精品解析：辽宁省多校联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

高二数学考试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第一册第一章至第二章第6节占，第二章第7节至选择性必修第二册第四章第1节占. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某体育用品店有5种不同价格的篮球，4种不同价格的排球，若从中选购1个篮球和1个排球，则不同的选购方法有（ ） A. 9种 B. 20种 C. 625种 D. 1024种 【答案】B 【解析】 【分析】由分步乘法原理可得出结论. 【详解】第一步，从5种不同的篮球中选一个，有5种选法， 第二步，从4种不同的排球中选一个，有4种选法， 故不同的选法为：种. 故选：B. 2. 现有2台机床，已知每台机床不需要照看的概率均为0.9，且互不影响，则2台机床都不需要照看的概率为（ ） A. 0.81 B. 0.9 C. 0.1 D. 0.09 【答案】A 【解析】 【分析】根据独立事件的概率乘法公式即可求出. 【详解】2台机床都不需要照看的概率为， 故选：A. 3. 已知抛物线的顶点为原点，对称轴是轴，与直线相交所得线段的长为12，则的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设抛物线，根据点在上，代入抛物线方程，求出的值，即可得解. 【详解】由题意，设抛物线， 因为抛物线与直线相交所得线段的长为12， 所以点在上，所以， 解得，所以的标准方程为． 故选：B 4. 将2个相同的红球和2个相同的黑球放入两个不同的盒子中，每个盒子中至少放1个球，则不同的放法有（ ） A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种 【答案】C 【解析】 【分析】先从球的个数分类，再求出每类放球的方法，结合分类加法计数原理可得答案. 【详解】若两个盒子中都放入2个球，则有3种不同的方法； 若一个盒子中放1个球，另一个盒子中放3个球，则有4种不同的方法． 故不同的放法有7种． 故选：C 5. 甲、乙、丙3人各自从A，B，C这3个景点中随机选1个去旅游，设事件“3个人都没去A景点”，事件“甲独自去一个景点”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出、，再应用条件概率公式求概率即可. 【详解】由题设，“3个人都没去A景点且甲独自去一个景点”，甲与乙丙看作两组安排到2个景点有2种方法， “甲独自去一个景点”，甲在3个景点任选一个，其它两人在余下的2个景点任选， 又3人在3个景点任选有种，所以，， 所以. 故选：B 6. 如图，给编号为的区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，中心对称的两个区域（如区域1与区域4）所涂颜色相同．若有5种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（ ） A. 60种 B. 80种 C. 100种 D. 125种 【答案】A 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理依次涂色即可. 【详解】由题意可得，只需确定区域的颜色，即可确定所有区域的涂色． 先涂区域1，有5种选择；再涂区域2，有4种选择；最后涂区域3，有3种选择． 故不同的涂色方案有种． 故选：A. 7. 已知抛物线的焦点为，点，P是抛物线C上的一个动点，则的最小值为（ ） A. 8 B. 12 C. 10 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出抛物线的准线方程，过点作垂直于准线，交准线于点，根据抛物线的定义得到，从而求出的最小值. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 过点作垂直于准线，交准线于点，则， 所以，当且仅当、、三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：B 8. 已知，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将代入直线方程，可得直线恒过点，根据圆的几何性质可得当时，的值最小，再利用勾股定理可得到答案. 【详解】将代入直线方程，得． 令解得故直线恒过点，设， 将圆化为标准方程，得． 当时，的值最小，因为，， 此时． 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 展开式中所有项的二项式系数的和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法计算可得A正确，C错误，利用通项展开式计算可得B正确，再由所有项的二项式系数的和可得D正确. 【详解】对于A，令，可得，A正确． 对于B，展开式中的第二项为，所以，B正确． 对于C，令，可得，则，C错误． 对于D，展开式中所有项的二项式系数的和为，D正确． 故选：ABD 10. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则（ ） A. 四点共面 B. 在平面上的投影向量为 C. 点到直线的距离为 D. 点到平面的距离为 【答案】AB 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求向量的坐标，利用向量方法证明，判断A，根据投影向量的定义判断B，求，根据向量方法求点到直线的距离判断C，求平面的法向量及向量，利用向量方法求点到平面的距离判断D. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示． ，，，，则，， ，则，所以四点共面，A正确． 由正方体的结构特征，点在平面上的投影为， 所以在平面上的投影向量为，B正确． ，， ，， ，， 则点到直线的距离为，C错误． 设平面的法向量为，， 则，取，则， 所以为平面的一个法向量，又， 所以点到平面的距离为，D错误． 故选：AB. 11. 已知分别为椭圆的左、右顶点，为的上顶点，为坐标原点，为上一点，且位于第二象限，过点作轴，垂足为，直线分别与轴交于点，则下列结论正确的是（ ） A. 若是的中点，则 B. 若是的中点，则是的中点 C. D. 若是的中点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据点是的中点得，计算直线的方程，与椭圆联立可得点坐标，由此可得选项A错误；计算直线的方程可得选项B正确；利用可得选项C正确；利用线段比例关系可得选项D正确. 【详解】 由题意得，，，， A.∵点是的中点，∴， ∴，故直线的方程为， 由得，，解得或， 将代入，可得，即，，A错误． B.由，得，故直线的方程为， 令，得，即，∴是的中点，B正确． C.设，直线的斜率分别为，则，，， ∴， 直线的方程分别为，， 分别令得，，， ∴，C正确． D.由，得，． ∵是的中点，∴． ∵，∴，故，D正确． 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则与______．（填“独立”或“不独立”） 【答案】不独立 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率公式，结合条件概率公式即可判断. 【详解】与独立的充要条件为， 又因为， 所以与独立的充要条件是， 根据已知条件：，所以与不独立． 故答案为：不独立 13. 的展开式中，各项系数的最大值是______． 【答案】7 【解析】 【分析】根据二项式展开式通项得到，由求解即可. 【详解】的展开式的通项为，且． 设展开式中第项的系数最大，则即， 又，所以或6， 故展开式中系数最大的项是第6项或第7项，且该项系数为. 故答案为：7 14. 某中学正在筹备100周年校庆晚会，原计划共7个节目，并已排好节目单，为了使晚会节目更丰富，节目组准备增加3个节目，若保持原计划中的7个节目的先后顺序不变，则这10个节目的不同排法有______种． 【答案】720 【解析】 【分析】先将10个节目随意排列，有种排法，再根据相对顺序已定的排列模型求解 【详解】10个节目随意排列，有种排法； 原计划中的7个节目随意排列，有种排法． 保持原计划中的7个节目的先后顺序不变， 则这10个节目的不同排法有共有种． 故答案为: 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照． （1）甲、乙两人不相邻的站法共有多少种？ （2）甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有多少种？ 【答案】（1）72 （2）36 【解析】 【分析】（1）先排丙、丁、戊，再插空排甲、乙，结合排列数运算求解； （2）分乙站在排头或排尾和甲、乙都不站排头或排尾两种情况，结合排列数运算求解. 【小问1详解】 先排丙、丁、戊，有种站法，再插空排甲、乙，有种站法． 故甲、乙两人不相邻的站法共有种． 【小问2详解】 若乙站在排头或排尾，则有种站法； 若甲、乙都不站排头或排尾，则有种站法； 故甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有种． 16. 如图，在四棱锥中，底面满足，，底面，且，． （1）证明：平面平面． （2）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）法一，根据面垂直的判定定理证明即可；法二，建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明； （2）利用面面角的空间向量求法求解即可. 【小问1详解】 方法一，证明：因为平面，平面， 所以． 因为，，平面，平面， 所以平面． 因为平面，所以平面平面． 方法二，证明：因为，底面，所以以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示． ，，，，，， ，． 设平面的法向量为，则取． 设平面的法向量为， 则取， 因为，所以， 所以平面平面． 【小问2详解】 方法一，因为，，底面，所以以为坐标原点， 所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示． ，，， 由（1）易得是平面的一个法向量． 因为，， 所以，． 设平面的法向量为，则取． 设平面与平面所成角的大小为， 则， 故平面与平面所成角的余弦值为． 方法二，因为，所以． 设平面的法向量为，则取． 设平面与平面所成角的大小为， 则， 故平面与平面所成角的余弦值为． 17. 已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴、轴分别交于，两个动点（点可以重合），记点的轨迹为． （1）求的方程； （2）已知，，过点的直线与交于两点，直线与的另一个交点分别为，若直线的斜率为2，求直线的斜率． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）设圆心为，根据题意有，建立方程解出即可； （2） 设，，，，，，直线与抛物线方程联立得，同理可得代入即可得解. 【小问1详解】 设动圆圆心为． 因为，所以， 化简得，所以的方程为． 【小问2详解】 设，，，．直线． 由，可得，，． 由斜率公式可得，． 直线，代入的方程可得， ，，所以．同理可得， 所以． 因为直线的斜率为2，所以直线的斜率为1． 18. 甲、乙2名同学最近100次的投篮情况如下： 甲 乙 投中 50 60 未投中 50 40 用频率估计概率，解答下列问题． （1）若从甲、乙2人中随机选择1人投篮1次，求投中的概率． （2）设甲、乙进行投篮比赛，约定甲、乙轮流投篮，第一次由甲先投．规定：若其中一人比另一个人多投中2次，则停止比赛（例如：甲第一次投中，乙第一次未投中，甲第二次投中，则停止比赛，乙不再投第二次），投中次数多的赢得比赛；若甲、乙都投完了5次，则也停止比赛，投中次数多的获胜，次数相同则平局．甲、乙每次投中与否相互独立． ①求甲投了第3次后停止比赛的概率； ②求乙投了第4次后停止比赛的概率． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用频率求出两人投中的概率，然后根据两人的投中概率可求答案； （2）①先明确甲投了第3次后停止比赛的所有情况，结合互斥事件的概率求解；②乙投了第4次后停止比赛，说明乙比甲多投中2次，按照轮次情况，分类求解概率即可. 【小问1详解】 甲同学的投篮命中率为， 乙同学的投篮命中率为． 从甲、乙中随机选择1人投篮1次，投中的概率为． 【小问2详解】 ①甲投了3次，则乙投了2次． 由题意可得甲比乙多投中2次，有2种情况． 第一种情况：甲投中了3次，乙投中了1次，即甲每次投篮都投中，乙第一次投篮投中，第二次投篮没投中，其概率为． 第二种情况：甲投中了2次，乙投中了0次，即甲第一、三次投篮投中，第二次投篮没投中，乙每次投篮都没投中，或甲第二、三次投篮投中，第一次投篮没投中，乙每次投篮都没投中，其概率为， 故所求概率为． ②乙投了4次，则甲投了4次． 记甲、乙各投1次为一轮，则甲、乙共投了四轮． 在每轮比赛中，记事件为乙投中的次数比甲多1次，即乙投中，甲没投中，其概率， 记事件为甲、乙投中的次数相等，即甲、乙都没投中或都投中，其概率， 记事件为乙投中的次数比甲少1次，即乙没投中，甲投中，其概率． 投了第四次后停止比赛，即投了四轮后乙投中的次数比甲多2次，有2种情况． 第一种情况：四轮比赛中，事件各发生2次，即第一至四轮依次为或，或，其概率为． 第二种情况：四轮比赛中，事件发生3次，事件发生1次，即第一至四轮依次为，或，其概率为． 所求概率为． 19. 已知双曲线的左，右顶点分别为，，左焦点为，O为坐标原点，是线段OM的中点. （1）求双曲线的离心率. （2）过点M且斜率不为0的直线l与双曲线的左，右两支的交点分别为Q，P. ①若直线l的斜率为1，，求双曲线的方程； ②连接QO并延长，交双曲线于点R，证明：. 【答案】（1）2 （2）①； ②证明：，，， 则 ， 所以. 【解析】 【分析】（1）由题意可得参数的等量关系，利用离心率的公式，可得答案； （2）由题意作图，联立方程写出韦达定理，①由直线斜率与弦长公式，可得答案，②利用垂直向量的坐标表达，代入韦达定理，可得答案. 【小问1详解】 因为是线段OM的中点，所以，即，所以双曲线的离心率为2. 【小问2详解】 设直线，点，. 联立，得. 由（1）可得，化简得，所以， 即，，. ①因为直线l的斜率为1，所以，. ，即， 结合，，解得，，所以双曲线的方程为. ②略 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学考试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第一册第一章至第二章第6节占，第二章第7节至选择性必修第二册第四章第1节占. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某体育用品店有5种不同价格的篮球，4种不同价格的排球，若从中选购1个篮球和1个排球，则不同的选购方法有（ ） A. 9种 B. 20种 C. 625种 D. 1024种 2. 现有2台机床，已知每台机床不需要照看的概率均为0.9，且互不影响，则2台机床都不需要照看的概率为（ ） A. 0.81 B. 0.9 C. 0.1 D. 0.09 3. 已知抛物线的顶点为原点，对称轴是轴，与直线相交所得线段的长为12，则的标准方程为（ ） A. B. C. D. 4. 将2个相同的红球和2个相同的黑球放入两个不同的盒子中，每个盒子中至少放1个球，则不同的放法有（ ） A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种 5. 甲、乙、丙3人各自从A，B，C这3个景点中随机选1个去旅游，设事件“3个人都没去A景点”，事件“甲独自去一个景点”，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，给编号为的区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，中心对称的两个区域（如区域1与区域4）所涂颜色相同．若有5种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（ ） A. 60种 B. 80种 C. 100种 D. 125种 7. 已知抛物线的焦点为，点，P是抛物线C上的一个动点，则的最小值为（ ） A. 8 B. 12 C. 10 D. 16 8. 已知，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 展开式中所有项的二项式系数的和为 10. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则（ ） A. 四点共面 B. 在平面上的投影向量为 C. 点到直线的距离为 D. 点到平面的距离为 11. 已知分别为椭圆的左、右顶点，为的上顶点，为坐标原点，为上一点，且位于第二象限，过点作轴，垂足为，直线分别与轴交于点，则下列结论正确的是（ ） A. 若是的中点，则 B. 若是的中点，则是的中点 C. D. 若是的中点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则与______．（填“独立”或“不独立”） 13. 的展开式中，各项系数的最大值是______． 14. 某中学正在筹备100周年校庆晚会，原计划共7个节目，并已排好节目单，为了使晚会节目更丰富，节目组准备增加3个节目，若保持原计划中的7个节目的先后顺序不变，则这10个节目的不同排法有______种． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照． （1）甲、乙两人不相邻的站法共有多少种？ （2）甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有多少种？ 16. 如图，在四棱锥中，底面满足，，底面，且，． （1）证明：平面平面． （2）求平面与平面所成角的余弦值． 17. 已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴、轴分别交于，两个动点（点可以重合），记点的轨迹为． （1）求的方程； （2）已知，，过点的直线与交于两点，直线与的另一个交点分别为，若直线的斜率为2，求直线的斜率． 18. 甲、乙2名同学最近100次的投篮情况如下： 甲 乙 投中 50 60 未投中 50 40 用频率估计概率，解答下列问题． （1）若从甲、乙2人中随机选择1人投篮1次，求投中的概率． （2）设甲、乙进行投篮比赛，约定甲、乙轮流投篮，第一次由甲先投．规定：若其中一人比另一个人多投中2次，则停止比赛（例如：甲第一次投中，乙第一次未投中，甲第二次投中，则停止比赛，乙不再投第二次），投中次数多的赢得比赛；若甲、乙都投完了5次，则也停止比赛，投中次数多的获胜，次数相同则平局．甲、乙每次投中与否相互独立． ①求甲投了第3次后停止比赛的概率； ②求乙投了第4次后停止比赛的概率． 19. 已知双曲线的左，右顶点分别为，，左焦点为，O为坐标原点，是线段OM的中点. （1）求双曲线的离心率. （2）过点M且斜率不为0的直线l与双曲线的左，右两支的交点分别为Q，P. ①若直线l的斜率为1，，求双曲线的方程； ②连接QO并延长，交双曲线于点R，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $