精品解析：辽宁省鞍山市普通高中2024-2025学年高一上学期质量监测数学试题

鞍山市普通高中2024—2025学年度上学期高一质量监测 数学 考试时间：120分钟满分：150分 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题“，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称命题，直接写出命题的否定即可． 【详解】因为命题为“， 所以命题为“” 故选：C. 2. 若为函数的零点，则所在区间为（ ） A. B. （1，2） C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据零点存在性定理即可求解. 【详解】函数为上的增函数， 又， 且， 因为， 所以所在区间为. 故选：B 3. 测甲，乙两组各10名学生的身高（单位：），所得数据用茎叶图表示如下，则下列结论中正确的是（ ） A. 两组学生身高的极差相等 B. 甲组学生身高的平均值比乙组学生身高的平均值大 C. 甲组学生身高的中位数比乙组学生身高的中位数小 D. 甲组学生身高在以上的人数较多 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据极差, 平均数和中位数的定义计算, 结合选项得出答案. 【详解】选项A，甲组学生身高的极差为， 乙组学生身高极差为， 则两组学生身高的极差不相等，A错误； 选项B，甲组学生身高的平均值为， 乙组学生身高的平均值为， 则甲组学生身高的平均值比乙组学生身高的平均值小，B错误； 选项C，甲组学生身高的中位数为， 乙组学生身高的中位数为， 甲组学生身高的中位数比乙组学生身高的中位数小，C正确； 选项D，甲组学生身高在以上的有人，乙组学生身高在以上的有人， 则甲组学生身高在以上的人数较少，D错误． 故选：C． 4. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象大致形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可排除D，根据，，即可排除BC. 【详解】由于的定义域为，且， 故为奇函数，图象关于原点对称，此时可排除， 且当，，此时可排除B, 故选：A 5. 如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，DM与AC交于点N，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形ABCD中，M是AB的中点，得到，从而利用向量基本定理得到. 【详解】平行四边形ABCD中，M是AB的中点，故， 则，所以， . 故选：A 6. 如图是易书中的八卦图（含乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），传说莱布尼兹据此发明了二进制计数法.从八卦中任取两卦，这两卦中阳线数量之和为4的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先得到根阳线的有一卦，根阳线的有三卦，根阳线的有三卦，根阳线的有一卦，再求出基本事件总数，与满足条件的事件数，再利用古典概型的概率公式计算可得. 【详解】由图可知有根阳线的有一卦，根阳线的有三卦，根阳线的有三卦，根阳线的有一卦， 记根阳线的分别为、、，根阳线的分别为、、，根阳线的为， 从八卦中任取两卦，一共有种， 其中满足阳线之和为的有，，，，，共种， 故两卦中阳线之和为的概率. 故选：B 7. 定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据函数的奇偶性、单调性，判断，在上单调递增，且，再结合函数的单调性解不等式即可. 【详解】由题意可得，，在上单调递增，且， 由，得，或， 时，，或， 又，即，或， 故，解得， 时，，或， 又，即， 故，解得，或， 则不等式的解集为：， 故选：D. 8. 已知，满足，，其中是自然对数的底数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把已知等式取对数，得到两个关系，抽象成一个方程的解，再根据方程的解的唯一性，得到，关系，进而求出结论. 【详解】因为，， 所以，， 即，， 所以，均为方程的根， 由于函数在定义域内单调递增，且， 所以方程的根唯一， 所以. 故选：B. 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的零点是 B. 若定义在上的函数满足，则为增函数 C. 函数的定义域为，则 D. 已知函数，则的值为3 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，令方程等于0，即可求得零点；B选项，由函数单调性的定义即可判断；C选项，根据函数有意义的条件，分母不为0，对参数进行分类讨论；D选项，由分段函数的定义即可求解. 【详解】A选项，令，解得， 所以函数的零点是，故A选项正确； B选项，根据增函数的定义可知， 若定义在[1，2]上的函数满足，则不一定为增函数， 例如函数，， 满足条件， 但函数在上单调递减，在上单调递增， 故函数不是增函数，故B选项错误； C选项，函数的定义域为，， 当时，符合题意， 当时，，解得， 综上，，故C选项正确； D选项，， 因为， 所以，故D选项错误； 故选：AC. 10. 庄严美丽的国旗和国徽上的五角星，是革命和光明的象征．正五角星是一个非常有趣、优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系（在如图所示的正五角星中，多边形为正五边形，）．则（ ） A B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用正五角星的结构特征，结合向量的线性运算，逐项计算判断即可. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：AD 11. 有5个标记数字1，2，3，4，5的小球，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，则（ ） A. 甲与乙互斥 B. 丙与丁互斥 C. 甲与丙相互独立 D. 乙与丁相互独立 【答案】BC 【解析】 【分析】直接由互斥事件的概念判断A、B选项；计算出甲、乙、丙、丁事件的概率，由独立事件概率公式判断C、D选项即可. 【详解】由题意可知：两点数和为6的所有可能为， 两点数和为5的所有可能为， 可得甲乙丙丁， 对于A选项，甲与乙可以同时发生，例如，故选项A错误； 对于B选项，丙与丁不可能同时发生，故选项B正确； 对于C选项，（甲丙）（甲）（丙），可知甲与丙相互独立，故选项C正确； 对于D选项，（乙丁）（乙）（丁），可知乙与丁不相互独立，故选项D错误. 故选：BC. 12. 已知函数，若，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 若方程有个不同的实根，则 D. 若方程有个不同的实根，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据解析式画出函数大致图象，令得，数形结合可得且，结合函数零点知识依次判断各项正误. 【详解】根据解析式可得函数大致图象如下，    令，则， 所以且， 故，A错； 因为，所以，B对； 由， 可得或， 由图知，对应有2个不同解， 故对应必有3个不同解，所以，C对； 对于D:， 由图，当时原方程无解； 当时，，对应唯一的x的值，此时原方程只有1个解，不符； 当时，或各有一个值， 前者有3个、2个、1个x的值与之对应，后者只有1个x的值与之对应， 此时原方程共有4个、3个、2个解，不符题意； 令，得或或， 当时，或或各有一个值， 若，无解； 若，有2个x的值与之对应； 若，有1个x的值与之对应， 故原方程共有3个不同解，不符； 当时，或或，分别有1个解、2个解、1个解， 原方程共有4个解，不符； 当时，或或各有1个值， 若，有2个x的值与之对应； 若，有2个x的值与之对应； 若，有1个x的值与之对应， 故原方程共5个不同解，符合； 当时，有1个解或有2个解，原方程共3个解，不符； 当时，，原方程只有1个解，不符； 综上，满足题设，D对. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：D项，注意从负到正依次讨论的范围，结合图象确定对应范围，进而判断解的个数. 三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知向量，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量坐标运算法则求，结合向量平行的坐标表示求，再求的坐标，再由模的坐标表示求结论. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 14. 已知函数的单调递增区间为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求函数的定义域，结合二次函数的单调性及对数函数单调性求函数的递增区间. 【详解】函数的定义域为， 令，， 因为当时，函数单调递减， 函数为减函数， 所以函数在上单调递增， 当时，函数单调递增， 函数为减函数， 所以函数在上单调递减， 所以函数的单调递增区间为. 故答案为：. 15. 已知定义在上函数满足，都有.据此可构造函数__________，且知是__________.（填”奇“或”偶“）函数，在上为__________.（填”增“或”减”）函数. 【答案】 ①. ②. 奇 ③. 减 【解析】 【分析】不妨设，不等式可化为，观察不等式两侧结构特点考虑构造函数，结合单调性的定义及奇函数定义确定结论. 【详解】不妨设，不等式可化为， 故， 观察不等式两侧的结构特点考虑构造函数， 由已知，， 所以函数在上单调递减， 函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以函数为奇函数. 故答案为：；奇，减. 16. 在荷花池中，有一只蜻蜓在成品字形的三片荷叶上飞来飞去（每次飞时，均从一叶飞到另一叶），而且逆时针方向飞的概率是顺时针方向飞的概率的3倍，如图所示.假设现在蜻蜓在叶上，则跳三次之后停在叶上的概率是__________. 【答案】##0.4375 【解析】 【分析】根据条件先求出逆时针和顺时针跳的概率，然后根据跳3次回到A，则应满足3次逆时针或者3次顺时针，根据概率公式即可得到结论． 【详解】由题意，知青蛙沿逆时针方向跳的概率是，沿顺时针方向跳的概率是. 青蛙跳三次要回到叶上只有两条途径： 第一条，按，此时停在叶上的概率； 第二条，按，此时停在A叶上的概率. 所以跳三次之后停在叶上的概率. 故答案为： 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知全集，集合，集合 （1）若，求，； （2）若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由条件可得，根据交集的定义，根据补集的定义求， （2）根据充分条件的定义条件可转化为，列不等式求结论. 【小问1详解】 若，则， 因为 所以 或； 【小问2详解】 若是的充分条件，则， 则，解得， 所以， 即实数的取值范围为 18. 已知是自然对数的底数，函数， （1）求证：是偶函数； （2）求不等式的解集. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的定义证明即可； （2）结合指数函数的单调性得在上单调递减，在上单调递增，然后根据偶函数性质和单调性将不等式转化为，平方后解一元二次不等式即可. 【小问1详解】 因为是定义域为关于原点对称， 又，所以为偶函数； 【小问2详解】 因为函数是定义域为上偶函数，所以只需判断上单调性即可； 易知，任取， ， 因为，所以， 得，即， 所以在上是单调增函数 由偶函数性质可得在上单调递减， 因此可得在上单调递减，在上单调递增； 由是偶函数得知对函数来说，距离其对称轴轴越近，函数值越小， 因此不等式等价于，即， 也即，整理可得，解得或； 所以不等式的解集为. 19. 如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与边交于两点（点与点不重合），设， （1）求的值； （2）求的最小值，并求此时的值. 【答案】（1） （2）时，的最小值. 【解析】 【分析】（1）结合向量的线性运算，根据平面向量基本定理列式求解； （2）结合（1）的结论，利用基本不等式常数代换技巧求解最值即可. 【小问1详解】 如图所示，延长交于，已知点是的重心， 故为中点，所以， 所以， 所以，① 因为三点共线，设，即， ②， 由①②得， 所以，即. 【小问2详解】 由题意可知，且. 所以， 当且仅当，即时取等号， 又因为，所以时，的最小值. 20. 国务院于2023年开展第五次全国经济普查，为更好地推动第五次全国经济普查工作，某地充分利用信息网络开展普查宣传，向基层普查人员，广大普查对象及社会公众宣传经济普查知识.为了解宣传进展情况，现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示. （1）求值，并求这组数据的分位数（精确到0.1）； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人.抽取结果中来自第2组和第3组中的所有人的年龄的平均数和方差分别为37和27.已知第2组中参与调查的人的年龄的平均数和方差分别为30和6，据此估计第3组所有人的年龄的方差. 【答案】（1）， （2）6 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为列方程求得，根据百分位数的求法求得这组数据的分位数. （2）根据第2组和第3组的所有人的年龄的方差列方程，化简求得第3组所有人的年龄的方差. 【小问1详解】 由表中数据可得，解得， 设第40百分位数为， 因为前2组频率 前3组频率，所以位于第三组：内 即. 【小问2详解】 由题意得，第2组和第3组的频率分别为， 故第2组和第3组所抽取的人数分别为 设第2组的宣传使者的年龄平均数分为，方差为，第2组人数3人， 设第3组的宣传使者的年龄平均数为，方差为， 第3组人数7人第2组和第3组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为， 则，求得， 即第3组所有宣传使者的年龄平均数为40， .解得， 即第3组所有宣传使者的年龄方差为6. 21. 某社区举办“趣味智力挑战赛”，旨在促进社区邻里关系，鼓励居民参与公益活动．本次挑战赛第一轮为选手随机匹配4道难度相当的趣味智力题，参赛选手需依次回答这4道题目，任何一道题答对就算通过本轮挑战赛．若参赛选手前两道题都没有答对，而后续还需要答题，则每答1道题就需要后期参与一次社区组织的公益活动，若4道题目都没有答对，则被淘汰．根据大数据统计，年龄在20岁到30岁之间与年龄在30岁到40岁之间的参赛选手在第一轮挑战赛中答对每道趣味智力题的概率分别为，．已知甲（25岁）、乙（35岁）两人都参与了该“趣味智力挑战赛”，他们每道题是否答对相互独立． （1）甲热爱公益活动，若需要答题机会，他愿意参与社区组织的公益活动，求甲通过第一轮挑战赛的概率； （2）求甲、乙均不需要通过参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛的概率； （3）求甲、乙均通过了第一轮挑战赛且只有一人需要参与一次公益活动的概率． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）计算甲第一轮挑战赛被淘汰的概率，再根据对立事件的概率，即可求解； （2）分别计算甲、乙不需要参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛，再根据独立事件概率乘法公式，即可求解； （3）分别计算甲、乙通过了第一轮挑战赛且需要参与一次公益活动的概率，由（2）的结论结合独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式，即可求解. 【小问1详解】 设甲、乙两人第i次答对题目分别记为事件，， 则，． 甲第一轮挑战赛被淘汰的概率为， 则甲通过第一轮挑战赛的概率为． 【小问2详解】 设甲不需要参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛为事件A，乙不需要参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛为事件B，则， ． 故所求概率为． 【小问3详解】 甲通过了第一轮挑战赛且需要参与一次公益活动的概率为． 乙通过了第一轮挑战赛且需要参与一次公益活动的概率为． 故所求概率为． 22. 已知函数，函数. （1）若关于的方程在区间上有实数根，求实数的取值范围； （2）设的反函数为，且，，若对任意的，均存在，满足，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，将所求问题转化为在区间上有实数根，求出在区间上的值域即可得出答案； （2）对任意的，均存在，满足，转化为求解，然后根据参数的取值范围进行分类讨论，先求得的最大值，然后转化为恒成立问题即可. 小问1详解】 由，可得：，设， 则，又，故， 因此当时，取得最小值为； 当时，取得最大值为， 故. 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 的反函数为， 若对任意的，均存在，满足 ，则只需恒成立即可. 由已知，设，因为，故. 设，在上可分如下情形讨论： ①当时，，此时，不满足恒成立. ②当时，，此时只需在上恒成立， 则只需：在上恒成立， 因为在上单调递增， 故只需：时，不等式成立即可，解得：，与矛盾； ③当时，，此时，只需保证： 即只需：在上恒成立； 当时，只需保证：当时，成立 故有：，解得：， 又，故有：； 当时，只需保证：当时，成立， 此时解得，又故有：； 故当时，. 综上所述，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鞍山市普通高中2024—2025学年度上学期高一质量监测 数学 考试时间：120分钟满分：150分 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题“，则为（ ） A. B. C. D. 2. 若为函数的零点，则所在区间为（ ） A. B. （1，2） C. D. 3. 测甲，乙两组各10名学生的身高（单位：），所得数据用茎叶图表示如下，则下列结论中正确的是（ ） A. 两组学生身高的极差相等 B. 甲组学生身高的平均值比乙组学生身高的平均值大 C. 甲组学生身高的中位数比乙组学生身高的中位数小 D. 甲组学生身高在以上的人数较多 4. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象大致形状是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，DM与AC交于点N，设，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图是易书中的八卦图（含乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），传说莱布尼兹据此发明了二进制计数法.从八卦中任取两卦，这两卦中阳线数量之和为4的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，满足，，其中是自然对数底数，则的值为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的零点是 B. 若定义在上的函数满足，则为增函数 C. 函数的定义域为，则 D. 已知函数，则的值为3 10. 庄严美丽的国旗和国徽上的五角星，是革命和光明的象征．正五角星是一个非常有趣、优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系（在如图所示的正五角星中，多边形为正五边形，）．则（ ） A B. C. D. 11. 有5个标记数字1，2，3，4，5的小球，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，则（ ） A. 甲与乙互斥 B. 丙与丁互斥 C. 甲与丙相互独立 D. 乙与丁相互独立 12. 已知函数，若，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 若方程有个不同的实根，则 D. 若方程有个不同的实根，则 三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知向量，且，则__________. 14. 已知函数的单调递增区间为__________. 15. 已知定义在上函数满足，都有.据此可构造函数__________，且知是__________.（填”奇“或”偶“）函数，在上为__________.（填”增“或”减”）函数. 16. 在荷花池中，有一只蜻蜓在成品字形的三片荷叶上飞来飞去（每次飞时，均从一叶飞到另一叶），而且逆时针方向飞的概率是顺时针方向飞的概率的3倍，如图所示.假设现在蜻蜓在叶上，则跳三次之后停在叶上的概率是__________. 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知全集，集合，集合 （1）若，求，； （2）若是的充分条件，求实数的取值范围. 18. 已知是自然对数的底数，函数， （1）求证：是偶函数； （2）求不等式解集. 19. 如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与边交于两点（点与点不重合），设， （1）求的值； （2）求的最小值，并求此时的值. 20. 国务院于2023年开展第五次全国经济普查，为更好地推动第五次全国经济普查工作，某地充分利用信息网络开展普查宣传，向基层普查人员，广大普查对象及社会公众宣传经济普查知识.为了解宣传进展情况，现从参与调查人群中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示. （1）求值，并求这组数据分位数（精确到0.1）； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人.抽取结果中来自第2组和第3组中的所有人的年龄的平均数和方差分别为37和27.已知第2组中参与调查的人的年龄的平均数和方差分别为30和6，据此估计第3组所有人的年龄的方差. 21. 某社区举办“趣味智力挑战赛”，旨在促进社区邻里关系，鼓励居民参与公益活动．本次挑战赛第一轮为选手随机匹配4道难度相当的趣味智力题，参赛选手需依次回答这4道题目，任何一道题答对就算通过本轮挑战赛．若参赛选手前两道题都没有答对，而后续还需要答题，则每答1道题就需要后期参与一次社区组织的公益活动，若4道题目都没有答对，则被淘汰．根据大数据统计，年龄在20岁到30岁之间与年龄在30岁到40岁之间的参赛选手在第一轮挑战赛中答对每道趣味智力题的概率分别为，．已知甲（25岁）、乙（35岁）两人都参与了该“趣味智力挑战赛”，他们每道题是否答对相互独立． （1）甲热爱公益活动，若需要答题机会，他愿意参与社区组织的公益活动，求甲通过第一轮挑战赛的概率； （2）求甲、乙均不需要通过参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛的概率； （3）求甲、乙均通过了第一轮挑战赛且只有一人需要参与一次公益活动的概率． 22. 已知函数，函数. （1）若关于的方程在区间上有实数根，求实数的取值范围； （2）设的反函数为，且，，若对任意的，均存在，满足，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $