精品解析：上海市杨浦区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷（一模） -

杨浦区2024学年度第一学期初三期末质量调研 数学学科 2025.1 （测试时间：100分钟，满分：150分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 对一个三角形进行放缩运动时，下列结论中正确的是（） A. 各个内角的大小始终保持不变 B. 各条边的长度始终保持不变 C. 三角形的面积始终保持不变 D. 三角形的周长始终保持不变 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积，解题的关键是根据相似三角形的性质来判断．根据相似三角形的对应角相等、对应边成比例的性质来判断． 【详解】解：一个三角形进行放缩运动，各个内角的大小始终保持不变，故A符合题意； 一个三角形进行放缩运动，各条边的长度也进行变化，故B选项不符合题意； 一个三角形进行放缩运动，各条边的长度也进行变化，面积也进行变化，故C选项不符合题意； 一个三角形进行放缩运动，各条边的长度也进行变化，周长也进行变化，故D选项不符合题意， 故选：A． 2. 在 中， ，，，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求角的正弦值，熟练掌握正弦的定义是解题的关键． 由正弦的定义即可直接得出答案． 【详解】解：如图， ， 故选： ． 3. 下列二次函数中，如果函数图像的顶点在 轴上，那么这个函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式是解答本题的关键． 分别写出各个二次函数的顶点坐标，然后判断其位置即可解答． 【详解】解：A、，顶点坐标为，不在 轴上，故A选项不符合题意； B、，顶点坐标为，不在 轴上，故B选项不符合题意； C、，顶点坐标为，在 轴上，故C选项不符合题意； D、，顶点坐标为，在 轴上，故D选项符合题意； 故选：D． 4. 已知、和都是非零向量，下列结论中不能判定的是（ ） A. ， B. C. D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平面向量的知识，理解并掌握平行向量的定义是解题关键． 根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断即可． 【详解】解：A、∵，，∴，故本选项不符合题意； B、，但不一定平行，故本选项符合题意； C、∵，∴，故本选项不符合题意； D、∵，，∴，故本选项不符合题意． 故选：B． 5. 小海在距离地面高60米的热气球中测得地面上的着落点 的俯角为，那么此时热气球离着落点 的距离约是（ ）（参考数据：，，） A. 75米 B. 80米 C. 100米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意画出图形，根据平行线的性质得出，根据正弦函数定义得出（米）即可． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 在中，米， ∴（米）， 此时热气球离着落点 的距离约是100米， 故选：C． 6. 在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小华用“描点法”画它的图象，列出了如下表格： 那么下列说法中正确的是（ ） A. 该函数的图象关于 轴对称 B. 该函数的图象没有最低点也没有最高点 C. 该函数的图象经过第一、二、三、四象限 D. 沿 轴的正方向看，该函数的图象在对称轴左侧的部分是下降的 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由表格法判断函数的图象，根据 时，； 时，，可得对称轴为直线，可判断 ；由当 时， 随着 的增大而减小，当 时， 随着 的增大而增大，当 时， 取最小值，可判断；由可知，可判断 ；由函数图象的对称轴为直线 ，当 时， 随着 的增大而减小，可判断，据此即可求解，看懂表格中的数值是解题的关键． 【详解】解： 、∵ 时，； 时，， ∴对称轴为直线，故选项 错误； 、由表可知，当 时， 随着 的增大而减小，当 时， 随着 的增大而增大，当 时， 取最小值， ∴该函数的图象有最低点没有最高点，故选项错误； 、∵， ∴， ∴该函数的图像经过三、四象限，不经过第一、二象限，故选项 错误； 、∵函数图象的对称轴为直线 ，当 时， 随着 的增大而减小， ∴沿 轴的正方向看，该函数的图像在对称轴左侧的部分是下降的，故选项正确； 故选：． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 如果，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，根据比例的基本性质，可分别设出x和y，再代入进行计算即可得出结果．解题的关键：已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现约分． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴． 故答案为：． 8. 已知函数，那么______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了求函数值，熟练掌握函数的相关知识是解题的关键． 将 直接代入函数解析式求值即可． 【详解】解：， ， 故答案为： ． 9. 已知抛物线有最高点，那么 的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 由抛物线有最高点可知抛物线开口向下，于是可得，解不等式即可求出 的取值范围． 【详解】解： 抛物线有最高点， 抛物线开口向下， ， 解得：， 即： 的取值范围是， 故答案为：． 10. 如果两个相似三角形对应高的比是 ，那么它们的面积比是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 由相似三角形的性质可知，相似三角形对应高的比等于相似比，而相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此即可得出答案． 【详解】解：由相似三角形的性质可知，相似三角形对应高的比等于相似比，而相似三角形的面积比等于相似比的平方， 它们的面积比是：， 故答案为：． 11. 在 中， ， ，垂足为点 ， ，，那么 的长为_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，余弦的定义，已知余弦求边长等知识点，熟练掌握余弦的定义是解题的关键． 由 可得，由 可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，则，即，由此即可求出 的长． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 12. 已知在 中，点 、 分别是边 、 上的一点，，，要使 ，那么______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，能灵活运用平行线分线段成比例的性质得出比例式是解此题的关键．根据平行线分线段成比例即可得出答案． 【详解】解：当 时， 故答案为∶6． 13. 已知二次函数的图像开口向上，点和点是该抛物线上的两点，那么______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由二次函数的图象与性质可知抛物线对称轴为直线 ，结合二次函数的图象开口向上可知，当时 随 的增大而减小，然后由即可得出答案． 【详解】解：抛物线对称轴为直线， 二次函数的图像开口向上， 当时， 随 的增大而减小， ， ， 故答案为：． 14. 如图，在 中，点 、 分别在边 、 上， ，，设，，那么______．（用含、的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面向量，相似三角形的判定和性质，根据已知推出，根据相似三角形的性质推出，再根据平面向量的减法运算法则即可得出结果．熟记平面向量的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵ ，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在 中， ， ，中线 与高 交于点 ，如果，那么 ______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线及三角形中位线定义，熟知等腰三角形的性质及三角形中位线定理是解题的关键．先根据等腰三角形的性质及 为 的中线，得出 为 的中位线，进而可求出 的长，进一步可求出 的长，再过点 作 的垂线，构造出直角三角形，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：由题知， ，且 为高线， ， ． 又 是 的中线， 是 的中位线． ， ． 在 中， ． 过点 作 的垂线，垂足为 ， ， ， ． 又 为 中点， ． 在 中， ． 故答案为：． 16. 如图，小岛 在港口 的西南方向，一艘船从港口 沿正南方向航行12海里后到达 处，在 处测得小岛 在它的南偏西 方向，那么小岛 离港口 有______海里．（结果保留根号） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．作于D，设 海里，，则，根据可得，列出方程，求出x的值，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：过点A作于点D， 根据题意得：（海里）， ， 设 海里，则海里， ∴, 解得：， ∴， ∵， ∴， 解得，． 17. 如图，已知正方形 与正方形 ， 为 边上一点， 的延长线交 于点 ，如果，连接 ，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． 先用含 、 的代数式表示出和，证明，得到，即，化简得，设，化简得到关于 的一元二次方程，解出 的值，即得到的值，再由，代入数据即可解答． 【详解】解：连接 ，如图： 设正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 ， 则，， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 即， ， 两边同除以 得：， 令，则， ， ， ，即， 解得：， ， ， 即， ， 故答案为：． 18. 已知矩形 ，点E是边 的中点，将 沿 翻折，点A的对应点F恰好落在对角线 上，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据矩形的性质得到 ， ，，求得，再根据折叠的性质得到，，，求得，推出，由E是 边的中点，得到 ，求得，根据全等三角形的性质得到，求得，得到，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】如图，延长 交 于G，连接 ， ∵四边形 是矩形， ∴ ， ，， ∴． ∵将 沿 折叠，点A落到点F处， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵E是 边的中点， ∴ ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理，三角函数定义等知识，解题关键是熟练掌握翻折变换的性质和勾股定理． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，涉及二次根式混合运算、分母有理化等知识，熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键． 先由特殊角的三角函数值求出各部分，再由二次根式混合运算法则求解即可得到答案． 【详解】解： ． 20. 已知抛物线 （）经过点、点、点． （1）求此抛物线的表达式； （2）将上述抛物线平移，使它的顶点移动到点的位置，那么平移的方法是_______． 【答案】（1） （2）向左平移4个单位，再向上平移3个单位 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的平移，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． （1）根据待定系数法可以求得该抛物线的解析式； （2）先将原抛物线化为顶点式，求得顶点坐标，然后根据平移的特点，即可写出平移的方法． 【小问1详解】 解： 抛物线经过点、点、点． ， 解得， 即该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：， 抛物线的顶点为， 的顶点移动到点的位置， 抛物线应向左平移4个单位，向上平移3个单位长度． 故答案为：向左平移4个单位，向上平移3个单位长度． 21. 如图，已知在梯形 中， ，， ，，． （1）求 的长； （2）求 的正切值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由两直线平行同旁内角互补可得，在 中，根据即可求出 的长，在 中，由勾股定理可得，由此即可求出 的长； （2）由（1）可得， ，由勾股定理可得，可求得，过点 作 ，垂足为点 ，则，由两直线平行内错角相等可得，进而可得，在 中，根据可求得 的长，由勾股定理可得，由此可求得 的长，在中，根据可求得 的长，然后根据即可求出 的正切值． 【小问1详解】 解： 梯形 ， ，， ， 在 中， ，， ， 在 中， ，， 由勾股定理得： ； 【小问2详解】 解：由（1）可得：， ， ， ， 如图，过点 作 ，垂足为点 ， ， ， ， ， 在 中， ，， ， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题主要考查了求角的余弦值，求角的正切值，已知余弦求边长，已知正弦值求边长，勾股定理，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，线段的和与差等知识点，熟练掌握勾股定理及解直角三角形的相关计算是解题的关键． 22. 定义：如图1，已知点 、 是 的边 上的两个定点，点 是边 上的一个动点，当 时，称点 是线段 的最佳视野点．如图2，某商业广场上安装了一块巨型显示屏 ，点 到水平地面的距离 为5米，在水平地面 的 处有一个自动扶梯 ，点 、 、 在同一直线上．已知自动扶梯 的坡度是，点 到点 的距离是10米． （1）当行人行走在水平地面 时，发现点 恰好是屏幕 的最佳视野点，且从点 测得点 的仰角为 ．求 的长；（忽略行人的高度） （2）在（1）的条件下，如果要在自动扶梯 上找到屏幕 的最佳视野点，有人说“最佳视野点就是屏幕 的垂直平分线与 的交点”．你同意这个说法吗？请通过计算说明理由．（忽略行人的高度） 【答案】（1） 的长是10米 （2） 不同意．理由如下： 作 的垂直平分线交 于 ，交 于点 ，分别延长 与 交于点 ， 由题意，可得： ， ， ∵自动扶梯 的坡度是， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴点 不是自动扶梯 上的最佳视野点． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角． （1）连接 ，由题意得 ， ， ，设 为 ，则 为 ，根据点H恰好是屏幕 的最佳视野点列方程求出x即可解答； （2）作 的垂直平分线交 于 ，交 于点 ，分别延长 与 交于点 ，分别求出 ， ， ，计算得出 ，从而判断点 不是屏幕 的最佳视野点． 【小问1详解】 解：如图，连接 ， 由题意得， ， ， ， 设 ，则 ， ， ∵点 恰好是屏幕 的最佳视野点， ∴ ， ∴ ， 解得： （舍去），， ∴ （米）， ∴ （米）， ∴ 的长是10米； 【小问2详解】 略 23. 已知：如图， 中， ，点 是 边上一点，过点 作 交 延长线于点 ，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明：， ， 在 与 中，，， ， ，， 又， ， 在 与 中，， 是公共角， ， ， 即； （2）证明：延长CA、BE交于点H，如图： ， ，由三角形内角和可得， ， 又 ， ， 在与 中，，， ， ， 即． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）先证明，得到 ，，又因为，所以，然后证明，得到，即可得证； （2）延长 、 交于点 ，由已知条件得，又 ，所以，证明，得，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 在平面直角坐标系 中，抛物线（ ）与 轴交于点和点 ，顶点为 ． （1）求此抛物线的对称轴及点 的坐标； （2）点 是该抛物线上的一点，设对称轴与 轴交于点 ，如果 恰好平分线段 ，求点 的坐标（用含 的式子表示）； （3）在（2）的条件下，连接 、 ，当时，求 的值． 【答案】（1）对称轴是直线 ，点 的坐标为 （2）点 坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）先根据对称轴方程求出对称轴，再根据轴对称的性质求出点B的坐标； （2）过点P作轴于点G，将抛物线先写成交点式，再化成顶点式求出顶点D及线段 的中点坐标，根据相似三角形的判定列方程求解； （3）延长 交 轴于点 ，求出点 的坐标，证，根据相似三角形的性质求出 ，然后在中，根据勾股定理列方程即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线对称轴是直线． ∵点 与点 关于对称轴对称，点， ∴点 的坐标为：． 【小问2详解】 抛物线与 轴交于点， ， ，点 坐标为，顶点 的坐标为 如图，设 的中点为 ，则点 的坐标． 设点 的坐标为． 作轴，垂足为点 ． ∵轴， 轴， ∴， ∴， ∴， 解得 或 （舍去）， ∴点 坐标为； 【小问3详解】 如图，延长 交 轴于点 ， ∵点，点 坐标为． ∴直线 的函数解析式为：． ∴点 的坐标为． 又∵， ∴． 在与中，，， ∴． ， ∴，又，， ∴． 在中，，， ， ， 解得：（舍去）或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何的综合，考查了抛物线的性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识．利用点的坐标表示线段的长度、数学形结合及构造辅助线是解本题的关键． 25. 已知 中， ，点 在边 上，． （1）如图1，当 ，时，求 的长； （2）点 是 边上一点，满足． ①如图2，当时，求的值； ②当 是等腰三角形时，求 的余弦值． 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】（1）由可求得 ，由勾股定理可求得，由可求得，在 中，由勾股定理可得，由此即可求出 的长； （2）①设 ，则，，过点 作，交 延长线于点 ，由可得，结合，可证得，于是可得，则，进而可得 ，由等角对等边可得 ，过点 作于点 ，由三线合一可得，由角平分线的性质可得，由勾股定理可得，则，由平行线分线段成比例定理可得，由两直线平行内错角相等可得，进而可得，由等角对等边可得，设，则，，整理得，则，由勾股定理可得，则，由此即可求出的值； ②过点 作交 延长线于点 ，然后分三种情况讨论：）当 时； ）当 时；）当 时；分别求解即可求出 的余弦值． 【小问1详解】 解：在 中， ，， ， ， 又， ， 在 中， ，， ∴； 【小问2详解】 解：①， 设 ，则，， 如图 ，过点 作，交 延长线于点 ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 如图 ，过点 作于点 ，则可得， 又， ， 由勾股定理可得：， ， ， ， ，， ， ， 设，则， ， 整理，得：， ， 在中，，， ， ， ； ②，，， ， 如图 ，过点 作交 延长线于点 ， 分三种情况讨论： ）当 时， ， ∴， 但 不平行 ，故此种情况不存在； ）当 时， 如图 ，过点 作 ，垂足为 ， ， 又， ， ， ， ， ， 又， ， ， 由①可知：此时 ， ， ； ）当时， 同理可得：， 设， 如图 ，延长 至点 ，使得，连接 ， 又，， ， ， 过P作于H，则，， ， ， ， ，， 又， ， ， ， ， ， 整理，得：， 解得：， ， ； 综上，或， 即： 的余弦值为或． 【点睛】本题主要考查了已知正弦值求边长，相似三角形的判定与性质，等角对等边，三线合一，角平分线的性质定理，勾股定理，平行线分线段成比例定理，两直线平行内错角相等，线段的和与差，直角三角形的两个锐角互余，等边对等角，三角形的内角和定理，同位角相等两直线平行，求角的余弦值，全等三角形的判定与性质，公式法解一元二次方程等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杨浦区2024学年度第一学期初三期末质量调研 数学学科 2025.1 （测试时间：100分钟，满分：150分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 对一个三角形进行放缩运动时，下列结论中正确的是（） A. 各个内角的大小始终保持不变 B. 各条边的长度始终保持不变 C. 三角形的面积始终保持不变 D. 三角形的周长始终保持不变 2. 在 中， ，，，那么的值是（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次函数中，如果函数图像的顶点在 轴上，那么这个函数是（ ） A. B. C. D. 4. 已知、和都是非零向量，下列结论中不能判定的是（ ） A. ， B. C. D. ， 5. 小海在距离地面高60米的热气球中测得地面上的着落点 的俯角为，那么此时热气球离着落点 的距离约是（ ）（参考数据：，，） A. 75米 B. 80米 C. 100米 D. 米 6. 在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小华用“描点法”画它的图象，列出了如下表格： 那么下列说法中正确的是（ ） A. 该函数的图象关于 轴对称 B. 该函数的图象没有最低点也没有最高点 C. 该函数的图象经过第一、二、三、四象限 D. 沿 轴的正方向看，该函数的图象在对称轴左侧的部分是下降的 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 如果，那么______． 8. 已知函数，那么______． 9. 已知抛物线有最高点，那么 的取值范围是______． 10. 如果两个相似三角形对应高的比是 ，那么它们的面积比是______． 11. 在 中， ， ，垂足为点 ， ，，那么 的长为_____ 12. 已知在 中，点 、 分别是边 、 上的一点，，，要使 ，那么______． 13. 已知二次函数的图像开口向上，点和点是该抛物线上的两点，那么______．（填“”、“”或“”） 14. 如图，在 中，点 、 分别在边 、 上， ，，设，，那么______．（用含、的式子表示） 15. 如图，在 中， ， ，中线 与高 交于点 ，如果，那么 ______． 16. 如图，小岛 在港口 的西南方向，一艘船从港口 沿正南方向航行12海里后到达 处，在 处测得小岛 在它的南偏西 方向，那么小岛 离港口 有______海里．（结果保留根号） 17. 如图，已知正方形 与正方形 ， 为 边上一点， 的延长线交 于点 ，如果，连接 ，那么______． 18. 已知矩形 ，点E是边 的中点，将 沿 翻折，点A的对应点F恰好落在对角线 上，那么________． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 20. 已知抛物线 （）经过点、点、点． （1）求此抛物线的表达式； （2）将上述抛物线平移，使它的顶点移动到点的位置，那么平移的方法是_______． 21. 如图，已知在梯形 中， ，， ，，． （1）求 的长； （2）求 的正切值． 22. 定义：如图1，已知点 、 是 的边 上的两个定点，点 是边 上的一个动点，当 时，称点 是线段 的最佳视野点．如图2，某商业广场上安装了一块巨型显示屏 ，点 到水平地面的距离 为5米，在水平地面 的 处有一个自动扶梯 ，点 、 、 在同一直线上．已知自动扶梯 的坡度是，点 到点 的距离是10米． （1）当行人行走在水平地面 时，发现点 恰好是屏幕 的最佳视野点，且从点 测得点 的仰角为 ．求 的长；（忽略行人的高度） （2）在（1）的条件下，如果要在自动扶梯 上找到屏幕 的最佳视野点，有人说“最佳视野点就是屏幕 的垂直平分线与 的交点”．你同意这个说法吗？请通过计算说明理由．（忽略行人的高度） 23. 已知：如图， 中， ，点 是 边上一点，过点 作 交 延长线于点 ，． （1）求证：； （2）求证：． 24. 在平面直角坐标系 中，抛物线（ ）与 轴交于点和点 ，顶点为 ． （1）求此抛物线的对称轴及点 的坐标； （2）点 是该抛物线上的一点，设对称轴与 轴交于点 ，如果 恰好平分线段 ，求点 的坐标（用含 的式子表示）； （3）在（2）的条件下，连接 、，当时，求 的值． 25. 已知 中， ，点 在边 上，． （1）如图1，当 ，时，求 的长； （2）点 是 边上一点，满足． ①如图2，当时，求的值； ②当 是等腰三角形时，求 的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $