据，特别是不等式的性质 3 的运用很容易出错，在解不等式的最后一步也经常用到 . 在中考中，一般都是以选择题的形式直接考查不等式的性质 . 例 1 已知 a－1 ＞ 0，则下列结论正确的是（　　） A.－1 ＜ －a ＜ a ＜ 1 B.－a ＜ －1 ＜ 1 ＜ a C.－a ＜ －1 ＜ a ＜ 1 D.－1 ＜ －a ＜ 1 ＜ a 解题秘方：根据不等式的性质，进行判断即可 . 解：∵ a－1 ＞ 0， ∴ a ＞ 1. ∴ －a ＜ －1. ∴ －a ＜ －1 ＜ 1 ＜ a. 答案：B 专题 解一元一次不等式 2 链接中考 >>解不等式是本章的重点，也是中考必考的知识点，考查的形式主要有两种：一种是直接解不等式；另一种是求不等式的特殊解 . 各种题型均有 . 求不等式≥ x－1 的正整数解 . 例 2 解题秘方：按照一元一次不等式的解法求解，最后取正整数解 . 解： 去分母，得 1+x ≥ 3（x－1）， 去括号，得 1+x ≥ 3x－3. 移项，得 x－3x ≥ －3－1. 合并同类项，得 －2x ≥ －4. 系数化为 1，得 x ≤ 2. 所以此不等式的正整数解为 1，2. 专题 解一元一次不等式组 3 链接中考 >> 解不等式组是本章的重点，也是中考必考的知识点，考查的形式主要有两种：一种是已知不等式组求解集；另一种是已知不等式组的解集求不等式组中待定字母的值或范围 . 一般都是以填空题和选择题形式出现 . 在有些地区也以解答题形式出现 . [中考·雅安]不等式组的解集在数轴上表示为图 11-1 中的（　　） 例 3 解题秘方：根据每一个不等式的解集确定出不等式组的解集后，表示在数轴上，注意空心圆圈和实心圆点的区别 . 解：解不等式 3x－2 ≥ 4，得 x ≥ 2， 解不等式 2x ＜ x+6，得 x ＜ 6， 则不等式组的解集为 2 ≤ x ＜ 6， 将 不 等 式 组 的 解 集 表 示 在 数 轴 上 如 图11-2. 答案：C 专题 根据不等式组特殊解的个数确定 字母的取值范围 4 链接中考 >>已 知 不 等 式 组 的 特 殊 解 的 个数，求字母的取值范围，一般要先解不等式组，再结合特殊解的个数，建立关于字母的不等式组，特别注意等号的取舍 . 关于 x 的不等式组恰有 3 个整数解，则 a 的取值范围是_______________ . 例 4 － ≤ a ＜ 0 解题秘方：先解不等式组，再根据题意建立关于字母 a 的不等式组，求解即可 . 解：解不等式 ≥ 0，得 x ≤ 2； 解不等式 ＞ 0，得 x ＞ 2a. ∵ 不等式组恰有 3 个整数解， ∴ －1 ≤ 2a ＜ 0，即 － ≤ a ＜ 0. 专题 一元一次不等式的应用 5 链接中考 >>不等式的应用题与方程的应用题类似，方程是找等量关系，而不等式是找不等关系，不等关系有标志语 ——大于、小于、超过、不超过等等 . 不等式的应用题在中考中一般都是以解答题形式出现 . 甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为 36 m3. 工作期间需同时排水，乙池的排水速度是 8 m3/h. 若排水 3 h，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的 2 倍 . (1)求甲池的排水速度 . (2)工 作 期 间，如 果 这 两 个 水 池 剩 余 水量 的 和 不 少 于 24 m3，那 么 最 多 可 以 排 水 几小时？ 例 5 解：（1）设甲池的排水速度为 x m 3/h. 由题意得 36－3x=2（36－8× 3），解得 x=4. 答：甲池的排水速度为 4 m 3/h. （2）设排水 a h. 由题意得 36× 2－（4+8） a ≥ 24， 解得 a ≤ 4. 答：最多可以排水 4 h. 专题 转化思想 6 专题解读>> 在不等式（组）与方程（组）的综合应用中，常会用到转化思想，将解方程（组）问题转化为解不等式（组）的问题 . 关 于 x， y 的 二 元 一 次 方 程 组 的解是正整数，则整数 p 的值为________ . 例 6 5 或 7 解题秘方：把 p 看 成 常 数，求 出 方 程 组的解，再根据题意转化成关于 p 的不等式组，求解即可 . 解： ② × 3，得 3x+3y=3p，③ ① - ③，得 2x=23－3p，则 x= ， 把 x=代 入 ②，得+y=p，则 y=. ∵ x， y 为正整数， ∴ 解得 4 <p<7 . ∵ p 是整数， ∴ p=5，6，7. 把 p=5， p=6， p=7 分 别 代 入 原 方 程 组的解中，只有当 p=5 或 p=7 时方程组的解是正整数，故整数 p 的值为 5 或 7. 专题 分类讨论思想 7 专题解读>>如果要研究的问题的条件或结论中存在多种情况，为了准确求出问题的结果，我们在解题过程中要对存在的多种情况一一进行列举讨论，保证解答的严密性 . 分类讨论的关键是要做到标准统一，不重不漏 . 若 关 于 x 的 不 等 式 组 的所有整数解的和为 14，则整数 a 的值为 _______. 例 7 2 或 －1 解： 解不等式①，得 x ＞ a－1；解不等式②，得 x ≤ 5. ∴ a－1 ＜ x ≤ 5. ∵ 所有整数解的和为 14， ∴ 不等式组的整数解为 5，4，3，2 或 5，4，3，2，1，0， －1. ∴ 1 ≤ a－1 ＜ 2 或 －2 ≤ a－1 ＜ －1. ∴ 2 ≤ a ＜ 3 或 －1 ≤ a ＜ 0. ∵ a 为整数， ∴ a=2 或 a=－1. 1.若 a ＞ b－1，则下列结论一定正确的是（　　） A.a+1 ＜ b B.a－1 ＜ b C.a ＞ b D.a+1 ＞ b 类型 不等式的性质 1 D 2. 已 知 实 数 a， b 满 足 a－b+1=0，0 ＜ a+b+1 ＜ 1，则下列判断正确的是（　　） A.－ ＜ a ＜ 0 B. ＜ b ＜ 1 C.－2 ＜ 2a+4b ＜ 1 D.－1 ＜ 4a+2b ＜ 0 C 3.解不等式 x－1 ≤ x－ ，并把它的解集在数轴上表示出来 . 类型 解一元一次不等式（组） 2 解：去分母，得3x－6≤4x－3. 移项，得3x－4x≤－3＋6. 合并同类项，得－x≤3. 系数化为1，得x≥－3. 原不等式的解集在数轴上的表示如图． 4.[中考·扬州]解不等式组并求出它的所有整数解的和 . 5.若不等式组的解集为 －1<x<1，则（a－3）（b+3）的值为（ ） A.1 B.－1 C.2 D.－2 类型 根据不等式（组）解（或解集）的情况判断字母的值或取值范围 3 D 6.若关于x的一元一次不等式组无解，则 a 的取值范围是（ ） A.a ≥ 1 B.a>1 C.a ≤ －1 D.a<－1 A 7. 为 增 强 学 生 的 劳 动 意 识，养成劳动的习惯，某校组织学生参加劳动实践 . 经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物 . 如果种植 3 亩甲作物和 2 亩乙作物需要 27 名学生，种植 2 亩甲作物和 2 亩乙作物需要 22 名学生 . 类型 一元一次不等式（组）的实际应用 4 根据以上信息，解答下列问题： (1)种植 1 亩甲作物和 1 亩乙作物分别需要多少名学生？ (2)种植甲、乙两种作物共 10 亩，所需学生人数不超过 55 人，至少种植甲作物多少亩？ 解：设种植甲作物m亩，则种植乙作物(10－m)亩． 根据题意，得5m＋6(10－m)≤55，解得m≥5. ∴m的最小值为5. 答：至少种植甲作物5亩． 8.某商场购进 A， B 两种商品，已知购进 3 件 A 商品比购进 4 件 B 商品费用多60 元；购进 5 件 A 商品和 2 件 B 商品总费用为 620 元 . (1)求 A， B 两种商品每件进价各为多少元 . (2)该商场计划购进 A， B 两种商品共 60 件，且购进 B 商品的件数不少于 A 商品件数的 2倍 . 若 A 商品按每件 150 元销售， B 商品按每件 80 元销售，为满足销售完 A， B 两种商品后获得的总利润不低于 1 770 元，则购进A 商品的件数最多为多少？ 9. 【定义】我们把数轴上表示数a 的点与原点的距离叫作数 a 的绝对值 . 数轴 上 表 示 数 a， b 的 点 A， B 之 间 的 距 离AB=a-b（a ≥ b）. 特别地，当 a ≥ 0 时，表示数a的点与原点的距离等于a－0.当a＜ 0时，表示数 a 的点与原点的距离等于 0－a. 类型 一元一次不等式与学科内知识的综合应用 5 【应用】如图，在数轴上，动点 A 从表示 －3的点出发，以 1 个单位长度 / 秒的速度沿着数轴的正方向运动 . 同时，动点 B 从表示 12的点出发，以 2 个单位长度 / 秒的速度沿着数轴的负方向运动 . (1)经过多长时间，点 A， B 之间的距离等于 3个单位长度？ 解：设经过x秒，则点A表示的数为－3＋x，点B表示的数为12－2x. 根据题意，得|12－2x－(－3＋x)|＝3， 解得x＝4或6. 答：经过4秒或6秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度． (2)求点 A， B 到原点距离之和的最小值 . 解:由(1)知，点A，B到原点距离之和为|－3＋x|＋|12－2x|. 当x<3时，|－3＋x|＋|12－2x|＝3－x＋12－2x＝15－3x. ∵x<3，∴15－3x>6，即|－3＋x|＋|12－2x|>6； 当3≤x≤6时，|－3＋x|＋|12－2x|＝x－3＋12－2x＝9－x， ∵3≤x≤6，∴3≤9－x≤6，即3≤|－3＋x|＋|12－2x|≤6； 当x>6时，|－3＋x|＋|12－2x|＝x－3＋2x－12＝3x－15， ∵x>6，∴3x－15>3，即|－3＋x|＋|12－2x|>3. 综上，|－3＋x|＋|12－2x|≥3. ∴点A，B到原点距离之和的最小值为3. 谢 谢 解：解不等式2x－6≤0，得x≤3； 解不等式x＜，得x＞. 则该不等式组的解集为＜x≤3. ∴该不等式组的所有整数解为1，2，3， ∴所有整数解的和为6. 解：设种植1亩甲作物需要x名学生，种植1亩乙作物需要y名学生． 根据题意，得解得 答：种植1亩甲作物需要5名学生，种植1亩乙作物需要6名学生． 解：设A商品每件的进价是x元，B商品每件的进价是y元． 根据题意，得解得 答：A商品每件的进价是100元，B商品每件的进价是60元． 解：设购进m件A商品，则购进(60－m)件B商品．根据题意，得 解得19≤m≤20. ∴m的最大值为20. 答：购进A商品的件数最多为20件． $$