精品解析：内蒙古自治区通辽市科尔沁区科尔沁实验初中2024-2025学年九年级上学期第二次月考数学试题

科尔沁实验初中九年级第二次月考数学学科试卷 一、单选题（共30分） 1. 下列函数关系中，y是x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的概念：形如（为常数，且）的函数；由此问题可求解． 【详解】解：A、当时，则不是二次函数，故不符合题意； B、不是二次函数，故不符合题意； C、是二次函数，故符合题意； D、化简得，不是二次函数，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数的概念，熟练掌握二次函数的概念是解题的关键． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故选A． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．掌握二次函数的顶点坐标为是解题关键． 3. 将抛物线的图象先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握其平移规律是解题的关键． 利用函数图象的平移规律即可求解． 【详解】解：将抛物线的图象先向右平移3个单位，再向上平移4个单位得到：． 故选：D． 4. 对于二次函数y＝﹣x2+2x﹣4，下列说法正确的是（　　） A. 图象开口向上 B. 对称轴是x＝2 C. 当x＞1时，y随x的增大而减小 D. 图象与x轴有两个交点 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质判断即可． 【详解】A．a=﹣1＜0，故抛物线开口向下，故错误； B．函数对称轴x1，故错误； C．当x＞1时，y随x的增大而减小，正确； D．△=b2﹣4ac=4﹣4×4=﹣12＜0，图象与x轴无交点，故错误． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数图象的基本性质，是一道基本题，难度不大． 5. 函数在同一直角坐标系内的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据a、b的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一排除． 【详解】解：当a＞0时，二次函数的图象开口向上， 一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限， 故A、D不正确； 由B、C中二次函数的图象可知，对称轴x=-＞0，且a＞0，则b＜0， 但B中，一次函数a＞0，b＞0，排除B． 故选C． 6. 根据下表列出的函数的几组与的对应值，判断方程一个解的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据表格数据，便可求值根的范围． 【详解】解：由表格数据可知：当时，；当， ∴一个根的范围是： 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程根之间的关系，属于基础题，准确理解题意是解题关键． 7. 已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h＝－t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是( ) A. 点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同 B. 点火后24 s火箭落于地面 C. 点火后10 s的升空高度为139 m D. 火箭升空的最大高度为145 m 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出t=9、13、24、10时h的值可判断A、B、C三个选项，将解析式配方成顶点式可判断D选项． 【详解】A、当t=9时，h=136；当t=13时，h=144；所以点火后9s和点火后13s的升空高度不相同，此选项错误； B、当t=24时h=1≠0，所以点火后24s火箭离地面的高度为1m，此选项错误； C、当t=10时h=141m，此选项错误； D、由h=－t2+24t+1=－（t－12）2+145知火箭升空的最大高度为145m，此选项正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 8. 抛物线与x轴有两个交点，则a的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据二次函数的定义可得，再利用抛物线与x轴有两个交点，即方程有两个不相等的实数根，由此利用一元二次方程根的判别式进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根且， ∴，即 ∴， ∴综上所述，且， 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，二次函数与x轴的交点个数问题，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根的判别式． 9. 如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A、D，与y轴交于点C，四边形ABCD是平行四边形，则点B的坐标是（　　） A. （-4，-3） B. （-3，-3） C. （-3，-4） D. （-4，-4） 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用抛物线与坐标轴的交点坐标求出A、D、C的坐标，再利用平行四边形的性质得出B点坐标． 【详解】解：令y=0，可得x=3或x=-1， ∴A点坐标为（-1，0）；D点坐标为（3，0）； 令x=0，则y=-3， ∴C点坐标为（0，-3）， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∵AD=BC=4， ∴B点的坐标为（-4，-3）， 故选A． 【点睛】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点及平行四边形的性质，掌握坐标轴上点的特点是解答此题的关键． 10. 抛物线的部分图像如图所示，与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是下列结论中： ；；方程有两个不相等的实数根；抛物线与x轴的另一个交点坐标为；若点在该抛物线上，则． 其中正确的有　　 A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】结合函数图像，根据二次函数的性质及二次函数与一元二次方程、一元二次不等式间的关系逐一判断即可． 【详解】对称轴是y轴的右侧， ， 抛物线与y轴交于正半轴， ， ，故错误，不符合题意； ， ，，故正确，符合题意； 由图像得：时，与抛物线有两个交点， 方程有两个不相等的实数根，故正确，符合题意； 抛物线与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是， 抛物线与x轴的另一个交点坐标为，故正确，符合题意； 抛物线的对称轴是， 有最大值是， 点在该抛物线上， ，故正确，符合题意， 本题正确的结论有：，4个， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数的图像及其性质是解答本题的关键. 二、填空题（共21分） 11. 当______时，函数是二次函数． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的定义即可求出结论． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得：， 即当时，函数是二次函数． 故答案为： 【点睛】此题考查的是根据二次函数的定义，求参数，掌握二次函数的定义是解题关键． 12. 已知函数 （k为常数）的图象经过点，则从小到大排列顺序为_______________ 【答案】 【解析】 【分析】分别将三点的横坐标代入函数，求出对应的函数值，再由不等式的性质比较大小即可解答. 【详解】∵函数（k为常数）的图象经过点, ∴ ∵， ∴． 故答案为:． 13. 某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行_m才能停下来． 【答案】600 【解析】 【详解】解：∵﹣1.5＜0， ∴函数有最大值． ∴， 即飞机着陆后滑行600米才能停止， 故答案为：600． 14. 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如表： x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 … y … 3 ﹣2 ﹣5 ﹣6 ﹣5 … 则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝3的根是_____． 【答案】﹣5或1． 【解析】 【分析】先确定抛物线对称轴，再观察表格确定函数值为3时的自变量的值即可解决问题． 【详解】解：观察表格可知抛物线对称轴x=﹣2， ∴x=﹣5或1时，y的值都是3， ∴一元二次方程ax2+bx+c=3的根是﹣5或1． 故答案为：﹣5或1． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活应用抛物线的性质解决问题，是数形结合的好题目，属于中考常考题型． 15. 将抛物线向上平移3个单位长度后，经过点，则的值是________． 【答案】-5 【解析】 【分析】根据二次函数的平移得出平移后的表达式，再将点代入，得到，最后将变形求值即可. 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度后， 表达式为：， ∵经过点，代入， 得：， 则==2×3-11=-5. 故答案为：-5. 【点睛】本题考查了二次函数的平移，代数式求值，解题的关键是得出平移后的表达式. 16. 由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（1，0）……，求证：这个二次函数的图象关于直线x=2对称，根据现有信息，得出有关这个二次函数的下列结论：①过点（3，0）；②顶点（2，2）；③在x轴上截得的线段的长是2；④与y轴的交点是（0，3），其中正确的是______（填序号）． 【答案】①③ 【解析】 【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标为，从而得到抛物线在轴上截得的线段的长，利用和对称轴方程不能确定顶点的纵坐标和的值. 【详解】二次函数的图象过点，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 抛物线在轴上截得的线段的长是. 故答案为：①③. 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数（，，是常数，）与轴的交点坐标问题转化解.关于的一元二次方程即可求得交点横坐标. 17. 如图，在正方形ABCD中，AB=2cm，对角线AC、BD交于点O，点E以一定的速度从A向B移动，点F以相同的速度从B向C移动，连结OE、OF、EF．则线段EF的最小值是________cm． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的对角线互相平分且相等可得AO=BO，∠AOB=90°，对角线平分一组对角可得∠OAE=∠OBF，再根据AE=BF，然后利用“SAS”证明△AOE和△BOF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AOE=∠BOF，可得∠EOF=90°，然后利用勾股定理列式计算即可得解． 【详解】解：在正方形ABCD中，AO=BO，∠AOB=90°，∠OAE=∠OBF=45°， ∵点E、F的速度相等， ∴AE=BF， 在△AOE和△BOF中， OA=BO，∠AOE=∠OBF，AE=BF， ∴△AOE≌△BOF（SAS）， ∴∠AOE=∠BOF， ∴∠AOE+∠BOE=90°， ∴∠BOF+∠BOE=90°， ∴∠EOF=90°， 在Rt△BEF中，设AE=x，则BF=x，BE=2﹣x， EF===． ∴当x=1时，EF有最小值为； 故答案为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，熟记正方形的性质，求出三角形全等的条件是解题的关键． 三、解答题（共69分） 18. 以直线x=1为对称轴的抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点,其中点A的坐标为(3，0). （1）求点B的坐标； （2）设点M(x1，y1)、N(x2，y2)在抛物线线上,且x1<x2<1,试比较y1、y2的大小. 【答案】（1）点B的坐标为（﹣1，0）；（2）y1＜y2． 【解析】 【分析】（1）设B点的坐标为（a，0），利用对称轴为直线x=1得到x==1，从而求点B的坐标；（2）根据对称轴和开口方向结合自变量范围直接可以写出答案； 【详解】（1）设B点的坐标为（a，0） ∵对称轴为直线x=1， ∴x==1， ∴a=﹣1， ∴点B的坐标为（﹣1，0）； （2）∵a=﹣1＜0∴抛物线开口向下 ∴在对称轴x=1左侧，y随x的增大而增大， ∵x1＜x2＜1 ∴y1＜y2． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解二次函数的对称轴与和x轴的交点坐标之间的关系． 19. 已知抛物线的顶点A(1，﹣4)，且与直线y＝x﹣3交于点B(3，0)，点C(0，﹣3) (1)求抛物线的解析式； (2)当直线高于抛物线时，直接写出自变量x的取值范围是多少？ 【答案】（1）y＝（x﹣1）2﹣4；（2）0＜x＜3. 【解析】 【分析】（1）设顶点式为y＝a（x﹣1）2﹣4，然后把B点坐标代入求出a即可； （2）利用函数图象得到在点B、C之间直线高于抛物线，从而得到对应自变量的范围． 【详解】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4， 把B（3，0）代入得a（3﹣1）2﹣4＝0，解得a＝1， 所以抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4； （2）如图， 当0＜x＜3时，直线高于抛物线． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 20. 如图，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）与点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），P为抛物线上的点． （1）求该抛物线的函数解析式． （2）若△PAB的面积为，求P点的坐标． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P的坐标为（，）或（，）或（ ，﹣）或（，﹣）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线解析式； （2）根据△PAB的面积为，求出点P纵坐标，代入抛物线解析式，即可求出点P坐标． 【详解】解：（1）将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得， 解得， 故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3； （2）点A、B的坐标知，AB＝4， ∵△PAB的面积为＝×AB×|yP|＝， 即×4×|yP|＝， 解得yP＝， ∴﹣x2+2x+3＝， 解得x＝或或或， ∴点P的坐标为（，）或（，）或（ ，﹣）或（，﹣）． 【点睛】本题为二次函数综合题，题目相对比较简单，掌握待定系数法求抛物线解析式是解题关键，第（2）步解题时注意P点纵坐标分两种情况讨论求解． 21. 用总长为24m的篱笆围成如图的花圃（四边形ABEF和四边形CDFE均为矩形），现一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2． （1）求S与x的函数关系式及x的取值范围； （2）要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？ （3）AB的长为多少米时，围成的花圃面积最大，请直接写出AB的长度． 【答案】（1）S与x的函数关系式为S＝﹣3x2+24x，x值的取值范围是≤x＜8； （2）AB的长为5m； （3）当AB的长是m时，围成的花圃的面积最大，最大面积是 【解析】 【分析】（1）根据矩形的面积即可写出函数关系式； （2）根据（1）中所得函数关系式当S为45时，列出一元二次方程即可求出AB的长； （3）根据（1）中所得函数关系式化为顶点式，再根据自变量的取值范围即可求出最大面积． 【小问1详解】 解：根据题意，得： S＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x， ∵0＜24﹣3x≤10， ∴≤x＜8． 答：S与x的函数关系式为S＝﹣3x2+24x，x值的取值范围是≤x＜8； 【小问2详解】 解：根据题意，得： 当S＝45时，﹣3x2+24x＝45， 整理，得x2﹣8x+15＝0， 解得x1＝3，x2＝5， 当x＝3时，BC＝24﹣9＝15＞10不成立， 当x＝5时，BC＝24﹣15＝9＜10成立． 答：AB的长为5m； 【小问3详解】 解：S＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48， ∵≤x＜8，且抛物线的对称轴x＝4，开口向下， ∴当x＝时，S最大，最大值＝﹣3（﹣4）2+48． 答：当AB的长是m时，围成的花圃的面积最大，最大面积是 【点睛】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解决本题的关键是综合掌握二次函数的性质和一元二次方程的解法． 22. 某种蔬菜每千克售价y1（元）与销售月份x之间的关系如图1所示，每千克成本y2（元）与销售月份x之间的关系如图2所示，其中图1中的点在同一条线段上，图2中的点在对称轴平行于y轴的同一条抛物线上，且抛物线的最低点的坐标为(6，1)． （1）求出y1与x函数关系式； （2）求出y2与x函数关系式； （3）设这种蔬菜每千克收益为w元，试问在哪个月份出售这种蔬菜，w将取得最大值？并求出此最大值．（收益＝售价﹣成本） 【答案】（1）y1＝﹣x+7；（2）y2＝（x﹣6）2+1；（3）5月出售这种蔬菜，每千克收益最大，最大值 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求y1与x之间满足的函数表达式； （2）利用顶点式求y2与x之间满足的函数表达式； （3）根据收益＝售价﹣成本，列出函数解析式，利用配方法求出最大值． 【详解】解：（1）设y1＝kx+b， ∵直线经过（3，5）、（6，3）， ， 解得：， ∴y1＝﹣x+7（3≤x≤6，且x为整数）， （2）设y2＝a（x﹣6）2+1， 把（3，4）代入得：4＝a（3﹣6）2+1， 解得a＝， ∴y2＝（x﹣6）2+1， （3）由题意得：w＝y1﹣y2＝﹣x+7﹣[（x﹣6）2+1]， ＝﹣（x﹣5）2+， 当x＝5时，w最大值＝． 故5月出售这种蔬菜，每千克收益最大． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式以及二次函数的最值问题，并注意实际问题中的x的取值范围． 23. 阅读材料：一元二次方程ax2+bx+C＝0（a≠0），当△≥0时，设两根为x1，x2，则两根与系数的关系为：x1+x2＝；x1•x2＝． 应用：（1）方程x2﹣2x+1＝0的两实数根分别为x1，x2，则x1+x2＝　 　，x1•x2＝　 　． （2）若关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0的有两个实数根x1，x2，求m的取值范围； （3）在（2）的条件下，若满足|x1|＝x2，求实数m的值． 【答案】（1）2，1；（2）m≥﹣；（3）m的值为﹣ 【解析】 【分析】（1）根据韦达定理求解； （2）根据求解； （3）x1＝x2或x1＝﹣x2． 【详解】（1）x1+x2＝2，x1•x2＝1； 故答案为2，1； （2）∵关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0有两个实数根x1、x2， ∴△＝4（m+1）2﹣4m2≥0， 解得m≥﹣； （3）∵|x1|＝x2， ∴x1＝x2或x1＝﹣x2， 当x1＝x2，则△＝0，所以m＝﹣， 当x1＝﹣x2，即x1+x2＝2（m+1）＝0， 解得m＝﹣1， 而m≥﹣，∴m＝﹣1舍去． ∴m的值为﹣． 24. 已知抛物线y=a（x﹣1）2﹣3（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，﹣2），顶点为B． （1）试确定a的值，并写出B点的坐标； （2）若一次函数的图象经过A、B两点，试写出一次函数的解析式； （3）试在x轴上求一点P，使得△PAB的周长取最小值． 【答案】（1）a=1，B（1，﹣3）；（2）：y=﹣x﹣2；（3）P（，0） 【解析】 【详解】试题分析：（1）将点A的坐标代入抛物线的解析式即可求出a的值，根据抛物线的解析式即可求出点B的坐标． （2）设直线AB的解析式为y=kx+b，然后将点A与B的坐标代入即可求出k与b的值． （3）由于AB的长度是可求出的，所以△PAB的周长取最小值时，只需要PA+PB最小即可． 解：（1）将A（0，﹣2）代入y=a（x﹣1）2﹣3， ∴﹣2=a﹣3， ∴a=1， ∴抛物线的解析式为：y=（x﹣1）2﹣3， ∴顶点B（1，﹣3）； （2）设直线AB的解析式为：y=kx+b， 将点A（0，﹣2）和B（1，﹣3）代入y=kx+b， ∴ ， 解得：， ∴直线AB的解析式为：y=﹣x﹣2； （3）设点A关于x轴对称的点为C， ∴C（0，2）， 设直线CB的解析式为：y=mx+n， 直线CB与x轴点P，此时△PAB的周长取最小值， 把C（0，2）和B（1，﹣3）代入y=mx+n， ∴， 解得：， ∴直线CB的解析式为：y=﹣5x+2， 令y=0代入y=﹣5x+2， ∴x=， ∴点P的坐标为（，0）. 点睛：本题涉及的知识有待定系数法求函数的解析式、最短路径问题.本题的难点在于第（3）问上，解题的关键是利用轴对称找出A关于x轴对称的点为C，连接CB从而确定点P的位置. 25. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=9㎝，BC=2㎝，点M，N分别从A，B同时出发，M在AB边上沿AB方向以每秒2㎝的速度匀速运动，N在BC边上沿BC方向以每秒1㎝的速度匀速运动（当点N运动到点C时，两点同时停止运动）．设运动时间为x秒，△MBN的面积为y． （1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）求△MBN的面积的最大值． 【答案】（1）；（2）5cm2 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积公式求得． （2）由二次函数的最大值可得． 【详解】解：（1）设运动时间为秒，的面积为， 则，，， 根据题意得：， ，； （2）由（1）可知，， 对称轴为；， 当，随的增大而增大， 又， 当时，， 的面积的最大值是5． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数的最大值，能正确的列出函数关系式是解题的关键． 26. 如图，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B （1）求抛物线和直线AB的解析式； （2）求； （3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使面积最大，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由 （4）设点Q是抛物线上的一个动点，是否存在一点Q，使，若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】（1），y=-x+3；（2）3；（3）存在，P()；（4）存在，点Q的坐标为（2，3），或 【解析】 【分析】（1）先通过代入A点坐到二次函数解析式中，求出系数a的值，从而求二次函数解析式，再代入A，B求出直线AB解析式； （2）C点坐标为（1，4），求出CD的长，根据三角形的面积公式即可求解； （3）连接PB，PA，过P作PE∥y轴，交AB于E，设P（a，-a2+2a+3），则E（a，-a+3），可得PE=-a2+2a+3-（-a+3）=-a2+3a，再根据S△ABP=S△BEP+S△AEP=EP×AO=（-a2+3a）×3=-a2+a=-（a-）2+，即可得出结论； （4）根据S△QAB=S△CAB即可得到一个关于点Q的横坐标的方程，即可求出方程根的情况，进而得到不存在符合要求的Q点． 【详解】解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x-1）2+4， 把A（3，0）代入解析式求得a=-1， ∴y=-（x-1）2+4=-x2+2x+3； 设直线AB的解析式为：y=kx+b， 由y=-x2+2x+3可得B点的坐标为（0，3）， 把A（3，0），B（0，3）代入y2=kx+b中，可得： ， 解得：， ∴直线AB的解析式为：y=-x+3； （2）如图，过C作CD∥y轴，交AB于D 由y=-（x-1）2+4得，C（1，4） 又直线AB的解析式为：y=-x+3； ∴D（1，2） ∴CD=4-2=2 ∴S△CAB＝×3×2＝3 （3）如图，过P作PE∥y轴，交AB于E，连接PB，PA， 设P（a，-a2+2a+3），则E（a，-a+3）， ∴PE=-a2+2a+3-（-a+3）=-a2+3a， ∴S△ABP=S△BEP+S△AEP=EP×AO=（-a2+3a）×3=-a2+a=-（a-）2+， ∴当a=时，△ABP面积的最大值是，此时点P的坐标为（，） （4）由（2）得S△CAB＝2 假设存在符合条件的点Q， 当点Q在第一象限时，设点Q的横坐标是x，△QAB的铅垂高为h， 则h=（-x2+2x+3）-（-x+3）=-x2+3x， 由S△QAB=S△CAB，得： ×3×（-x2+3x）=3 化简得：x2-3x+2=0， ∴x=1（舍去）或x=2， ∴点P（2，3）． 当点Q不在第一象限时，如图，设点Q的坐标是（x，-x2+2x+3） 则有： 整理，得， 解得，， 所以，， ∴点Q的坐标为或 综上，点Q的坐标为（2，3），或 【点睛】本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求二次函数解析式、三角形的面积、一元二次方程的解，第一、第二问相对较简单，难点在第三问，关键是设出点P坐标，得出点F坐标，表示出PF的长度，根据S△QAB=S△CAB建立方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 科尔沁实验初中九年级第二次月考数学学科试卷 一、单选题（共30分） 1. 下列函数关系中，y是x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线的图象先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 对于二次函数y＝﹣x2+2x﹣4，下列说法正确的是（　　） A. 图象开口向上 B. 对称轴是x＝2 C. 当x＞1时，y随x的增大而减小 D. 图象与x轴有两个交点 5. 函数在同一直角坐标系内的图象大致是（　　） A. B. C. D. 6. 根据下表列出的函数的几组与的对应值，判断方程一个解的范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h＝－t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是( ) A. 点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同 B. 点火后24 s火箭落于地面 C. 点火后10 s的升空高度为139 m D. 火箭升空的最大高度为145 m 8. 抛物线与x轴有两个交点，则a的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 且 9. 如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A、D，与y轴交于点C，四边形ABCD是平行四边形，则点B的坐标是（　　） A. （-4，-3） B. （-3，-3） C. （-3，-4） D. （-4，-4） 10. 抛物线的部分图像如图所示，与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是下列结论中： ；；方程有两个不相等的实数根；抛物线与x轴的另一个交点坐标为；若点在该抛物线上，则． 其中正确的有　　 A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题（共21分） 11. 当______时，函数是二次函数． 12. 已知函数 （k为常数）的图象经过点，则从小到大排列顺序为_______________ 13. 某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行_m才能停下来． 14. 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如表： x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 … y … 3 ﹣2 ﹣5 ﹣6 ﹣5 … 则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝3的根是_____． 15. 将抛物线向上平移3个单位长度后，经过点，则的值是________． 16. 由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（1，0）……，求证：这个二次函数的图象关于直线x=2对称，根据现有信息，得出有关这个二次函数的下列结论：①过点（3，0）；②顶点（2，2）；③在x轴上截得的线段的长是2；④与y轴的交点是（0，3），其中正确的是______（填序号）． 17. 如图，在正方形ABCD中，AB=2cm，对角线AC、BD交于点O，点E以一定的速度从A向B移动，点F以相同的速度从B向C移动，连结OE、OF、EF．则线段EF的最小值是________cm． 三、解答题（共69分） 18. 以直线x=1为对称轴的抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点,其中点A的坐标为(3，0). （1）求点B的坐标； （2）设点M(x1，y1)、N(x2，y2)在抛物线线上,且x1<x2<1,试比较y1、y2的大小. 19. 已知抛物线的顶点A(1，﹣4)，且与直线y＝x﹣3交于点B(3，0)，点C(0，﹣3) (1)求抛物线的解析式； (2)当直线高于抛物线时，直接写出自变量x的取值范围是多少？ 20. 如图，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）与点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），P为抛物线上的点． （1）求该抛物线的函数解析式． （2）若△PAB的面积为，求P点的坐标． 21. 用总长为24m的篱笆围成如图的花圃（四边形ABEF和四边形CDFE均为矩形），现一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2． （1）求S与x的函数关系式及x的取值范围； （2）要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？ （3）AB的长为多少米时，围成的花圃面积最大，请直接写出AB的长度． 22. 某种蔬菜每千克售价y1（元）与销售月份x之间的关系如图1所示，每千克成本y2（元）与销售月份x之间的关系如图2所示，其中图1中的点在同一条线段上，图2中的点在对称轴平行于y轴的同一条抛物线上，且抛物线的最低点的坐标为(6，1)． （1）求出y1与x函数关系式； （2）求出y2与x函数关系式； （3）设这种蔬菜每千克收益为w元，试问在哪个月份出售这种蔬菜，w将取得最大值？并求出此最大值．（收益＝售价﹣成本） 23. 阅读材料：一元二次方程ax2+bx+C＝0（a≠0），当△≥0时，设两根为x1，x2，则两根与系数的关系为：x1+x2＝；x1•x2＝． 应用：（1）方程x2﹣2x+1＝0的两实数根分别为x1，x2，则x1+x2＝　 　，x1•x2＝　 　． （2）若关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0的有两个实数根x1，x2，求m的取值范围； （3）在（2）的条件下，若满足|x1|＝x2，求实数m的值． 24. 已知抛物线y=a（x﹣1）2﹣3（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，﹣2），顶点为B． （1）试确定a的值，并写出B点的坐标； （2）若一次函数的图象经过A、B两点，试写出一次函数的解析式； （3）试在x轴上求一点P，使得△PAB的周长取最小值． 25. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=9㎝，BC=2㎝，点M，N分别从A，B同时出发，M在AB边上沿AB方向以每秒2㎝的速度匀速运动，N在BC边上沿BC方向以每秒1㎝的速度匀速运动（当点N运动到点C时，两点同时停止运动）．设运动时间为x秒，△MBN的面积为y． （1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）求△MBN的面积的最大值． 26. 如图，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B （1）求抛物线和直线AB的解析式； （2）求； （3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使面积最大，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由 （4）设点Q是抛物线上的一个动点，是否存在一点Q，使，若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $