11.2 一元一次不等式课件2024-2025学年人教版数学七年级下册

数学 人民教育出版社 七年级下册 知识讲解 11.2 一元一次不等式 第十一章 不等式与不等式组 知识讲解 11.2 一元一次不等式 11.2 一元一次不等式 知识讲解 11.2 一元一次不等式 知识回顾 还记得上节课学过哪些知识要点吗？ 知识讲解 11.2 一元一次不等式 一个概念： 不等式 两种思想： 数学建模、类比等式 三个注意： 一要注意“负数”、“非负数”、“不大于”、“不小于”等关键词语的含义； 二要注意仔细审题，正确列出不等式； 三要注意观察生活，让数学服务生活。 我们把用不等号（>,<,≥,≤,≠）连接而成的式子叫作不等式. 知识回顾 知识讲解 11.2 一元一次不等式 观察下面的不等式： x-7>26，3x<2x+1， x＞50,-4x>3. 它们有哪些共同特征？ 新课导入 知识讲解 11.2 一元一次不等式 只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1的不等式，称为一元一次不等式. 它与一元一次方程的定义有什么共同点吗？ 一元一次不等式 一 知识讲解 知识讲解 11.2 一元一次不等式 在上一节例3解不等式 x-7>26 的过程中，根据不等式的性质1，不等式两边加7， 不等号的方向不变，得 x-7+7>26+7， 即 x>26+7. 知识讲解 知识讲解 11.2 一元一次不等式 这一过程相当于把不等式x-7>26左边的项“-7”，变号为“+7”后移到右边，这就是说，解不等式时也可以 “移项”，即把不等式一边的某项变号后移到另一边，而不等号的方向不变. 一般地，利用不等式的性质，采取与解一元一次方程类似的步骤，就可以求出一元一次不等式 的解集. 知识讲解 知识讲解 11.2 一元一次不等式 解下列不等式，并在数轴上表示解集： （1）3（x-1）<x-2; （2）+2≥ 例 1 知识讲解 11.2 一元一次不等式 （1）去括号，得 3x-3<x-2. 移项，得 3x-x<-2+3. 合并同类项，得 2x<1. 系数化为1，得 x< 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示. 0 解 知识讲解 11.2 一元一次不等式 （2）去分母，得 3(x- 5）+24≥2(5x+1）. 去括号，得 3x+15+24≥10x+2. 移项， 得 3x-10x≥2+15-24. 合并同类项，得 -7x≥-7. 系数化为1，得 x≤1. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示. 0 1 解 知识讲解 11.2 一元一次不等式 解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤和依据有什么类似之处？ 思考 知识讲解 11.2 一元一次不等式 它们的依据不相同.解一元一次方程的依据是等式的性质，解一元一次不等式的依据是不等式的性质. 它们的步骤基本相同，都是去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1. 这些步骤中，要特别注意的是：不等式两边都乘（或除以）同一个负数，必须改变不等号的方向.这是与解一元一次方程不同的地方. 总结归纳 知识讲解 11.2 一元一次不等式 解一元一次方程，要依据等式的性质，将方程逐步化为x=m的形式；而解一元一次不等式，则要依据不等式的性质，将不等式逐步化为x<m（x≤m）或x>m（x≥m）的形式. 这个求不等式的解集的过程称为解不等式. 知识讲解 知识讲解 11.2 一元一次不等式 1.解下列不等式，并在数轴上表示解集： （1）5x+15>4x-1; (2) 2（x+5）<3（x-5）； (3)； （4）+1. 课堂练习 练习 知识讲解 11.2 一元一次不等式 2.当x或y满足什么条件时，下列关系成立？ （1）2（x+1）大于或等于1； （2）4与7的和不小于6； （3）y与1的差不大于2y与3的差 （4）3y与7的和的小于-2. 课堂练习 练习 知识讲解 11.2 一元一次不等式 一元一次不等式的应用 二 例 2 七年级举办古诗词知识竞赛，共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分.如果规定初赛成绩超过90分晋级决赛，那么至少要答对多少道题才能成功晋级？ 知识讲解 知识讲解 11.2 一元一次不等式 “初赛成绩超过90分”是问题中蕴含的不等关系，可以根据这个不 等关系列出不等式. 分析 知识讲解 11.2 一元一次不等式 设初赛答对了x道题 根据“初赛成绩超过90分”晋级决赛，列得不等式 10x-5(20-x)>90. 去括号，得 10x-100+5x>90. 移项，合并同类项，得 15x>190. 解 知识讲解 11.2 一元一次不等式 系数化为1，得 x＞12 由x应为正整数，可得x至少为13. 答：初赛至少要答对13道题才能成功晋级 解 知识讲解 11.2 一元一次不等式 某市去年万元地区生产总值能耗为0.320t标准煤，如果计划使今年万元地区生产总值能耗比去年的下降率不小于5%，那么这个市今年万元地区生产总值能耗至多为多少？ 万元地区生产总值 能耗是指每万元地区生 产总值所消费的能源总 量（折算为标准煤）， 其下降率是街量一个地 区节能减排成效的重要 指标 例 3 知识讲解 11.2 一元一次不等式 “今年万元地区生产总值能耗比去年的下降率不小于5%”是向题中蕴含的不等关系，即 × 100%≥5% 分析 知识讲解 11.2 一元一次不等式 设这个市今年万元地区生产总值能耗为1标准煤 根据题意，列得不等式 ×100%≥5%. 去分母，得 0.320-x≥0.320 × 5%. 解 知识讲解 11.2 一元一次不等式 移项，合并同类项，得 -x≥-0.304. 系数化为1，得 x<0.304. 答：这个市今年万元地区生产总值能耗至多为 0.304t标准煤. 解 知识讲解 11.2 一元一次不等式 1.某工程队计划在10天内修路6km.施工前2天修完1.2km后，计划发生变化，准备至少提前2天完成修路任务， 以后几天内平均每天至少要修路多少？ 课堂练习 练习 知识讲解 11.2 一元一次不等式 2.一家商店以每辆340元的进价购入一批自行车共150辆，并以每辆450元的价格销售，两个月后，自行车的销售额已超过这批自行车进货的总费用，这时至少已售出 多少辆自行车？ 课堂练习 练习 知识讲解 11.2 一元一次不等式 甲、乙两超市以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购物超过100元后，超出100元的部分按九折收费；在乙超市累计购物超过50元后，超出50元的部分按九五折收费.顾客到哪家超市购物花费较少？ 例 4 知识讲解 11.2 一元一次不等式 在甲超市购物超过100元后享受优惠，在乙超市购物超过50元后享受优惠，因此要分三种情况讨论： (1)累计购物不超过50元； (2)累计购物超过50元而不超过100元, (3)累计购物超过100元. 分析 知识讲解 11.2 一元一次不等式 （1）当购物不超过50元时,即x≤50时，在甲、乙两超市都不享受优惠，而两家超市以相同价格出售同样的商品，因此到两超市购物花费相同. （2）当累计购物超过50元而不超过100元，即50<x≤100时，在甲超市购物不受优惠，但在乙超市购物能享受优惠，因此到乙超市购物花费较少. 解 知识讲解 11.2 一元一次不等式 (3)当累计购物超过100元后，即x＞100时，在甲、乙两超市购物都能享受优惠. ①若到甲超市购物花费较少，则 100+0.9(x-100)＜ 50+0.95(x-50) 解得 x>150 即x>150时，到甲超市购物花费较少; 解 知识讲解 11.2 一元一次不等式 ②若到乙超市购物花费较少，则 100+0.9(x-100) > 50+0.95(x-50) 解得 x<150 即100<x<150，到乙超市购物花费较少; 解 知识讲解 11.2 一元一次不等式 ③若到两超市购物花费相同，则 100+0.9(x-100) = 50+0.95(x-50) 解得 x=150 即x=150时，到甲、乙两超市购物花费相同. 答：当累计购物花费不超过50元或等于150元时，到两家超市购物花费相同；当累计购物超过50元而不到150元时，到乙超市购物花费较少；当累计购物超过150元时，到甲超市购物花费较少. 解 知识讲解 11.2 一元一次不等式 1.学校打算购买某款笔记本和中性笔作为奖品，奖励给在绘画比赛中获奖的学生，笔记本的价格为16元/个，中性笔的价格为4元/支，如果学校一共要购买100件奖品， 总费用不能超过900元，那么学校最多能买多少个 笔记本？ 课堂练习 练习 知识讲解 11.2 一元一次不等式 2.一家水果店花费10000元购进了大樱桃和小樱桃各200kg，计划分别以39元/kg和29元/kg的价格销售，但大樱桃在运 输中损耗了20%.若小樱桃的售价不变，为了使获得 的总利润不低于预期利润的90%，大樱桃的售价至 少要定为每千克多少元？ 课堂练习 练习 知识讲解 11.2 一元一次不等式 1.小明家的客厅长5 m，宽4 m．现在想购买边长为 60 cm的正方形地板砖把地面铺满，至少需要购买多 少块这样的地板砖？ 课堂练习 扩展 知识讲解 11.2 一元一次不等式 设需要购买x块地板砖，则有 5×4≤0.6×0.6x 解得 x ≥ 55.6 由于地板砖的数目必须是整数,所以x的最小值为56. 答：小明至少要购买56块地板砖. 解 课堂练习 答案 知识讲解 11.2 一元一次不等式 2.某市打市内电话的收费标准是：每次3 min以内（含3 min）0.22元，以后每分钟0.11元（不足1 min部分按1 min计）．小琴一天在家里给同学打了一次市 内电话，所用电话费没超过0.5元．她最多打了 几分钟的电话？ 课堂练习 扩展 知识讲解 11.2 一元一次不等式 解: 设小琴打了x分钟的电话，则有 0.22+ (x－3) ×0.11≤0.5 解得 x ≤5.5 由于电话计时按照分钟计时，x应是整数， 所以x的最大值为5. 答：小琴最多打了5min的电话. 课堂练习 答案 知识讲解 11.2 一元一次不等式 下列不等式中，哪些是一元一次不等式? (1) 3x+2>x–1 (2)5x+3<0 (3) (4)x(x–1)<2x ✓ ✓ ✕ ✕ 左边不是整式 化简后是x2-x<2x 课堂练习 扩展 知识讲解 11.2 一元一次不等式 1. 解下列不等式： （1） -5x ≤10 ； （2）4x-3 < 10x+7 . 2. 解下列不等式： （1） 3x -1 > 2(2-5x) ； （2） . x ≥ -2 x > x > x ≤ 课堂练习 扩展 知识讲解 11.2 一元一次不等式 3. 解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： （1） 4x-3 < 2x+7 ； 解：(1)原不等式的解集为x<5，在数轴上表示为 -1 0 1 2 3 4 5 6 课堂练习 扩展 知识讲解 11.2 一元一次不等式 3. 解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： （2） . (2)原不等式的解集为x≤-11，在数轴上表示为： 0 -11 课堂练习 扩展 知识讲解 11.2 一元一次不等式 一元一次不等式 一元一次不等式的概念 步骤 一元一次不等式的应用 → 只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1的不等式，称为一元一次不等式. 课堂小结 知识讲解 11.2 一元一次不等式 一元一次不等式的应用 实际问题 ↓ 根据题意列不等式 ↓ 解一元一次不等式 → → 根据实际问题找出符合条件的解集或整数解 ↑ 得出解决问题的答案 课堂小结 知识讲解 11.2 一元一次不等式 知识讲解 11.2 一元一次不等式 $$