精品解析：新疆岳普湖县中等职业技术学校2021-2022学年高一下学期期末数学试题

岳普湖县中等职业技术学校2021-2022学年高一下学期期末考试卷 （数学） 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（　　） A. B. C. D. 2. 已知角的终边经过点，则（　　） A. B. C. D. 3. 下列命题为真命题的是（　　） A. 平行于同一平面的两条直线平行 B. 与某一平面成等角两条直线平行 C. 垂直于同一平面的两条直线平行 D. 垂直于同一直线的两条直线平行 4. 已知角 终边上一点 ，则 （　　） A. B. C. D. 5 已知点，向量，则向量＝（ ） A. B. C. D. 6 已知向量，则与 （ ） A. 垂直 B. 不垂直也不平行 C. 平行且同向 D. 平行且反向 7. 若角的终边与单位圆交于点，则（　　） A. B. C. D. 8. 已知实数，则的最小值为（ ） A. 27 B. 3 C. 8 D. 9 9. 设数列满足，且前项和为，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列，则数列的第项为（　　） A. B. C. D. 11. 已知α为第四象限角，，则的值为（ ） A B. C. D. 12. 菱形 的边长为 ，，沿对角线 折成一个四面体，使得平面 平面 ，则经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（　　） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分） 13. 已知 ，，，则 的最小值为_______. 14. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且满足 ，都有 ，当 时，，则_______. 15. 已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则圆锥的体积为_______. 16. 若 与 平行，则实数 _______. 17. 若正实数 ， 满足 ，则 的最大值为_______． 18. 已知在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，则_______. 19. 在中，所对边分别是，钝角的三边是三个连续整数时，则外接圆的半径为_______. 20. 椭圆的左焦点为F，若F关于直线的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆的离心率为_______． 三、解答题（本题共4小题，每小题8分，共32分） 21. 在①，；②，；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目. 已知为等差数列的前项和，若____. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 22. 已知的内角，，的对边分别为，，，且 （1）求； （2）设，求的最大值． 23. 已知四个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为，求这四个数. 24. 如图，在四棱台中，，，四边形为平行四边形，点为棱的中点. （1）求证：平面； （2）若四边形为正方形，平面，二面角为，求二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 岳普湖县中等职业技术学校2021-2022学年高一下学期期末考试卷 （数学） 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的几何性质，即可求解. 【详解】由题意知：双曲线的离心率为， 所以， 所以，所以， 所以渐近线方程为. 故选：C. 2. 已知角的终边经过点，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据任意角的角函数的定义，即可求解. 【详解】已知角的终边经过点， 则， ， 所以. 故选：B. 3. 下列命题为真命题的是（　　） A. 平行于同一平面的两条直线平行 B. 与某一平面成等角的两条直线平行 C. 垂直于同一平面的两条直线平行 D. 垂直于同一直线的两条直线平行 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质，空间中直线与平面的关系逐个分析即可. 【详解】平行于同一平面的两条直线，可能相交，平行或异面，故A错误， 与某一平面成等角两条直线，可能相交，平行或异面，故B错误， 根据线面垂直的性质可知，垂直于同一平面的两条直线平行，故C正确， 垂直于同一直线的两条直线可能相交，平行或异面，故D错误， 故选：C 4. 已知角 终边上一点 ，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据任意角的三角函数的概念求值即可. 【详解】已知角 终边上一点， 则，， 则. 故选：A. 5. 已知点，向量，则向量＝（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算出，进而得到. 【详解】由已知，得到， 因为，所以 故选：A. 6. 已知向量，则与 （ ） A. 垂直 B. 不垂直也不平行 C. 平行且同向 D. 平行且反向 【答案】A 【解析】 【分析】根据两个向量垂直和平行性质判断易得答案. 【详解】因为向量 所以, 故与垂直. 故选:A. 7. 若角的终边与单位圆交于点，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据任意角的三角函数的定义及诱导公式可求解. 【详解】因为角的终边与单位圆交于点， 所以，， 所以. 故选：B 8. 已知实数，则的最小值为（ ） A. 27 B. 3 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为实数， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 即的最小值为27. 故选：A. 9. 设数列满足，且前项和为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，可知数列是公比为2的等比数列，结合等比数列的通项公式和前n项和公式，即可求解. 【详解】数列满足，又由题意可知， 所以数列是公比为2的等比数列， 所以， 所以. 故选：A. 10. 已知数列，则数列的第项为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，代入数列的通项公式即可求解. 【详解】数列，所以数列的第项为. 故选：B. 11. 已知α为第四象限角，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数的基本关系式求得，再利用倍角公式即可求解. 【详解】因为为第四象限角，所以， 由及得， 所以. 故选：C. 12. 菱形 的边长为 ，，沿对角线 折成一个四面体，使得平面 平面 ，则经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，根据二面角的定义，可知，根据等边三角形的性质及四面体外接球的结构特征，可判断球心在平面内的射影是的重心，可设， 结合勾股定理，即可列出等式，继而求出球的半径，结合球的表面积公式，即可求解. 【详解】 如图，取的中点E，连接， 因为菱形 的边长为 ，， 所以都是等边三角形， 所以, 所以是二面角的平面角， 因平面 平面 ， 所以，即, 因为, 所以，, 设经过这个四面体所有顶点的球，球心为O, 则球心在平面内的射影是的外心，也是重心， 所以, 过作于E,则, 设球的半径为R，，则， 所以, 即， 所以，解得， 所以球的半径， 所以球的表面积. 故选：A. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分） 13. 已知 ，，，则 的最小值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据基本不等式求出最值即可解得. 【详解】由题，， 则 ， 当且仅当，即时，取得最小值. 故答案为： 14. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且满足 ，都有 ，当 时，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数是奇函数以及推出函数的周期，再利用函数的周期性和奇偶性将转化为已知区间内的函数值进行求解. 【详解】已知函数 是定义在 上的奇函数，则， 又因为， 则， 所以是以4为周期的周期函数， 又因为当 时，， 所以， 故答案为： 15. 已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则圆锥的体积为_______. 【答案】## 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，圆锥的高为，根据题意求出底面圆的半径，再由圆锥体积公式求值即可. 【详解】设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，圆锥的高为， 因为圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆， 则，且，解得， ， 所以圆锥的体积为， 故答案为：. 16. 若 与 平行，则实数 _______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意，结合向量共线的坐标表示，即可求解. 【详解】因为 与 平行， 所以， 解得. 故答案为：4. 17. 若正实数 ， 满足 ，则 的最大值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为正实数 ， 满足 ， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故 的最大值为. 故答案为：. 18. 已知在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，则_______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据任意角的三角函数的定义，可得的值，再利用二倍角的余弦公式可求解. 【详解】由题可知， ， 所以. 故答案为： 19. 在中，所对的边分别是，钝角的三边是三个连续整数时，则外接圆的半径为_______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意设出钝角三边，以及钝角结合余弦定理求表示出，再根据边角关系，进而确定三边长，最后利用正弦定理，即可求解. 【详解】设钝角的三边长分别为：，且所对的角为， 所以由余弦定理得：， 则，所以或， 所以当时，三角形三边长分别1，2，3不能构成三角形，舍去； 当时，三角形三边长分别为2，3，4， 此时，所以， 设外接圆得半径为， 根据正弦定理得，解得. 故答案为：. 20. 椭圆左焦点为F，若F关于直线的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆的离心率为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，先表示出左焦点关于直线的对称点A的坐标，即可得到，结合之间的关系，即可化简求解. 【详解】因为椭圆的左焦点为， 所以点F关于直线的对称点， 又点在椭圆上， 所以， 所以，即， 所以离心率. 故答案为：. 三、解答题（本题共4小题，每小题8分，共32分） 21. 在①，；②，；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目. 已知为等差数列的前项和，若____. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式以及求和公式列出方程组求解即可解得. （2）根据已知写出数列通项，在由裂项相消法求出前项和即可解得. 【小问1详解】 若选①，，则， 解得，所以； 若选②，，则， 解得，所以； 若选③，当时，， 当时，所以， 当时也成立，综上所述，所以. 【小问2详解】 因为， 所以 . 22. 已知的内角，，的对边分别为，，，且 （1）求； （2）设，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角，再由诱导公式、两角和的正弦公式变形后可求得. （2）由（1）得，由此将整理成关于角的正弦型三角函数，由正弦型三角函数的性质即可求得的最大值. 【小问1详解】 由，得， 由正弦定理得， 又，则， 所以， 即， 所以， 又因为，所以，即， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）可得，即， 所以 ， 因为，所以， 所以当，即时，取得最大值. 23. 已知四个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为，求这四个数. 【答案】 或 . 【解析】 【分析】设出等比数列首项与公比，根据通项公式依次表示出题中数列即可解得. 【详解】设等比数列公比为，首项为， 则四个数可依次表示为 ， 则，解得，或， 故所求四个数依次为 或 . 24. 如图，在四棱台中，，，四边形为平行四边形，点为棱的中点. （1）求证：平面； （2）若四边形为正方形，平面，二面角为，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过证为平行四边形，可得，可证平面. （2）以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求二面角的余弦值. 【小问1详解】 连接，如图所示， 因为几何体为四棱台，且， 所以且， 又点E为棱BC的中点，且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为四边形为正方形，平面， 所以，，所以面， 连接，则，所以为二面角的平面角 由已知得，所以， 以A为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 设平面的一个法向量为， 因为，， 由得 令，得，即， 易知平面的一个法向量为， 因为， 所以二面角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$