精品解析：江苏省苏北四市（徐连淮宿）2025届高三第一学期期末调研测试数学试题

江苏省苏北四市（徐连淮宿）2025届高三第一学期期末调研测试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的定义域求得集合B，根据交集的定义即可求解. 【详解】集合，， 则. 故选：B. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出z，再写出其共轭复数，再根据模的公式计算，即可得到答案. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以 故选：C 3. 已知向量，，若，则（ ） A. 3 B. C. 4 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】平方可得，化简得到，从而得到方程，求解即可. 【详解】因为，，， 所以可得， 即，所以， 即可得，解得 故选：A 4. 在矩形ABCD中，，则以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，根据勾股定理求出，利用椭圆的定义即可求离心率. 【详解】由题知：，则， 因为点C在椭圆上，所以由椭圆的定义知：，即， 所以. 故选：A. 5. 若为偶函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的定义即可求得. 【详解】因为为偶函数，所以， 则， 即，即，解得. 故选：D 6. 已知，若，且的最小值为，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由，得，，两式作差即可求出结果. 【详解】不妨设， 因为函数，满足， 不妨令，， 两式相减得：，故， 又，则 故选：A 7. 已知正四棱锥的底面边长为2，侧面积为，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出棱锥斜高和高，求外接球的半径，由球的表面积公式即可求解. 【详解】设正四棱锥的斜高为，高为h，外接球的半径为R，相交于点， 因为正四棱锥侧面积为，则，解得， 故，取的中点，连接，故， 则正四棱锥的高， 其中，则， 其中， 则，即，解得， 则该四棱锥的外接球的表面积 故选：B. 8. 定义：，两点间的“M距离”为把到两定点，的“距离”之和为常数的点的轨迹叫“椭圆”，则“椭圆”的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接法求出曲线方程，通过其对称性质先研究它在第一象限的特征，进而得到整个图形特征，求得其面积. 【详解】设，则“椭圆”方程是，即， 将换为可得，即，所以“椭圆”关于轴对称； 将换为可得，即，所以“椭圆”关于轴对称； 将换为，换为可得，即，所以“椭圆”关于原点对称； 研究“椭圆”在第一象限图象， 当时方程为，是一条线段，端点坐标分别为，， 当时方程为，表示一条线段，端点坐标分别为，， 结合曲线的对称性，“ 椭圆”大致图象如图： 四边形是直角梯形，上底长为，下底长为，高为， 所以梯形面积为， 所以“椭圆”面积为 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出“椭圆”的方程，结合其对称性，只需分析在第一象限部分的情形. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 设甲袋中有2个白球和3个红球，乙袋中有1个白球和2个红球.现从甲袋中任取1个球放入乙袋，用事件，分别表示从甲袋中取出的是白球和红球.再从乙袋中随机取出1个球，用事件B表示从乙袋中取出的是白球，则（ ） A. ，互斥 B. 与B相互独立 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意，是两两互斥的事件，可判断A，，，可判断C，求得，可判断D，求得，，可判断B. 【详解】由题意，是互斥的事件，故A正确； ，，，故C正确； ，，故D错误， ，，所以， 所以与B不相互独立，故B错误. 故选：AC 10. 已知，为锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由已知得到，可对BCD作出判断，从B出发可得到，以此，可判断 【详解】，锐角，，可得到，① ，得，②， 由①②，又，得， 则，B正确； ，C正确； 又，，，从而，D正确； 由B知，则有，， 又，，则，所以，则A错误. 故选： 11. 已知数列a，b，c，d，前三项a，b，c成等差数列，且公差不为0，后三项b，c，d成等比数列，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当，时，或 D. ，，，可能成等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等差数列与等比数列的性质可判断A；取可判断B；设等差数列的公差为m，，可得，求解可判断C；由，，成等比数列，得，根据二倍角公式及两角和差的余弦公式可取，从而可判断D. 【详解】因为a，b，c成等差数列，b，c，d成等比数列， 所以， 对于选项A：当时， 则，即 又，所以，所以，故A正确； 对于选项B：取满足a，b，c成等差数列，b，c，d成等比数列， 又，但，故B错误； 对于选项C：设等差数列的公差为m，， 则， 因为，， 所以，解得或，故C正确； 对于选项D：若，，成等比数列， 则， 所以， ， ， ， 可取，， 则， 取，则，，，，，，， 此时，，，成等比数列，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，，，，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】由同角三角函数的基本关系得，由正弦定理求得BC，再有余弦定理求得 【详解】在中，由，可得， 由正弦定理得，，即，解得， 由余弦定理得，，整理得，， 即， 解得舍去或， 故答案为: 13. 写出一条与圆和抛物线都相切的直线的方程__________. 【答案】（或 ，两者填一个即可） 【解析】 【分析】对抛物线方程求导，列出直线方程，根据直线与圆相切得到方程，求出答案. 【详解】设公切线与抛物线切于点， 因为，所以， 所以M处的公切线方程为， 即 ， 结合公切线与圆相切，即 与 相切， 故 ， 解得， 所以公切线的方程为或  故答案为：（或 ，两者填一个即可） 14. 已知函数，则的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用导数研究函数的单调性，对a进行分类讨论，即可求解. 【详解】的定义域为R， ， ①当时，恒成立，故单调递增，则不等式恒成立，满足题意； ②当时，，令，可得或，令，可得， 故在，上单调递增，在上单调递减， 又，则，所以要使不等式成立， 只需满足，且，即，且， ③当时，，令，可得或，令，可得， 故在，上单调递增，在上单调递减， 因为， 又， 所以要使不等式成立，需满足，再结合，解得 综上所述，不等式的解集为： 故答案为：  【点睛】思路点睛：函数不等式的求解问题，一般是先讨论函数的单调性，再结合自变量的范围求解不等式，前者有时需要利用导数来处理. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某新能源汽车公司对其销售的A，B两款汽车向消费者进行满意度调查，从购买这两款汽车消费者中各随机抽取10名进行评分调查满分100分，评分结果如下： 数据Ⅰ型车，81，73，80，81，77，86，85，90，； 数据Ⅱ型车，76，81，67，72，87，86，95，93， （1）求数据Ⅰ的25百分位数； （2）该公司规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的消费者中随机抽取3人沟通不满意的原因及改进建议，设被抽到的3人中购买B型车的消费者人数为X，求X的概率分布及数学期望. 【答案】（1）77 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）将数据从小到大排列，根据百分位数的定义进行求解即可； （2）的所有可能取值为1，2，3，求出对应的概率，即可得出分布列和数学期望. 【小问1详解】 将数据Ⅰ从小到大排列为：67，73，77，80，81，81，85，86，90， 因为，所以数据Ⅰ的25百分位数为77； 【小问2详解】 数据Ⅰ中75分以下的有67分，73分； 数据Ⅱ中75分以下的有61分，67分，72分， 所以上述不满意的消费者共5人，其中 A车型中2人， B车型中3人. 所以X的所有可能取值为1，2， ， 所以X的概率分布为 X 1 2 3 P 数学期望 16. 如图，三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，D为AC的中点，，侧面底面 （1）证明：； （2）当时，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质可得平面，从而可判断； （2）建立坐标系，求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，即可得出答案. 【小问1详解】 等边三角形中，D为AC中点，所以， 因为侧面底面，侧面底面， 平面，所以平面， 又因为平面，所以 【小问2详解】 在中，，， 所以， 所以， 所以是等腰三角形，又D为AC中点，所以， 由知，，平面， 又平面，所以， 所以两两垂直. 以为正交基底建立空间直角坐标系 则，，，，， 所以，，设平面的法向量为， 则 ，不妨取，则，， 所以平面的一个法向量为，  易知平面的一个法向量为，  记平面与平面的夹角为， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为 17. 已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件求得与，即可得到切线方程. （2）当时显然成立，当时，不等式等价于恒成立，求得在上最大值，即可得到a的范围. 【小问1详解】 当时，，， 则，又， 所以曲线在点处的切线方程为 【小问2详解】 当时，由可知恒成立，符合题意； 当时，由得恒成立， 令，，则， 令得，列表得 x 0 0 单调递增 极大值 单调递减 所以，则，即. 综上所述， 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为4，渐近线方程为 （1）求C的方程； （2）过的直线l分别交C的左、右两支于A，B两点，直线交C于另一点P， ①若，求点P的坐标； ②是否存在常数，使得若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）①；②存在， 【解析】 【分析】（1）由焦距可得c，由渐近线可得a、b关系，再结合a、b、c的平方关系求解即可； （2）①设，，分别于双曲线联立，由，得，则，结合B在双曲线上，代入可得B坐标，进而求得P坐标； ②由韦达定理可得，进而利用斜率公式可得，，即可得解. 【小问1详解】 由题意得， 解之得，所以C的方程为 【小问2详解】 ①设，， 设，，， 由得， 则， 由得， 则， 因为，所以， 则，整理得， 因，， 所以， 即， 因为点B在双曲线C上，所以， 则，解之得， 则，所以， 则，即直线BP垂直于x轴，故 ②由①知，，， 所以， 则 ， 而， 所以，即存在满足题意. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 19. 定义：表示正整数m的各位数之和，如：记 （1）求和； （2）求数列的通项公式； （3）若正整数m的各位数非零且成等差数列，，求m的值. 【答案】（1）45，855 （2） （3） 【解析】 【分析】由数列的定义求函数的和即可. 设的前n项和为，利用定义可得，由与的关系可得，则，利用等差数列的通项公式求解即可. 显然，则，结合m的范围可得，则，故，设，易判断得是递减数列，结合，，可得，分，4，5，6四种情况逐项判断即可. 【小问1详解】 ， 【小问2详解】 设的前n项和为，则， 即， 当时，，所以，即 所以，又， 故是以为首项，为公差的等差数列. 所以， 故的通项公式为 【小问3详解】 设m为位正整数，由m的各位数非零可知，，所以 又，则，所以， 因为，所以，即， 设，则，所以是递减数列. 又，，所以 又，所以或或或 因为m的各位数成等差数列，设公差为 若，当时，，所以，此时 当时，，所以，不满足 若，当时，，所以，此时 当时，，不符合题意； 若，当时，，所以，此时 当时，，不符合题意； 若，当时，，所以，此时 当时，，不符合题意. 综上所述，m的值为 【点睛】关键点点睛：数列的新定义问题，先理解题干的条件，计算出的数值，再利用构造数列的方法得为等差数列，继而得到通项公式；最后利用分类讨论思想即可得到结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省苏北四市（徐连淮宿）2025届高三第一学期期末调研测试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. 3 B. C. 4 D. 0 4. 在矩形ABCD中，，则以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 若偶函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 已知，若，且的最小值为，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 7. 已知正四棱锥的底面边长为2，侧面积为，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 定义：，两点间的“M距离”为把到两定点，的“距离”之和为常数的点的轨迹叫“椭圆”，则“椭圆”的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 设甲袋中有2个白球和3个红球，乙袋中有1个白球和2个红球.现从甲袋中任取1个球放入乙袋，用事件，分别表示从甲袋中取出的是白球和红球.再从乙袋中随机取出1个球，用事件B表示从乙袋中取出的是白球，则（ ） A. ，互斥 B. 与B相互独立 C. D. 10. 已知，为锐角，，，则（ ） A. B. C D. 11. 已知数列a，b，c，d，前三项a，b，c成等差数列，且公差不为0，后三项b，c，d成等比数列，则（ ） A. 当时， B 当时， C. 当，时，或 D ，，，可能成等比数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，，，，则__________. 13. 写出一条与圆和抛物线都相切的直线的方程__________. 14. 已知函数，则的解集为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某新能源汽车公司对其销售的A，B两款汽车向消费者进行满意度调查，从购买这两款汽车消费者中各随机抽取10名进行评分调查满分100分，评分结果如下： 数据Ⅰ型车，81，73，80，81，77，86，85，90，； 数据Ⅱ型车，76，81，67，72，87，86，95，93， （1）求数据Ⅰ的25百分位数； （2）该公司规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的消费者中随机抽取3人沟通不满意的原因及改进建议，设被抽到的3人中购买B型车的消费者人数为X，求X的概率分布及数学期望. 16. 如图，三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，D为AC的中点，，侧面底面 （1）证明：； （2）当时，求平面与平面的夹角的余弦值. 17. 已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，，求a的取值范围. 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为4，渐近线方程为 （1）求C的方程； （2）过的直线l分别交C的左、右两支于A，B两点，直线交C于另一点P， ①若，求点P坐标； ②是否存在常数，使得若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 定义：表示正整数m的各位数之和，如：记 （1）求和； （2）求数列的通项公式； （3）若正整数m的各位数非零且成等差数列，，求m的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$