第二章 空间向量与立体几何（单元重点综合测试）-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（湘教版2019选择性必修第二册）

第二章 空间向量与立体几何（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：150分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高二上·湖南岳阳·期末）已知向量，向量，且，则（     ） A． B． C． D． 2．（湖南省天壹名校2024-2025学年高二上学期期末调研考试数学试卷）已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（   ） A． B． C． D． 3.（20-21高二上·山东临沂·期末）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·湖南株洲·期末）如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 5.（23-24高二上·湖南岳阳·期末）如图，正四面体的长为，，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·山东菏泽·阶段练习）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长都相等的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.已知点为线段上一点且，若直线与直线所成角的余弦值为，则 （    ） A． B． C． D． 7.（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）如图，在下列各正方体中，为正方体的一条体对角线，、分别为所在棱的中点，则满足的是（    ） A．   B．   C．   D．   8．（24-25高二上·湖北·期中）如图，正方体透明容器的棱长为分别为的中点，点是棱上任意一点，下列说法正确的是（    ） A． B．向量在向量上的投影向量为 C．将容器的一个顶点放置于水平桌面上，使得正方体的12条棱所在的直线与桌面所成的角都相等，再向容器中注水，则注水过程中，容器内水面的最大面积为 D．向容器中装入直径为1的小球，最多可装入512个 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知分别为直线的方向向量（不重合），，分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中，正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知向量，满足，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 11.（23-24高二上·湖南岳阳·期末）在棱长为2的正方体中为CD的中点，是的中点，是侧面内的一动点（不包含四个顶点），则下列结论正确的是：（    ） A．点到平面的距离为 B．三棱锥体积是定值，定值为1 C．存在点，使得平面 D．存在点，使得且 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高三上·福建福州·期中）已知向量的夹角的余弦值为，则 13.（24-25高二上·湖南常德·阶段练习）已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则 . 14.（24-25高二上·上海·期末）在正四面体中，点是的中心，若（），则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（24-25高二上·湖南郴州·期末）如图，四棱锥中，平面，，，，，点为线段上靠近的三等分点．    (1)求证：平面平面； (2)求平面和平面夹角的余弦值． 16．（15分）（24-25高二上·湖南岳阳·期末）在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，四边形是边长为2的菱形，，E是AD的中点. (1)判断直线BE与平面的位置关系，并证明； (2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 17．（15分）（24-25高二上·湖南长沙·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 18．（17分）（24-25高二上·天津南开·期中）如图，将边长为2的正方形沿对角线折成一个直二面角，且平面，. (1)若， （i）求证：平面； （ii）求直线与平面所成角的正弦值； (2)求实数的值，使得二面角的大小为60°. 19．（17分）（24-25高二上·湖南长沙·期末）如图，三棱锥由三个以为公共直角顶点的直角三角板拼成，其中直角三角板和为两个全等的直角三角板，且，，分别为，的中点，平面与平面的交线为. (1)证明：平面； (2)点在直线上，直线与直线的夹角为，直线与平面的夹角为，是否存在点，使得.如果存在，请求出；如果不存在，请说明理由. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 空间向量与立体几何（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：150分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高二上·湖南岳阳·期末）已知向量，向量，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数量积的坐标表示、向量垂直的坐标表示 【分析】根据向量垂直，解方程即得解. 【详解】因为，所以，所以，所以. 故选：C. 2．（湖南省天壹名校2024-2025学年高二上学期期末调研考试数学试卷）已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量平行的坐标表示、空间位置关系的向量证明、平面法向量的概念及辨析 【分析】根据方直线向向量和平面法向量的定义及线面垂直的性质，可知，得，求出的值即可作出判断． 【详解】∵，∴，∴，解得，所以C正确. 故选：C. 3.（20-21高二上·山东临沂·期末）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量模长的坐标表示、求投影向量 【分析】利用投影向量定义并根据向量数量积的坐标表示计算即可. 【详解】易知向量在向量上的投影向量为. 故选：A 4．（24-25高二上·湖南株洲·期末）如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量的加减运算 【分析】先表示出，根据可求出结果. 【详解】因为， ， 所以. 故选：C. 5.（23-24高二上·湖南岳阳·期末）如图，正四面体的长为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】以、、为基底表示，然后利用向量的数量积计算公式计算即可. 【详解】 . 故选：D 6．（23-24高二上·山东菏泽·阶段练习）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长都相等的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.已知点为线段上一点且，若直线与直线所成角的余弦值为，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】利用空间向量求线线角含参数问题，将该几何体还原成正方体，建立空间直角坐标系，求解. 【详解】将半正多面体补成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系. 设半正多面体的棱长为，则正方体的棱长为2， 所以，，所以，则， 设直线与直线所成角为， 则， 即，解得或（舍）. 故选：B. 7.（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）如图，在下列各正方体中，为正方体的一条体对角线，、分别为所在棱的中点，则满足的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断即得. 【详解】在正方体中，建立空间直角坐标系，令棱长为2，体对角线的端点为， 对于A，，直线的方向向量，   ，显然，直线与不垂直，A不是； 对于B，由选项A知，直线的方向向量，，    则,显然，直线与不垂直，B不是； 对于C，由选项A知，直线的方向向量，，    则,显然，，C是； 对于D，由选项A知，直线的方向向量，，    则,显然，直线与不垂直，D不是. 故选：C 8．（24-25高二上·湖北·期中）如图，正方体透明容器的棱长为分别为的中点，点是棱上任意一点，下列说法正确的是（    ） A． B．向量在向量上的投影向量为 C．将容器的一个顶点放置于水平桌面上，使得正方体的12条棱所在的直线与桌面所成的角都相等，再向容器中注水，则注水过程中，容器内水面的最大面积为 D．向容器中装入直径为1的小球，最多可装入512个 【答案】C 【知识点】判断正方体的截面形状、多面体与球体内切外接问题、空间向量数量积的应用 【分析】对A：根据正方体易知，利用线面垂直的判断、性质定理可得，又，故与不垂直；对B：若是交点，连接，则所成角，即为所成角，余弦定理求夹角余弦值，进而求向量在向量上的投影向量；对C：令放在桌面上的顶点为，根据正方体的结构特征，要使容器内水的面积最大，即垂直于的平面截正方体的截面积最大，并确定最大截面的形状，求其面积即可；对D：通过直观想象，有第一层小球为个，第二层小球为，且奇数层均为个，偶数层均为，结合上下两层相邻5球的球心构成几何体为正四棱锥并求高，再确定层数，最后求小球个数. 【详解】对A：由正方体性质知：，， 且、面， 所以面，又面，则， 由，故与不垂直，故A错误； 对B：由题意且，若是交点，连接， 所以， 故为平行四边形，则，， 所以所成角，即为所成角， 由题设，易知， 在中， 即夹角为，所以夹角为， 故向量在向量上的投影向量为： ，故B错误； 对C：令放在桌面上的顶点为， 若桌面时正方体的各棱所在的直线与桌面所成的角都相等， 此时要使容器内水的面积最大，即垂直于的平面截正方体的截面积最大， 根据正方体的对称性，仅当截面过中点时截面积最大， 此时，截面是边长为的正六边形， 故最大面积为，故C正确； 对D：由题意，第一层小球为个，第二层小球为， 且奇数层均为个，偶数层均为， 而第一层与第二层中任意四个相邻球的球心构成一个棱长为1的正四棱锥，故高为， 假设共有n层小球，则总高度为，且为正整数， 令，则，而，故小球总共有10层， 由上，相邻的两层小球共有个， 所以正方体一共可以放个小球，故D错误. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：D选项中，注意分析各层小球最多可放入的个数，结合两层相邻的5个球的球心所成几何体的高，结合正方体棱长求总层数为关键. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知分别为直线的方向向量（不重合），，分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】根据空间向量判定空间位置关系一一判定选项即可. 【详解】若两直线不重合，则其方向向量平行（垂直）是两直线平行（垂直）的充要条件， 故A、B正确； 若两平面不重合，则其法向量平行（垂直）是两平面平行（垂直）的充要条件， 故C正确，D错误. 故选：ABC 10．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知向量，满足，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】根据空间向量坐标表示及线性运算即可判断A；根据空间向量的模的坐标公式即可判断B；根据空间向量共线定理即可判断C；根据空间向量夹角的坐标公式即可判断D. 【详解】对于A，由，， 得， 所以，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，， ，故D错误. 故选：BC. 11.（23-24高二上·湖南岳阳·期末）在棱长为2的正方体中为CD的中点，是的中点，是侧面内的一动点（不包含四个顶点），则下列结论正确的是：（    ） A．点到平面的距离为 B．三棱锥体积是定值，定值为1 C．存在点，使得平面 D．存在点，使得且 【答案】ACD 【知识点】锥体体积的有关计算、空间位置关系的向量证明、点到平面距离的向量求法 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量结合点到平面距离判断A,应用等体积结合三棱锥体积公式计算判断B,设点的坐标，应用线面平行的向量关系及线线垂直的向量关系分别计算求解判断C,D. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， ，， 设平面的法向量，则，取，得， 所以点到平面的距离为，A选项正确； ，B选项错误； 设，，，则，， 则 设平面的法向量，则，取，得， 当，即时，平面,C选项正确； 因为， 则，， 则所以，当时满足得且，D选项正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高三上·福建福州·期中）已知向量的夹角的余弦值为，则 【答案】 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】先根据数量积的定义可得，结合数量积的运算律分析求解. 【详解】由题意可得， 所以． 故答案为：. 13.（24-25高二上·湖南常德·阶段练习）已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则 . 【答案】 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】根据向量数量积公式，计算出，进而求出模长. 【详解】 . 故答案为： 14.（24-25高二上·上海·期末）在正四面体中，点是的中心，若（），则 . 【答案】/ 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量基本定理及其应用 【分析】连接并延长交于点，连接，可得，，结合图形将用表示即得. 【详解】 如图，在正四面体中，连接并延长交于点，连接， 则，， 于是 ， 即得，故. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（24-25高二上·湖南郴州·期末）如图，四棱锥中，平面，，，，，点为线段上靠近的三等分点．    (1)求证：平面平面； (2)求平面和平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）根据给定条件，结合余弦定理，利用线面垂直的性质判定、面面垂直的判定推理即得. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出面面角的余弦值. 【详解】（1）在四棱锥中，， 由余弦定理，得， 则，而，则，， 由平面平面，得，又平面， 因此平面，又平面，所以平面平面. （2）由（1）知，直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    则，， 显然平面的一个法向量，设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设平面和平面夹角为，， 所以平面和平面夹角的余弦值. 16．（15分）（24-25高二上·湖南岳阳·期末）在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，四边形是边长为2的菱形，，E是AD的中点. (1)判断直线BE与平面的位置关系，并证明； (2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 【答案】(1)平面，证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、面面垂直证线面垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）连接BD，通过证明，可得到平面. （2）以E为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量可计算平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【详解】（1）平面，证明如下： 如图，连接BD. 因为为等边三角形，E是AD的中点，所以，且. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形是边长为2的菱形，， 所以为等边三角形，所以， 因为平面，，所以平面. （2）以E为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面PAB的法向量为，则， 令，则，故， 设平面PBC的法向量为，则， 令，则，故， 所以， 故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 17．（15分）（24-25高二上·湖南长沙·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、线面角的向量求法 【分析】（1）根据线面平行判定定理证明即可； （2）应用空间向量法求线面角的正弦值. 【详解】（1）因为为棱的中点，，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 由于平面，平面， 所以平面. （2）由题意可知平面，而平面，所以， 因为，所以. 而，由此可以以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，， ，，，， 设平面的法向量为， 则故可设， 设直线与平面所成角为， 所以. 18．（17分）（24-25高二上·天津南开·期中）如图，将边长为2的正方形沿对角线折成一个直二面角，且平面，. (1)若， （i）求证：平面； （ii）求直线与平面所成角的正弦值； (2)求实数的值，使得二面角的大小为60°. 【答案】(1)（i）证明见解析，（ii） (2) 【知识点】空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法、已知面面角求其他量 【分析】（1）建立空间直角坐标系，确定平面的一个法向量，利用数量积为0，即可证得平面；利用向量的夹角即可求解正弦值. （2）确定平面的一个法向量，平面的一个法向量为，利用二面角的大小为60°，结合向量的夹角公式，即可求求实数的值． 【详解】（1）（i）证明：如图建立空间直角坐标系， 设正方形的对角线相交于， 由于 则, 所以 设平面的一个法向量为， 取时，， 由于，故， 又不在平面内，所以平面； （ii）平面的一个法向量为，, 设直线与平面所成角为， 则 （2）如图建立空间直角坐标系，， 设平面的一个法向量为，则有 取时，， ， 设平面的一个法向量为， 则有 取时，， 由于二面角的大小为60°，故， 即，解得， 又，所以． 19．（17分）（24-25高二上·湖南长沙·期末）如图，三棱锥由三个以为公共直角顶点的直角三角板拼成，其中直角三角板和为两个全等的直角三角板，且，，分别为，的中点，平面与平面的交线为. (1)证明：平面； (2)点在直线上，直线与直线的夹角为，直线与平面的夹角为，是否存在点，使得.如果存在，请求出；如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，. 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、异面直线夹角的向量求法、线面角的向量求法 【分析】（1）通过线面平行的判定定理和性质定理先证得，再根据平面，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，设，根据，可确定点坐标. 【详解】（1）因为，分别为，的中点，∴. 又平面，平面，∴平面. 又平面，平面平面，. 又，且，，平面， ∴平面，从而平面. （2）以为坐标原点，分别以，，的方向作为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设，如图， 则，，，，， 由于，设， 则，，， 设平面的法向量， 则取. 由题意，， 即，解得，从而符合题意的点存在，. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$