精品解析：上海市杨浦区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷（一模） -

杨浦区2024学年度第一学期初三期末质量调研 数学学科 2025.1 （测试时间：100分钟，满分：150分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 对一个三角形进行放缩运动时，下列结论中正确的是（） A. 各个内角的大小始终保持不变 B. 各条边的长度始终保持不变 C. 三角形的面积始终保持不变 D. 三角形的周长始终保持不变 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积，解题的关键是根据相似三角形的性质来判断．根据相似三角形的对应角相等、对应边成比例的性质来判断． 【详解】解：一个三角形进行放缩运动，各个内角的大小始终保持不变，故A符合题意； 一个三角形进行放缩运动，各条边的长度也进行变化，故B选项不符合题意； 一个三角形进行放缩运动，各条边的长度也进行变化，面积也进行变化，故C选项不符合题意； 一个三角形进行放缩运动，各条边的长度也进行变化，周长也进行变化，故D选项不符合题意， 故选：A． 2. 在中，，，，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求角的正弦值，熟练掌握正弦的定义是解题的关键． 由正弦的定义即可直接得出答案． 【详解】解：如图， ， 故选：． 3. 下列二次函数中，如果函数图像的顶点在轴上，那么这个函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式是解答本题的关键． 分别写出各个二次函数的顶点坐标，然后判断其位置即可解答． 【详解】解：A、，顶点坐标为，不在轴上，故A选项不符合题意； B、，顶点坐标为，不在轴上，故B选项不符合题意； C、，顶点坐标为，在轴上，故C选项不符合题意； D、，顶点坐标为，在轴上，故D选项符合题意； 故选：D． 4. 已知、和都是非零向量，下列结论中不能判定的是（ ） A. ， B. C. D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平面向量的知识，理解并掌握平行向量的定义是解题关键． 根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断即可． 【详解】解：A、∵，，∴，故本选项不符合题意； B、，但不一定平行，故本选项符合题意； C、∵，∴，故本选项不符合题意； D、∵，，∴，故本选项不符合题意． 故选：B． 5. 小海在距离地面高60米的热气球中测得地面上的着落点的俯角为，那么此时热气球离着落点的距离约是（ ）（参考数据：，，） A. 75米 B. 80米 C. 100米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意画出图形，根据平行线的性质得出，根据正弦函数定义得出（米）即可． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 在中，米， ∴（米）， 此时热气球离着落点的距离约是100米， 故选：C． 6. 在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小华用“描点法”画它的图象，列出了如下表格： 那么下列说法中正确的是（ ） A. 该函数的图象关于轴对称 B. 该函数的图象没有最低点也没有最高点 C. 该函数的图象经过第一、二、三、四象限 D. 沿轴的正方向看，该函数的图象在对称轴左侧的部分是下降的 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由表格法判断函数的图象，根据时，；时，，可得对称轴为直线，可判断；由当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，当时，取最小值，可判断；由可知，可判断；由函数图象的对称轴为直线，当时，随着的增大而减小，可判断，据此即可求解，看懂表格中的数值是解题的关键． 【详解】解：、∵时，；时，， ∴对称轴为直线，故选项错误； 、由表可知，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，当时，取最小值， ∴该函数的图象有最低点没有最高点，故选项错误； 、∵， ∴， ∴该函数的图像经过三、四象限，不经过第一、二象限，故选项错误； 、∵函数图象的对称轴为直线，当时，随着的增大而减小， ∴沿轴的正方向看，该函数的图像在对称轴左侧的部分是下降的，故选项正确； 故选：． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 如果，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，根据比例的基本性质，可分别设出x和y，再代入进行计算即可得出结果．解题的关键：已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现约分． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴． 故答案为：． 8. 已知函数，那么______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了求函数值，熟练掌握函数的相关知识是解题的关键． 将直接代入函数解析式求值即可． 详解】解：， ， 故答案：． 9. 已知抛物线有最高点，那么的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 由抛物线有最高点可知抛物线开口向下，于是可得，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：抛物线有最高点， 抛物线开口向下， ， 解得：， 即：的取值范围是， 故答案为：． 10. 如果两个相似三角形对应高的比是，那么它们的面积比是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 由相似三角形的性质可知，相似三角形对应高的比等于相似比，而相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此即可得出答案． 【详解】解：由相似三角形的性质可知，相似三角形对应高的比等于相似比，而相似三角形的面积比等于相似比的平方， 它们的面积比是：， 故答案为：． 11. 在中，，，垂足为点，，，那么的长为_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，余弦的定义，已知余弦求边长等知识点，熟练掌握余弦的定义是解题的关键． 由可得，由可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，则，即，由此即可求出的长． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 12. 已知在中，点、分别是边、上的一点，，，要使，那么______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，能灵活运用平行线分线段成比例的性质得出比例式是解此题的关键．根据平行线分线段成比例即可得出答案． 【详解】解：当时， 故答案为∶6． 13. 已知二次函数的图像开口向上，点和点是该抛物线上的两点，那么______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由二次函数的图象与性质可知抛物线对称轴为直线，结合二次函数的图象开口向上可知，当时随的增大而减小，然后由即可得出答案． 【详解】解：抛物线对称轴为直线， 二次函数的图像开口向上， 当时，随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 14. 如图，在中，点、分别在边、上，，，设，，那么______．（用含、的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面向量，相似三角形的判定和性质，根据已知推出，根据相似三角形的性质推出，再根据平面向量的减法运算法则即可得出结果．熟记平面向量的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，中线与高交于点，如果，那么______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线及三角形中位线定义，熟知等腰三角形的性质及三角形中位线定理是解题的关键．先根据等腰三角形的性质及为的中线，得出为的中位线，进而可求出的长，进一步可求出的长，再过点作的垂线，构造出直角三角形，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：由题知， ，且为高线，， ． 又是的中线， 是的中位线． ， ． 在中， ． 过点作的垂线，垂足为， ， ， ． 又为中点， ． 在中， ． 故答案为：． 16. 如图，小岛在港口的西南方向，一艘船从港口沿正南方向航行12海里后到达处，在处测得小岛在它的南偏西方向，那么小岛离港口有______海里．（结果保留根号） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．作于D，设海里，，则，根据可得，列出方程，求出x的值，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：过点A作于点D， 根据题意得：（海里）， ， 设海里，则海里， ∴, 解得：， ∴， ∵， ∴， 解得，． 17. 如图，已知正方形与正方形，为边上一点，的延长线交于点，如果，连接，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． 先用含、的代数式表示出和，证明，得到，即，化简得，设，化简得到关于的一元二次方程，解出的值，即得到的值，再由，代入数据即可解答． 【详解】解：连接，如图： 设正方形的边长为，正方形的边长为， 则，， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 即， ， 两边同除以得：， 令，则， ， ， ，即， 解得：， ， ， 即， ， 故答案为：． 18. 已知矩形（），点是边的中点，将沿翻折，点的对应点恰好落在对角线上，那么______． 【答案】## 【解析】 【分析】延长交于点，连接，由矩形的性质可得，，，由两直线平行内错角相等可得，由折叠的性质可得，，，由等边对等角可得，利用邻补角互补可得，由对顶角相等可得，进而可得，由等角对等边可得，由点是边的中点可得，进而可得，利用可证得，于是可得，进而可得，则，，即，，，利用勾股定理可得，然后根据即可得出答案． 【详解】解：如图，延长交于点，连接， 四边形是矩形， ，，， ， 将沿翻折，点落到点处， ，，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 点是边的中点， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求角的正切值，矩形的性质，两直线平行内错角相等，折叠的性质，等边对等角，利用邻补角互补求角度，对顶角相等，等角对等边，线段中点的有关计算，全等三角形的判定与性质，线段的和与差，勾股定理等知识点，熟练掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，涉及二次根式混合运算、分母有理化等知识，先由特殊角的三角函数值求出各部分，再由二次根式混合运算法则求解即可得到答案，熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键． 【详解】解： ． 20. 已知抛物线（）经过点、点、点． （1）求此抛物线的表达式； （2）将上述抛物线平移，使它的顶点移动到点的位置，那么平移的方法是_______． 【答案】（1） （2）向左平移4个单位，再向上平移3个单位 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的平移，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． （1）根据待定系数法可以求得该抛物线的解析式； （2）先将原抛物线化为顶点式，求得顶点坐标，然后根据平移的特点，即可写出平移的方法． 【小问1详解】 解：抛物线经过点、点、点． ， 解得， 即该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：， 抛物线的顶点为， 的顶点移动到点的位置， 抛物线应向左平移4个单位，向上平移3个单位长度． 故答案为：向左平移4个单位，向上平移3个单位长度． 21. 如图，已知梯形中，，，，，． （1）求的长； （2）求的正切值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由两直线平行同旁内角互补可得，在中，根据即可求出的长，在中，由勾股定理可得，由此即可求出的长； （2）由（1）可得，，由勾股定理可得，可求得，过点作，垂足为点，则，由两直线平行内错角相等可得，进而可得，在中，根据可求得的长，由勾股定理可得，由此可求得的长，在中，根据可求得的长，然后根据即可求出的正切值． 【小问1详解】 解：梯形，，， ， 在中， ，， ， 在中，，， 由勾股定理得： ； 【小问2详解】 解：由（1）可得：，， ， ， 如图，过点作，垂足为点， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题主要考查了求角的余弦值，求角的正切值，已知余弦求边长，已知正弦值求边长，勾股定理，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，线段的和与差等知识点，熟练掌握勾股定理及解直角三角形的相关计算是解题的关键． 22. 定义：如图1，已知点、是的边上的两个定点，点是边上的一个动点，当时，称点是线段的最佳视野点．如图2，某商业广场上安装了一块巨型显示屏，点到水平地面的距离为5米，在水平地面的处有一个自动扶梯，点、、在同一直线上．已知自动扶梯的坡度是，点到点的距离是10米． （1）当行人行走在水平地面时，发现点恰好是屏幕的最佳视野点，且从点测得点的仰角为．求的长；（忽略行人的高度） （2）在（1）的条件下，如果要在自动扶梯上找到屏幕的最佳视野点，有人说“最佳视野点就是屏幕的垂直平分线与的交点”．你同意这个说法吗？请通过计算说明理由．（忽略行人的高度） 【答案】（1）的长是10米 （2）不同意，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角． （1）连接，由题意得，，，设为，则为，根据点H恰好是屏幕的最佳视野点列方程求出x即可解答； （2）作垂直平分线交于，交于点，分别延长与交于点，分别求出，，，计算得出，从而判断点不是屏幕的最佳视野点． 【小问1详解】 解：如图，连接， 由题意得，，，， 设，则，， ∵点恰好是屏幕的最佳视野点， ∴， ∴， 解得：（舍去），， ∴（米）， ∴（米）， ∴的长是10米； 【小问2详解】 解：不同意．理由如下： 作的垂直平分线交于，交于点，分别延长与交于点， 由题意，可得：，， ∵自动扶梯的坡度是， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点不是自动扶梯上的最佳视野点． 23. 已知：如图，中，，点是边上一点，过点作交延长线于点，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）先证明，得到，，又因为，所以，然后证明，得到，即可得证； （2）延长、交于点，由已知条件得，又，所以，证明，得，即可得证． 【小问1详解】 证明：， ， 在与中，，， ， ，， 又， ， 在与中，，是公共角， ， ， 即； 【小问2详解】 解：延长、交于点，如图： ，，由三角形内角和可得， ， 又， ， 在与中，，， ， ， 即． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点和点，顶点为． （1）求此抛物线的对称轴及点的坐标； （2）点是该抛物线上的一点，设对称轴与轴交于点，如果恰好平分线段，求点的坐标（用含的式子表示）； （3）在（2）的条件下，连接、，当时，求的值． 【答案】（1）对称轴是直线，点的坐标为 （2）点坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）先根据对称轴方程求出对称轴，再根据轴对称的性质求出点B的坐标； （2）过点P作轴于点G，将抛物线先写成交点式，再化成顶点式求出顶点D及线段的中点坐标，根据相似三角形的判定列方程求解； （3）延长交轴于点，求出点的坐标，证，根据相似三角形的性质求出，然后在中，根据勾股定理列方程即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线对称轴是直线． ∵点与点关于对称轴对称，点， ∴点的坐标为：． 【小问2详解】 抛物线与轴交于点， ， ，点坐标为，顶点的坐标为 如图，设的中点为，则点的坐标． 设点的坐标为． 作轴，垂足为点． ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴点坐标为； 【小问3详解】 如图，延长交轴于点， ∵点，点坐标为． ∴直线的函数解析式为：． ∴点的坐标为． 又∵， ∴． 在与中，，， ∴． ， ∴，又，， ∴． 中，，，， ， 解得：（舍去）或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何的综合，考查了抛物线的性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识．利用点的坐标表示线段的长度、数学形结合及构造辅助线是解本题的关键． 25. 已知中，，点在边上，． （1）如图1，当，时，求的长； （2）点是边上一点，满足． ①如图2，当时，求的值； ②当是等腰三角形时，求的余弦值． 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】（1）由可求得，由勾股定理可求得，由可求得，在中，由勾股定理可得，由此即可求出的长； （2）①设，则，，过点作，交延长线于点，由可得，结合，可证得，于是可得，则，进而可得，由等角对等边可得，过点作于点，由三线合一可得，由角平分线的性质可得，由勾股定理可得，则，由平行线分线段成比例定理可得，由两直线平行内错角相等可得，进而可得，由等角对等边可得，设，则，，整理得，则，由勾股定理可得，则，由此即可求出的值； ②过点作交延长线于点，然后分三种情况讨论：）当时；）当时；）当时；分别求解即可求出的余弦值． 【小问1详解】 解：在中，，， ， ， 又， ， 在中，，， ∴； 【小问2详解】 解：①， 设，则，， 如图，过点作，交延长线于点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 如图，过点作于点，则可得， 又， ， 由勾股定理可得：， ， ， ， ，， ， ， 设，则， ， 整理，得：， ， 在中，，， ， ， ； ②，，， ， 如图，过点作交延长线于点， 分三种情况讨论： ）当时， ， ∴， 但不平行，故此种情况不存在； ）当时， 如图，过点作，垂足为， ， 又， ， ， ， ， ， 又， ， ， 由①可知：此时， ， ； ）当时， 同理可得：， 设， 如图，延长至点，使得，连接， 又，， ， ， 过P作于H，则，， ， ， ， ，， 又， ， ， ， ， ， 整理，得：， 解得：， ， ； 综上，或， 即：的余弦值为或． 【点睛】本题主要考查了已知正弦值求边长，相似三角形的判定与性质，等角对等边，三线合一，角平分线的性质定理，勾股定理，平行线分线段成比例定理，两直线平行内错角相等，线段的和与差，直角三角形的两个锐角互余，等边对等角，三角形的内角和定理，同位角相等两直线平行，求角的余弦值，全等三角形的判定与性质，公式法解一元二次方程等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 杨浦区2024学年度第一学期初三期末质量调研 数学学科 2025.1 （测试时间：100分钟，满分：150分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 对一个三角形进行放缩运动时，下列结论中正确的是（） A. 各个内角的大小始终保持不变 B. 各条边的长度始终保持不变 C. 三角形的面积始终保持不变 D. 三角形的周长始终保持不变 2. 在中，，，，那么的值是（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次函数中，如果函数图像的顶点在轴上，那么这个函数是（ ） A. B. C D. 4. 已知、和都是非零向量，下列结论中不能判定的是（ ） A ， B. C. D. ， 5. 小海在距离地面高60米的热气球中测得地面上的着落点的俯角为，那么此时热气球离着落点的距离约是（ ）（参考数据：，，） A. 75米 B. 80米 C. 100米 D. 米 6. 在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小华用“描点法”画它的图象，列出了如下表格： 那么下列说法中正确的是（ ） A. 该函数的图象关于轴对称 B. 该函数图象没有最低点也没有最高点 C. 该函数的图象经过第一、二、三、四象限 D. 沿轴的正方向看，该函数的图象在对称轴左侧的部分是下降的 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 如果，那么______． 8. 已知函数，那么______． 9. 已知抛物线有最高点，那么的取值范围是______． 10. 如果两个相似三角形对应高的比是，那么它们的面积比是______． 11. 在中，，，垂足为点，，，那么的长为_____ 12. 已知在中，点、分别是边、上的一点，，，要使，那么______． 13. 已知二次函数的图像开口向上，点和点是该抛物线上的两点，那么______．（填“”、“”或“”） 14. 如图，在中，点、分别在边、上，，，设，，那么______．（用含、的式子表示） 15. 如图，中，，，中线与高交于点，如果，那么______． 16. 如图，小岛在港口的西南方向，一艘船从港口沿正南方向航行12海里后到达处，在处测得小岛在它的南偏西方向，那么小岛离港口有______海里．（结果保留根号） 17. 如图，已知正方形与正方形，为边上一点，的延长线交于点，如果，连接，那么______． 18. 已知矩形（），点是边的中点，将沿翻折，点的对应点恰好落在对角线上，那么______． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 20. 已知抛物线（）经过点、点、点． （1）求此抛物线的表达式； （2）将上述抛物线平移，使它的顶点移动到点的位置，那么平移的方法是_______． 21. 如图，已知在梯形中，，，，，． （1）求的长； （2）求的正切值． 22. 定义：如图1，已知点、是的边上的两个定点，点是边上的一个动点，当时，称点是线段的最佳视野点．如图2，某商业广场上安装了一块巨型显示屏，点到水平地面的距离为5米，在水平地面的处有一个自动扶梯，点、、在同一直线上．已知自动扶梯的坡度是，点到点的距离是10米． （1）当行人行走在水平地面时，发现点恰好是屏幕的最佳视野点，且从点测得点的仰角为．求的长；（忽略行人的高度） （2）在（1）的条件下，如果要在自动扶梯上找到屏幕的最佳视野点，有人说“最佳视野点就是屏幕的垂直平分线与的交点”．你同意这个说法吗？请通过计算说明理由．（忽略行人的高度） 23. 已知：如图，中，，点是边上一点，过点作交延长线于点，． （1）求证：； （2）求证：． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点和点，顶点为． （1）求此抛物线对称轴及点的坐标； （2）点是该抛物线上的一点，设对称轴与轴交于点，如果恰好平分线段，求点的坐标（用含的式子表示）； （3）在（2）的条件下，连接、，当时，求的值． 25. 已知中，，点在边上，． （1）如图1，当，时，求的长； （2）点是边上一点，满足． ①如图2，当时，求的值； ②当是等腰三角形时，求的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$