专题18.3 矩形【十大题型】-2024-2025学年八年级数学下册举一反三系列（人教版）

专题18.3 矩形【十大题型】 【人教版】 【题型1 矩形性质的理解】 1 【题型2 由矩形的性质求角度】 2 【题型3 由矩形的性质求线段长度】 3 【题型4 由矩形的性质求面积】 4 【题型5 矩形在平面直角坐标系中的运用】 5 【题型6 矩形中的的证明】 6 【题型7 添加条件使四边形是矩形】 8 【题型8 证明四边形是矩形】 8 【题型9 由矩形的性质与判定求值】 10 【题型10 由矩形的性质与判定进行证明】 11 知识点1：矩形的性质 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 性质：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． 【题型1 矩形性质的理解】 【例1】（23-24八年级下·湖北随州·期末）在矩形中，对角线与交于点，下列结论一定正确的是（　　） A．是等边三角形 B． C． D．平分 【变式1-1】（23-24八年级上·河南驻马店·期中）矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．两组对边分别相等 B．两条对角线互相平分 C．两条对角线互相垂直 D．两条对角线相等 【变式1-2】（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期中）在下面性质中，菱形有而矩形没有的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．内角和为 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 【变式1-3】（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断错误的是（    ） A．四边形由矩形变为平行四边形 B．对角线的长度增大 C．四边形的面积不变 D．四边形的周长不变 【题型2 由矩形的性质求角度】 【例2】（2023·山西大同·模拟预测）翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，如图1是翻花绳的一种图案，可以抽象成如右图，在矩形中，，，的度数为（    ）．    A．30° B．45° C．50° D．60° 【变式2-1】（23-24八年级下·湖南·期中）如图，矩形的对角线相交于点O，过点O作，交于点E，若，则的大小为 ． 【变式2-2】（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）已知：O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分，，则(   ) A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）矩形中，对角线交于点O，于E，且，则的度数为 ． 【题型3 由矩形的性质求线段长度】 【例3】（23-24八年级下·四川宜宾·期中）如图，在矩形中，，，以点为圆心、的长为半径画弧交于点，再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 【变式3-1】（23-24八年级上·广西河池·期中）如图，矩形中，，，对角线上有一点（异于，），连接，将绕点逆时针旋转得到，则的长为 ． 【变式3-2】（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，平分，为矩形的对角线上的一点，于点，的延长线与的延长线交于点，若，则的值是(    )    A．6 B．7 C．8 D．10 【变式3-3】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，矩形中，，，在边上取一点E，使，过点C作，垂足为点F，则的长为 . 【题型4 由矩形的性质求面积】 【例4】（23-24八年级上·四川达州·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，F，交的延长线于点E，已知，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24八年级下·上海金山·期中）如图，长方形中，点E、F分别为边上的任意点，、的面积分别为15和25，那么四边形的面积为 ． 【变式4-2】（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，矩形中，，，点E、F、G、H分别在、 、、上，且，．点P为矩形内一点，四边形、四边形的面积分别记为、，则 ． 【变式4-3】（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，点是矩形内一点，连结，，，，，知道下列哪个选项的值就能要求的面积（    ）    A．与面积之差 B．与面积之差 C．与面积之差 D．与面积之差 【题型5 矩形在平面直角坐标系中的运用】 【例5】（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）如图，矩形的边、分别在x轴、y轴上，点A的坐标是，点D、E分别为、的中点，点P为上一动点，当最小时，点P的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24八年级上·广东梅州·期中）如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点C恰好落在边上的点F处若点D的坐标为，则点E的坐标为        【变式5-2】（23-24八年级上·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是矩形，点、的坐标分别为、，点是的中点，点在边上运动，当是腰长为的等腰三角形时，点的横坐标为 ．    【变式5-3】（23-24八年级下·江苏常州·阶段练习）在平面直角坐标系中，矩形的顶点是原点，顶点，顶点；点是的中点，点是直线上的动点，若，则点的坐标是 【题型6 矩形中的的证明】 【例6】（23-24八年级下·山东泰安·期中）如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，取的中点，连接、、．    (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：． 【变式6-1】（23-24八年级下·广东江门·期中）已知：如图，M是矩形外一点，连接、、、，且． 求证：．    【变式6-2】（23-24八年级下·湖北荆州·期中）如图，在矩形中，点E，F在边上，，交于点M，且，求证：． 【变式6-3】（23-24八年级下·山东临沂·期中）如图，已知矩形，点在延长线上，点在延长线上，过点作交的延长线于点，连接交于点，．求证：．    知识点2：矩形的判定 ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）. 【题型7 添加条件使四边形是矩形】 【例7】（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在四边形中，对角线相交于点O，，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24八年级下·贵州黔南·期末）在四边形中，，不能判定四边形为矩形的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式7-2】（23-24八年级下·河南商丘·期末）如图，在中，于点E，点在边的延长线上，则添加下列条件不能证明四边形是矩形的是（　　） A． B． C． D． 【变式7-3】（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB．添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是(　　 ) A．DB＝DE B．AB＝BE C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE 【题型8 证明四边形是矩形】 【例8】（23-24八年级下·上海·期末）如图，在平行四边形中，点、、、分别在边、、、上，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当，且时，请判断四边形的形状并证明． 【变式8-1】（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在平行四边形中，点E、F分别在上， ，连接和，．请判断四边形的形状，并说明理由． 【变式8-2】（23-24八年级下·上海松江·期末）如图，已知平行四边形的对角线交于点O，延长至点H，使，连接，过点H作，过点B作． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是矩形． 【变式8-3】（23-24八年级下·贵州毕节·期末）如图中，点O是边上一个动点，过O作直线．设交的平分线于点E，交的外角平分线于点F． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)当点O在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？并说明理由． 【题型9 由矩形的性质与判定求值】 【例9】（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，中，，，D，E分别为上的点，，F，G分别为，的中点，连，则的长度是 ．    【变式9-1】（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，点，点，点为线段上一个动点，作轴于点，作轴于点，连接，当取最小值时，则四边形的面积为 ． 【变式9-2】（23-24八年级上·吉林·期末）如图，点E是长方形的边延长线上一点，连接，点F是边上一个动点，将沿翻折得到，已知，， (1)求的长； (2)若点P落在的延长线上，求的面积； (3)若点P落在射线上，求的长. 【变式9-3】（23-24八年级下·天津滨海新·期末）如图，已知OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为坐标原点，点．点，在边AB上任取一点D，将沿OD翻折，使点A落在边上，记为点E．    (1)的长=______，的长=________，的长=________，的长=________； (2)设点P在x轴上，且，求点P的坐标． 【题型10 由矩形的性质与判定进行证明】 【例10】（23-24八年级下·山西·期中）在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于E，交直线DC于F． (1)在图1中证明CE=CF； (2)若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），讨论线段DG与BD的数量关系． 【变式10-1】（23-24八年级下·山东菏泽·期中）如图，在中，，延长至，使，过点，分别作，，与相交于点．下面是两位同学的对话：    小星：由题目的已知条件，若连接，则可证明． 小红：由题目的已知条件，若连接，则可证明．    这两位同学的说法都正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由． 【变式10-2】（23-24八年级下·重庆梁平·期末）如图，在矩形中，平分交于点，．有下面的结论：①是等边三角形；②；③．其中，正确结论的个数为 ． 【变式10-3】（23-24八年级下·北京大兴·期中）在矩形中，，，是边上一点，连接，过点作交于点，作，交射线于点，交射线于点． （1）如图1，当点与点重合时，求的长； （2）如图2，当点在线段上时，用等式表示线段与之间的数量关系（其中），并证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18.3 矩形【十大题型】 【人教版】 【题型1 矩形性质的理解】 1 【题型2 由矩形的性质求角度】 3 【题型3 由矩形的性质求线段长度】 8 【题型4 由矩形的性质求面积】 12 【题型5 矩形在平面直角坐标系中的运用】 16 【题型6 矩形中的的证明】 22 【题型7 添加条件使四边形是矩形】 26 【题型8 证明四边形是矩形】 29 【题型9 由矩形的性质与判定求值】 34 【题型10 由矩形的性质与判定进行证明】 41 知识点1：矩形的性质 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 性质：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． 【题型1 矩形性质的理解】 【例1】（23-24八年级下·湖北随州·期末）在矩形中，对角线与交于点，下列结论一定正确的是（　　） A．是等边三角形 B． C． D．平分 【答案】B 【分析】根据矩形的性质即可得． 【详解】解：由题意，画图如下： ， 是等腰三角形，不一定是等边三角形， ，平分均不一定正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 【变式1-1】（23-24八年级上·河南驻马店·期中）矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．两组对边分别相等 B．两条对角线互相平分 C．两条对角线互相垂直 D．两条对角线相等 【答案】D 【分析】根据平行四边形和矩形的性质容易得出结论． 【详解】解：A、两组对边分别相等，矩形和平行四边形都具有，故不合题意； B、两条对角线互相平分，矩形和平行四边形都具有，故不合题意； C、两条对角线互相垂直，矩形和平行四边形都不一定具有，故不合题意； D、两条对角线相等，矩形具有而平行四边形不一定具有，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等． 【变式1-2】（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期中）在下面性质中，菱形有而矩形没有的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．内角和为 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】根据菱形和矩形的性质依次判定即可. 【详解】A. 菱形和矩形的对角线都互相平分，故A选项不符合题意； B. 菱形和矩形的内角和都为，故B选项不符合题意； C. 矩形的对角线相等，而菱形的对角线不相等，故C选项不符合题意； D.菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线不互相垂直，故D选项符合题意. 故选：D 【点睛】本题主要考查了菱形和矩形的性质，熟练掌握菱形和矩形的性质是解题的关键. 【变式1-3】（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断错误的是（    ） A．四边形由矩形变为平行四边形 B．对角线的长度增大 C．四边形的面积不变 D．四边形的周长不变 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质和平行四边形的性质，熟悉性质是解题的关键． 由题意得向左扭动框架，由矩形变成了平行四边形，四边形四条边不变，故周长不变，高变小，底不变，故面积变小，即可选出答案． 【详解】解：向左扭动框架，由矩形变成了平行四边形，故A选项说法正确，A不符合题意； 此时对角线减小，对角线增大，故B选项说法正确，B不符合题意； 边上的高减小，面积就变小，故C选项说法错误，C符合题意； 四边形四条边都不变，周长就不变，故D选项说法正确，D不符合题意． 故选：C． 【题型2 由矩形的性质求角度】 【例2】（2023·山西大同·模拟预测）翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，如图1是翻花绳的一种图案，可以抽象成如右图，在矩形中，，，的度数为（    ）．    A．30° B．45° C．50° D．60° 【答案】D 【分析】由矩形的性质可得，进而可得；再根据三角形内角和定理可得；然后再证四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，最后由对顶角相等即可解答． 【详解】解：如图：∵矩形中， ∴, ∵， ∴, ∴, ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴, ∴． 故选D．    【点睛】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定、性质定理是解答本题的关键． 【变式2-1】（23-24八年级下·湖南·期中）如图，矩形的对角线相交于点O，过点O作，交于点E，若，则的大小为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质，等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式2-2】（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）已知：O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分，，则(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用矩形的性质及已知条件证明，，再证是等边三角形，得出，，进而得出，，利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵ 四边形ABCD是矩形，O是矩形ABCD对角线的交点， ∴，， ∵ AE平分， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∵ ，. ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，证明是等腰三角形． 【变式2-3】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）矩形中，对角线交于点O，于E，且，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】分两种情况，当为锐角时，设，则，利用直角三角形两个锐角互余即可求解；当为钝角时，证明 ，推出是等边三角形，即可求解． 【详解】解：分两种情况： （1）如图，当为锐角时，    矩形中，， ， 设，则， ， ， ，即， ， ，即； （2）如图，当为钝角时，     ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又矩形中，， ， 是等边三角形， ， ， 综上可知，的度数为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质等，注意分情况讨论是解题的关键． 【题型3 由矩形的性质求线段长度】 【例3】（23-24八年级下·四川宜宾·期中）如图，在矩形中，，，以点为圆心、的长为半径画弧交于点，再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，作角平分线，角平分线的性质，勾股定理；根据作图过程可得是的平分线，然后证明，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，连接EG， 根据作图过程可知：是的平分线， ， 在和中， ， ， ，， 在中，，， ， ， 在中，，，， ， 解得． 故选：D． 【变式3-1】（23-24八年级上·广西河池·期中）如图，矩形中，，，对角线上有一点（异于，），连接，将绕点逆时针旋转得到，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作交的延长线于点，根据旋转的性质得出，进而得出，勾股定理得出，在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 【变式3-2】（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，平分，为矩形的对角线上的一点，于点，的延长线与的延长线交于点，若，则的值是(    )    A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，等角对等边，过作于，连接，证明，根据，得出，则，根据等角对等边即可求解． 【详解】解：过作于，连接，    平分， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 故选：D． 【变式3-3】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，矩形中，，，在边上取一点E，使，过点C作，垂足为点F，则的长为 . 【答案】/ 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 先根据勾股定理求出,再结合矩形的性质证明得出即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形, ∴∥, ∴, ∵, ∴. ∵, ∴, 在和中, ， ∴, ， ∴ 故答案为：． 【题型4 由矩形的性质求面积】 【例4】（23-24八年级上·四川达州·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，F，交的延长线于点E，已知，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，易证，可得四边形为矩形，即可证明，可求得的长，根据是中位线可以求得的长度，即可求得矩形的面积，即可解题． 【详解】解：∵ ∴F是的中点， ∵D是中点， ∴是中位线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴ ∴， ∴四边形为矩形， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴矩形面积． 故选：A． 【变式4-1】（23-24八年级下·上海金山·期中）如图，长方形中，点E、F分别为边上的任意点，、的面积分别为15和25，那么四边形的面积为 ． 【答案】40 【分析】本题考查了三角形的面积，解题的关键是能正确作出辅助线， 连接，可得，再根据面积的和差可得，同理可得，即可解答 【详解】解：连接，      ， 又，， 同理     ， 又，， ， 故答案为：40 【变式4-2】（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，矩形中，，，点E、F、G、H分别在、 、、上，且，．点P为矩形内一点，四边形、四边形的面积分别记为、，则 ． 【答案】21 【分析】本题考查矩形的性质，过作并延长交于T，过作并延长交于N，结合矩形的性质及三角形面积加减关系求解即可得到答案． 【详解】过作并延长交于T，过作并延长交于N，连接，，，， ∵四边形是矩形，，，，， ∴，，，，， ， ∵，， ∴，， ∴ ． 故答案为：21． 【变式4-3】（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，点是矩形内一点，连结，，，，，知道下列哪个选项的值就能要求的面积（    ）    A．与面积之差 B．与面积之差 C．与面积之差 D．与面积之差 【答案】C 【分析】过作于，延长交于，由四边形是矩形，得到，，由的面积，的面积，推出的面积的面积的面积，而的面积的面积的面积的面积，于是即可得到答案． 【详解】解：过作于，延长交于， 四边形是矩形， ，， ， 的面积，的面积， 的面积的面积矩形的面积， 的面积矩形的面积， 的面积的面积的面积， 的面积的面积的面积的面积， 的面积的面积的面积的面积的面积的面积的面积． 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的性质，三角形的面积，关键是由三角形的面积公式推出的面积的面积的面积． 【题型5 矩形在平面直角坐标系中的运用】 【例5】（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）如图，矩形的边、分别在x轴、y轴上，点A的坐标是，点D、E分别为、的中点，点P为上一动点，当最小时，点P的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质，轴对称最短路径问题，坐标与图形，求一次函数与坐标轴的交点坐标，取点E关于x轴的对称点，连接，连接交x轴于点，则最小值为，此时点P位于处，利用矩形的性质得到，则，再求出直线的解析式为，即可求出点的坐标． 【详解】解：取点E关于x轴的对称点，连接，连接交x轴于点， ∴， ∵， ∴最小值为，此时点P位于处， ∵四边形是矩形，点A的坐标是， ∴， ∵点D、E分别为的中点， ∴， ∴ 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴， 即当最小时，点P的坐标为， 故选：A． 【变式5-1】（23-24八年级上·广东梅州·期中）如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点C恰好落在边上的点F处若点D的坐标为，则点E的坐标为        【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，坐标的意义，得到， ，根据勾股定理，得到，，设，则，根据勾股定理解答即可． 【详解】∵长方形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点C恰好落在边上的点F处，点D的坐标为， ∴，， ，轴， ∴，， 设， 则，， ∴， 解得， 故， 故答案为：． 【变式5-2】（23-24八年级上·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是矩形，点、的坐标分别为、，点是的中点，点在边上运动，当是腰长为的等腰三角形时，点的横坐标为 ．    【答案】2/3/8 【分析】本题考查了矩形的性质、坐标与图形的性质、等腰三角形的性质，当时，当时，当时分类讨论，正确分类讨论是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，    (1)当时，，， 易得， ∴； (2)当时， ，， 易得，从而或， ∴或；    (3)当时，，    此时腰长为：，故这种情况不合题意，舍去． 综上，满足题意的点的坐标为， ， ， ∴点的横坐标为 ，或． 【变式5-3】（23-24八年级下·江苏常州·阶段练习）在平面直角坐标系中，矩形的顶点是原点，顶点，顶点；点是的中点，点是直线上的动点，若，则点的坐标是 【答案】或 【分析】根据题意“点是直线上的动点，若，”进行分类讨论：点是直线上的动点，或 在的延长线上，或点E在之间，每个情况分别作图，运用勾股定理求线段长以及外角性质进行等角对等边，即可作答． 【详解】解，当在的延长线上，过点D作直线如图所示： ∵ ∵四边形是矩形，顶点，顶点 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 则 ∵ ∴ 当在的延长线上，过点D作直线如图所示： ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∵四边形是矩形，顶点，顶点 ∴ ∵ ∴ ∵ 故 ∴ ∵顶点，顶点 ∴ 当点E在之间，过点D作直线，如图所示： ∵四边形是矩形，顶点，顶点 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 则 ∵ ∴（舍去） 综上：或 故答案为：或 【点睛】本题考查了坐标与图形、勾股定理、矩形的性质，外角性质，综合性强，难度较大，正确熟练作图并运用数形结合思想是解题的关键 【题型6 矩形中的的证明】 【例6】（23-24八年级下·山东泰安·期中）如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，取的中点，连接、、．    (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）证明是等腰直角三角形，即可得证； （2）在，是的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，根据，可得，进而根据得出，，即可得证； （3）连接，根据矩形的性质可得，进而证明是等腰直角三角形，即可得出结论． 【详解】（1）解：四边形是矩形，四边形是矩形， ，， 平分， ， 是等腰直角三角形， ， ． （2）在，是的中点， ，则是等腰直角三角形，， ， ， ， ， （3）连接，四边形是矩形， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ，    【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式6-1】（23-24八年级下·广东江门·期中）已知：如图，M是矩形外一点，连接、、、，且． 求证：．    【答案】见详解 【分析】 可证，从而可证（），即可求证． 【详解】 证明：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，掌握性质及判定方法是解题的关键． 【变式6-2】（23-24八年级下·湖北荆州·期中）如图，在矩形中，点E，F在边上，，交于点M，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质，由矩形的性质得出，，由等边对等角得出，推出，再由证明，即可得证． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【变式6-3】（23-24八年级下·山东临沂·期中）如图，已知矩形，点在延长线上，点在延长线上，过点作交的延长线于点，连接交于点，．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的斜边中线定理，解题的关键是灵活运用这些知识．由，，得到，推出，根据矩形的性质得到，，证明，即可求解． 【详解】证明： ，， ， ， 四边形是矩形， ，， 在和中， ， ， ， ， 即． 知识点2：矩形的判定 ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）. 【题型7 添加条件使四边形是矩形】 【例7】（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在四边形中，对角线相交于点O，，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知四边形是平行四边形，然后再根据四个选项所给条件一一进行判断即可得出答案． 【详解】解：在四边形中，对角线相交于点O，， 四边形是平行四边形， A、添加条件，可得四边形是菱形，但不一定是矩形，故符合题意； B、若，则，故四边形是矩形，故不符合题意； C、若，则，故四边形是矩形，故不符合题意； D、若，则，则，故四边形是矩形，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的定义及判定定理是解答此题的关键． 【变式7-1】（23-24八年级下·贵州黔南·期末）在四边形中，，不能判定四边形为矩形的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据矩形的判定条件逐项进行分析判断即可； 【详解】解：A、∵AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意； B、∵AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，∠A+∠B＝180°， ∵∠A＝∠B， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意； C、∵AD∥BC， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°， ∵∠A＝∠C， ∴∠B＝∠D， ∴四边形ABCD是平行四边形，不能判定四边形为矩形，故选项C符合题意； D、∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴四边形ABCD是矩形， ∴选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，准确分析判断是解题的关键． 【变式7-2】（23-24八年级下·河南商丘·期末）如图，在中，于点E，点在边的延长线上，则添加下列条件不能证明四边形是矩形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 由平行四边形的性质得，，再证，得四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴，， ， ， ，， 四边形是矩形，故A不符合题意； ， ， ∵，， 四边形是矩形，故B不符合题意； ， ， 即， ， 四边形是平行四边形， 又， ， 平行四边形是矩形，故C不符合题意； ， ，故四边形不能判定是矩形，故D符合题意； 故选：D． 【变式7-3】（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB．添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是(　　 ) A．DB＝DE B．AB＝BE C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE 【答案】A 【分析】先证明四边形BCDE为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， 又∵DE＝AD， ∴DE∥BC，且DE=BC， ∴四边形BCED为平行四边形， A、∵DB=DE，∴▱DBCE为菱形，故本选项错误； B、∵AB=BE，DE=AD，∴BD⊥AE，∴∠EDB=90°，∴▱DBCE为矩形，故本选项正确； C、∵∠ADB=90°，∴∠EDB=90°，∴▱DBCE为矩形，故本选项正确； D、∵CE⊥DE，∴∠CED=90°，∴▱DBCE为矩形，故本选项正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定，首先判定四边形BCDE为平行四边形是解题的关键． 【题型8 证明四边形是矩形】 【例8】（23-24八年级下·上海·期末）如图，在平行四边形中，点、、、分别在边、、、上，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当，且时，请判断四边形的形状并证明． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是矩形，证明见解析 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质； （1）根据全等证得，，对边相等，即可证得四边形是平行四边形； （2）证得四边形中一个角为直角，即可证得四边形是矩形． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，，， ，，且， ， ， 同理可得， 四边形是平行四边形； （2）四边形是矩形，证明如下， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 平行四边形是矩形． 【变式8-1】（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在平行四边形中，点E、F分别在上， ，连接和，．请判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】四边形是矩形，理由见解析 【分析】此题考查了矩形的判定、平行四边形的性质，熟记矩形的判定、平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质可得，，再根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，最后由矩形的判定方法可得结论． 【详解】解：四边形是矩形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． 【变式8-2】（23-24八年级下·上海松江·期末）如图，已知平行四边形的对角线交于点O，延长至点H，使，连接，过点H作，过点B作． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，矩形的判定及性质，菱形的判定及性质，勾股定理等． （1）由平行四边形的性质得，由平行四边形的判定方法得是平行四边形，由平行四边形的性质得； （2）由菱形的性质得，可得四边形是平行四边形，由矩形的判定方法即可判定． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． （2）∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，                         ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 【变式8-3】（23-24八年级下·贵州毕节·期末）如图中，点O是边上一个动点，过O作直线．设交的平分线于点E，交的外角平分线于点F． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)当点O在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)当点O在边上运动到的中点时，四边形是矩形．理由见解析 【分析】（1）由分别是的平分线，可得，，由，可得，，则，，进而结论得证； （2）由（1）可知，，，则，即，由勾股定理得，，然后求解作答即可； （3）当O为的中点时，，可证四边形是平行四边形，由，可证平行四边形是矩形． 【详解】（1）证明：∵分别是的平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴； （2）解：由（1）可知，，， ∴， 即， 由勾股定理得，， ∴， ∴； （3）解：当点O在边上运动到的中点时，四边形是矩形，理由如下； 证明：当O为的中点时，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． 【点睛】本题考查了角平分线，平行线的性质，等角对等边，勾股定理，矩形的判定等知识．熟练掌握角平分线，平行线的性质，等角对等边，勾股定理，矩形的判定是解题的关键． 【题型9 由矩形的性质与判定求值】 【例9】（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，中，，，D，E分别为上的点，，F，G分别为，的中点，连，则的长度是 ．    【答案】 【分析】取的中点，连接，并延长交于点，交于点，根据三角形中位线定理得出，，，，证明四边形是矩形，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，并延长交于点，交于点，   ，分别为，的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线的判定与性质，平行四边形的判定，矩形的判定与性质，勾股定理等知识点，根据三角形中位线的性质和已知条件得到是解答本题的关键． 【变式9-1】（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，点，点，点为线段上一个动点，作轴于点，作轴于点，连接，当取最小值时，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】首先连接OP，易得四边形ONPM是矩形，即可得在中，当OP⊥AB时OP最短，即MN最小，然后利用勾股定理与三角形的面积的求解，则四边形的面积可求． 【详解】解：如图，连接OP． 由已知可得：． ∴四边形ONPM是矩形． ∴， 在中，当时OP最短，即MN最小． ∵即 根据勾股定理可得：． ∵ ∴ ∴ 即当点P运动到使OP⊥AB于点P时，MN最小，最小值为 在中，根据勾股定理可得： ∴ ∵ ∴ ∴ 在中 ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】此题考查了矩形的判定与性质、勾股定理与三角形面积问题．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 【变式9-2】（23-24八年级上·吉林·期末）如图，点E是长方形的边延长线上一点，连接，点F是边上一个动点，将沿翻折得到，已知，， (1)求的长； (2)若点P落在的延长线上，求的面积； (3)若点P落在射线上，求的长. 【答案】(1)5 (2) (3)1或 【分析】此题考查了矩形的判定与性质、翻折的性质、勾股定理、三角形面积等知识，熟练掌握长方形的判定与性质、翻折的性质、勾股定理并作出合理的辅助线构建直角三角形是解题的关键． （1）根据长方形的性质及勾股定理求解即可； （2）根据翻折的性质推出，，根据勾股定理及线段的和差求出，根据三角形面积公式求解即可； （3）分两种情况：点P落在线段上，点P落在线段的延长线上，根据长方形的性质及勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：点E是长方形的边延长线上一点， ，， ，， ； （2）如图，点P落在的延长线上， 由翻折性质得，， ，， 设，则， 解得：， ， ； （3）点P落在线段上，如图，过点F作于点M， ， 四边形为长方形， ，，， 四边形矩形， ， 在中，，，， ， ， 在中，，， ， 此时点P与M重合； 点P落在线段的延长线上时，如图，过点F作于点N， ， ，， ， 设，则， ， 四边形为矩形， ， ， ，， ，即， 综上，点P落在射线上，的长为1或． 【变式9-3】（23-24八年级下·天津滨海新·期末）如图，已知OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为坐标原点，点．点，在边AB上任取一点D，将沿OD翻折，使点A落在边上，记为点E．    (1)的长=______，的长=________，的长=________，的长=________； (2)设点P在x轴上，且，求点P的坐标． 【答案】(1)15  15  12  5 (2) 【分析】（1）由点A、点C的坐标可求得、的长，由翻折的对称性知，；由勾股定理，在中可求得的长；于是可求得的长，设，则在中利用勾股定理可求得的长． （2）自点E作，垂足为H．利用矩形的性质可求得的长，设，则在中利用勾股定理可求得的长，于是点P的坐标可知． 【详解】（1）如图．    由点可知，． 由沿翻折变成知，， ∴． 由点知，． ∴． ∴． 由得，， 设，则． 在中， 即：． 解得：． ∴的长． （2）自点E作，垂足为点H．则四边形是矩形． ∴． 设，则． 在中， ∴ 解得：． ∴点P的坐标为 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理的应用、矩形的折叠等知识点，解题的关键是将条件集中在一个直角三角形内，利用勾股定理求解． 【题型10 由矩形的性质与判定进行证明】 【例10】（23-24八年级下·山西·期中）在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于E，交直线DC于F． (1)在图1中证明CE=CF； (2)若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），讨论线段DG与BD的数量关系． 【答案】(1)证明见解析； (2)BD=DG．证明见解析． 【分析】（1）根据AF平分∠BAD，可得∠BAF=∠DAF，利用四边形ABCD是平行四边形，求证∠CEF=∠F即可； （2）根据∠ABC=90°，G是EF的中点可得△BEG≌△DCG，进而求出△DGB为等腰直角三角形，即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图1， ∵AF平分∠BAD， ∴∠BAF=∠DAF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ADBC，ABCD， ∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F， ∴∠CEF=∠F． ∴CE=CF． （2）如图2， 连接GC、BG， ∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°， ∴四边形ABCD为矩形， ∵AF平分∠BAD， ∴∠DAF=∠BAF=45°， ∵∠DCB=90°，DFAB， ∴∠DFA=45°，∠ECF=90° ∴△ECF为等腰直角三角形， ∵G为EF中点， ∴EG=CG=FG，CG⊥EF， ∵△ABE为等腰直角三角形，AB=DC， ∴BE=DC， ∵∠CEF=∠GCF=45°， ∴∠BEG=∠DCG=135° 在△BEG与△DCG中， ， ∴△BEG≌△DCG（SAS）， ∴BG=DG， ∵CG⊥EF， ∴∠DGC+∠DGA=90°， 又∵∠DGC=∠BGA， ∴∠BGE+∠DGE=90°， ∴△DGB为等腰直角三角形， ∴BD=DG． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识点．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 【变式10-1】（23-24八年级下·山东菏泽·期中）如图，在中，，延长至，使，过点，分别作，，与相交于点．下面是两位同学的对话：    小星：由题目的已知条件，若连接，则可证明． 小红：由题目的已知条件，若连接，则可证明．    这两位同学的说法都正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由． 【答案】这两位同学的说法都正确，证明见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，矩形的判定以及性质，连接，，先证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得出，，再证明四边形是矩形，根据矩形得性质得出，，进而即可证明． 【详解】这两位同学的说法都正确，证明如下， 证明：如图，连接，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， 又∵，点D在的延长线上， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，． ∵， ∴． 【变式10-2】（23-24八年级下·重庆梁平·期末）如图，在矩形中，平分交于点，．有下面的结论：①是等边三角形；②；③．其中，正确结论的个数为 ． 【答案】3 【分析】根据矩形性质求出OD=OC，根据角求出∠DOC=60°即可得出三角形DOC是等边三角形，求出∠BOE=75°，∠AOB=60°，相加即可求出∠AOE，根据等底等高的三角形面积相等得出S△AOE=S△COE． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=90°，OA=OC，OD=OB，AC=BD， ∴OA=OD=OC=OB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE=45°， ∵∠CAE=15°， ∴∠DAC=30°， ∵OA=OD， ∴∠ODA=∠DAC=30°， ∴∠DOC=60°， ∵OD=OC， ∴△ODC是等边三角形，∴①正确； ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DBC=∠ADB=30°， ∵AE平分∠DAB，∠DAB=90°， ∴∠DAE=∠BAE=45°， ∵AD∥BC， ∴∠DAE=∠AEB， ∴∠AEB=∠BAE， ∴AB=BE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DOC=60°，DC=AB， ∵△DOC是等边三角形， ∴DC=OD， ∴BE=BO， ∴∠BOE=∠BEO=（180°-∠OBE）=75°， ∵∠AOB=∠DOC=60°， ∴∠AOE=60°+75°=135°，∴②正确； ∵OA=OC， ∴根据等底等高的三角形面积相等得出S△AOE=S△COE，∴③正确； ∴正确结论的个数为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了矩形性质，平行线性质，角平分线定义，等边三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的综合运用． 【变式10-3】（23-24八年级下·北京大兴·期中）在矩形中，，，是边上一点，连接，过点作交于点，作，交射线于点，交射线于点． （1）如图1，当点与点重合时，求的长； （2）如图2，当点在线段上时，用等式表示线段与之间的数量关系（其中），并证明． 【答案】（1）3；（2），证明见解析 【分析】（1）求出，由矩形的性质推出，即可得出答案； （2）过点作，垂足为点，推出，求出，得出，推出，即可得出答案． 【详解】解：（1）如图， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ； （2）线段与之间的数量关系为． 证明：如图，过点作，垂足为点， 四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线性质，矩形的性质和判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质和判定的应用，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$