17.1 勾股定理 -2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

17.1 勾股定理 一、勾股定理的定义 如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a²+b²=c²。即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。 二、勾股定理的验证 勾股定理的验证通常通过拼图法，即图形割补来完成。验证的实质是通过面积之间的相等关系，将“形”的问题转化为“数”的问题。具体步骤包括：拼出图形，写出图形面积表达式，找出等量关系，进行恒等变形，最终推导出勾股定理。 三、勾股定理的应用 1.在几何图形中，勾股定理可以用于计算或证明直角三角形的边长。 2.在实际问题中，勾股定理应用广泛，如建筑测量、工程设计等，遇到求高度、长度、距离、面积等实际问题时，可以构造直角三角形，运用勾股定理求解。 3.勾股定理还可以用于作长度为无理数√n的线段，通过构造一个直角三角形，利用勾股定理，作出斜边长是无理数的线段。 巩固课内例1:门框问题 1．如图，一个门框的尺寸如图所示，下列长方形木板不能从门框内通过的是（    ） A．长3m，宽2.2m的长方形木板 B．长3m，面积为的长方形木板 C．长4m，宽2.1m的长方形木板 D．长3m，周长为11m的长方形木板 2．一门框的尺寸如图所示，一块长，宽的薄木板 从门框内通过．（填“能”或“不能”，参考数据，） 3．一个门框尺寸如图所示，一块长2.5米，宽2.2米的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？ 巩固课内例2:梯子滑落问题 1．如图，一根长5米的竹竿斜靠在竖直的墙上，这时为4米，若竹竿的顶端沿墙下滑2米至处，则竹竿底端外移的距离（   ） A．小于2米 B．等于2米 C．大于2米 D．无法判断 2．如图所示，梯子靠在墙上，梯子的顶端A到墙根O的距离为，梯子的底端B到墙根O的距离为，一不小心梯子顶端A下滑了4米到C，底端B滑动到D，那么的长是 ． 3．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在的正下方物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离，物体到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 类型一、用勾股定理解三角形 1．在中，斜边，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，点，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标为 ． 3．如图，在中， (1)，，求的长； (2)，，求的长． 类型二、勾股数 1．下列各组数中，不是勾股数的是（  ） A．5，8，12 B．30，40，50 C．9，40，41 D．6，8，10 2．勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6、8、10；8、15、17；…若此类勾股数的勾为12，则其弦是 ． 3．【探索勾股数】与直角三角形三条边长对应的3个正整数，称为勾股数，《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数，显然，这组数的整数倍，如等都是勾股数．当然，勾股数远远不止这些，如等也都是勾股数．怎样探索勾股数呢？即怎样一组正整数才能满足关系式．设为一组勾股数，观察下表回答问题： 表1 表2 a b c a b c 3 4 5 6 8 10 5 12 13 8 15 17 7 24 25 10 24 26 9 40 41 12 35 37 (1)根据表1的规律写出勾股数（11，________，________）； 观察可得：表1中b、c与之间的关系是________；（填勾股定理不得分） (2)根据表2的规律写出勾股数（16，________，________）； 观察可得：表2中b、c与之间的关系是________；（填勾股定理不得分） (3)老师告诉小明一组勾股数，但他回家后只记得其中最大的数是145，你知道这组勾股数可能是多少吗？（请用勾股定理的形式直接写出结果，例如） 类型三、勾股定理与无理数 1．如图，已知正方形的面积为5，点A在数轴上，且表示的数为．现以点A为圆心，以的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，数轴上点表示的实数是 ． 3．观察下面图形，每个小正方形的边长为1． (1)图中阴影正方形的面积是______，边长是______； (2)请用无刻度的直尺和圆规在右图的数轴上作出点，使得点表示的数为（保留作图痕迹，不写作法）． 类型四、折断问题 1．九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（  ） A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺 2．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为，则这棵大树折断前的高度是 ．    3．如图，一根垂直于地面的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离．    (1)求旗杆折断处点距离地面的高度； (2)工人在修复的过程中，发现在折断处的下方1.4m的点处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的旗杆从点处吹断，旗杆的顶部落在水平地面上的处，形成一个，请求出的长． 类型一、赵爽弦图 1．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理． 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形． 设直角三角形的两条直角边长分别为，．若小正方形面积为7，，则大正方形面积为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 2．如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为 ． 3．同学们学习了勾股定理，课后查阅资料发现有很多方法证明勾股定理．中国古代最早对勾股定理进行证明的，是东汉末至三国时期吴国数学家赵爽，他用数形结合形式创制了“赵爽弦图”：如图1，由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，其中直角三角形的两直角边长为，，斜边长为． (1)在图1中，若，，则小正方形的边长为_____； (2)探索：某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图2，点是正方形边上一点，连接，得到直角三角形，三边分别为，，，将裁剪拼接至位置，如图3所示，该同学用图2、图3的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程；（提示：连接） (3)拓展：若图1中较短的直角边长为5，将这四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图4所示的“数学风车”，若以为边的正方形面积为61，则这个风车的外围周长是_____． 类型二、勾股定理与网格问题 1．如图是方格中的一个阴影正方形，若每个小方格的边长是1，则该阴影正方形的边长为（   ）． A． B． C． D． 2．如图，这是边长为1的的正方形网格，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，则边上的高是 ． 3．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，M，N均在格点上，P为线段上的一个动点 (1)的长等于_______， (2)当点P在线段上运动，且使取得最小值时，请借助网格和无刻度的直尺，在给定的网格中画出点P的位置，并简要说明你是怎么画的，（不要求证明） 类型三、水中筷子问题 1．《九章算术》勾股章中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．向水深、葭长各几何”．其大意为：有一个水池，其水面是边长为1丈的正方形（即丈尺），在水池正中央有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺（即尺）．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达池边水面点处，则芦苇的长是（    ） A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．15尺 2．如图，一支长为的铅笔放在长方体笔筒中，已知笔筒的三边长度依次为，，，那么这根铅笔露在笔筒外的部分长度的范围是 ． 3．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？    类型一、勾股定理的证明 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，勾股定理的证明方法也十分丰富．下面图形能证明的是（   ） A． B． C． D． 2．将某个图形的面积用不同方法来表示，我们可以写出某些等式，观察下图，你能写出的等式是 ．    3．请阅读下面文字并完成相关任务． 勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，从而得到等式，化简得，这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．请你用“双求法”解决下面问题： (1)如图2，中，是边上的高，，设，求x的值． (2)2002年在北京召开的国际数学家大会会标和2021年在上海召开的国际数学教育大会会标都包含赵爽弦图，如图3，如果大正方形的面积为18，直角三角形中较短直角边长为a，较长直角边长为b，且，则小正方形的面积为多少？ (3)勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要的数学思想是________； A．函数思想   B．整体思想   C．分类讨论思想   D．数形结合思想 (4)请借助图4，利用“双求法”验证勾股定理． 类型二、半圆问题 1．2024年9月27日晚，由南山区政府主办的“南山区标识体系发布暨国际文化交流共鸣之夜”在深圳人才公园举行，深圳南山全新城区形象标识正式发布．与此同时，南山国际文化交流市集在此汇集了几十个展位，其中两个相邻展位都是新月形．如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则的周长是（   ） A．15 B．17 C．18 D．19 2．如题图，，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，则阴影部分的面积为 ． 3．阅读小敏的数学日记，思考并解决问题． 2024年9月6日  星期五  天气：晴 从勾股定理到面积关系的思考 经过《探索勾股定理》一节的学习，我已经知道：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，则根据勾股定理，易得出，，之间的数量关系：_____改成其他图形，那么这个面积关系是否仍然成立呢？ 对此，我展开了探究： 如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用，，表示，我发现，，，之间有如下数量关系：_____． 理由如下：…… 任务一：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，请写出，，之间的数量关系：_____． 任务二：如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用，，表示，请问：任务一中，，之间的数量关系是否仍然成立？并说明理由． 任务三：如图3，四边形的对角线互相垂直，现以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．已知，，，则_____． 类型三、用勾股定理证明平方关系 1．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 2．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O．若，，则 ． 3．已知：在中，，．点、在线段上．    (1)如图1，如果，求证：． (2)如图2，如果，求证：． 1．若中一条直角边和斜边的长分别为6和10，则另一条直角边的长是（   ） A．4 B．6 C．8 D． 2．已知 的三边分别为 a ，b ，c ，且满足， 则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．或 5 3．如图，在中，，，，将边沿翻折，点B落在点E处，连接交于点F，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．在中，．若，，则 ． 5．如图将长方形沿直线折叠，顶点恰好落在边上处，已知，则 ． 6．如图，在中，点为线段上一点，连接，将沿折叠使点落在点处，使，连接，，若，，，则 （用表示），的长度为 ． 7．如图，为修通铁路凿通隧道，量出，，，，则隧道的长度为多少？ 8．如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处． (1)求的长； (2)求的长． 9．如图，在中，，，，D是边上一动点，连接．将沿着直线翻折．使点B落到点处，得到 (1)如图1，当点在线段的延长线上时，连接，求的长． (2)如图2，当时，求的度数． 10．【阅读】 我们很早就学习了求三角形面积的公式，三角形的面积底高，学习了勾股定理和二次根式运算后，我们还有其他方法求三角形面积，这里介绍著名的海伦-秦九韶公式，它们分别是由古希腊的几何家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶提出的．这两个公式都可以已知三边求出三角形面积，两个公式分別为： 海伦公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，那么这个三角形的面积； 秦九韶公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么这个三角形的面积 【尝试公式应用】 （1）已知一个三角形的三边长分别为9，10，11．请分别应用上述两个公式求出三角形的面积． 【尝试新方法】 尝试用已学过的勾股定理以及二次根式的运算解决下面的问题：（用上面的公式不给分） （2）已知一个中，，，．求面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 17.1 勾股定理 一、勾股定理的定义 如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a²+b²=c²。即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。 二、勾股定理的验证 勾股定理的验证通常通过拼图法，即图形割补来完成。验证的实质是通过面积之间的相等关系，将“形”的问题转化为“数”的问题。具体步骤包括：拼出图形，写出图形面积表达式，找出等量关系，进行恒等变形，最终推导出勾股定理。 三、勾股定理的应用 1.在几何图形中，勾股定理可以用于计算或证明直角三角形的边长。 2.在实际问题中，勾股定理应用广泛，如建筑测量、工程设计等，遇到求高度、长度、距离、面积等实际问题时，可以构造直角三角形，运用勾股定理求解。 3.勾股定理还可以用于作长度为无理数√n的线段，通过构造一个直角三角形，利用勾股定理，作出斜边长是无理数的线段。 巩固课内例1:门框问题 1．如图，一个门框的尺寸如图所示，下列长方形木板不能从门框内通过的是（    ） A．长3m，宽2.2m的长方形木板 B．长3m，面积为的长方形木板 C．长4m，宽2.1m的长方形木板 D．长3m，周长为11m的长方形木板 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，通过已知条件构造直角三角形即可解决问题．只要求出门框对角线的长，再与已知薄木板的宽相比较即可． 【详解】解：连接AC，则与、构成直角三角形， 根据勾股定理得， A：∵宽，∴可以通过 B：∵长，面积为，∴可求得宽为，∵，∴可以通过 C：∵宽，∴可以通过, D：∵长，周长为11m，∴可求得宽为，∵，∴不可以通过． 故答案为：D． 2．一门框的尺寸如图所示，一块长，宽的薄木板 从门框内通过．（填“能”或“不能”，参考数据，） 【答案】不能 【分析】求出门对角线的长，然后与薄木板的宽度相比，即可得出答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴薄木板不能从门框内通过． 故答案为：不能． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，求出对角线的长． 3．一个门框尺寸如图所示，一块长2.5米，宽2.2米的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？ 【答案】能，理由见解析 【分析】本题主要考查了正确运用勾股定理，善于观察题目的信息，理解能通过的条件是解题的关键．连接，由勾股定理求出的长度，然后进行比较，即可得到答案． 【详解】解：结论：能通过． 理由：连接． 在中，，， ． 又， 木板的宽， 木板能从门框内通过． 巩固课内例2:梯子滑落问题 1．如图，一根长5米的竹竿斜靠在竖直的墙上，这时为4米，若竹竿的顶端沿墙下滑2米至处，则竹竿底端外移的距离（   ） A．小于2米 B．等于2米 C．大于2米 D．无法判断 【答案】A 【分析】先根据勾股定理分别求出和的长度，进而表示出长度，利用无理数的估算方法即可估算出大小. 【详解】解：斜靠在竖直的墙上，，， 在中，. 竹竿的顶端沿墙下滑2米至处， ，， 在中，. . ， . . 的长度小于2米. 故答案为：A. 【点睛】本题考查了勾股定理，无理数的估算方法，解题的关键在于理解题意，清楚知道，熟练掌握无理数的估算方法. 2．如图所示，梯子靠在墙上，梯子的顶端A到墙根O的距离为，梯子的底端B到墙根O的距离为，一不小心梯子顶端A下滑了4米到C，底端B滑动到D，那么的长是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 先利用勾股定理求出，梯子移动过程中长短不变，所以，又由题意可知利用勾股定理求出，进而得出答案． 【详解】解：在直角三角形中， ，， ， ，， ， 在中 ， 故答案为：8． 3．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在的正下方物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离，物体到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【答案】(1)绳子的总长度为 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理直接计算即可； （2）由（1）得绳子的总长度为，得到，在中利用勾股定理求出，再利用线段和差即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，， 在中，， ， ． 答：绳子的总长度为． （2）解：由题意得，， ， 由（1）得，绳子的总长度为， ， 在中，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 类型一、用勾股定理解三角形 1．在中，斜边，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理计算即可． 【详解】的斜边是， ， ， 故选：D． 2．如图，点，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标及勾股定理．根据题意，由，，求出，然后求，再用勾股定理求即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． 3．如图，在中， (1)，，求的长； (2)，，求的长． 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么 （1）根据勾股定理计算即可； （2）根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：在中，，，， 由勾股定理得：， 的长为13； （2）在中，，，， 由勾股定理得：， 的长为 类型二、勾股数 1．下列各组数中，不是勾股数的是（  ） A．5，8，12 B．30，40，50 C．9，40，41 D．6，8，10 【答案】A 【分析】该题考查了勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．注意：（1）三个数必须是正整数．（2）一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．（3）记住常用的勾股数再做题可以提高速度． 欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需满足两小边的平方和等于最长边的平方． 【详解】解：A，，不是勾股数，此选项符合题意； B，，是勾股数，此选项不符合题意； C，，是勾股数，此选项不符合题意； D，，是勾股数，此选项不符合题意； 故选：A． 2．勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6、8、10；8、15、17；…若此类勾股数的勾为12，则其弦是 ． 【答案】37 【分析】本题考查勾股定理，根据勾为偶数，弦与股相差为2，设弦为，则：股为，利用勾股定理，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设弦为，则：股为， 由勾股定理，得：， 解得：； 故答案为：37． 3．【探索勾股数】与直角三角形三条边长对应的3个正整数，称为勾股数，《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数，显然，这组数的整数倍，如等都是勾股数．当然，勾股数远远不止这些，如等也都是勾股数．怎样探索勾股数呢？即怎样一组正整数才能满足关系式．设为一组勾股数，观察下表回答问题： 表1 表2 a b c a b c 3 4 5 6 8 10 5 12 13 8 15 17 7 24 25 10 24 26 9 40 41 12 35 37 (1)根据表1的规律写出勾股数（11，________，________）； 观察可得：表1中b、c与之间的关系是________；（填勾股定理不得分） (2)根据表2的规律写出勾股数（16，________，________）； 观察可得：表2中b、c与之间的关系是________；（填勾股定理不得分） (3)老师告诉小明一组勾股数，但他回家后只记得其中最大的数是145，你知道这组勾股数可能是多少吗？（请用勾股定理的形式直接写出结果，例如） 【答案】(1)60；61； (2)63；65； (3)或 【分析】本题考查了勾股数，数字的变化类-规律型． （1）观察表1中的数据，可得，，先将代入得，再根据，可求得b、c的值； （2）观察表1中的数据，可得，，先将代入得，再根据，可求得b、c的值； （3）利用表1与表2的规律分别计算验证即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据可知：当a为大于1的奇数，b、c的数量关系，b、c与之间的关系是：， ∴当时，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：60，61，； （2）解：根据表格中的数据可知：当a为大于4的偶数，此时b、c的数量关系是， b、c与之间的关系是， ∵， ∴， ∵， ∴，， 故答案为：63，65，； （3）解：由题意得， 如果满足表1的规律，那么，， ∴， ∴，符合题意； 如果满足表2的规律，那么，， ∴， ∴，符合题意； 综上所述，这组勾股数可能为或． 类型三、勾股定理与无理数 1．如图，已知正方形的面积为5，点A在数轴上，且表示的数为．现以点A为圆心，以的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是解题的关键． 根据正方形的边长是面积的算术平方根得，再根据勾股定理可得，再结合A点所表示的数及间距离可得点E所表示的数． 【详解】解：∵正方形的面积为5， ∴， ∴ ∵点A表示的数是，且点E在点A的右侧， ∴点E表示的数为． 故选：A． 2．如图，数轴上点表示的实数是 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了实数与数轴、勾股定理等知识直接利用勾股定理得出三角形斜边长即可得出点对应的实数． 【详解】解：由图形可得：到的距离为 ∴数轴上点表示的实数是； 故答案为：． 3．观察下面图形，每个小正方形的边长为1． (1)图中阴影正方形的面积是______，边长是______； (2)请用无刻度的直尺和圆规在右图的数轴上作出点，使得点表示的数为（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)13； (2)见解析 【分析】本题考查了算术平方根，割补法求网格中图形面积，勾股定理与无理数，尺规作图等知识；掌握这些知识是关键； （1）用大正方形面积减去四个面积相等的小三角形即可求解；利用算术平方根即可求得正方形的边长； （2）构造两直角边分别为2与3的直角，由勾股定理得斜边，再在数轴上以O为圆心，为半径，在数轴上原点右边截取线段即可． 【详解】（1）解：阴影正方形的面积为； 阴影正方形的边长为：； 故答案为：13；； （2）解：如图，点表示的数为． 类型四、折断问题 1．九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（  ） A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设折断处离地面的高度为尺，则尺，在中，由勾股定理得出方程，求解即可． 【详解】解：设折断处离地面的高度为尺，则尺， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即折断处离地面的高度为4.2尺， 故选：C． 2．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为，则这棵大树折断前的高度是 ．    【答案】/24米 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是先根据勾股定理求出的长度．根据勾股定理求出大树折断部分的高度即可求解． 【详解】解：如图，∵是直角三角形，，，   ， 则这棵大树折断前的高度是 故答案为：． 3．如图，一根垂直于地面的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离．    (1)求旗杆折断处点距离地面的高度； (2)工人在修复的过程中，发现在折断处的下方1.4m的点处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的旗杆从点处吹断，旗杆的顶部落在水平地面上的处，形成一个，请求出的长． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图． （1）由题意可知米，根据勾股定理可得：，又因为米，所以可求得的长； （2）先求出点距地米，米，再根据勾股定理可以求得的长． 【详解】（1）解：由题意可知：米， ， ， 又米， ， 米； （2）解：点距地面米， 米， （米． 类型一、赵爽弦图 1．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理． 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形． 设直角三角形的两条直角边长分别为，．若小正方形面积为7，，则大正方形面积为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理．根据小正方形面积为7得出，结合，得出的值，即可得出结果． 【详解】解：∵小正方形面积为7， ∴， 又∵， ∴， ∴． 又∵大正方形的面积， ∴， 故选：D． 2．如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为 ． 【答案】44 【分析】本题考查完全平方公式的应用和勾股定理的应用，解题的关键是理解题意． 设直角三角形的两直角边为，斜边为，根据图1，结合已知条件得到，，进而求出的值，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为，斜边为， ∵图1中大正方形的面积是24， ， ∵小正方形的面积是4， ， ， ∴图2中最大的正方形的面积， 故答案为：44． 3．同学们学习了勾股定理，课后查阅资料发现有很多方法证明勾股定理．中国古代最早对勾股定理进行证明的，是东汉末至三国时期吴国数学家赵爽，他用数形结合形式创制了“赵爽弦图”：如图1，由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，其中直角三角形的两直角边长为，，斜边长为． (1)在图1中，若，，则小正方形的边长为_____； (2)探索：某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图2，点是正方形边上一点，连接，得到直角三角形，三边分别为，，，将裁剪拼接至位置，如图3所示，该同学用图2、图3的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程；（提示：连接） (3)拓展：若图1中较短的直角边长为5，将这四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图4所示的“数学风车”，若以为边的正方形面积为61，则这个风车的外围周长是_____． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)76 【分析】本题考查勾股定理的证明，完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）先根据勾股定理求出，然后根据线段的和差求解即可； （2）连接，根据正方形的面积与四边形的面积相等即可证明； （3）根据外延部分的4个三角形全等,且,由勾股定理求得,根据风车的外围周长是，计算求解即可， 【详解】（1）解：由勾股定理得：， 小正方形的边长为：， 故答案为：3； （2）（答案不唯一） 证明：如图，连接， ， 正方形的面积为， ，，， ，， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， 四边形的面积为：， 正方形的面积与四边形的面积相等， ， ， ， ． （3）解：如图，以为边的正方形面积为61, , 由题意知，外延部分的4个三角形全等，图1中较短的直角边长为5， ， ， ， 这个风车的外围周长是： 故答案为：76 类型二、勾股定理与网格问题 1．如图是方格中的一个阴影正方形，若每个小方格的边长是1，则该阴影正方形的边长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理即可直接得出答案． 【详解】解：根据题意可得： 该阴影正方形的边长为：， 故选：． 2．如图，这是边长为1的的正方形网格，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，则边上的高是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理以及三角形面积等知识，设边上的高为h，由勾股定理求出的长，再由割补法求出的面积，即可解决问题． 【详解】解：设边上的高为h， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 即边上的高为， 故答案为：． 3．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，M，N均在格点上，P为线段上的一个动点 (1)的长等于_______， (2)当点P在线段上运动，且使取得最小值时，请借助网格和无刻度的直尺，在给定的网格中画出点P的位置，并简要说明你是怎么画的，（不要求证明） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了作图－应用与设计作图，轴对称——最短距离问题，正确的作出图形是解题的关键． （1）根据勾股定理即可得到结论； （2）取格点S，T，得点R；取格点E，F，得点Q；连接交于点P即可得到结果． 【详解】（1）解：∵每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，M，N均在格点上， ∴， 故答案为：； （2）解：取格点S，T，得点R；取格点E，F，得点Q，连接交于点P ． 类型三、水中筷子问题 1．《九章算术》勾股章中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．向水深、葭长各几何”．其大意为：有一个水池，其水面是边长为1丈的正方形（即丈尺），在水池正中央有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺（即尺）．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达池边水面点处，则芦苇的长是（    ） A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．15尺 【答案】C 【分析】本题考查正确勾股定理的应用．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设水深为尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得：，即， 解得：， 芦苇的长度（尺）， 答：芦苇长13尺． 故选：C． 2．如图，一支长为的铅笔放在长方体笔筒中，已知笔筒的三边长度依次为，，，那么这根铅笔露在笔筒外的部分长度的范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意知，当铅笔垂直于笔筒底部放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最大，最大值为，由勾股定理得，长方体的对角线长为，当铅笔沿着长方体的对角线放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最小，最小值为，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，当铅笔垂直于笔筒底部放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最大，最大值为， 由勾股定理得，长方体的对角线长为， 当铅笔沿着长方体的对角线放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最小，最小值为， ∴这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是， 故答案为：． 3．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？    【答案】水池的深度是12尺， 芦苇的长度是13尺 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，此题是一道古代问题，体现了我们的祖先对勾股定理的理解，也体现了我国古代数学的辉煌成就．找到题中的直角三角形，设水池的深度为x尺，则芦苇的长为尺，根据勾股定理列出关于x的方程，解此方程即可解答． 【详解】解∶ 设水池的深度为x尺，则芦苇的长为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， ∴ 即水池的深度是12尺， 芦苇的长度是13尺． 类型一、勾股定理的证明 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，勾股定理的证明方法也十分丰富．下面图形能证明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式，正方形面积公式，三角形面积公式，由正方形面积公式，三角形面积公式逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：，不能证明，不符合题意； ，能证明，符合题意； ，能证明，符合题意； 不能证明，不符合题意； 综上可知：能证明， 故选：． 2．将某个图形的面积用不同方法来表示，我们可以写出某些等式，观察下图，你能写出的等式是 ．    【答案】 【分析】用两种方法表示大正方形的面积即可得出答案． 【详解】解：大正方形的边长为，因此面积可以表示为， 大正方形的面积可以用小正方形的面积加四周四个直角三角形的面积，因此大正方形面积可以表示为， 因此， 即， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的几何证明，解题的关键是用两种方法表示大正方形的面积． 3．请阅读下面文字并完成相关任务． 勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，从而得到等式，化简得，这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．请你用“双求法”解决下面问题： (1)如图2，中，是边上的高，，设，求x的值． (2)2002年在北京召开的国际数学家大会会标和2021年在上海召开的国际数学教育大会会标都包含赵爽弦图，如图3，如果大正方形的面积为18，直角三角形中较短直角边长为a，较长直角边长为b，且，则小正方形的面积为多少？ (3)勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要的数学思想是________； A．函数思想   B．整体思想   C．分类讨论思想   D．数形结合思想 (4)请借助图4，利用“双求法”验证勾股定理． 【答案】(1) (2)2 (3)D (4)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、完全平方公式的应用等知识，理解并掌握勾股定理及其验证过程是解题关键． （1）结合题意可知，，然后在和中，利用勾股定理列式求解即可； （2）设大正方形的边长为，由题意可知，利用勾股定理可得，结合易得，然后根据完全平方公式，由，即可求得答案． （3）勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了数相结合的数学思想，即可获得答案； （4）根据梯形的面积等于三个直角三角形的面积，以及梯形面积等于其上底加下底乘高除以2进行证明即可． 【详解】（1）解：∵是边上的高， ∴， ∵，，，， ∴， 在和中， 可有， 即，整理可得， ∴； （2）解：设大正方形的边长为， 根据题意，， ∴， ∵， ∴， 又∵小正方形的边长为：， ∴， 即小正方形的面积为2． （3）解：勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要的数学思想是数形结合思想． 故选D； （4）解：， 梯形的面积又可表示为 ， ∴ 即， ∴直角三角形的三边满足此关系式，其中c为斜边，a，b为直角边． 类型二、半圆问题 1．2024年9月27日晚，由南山区政府主办的“南山区标识体系发布暨国际文化交流共鸣之夜”在深圳人才公园举行，深圳南山全新城区形象标识正式发布．与此同时，南山国际文化交流市集在此汇集了几十个展位，其中两个相邻展位都是新月形．如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则的周长是（   ） A．15 B．17 C．18 D．19 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理．根据勾股定理得到，根据半圆面积公式、完全平方公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得， ， ， ， ， （负值舍去）， 的周长， 故选：C． 2．如题图，，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，则阴影部分的面积为 ． 【答案】84 【分析】本题考查了勾股定理和三角形的面积、圆的面积，根据勾股定理求出，分别求出三个半圆的面积和的面积，即可得出答案，能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是解此题的关键． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 阴影部分的面积：， 故答案为：84． 3．阅读小敏的数学日记，思考并解决问题． 2024年9月6日  星期五  天气：晴 从勾股定理到面积关系的思考 经过《探索勾股定理》一节的学习，我已经知道：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，则根据勾股定理，易得出，，之间的数量关系：_____改成其他图形，那么这个面积关系是否仍然成立呢？ 对此，我展开了探究： 如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用，，表示，我发现，，，之间有如下数量关系：_____． 理由如下：…… 任务一：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，请写出，，之间的数量关系：_____． 任务二：如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用，，表示，请问：任务一中，，之间的数量关系是否仍然成立？并说明理由． 任务三：如图3，四边形的对角线互相垂直，现以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．已知，，，则_____． 【答案】任务一：；任务二：结论仍成立，理由见解析；任务三：4 【分析】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．结合图形及正方形的面积公式，半圆的面积公式逐项推导即可得解． 【详解】任务一：∵为直角三角形，如图1 ， 即 故答案为： 任务二：结论仍成立，理由如下： 为直角三角形，如图2 ， 即 任务三：设相交于点，如图： 则均为直角三角形，由勾股定理得： 又 即 又，， ， 故答案为：4 类型三、用勾股定理证明平方关系 1．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理计算即可得到答案． 【详解】解：，， ∴，， ∴， 故选： D． 2．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O．若，，则 ． 【答案】29 【分析】先利用勾股定理求出，，可得，然后由，得出答案． 【详解】解：由题意知， ∴， 根据勾股定理得，，， ∴， 根据勾股定理得，，， ∴， 故答案为：29． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 3．已知：在中，，．点、在线段上．    (1)如图1，如果，求证：． (2)如图2，如果，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）如图所示，过点C作于F，利用三线合一定理得到，由此即可证明； （2）如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接，则，证明，得，再证明，则，即可证得． 【详解】（1）证明：如图所示，过点C作于F， ∵，， ∴， ∴， ∴；    （2）证明：如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接， ∵， ∴， 由旋转得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴．      【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确利用旋转构造全等三角形是解题的关键． 1．若中一条直角边和斜边的长分别为6和10，则另一条直角边的长是（   ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意得，另一条直角边的长是． 故选：C． 2．已知 的三边分别为 a ，b ，c ，且满足， 则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．或 5 【答案】D 【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理，分类讨论是解答本题的关键． 先移项，把原式化为，根据非负数的性质求出a、b的值，再根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当为直角边时， ； 当为斜边时， ． 综上可知，的值为或 5． 故选D． 3．如图，在中，，，，将边沿翻折，点B落在点E处，连接交于点F，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题、垂线段最短，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先利用勾股定理可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，则当的值最小时，取得最大值，然后根据垂线段最短可得当时，的值最小，利用三角形的面积公式可求出的最小值，由此即可得． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴当的值最小时，取得最大值， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， 此时， ∴， ∴的最大值为， 故选：C． 4．在中，．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理即可直接得出答案． 【详解】解：在中，，，， ∴， 故答案为：． 5．如图将长方形沿直线折叠，顶点恰好落在边上处，已知，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理的运用，掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 根据长方形的性质可得，，，由折叠的性质可得，，在中，由勾股定理可得，则，设，则，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∵折叠， ∴，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴， 故答案为： ． 6．如图，在中，点为线段上一点，连接，将沿折叠使点落在点处，使，连接，，若，，，则 （用表示），的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是轴对称的性质，三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，如图，记的交点为，求解，可得，再利用可得，过作于，结合等腰三角形的判定与性质以及勾股定理可得答案． 【详解】解：如图，记的交点为， ∵将沿折叠使点落在点处，使， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 过作于， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：， 7．如图，为修通铁路凿通隧道，量出，，，，则隧道的长度为多少？ 【答案】隧道的长度为 【分析】本题考查三角形的内角和和勾股定理，先求得，再用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， 答：隧道的长度为． 8．如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质： （1）由线段中点的定义得到的长，再利用勾股定理求解即可； （2）由折叠的性质得到，则可得到，设，则，再由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得； （2）解：由折叠的性质可得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 9．如图，在中，，，，D是边上一动点，连接．将沿着直线翻折．使点B落到点处，得到 (1)如图1，当点在线段的延长线上时，连接，求的长． (2)如图2，当时，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形内角和定理，以及平行线的性质． （1）由由勾股定理求出，由折叠得，求出，然后再用勾股定理求解即可； （2）由平行线的性质得，由周角的定义求出，得出，再由三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】（1）解：在中，，，， 由折叠可知，， ， （2）解：，， ， ． 由折叠的性质得． ， ， ， ． 10．【阅读】 我们很早就学习了求三角形面积的公式，三角形的面积底高，学习了勾股定理和二次根式运算后，我们还有其他方法求三角形面积，这里介绍著名的海伦-秦九韶公式，它们分别是由古希腊的几何家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶提出的．这两个公式都可以已知三边求出三角形面积，两个公式分別为： 海伦公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，那么这个三角形的面积； 秦九韶公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么这个三角形的面积 【尝试公式应用】 （1）已知一个三角形的三边长分别为9，10，11．请分别应用上述两个公式求出三角形的面积． 【尝试新方法】 尝试用已学过的勾股定理以及二次根式的运算解决下面的问题：（用上面的公式不给分） （2）已知一个中，，，．求面积． 【答案】（1）；（2）9 【分析】本题考查了勾股定理、三角形面积公式、二次根式的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先根据求出，再代入计算即可得解；或将三边代入公式计算即可得解； （2）作于，则，设，则，由勾股定理得出，求出的值，从而得出，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：（1）由题意得：， ∴ ； ； （2）如图：作于，则， 设，则， 由勾股定理可得：， ， ∴， 解得：， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$