数学（贵州卷）-学易金卷：2025年中考第一次模拟考试

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第一次模拟考试（贵州卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．-2025的相反数是（    ） A．-2025 B． C．2024 D．2025 2．景德镇瓷器以白瓷为闻名，瓷质优良，造型轻巧，装饰多样，素有“白如玉，明如镜，薄如纸，声如磬”之称，是称誉世界的古代陶瓷艺术杰出代表之一．如图是景德镇白瓷中的笔筒，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 3．《九章算术》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿万万，1兆万万亿，则1兆（   ） A． B． C． D． 4．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 5．一元二次方程的根是（    ） A．2 B．0 C．，1 D．，0 6．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 7．如图，若，，，则（　　） A． B． C． D． 8．为了培养学生的阅读兴趣和提升文学素养，某市举行了一场中学生文学知识竞赛．经过激烈角逐，决赛成绩揭晓，以下是决赛成绩的分布情况： 成绩/分 人数 则本次文学知识竞赛决赛成绩的中位数和众数分别是（　　） A．， B．， C．， D．， 9．如图,将三角尺ABC的一边AC沿位置固定的直尺推移得到△DEF,下列结论不一定正确的是 A．DE∥AB B．四边形ABED是平行四边形 C．AD∥BE D．AD=AB 10．在学校科技宣传活动中，某科技活动小组将5个标有“北斗”，2个标有“天眼”，3个标有“高铁”的小球（除标记外其它都相同）放入盒中，小红从盒中随机摸出1个小球，并对小球标记的内容进行介绍，下列叙述正确的是（ ） A．摸出“北斗”小球的可能性最大 B．摸出“天眼”小球的可能性最大 C．摸出“高铁”小球的可能性最大 D．摸出三种小球的可能性相同 11．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于的长为半径画弧，分别交于点；②分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线交边于点D．若，则的面积是（   ） A．40 B．22 C．20 D．10 12．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论： ①； ②； ③ （实数）； ④若方程有一根为 ，则不等式 的解集是 ； ⑤若，且，则． 其中结论错误的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、 填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 13．因式分解： ． 14．如图，已知四边形的对角线、互相垂直且互相平分，，则四边形的周长为 ． 15．明代的程大位创作了《算法统宗》，它是一本通俗实用的数学书，将枯燥的数学问题化成了美妙的诗歌，读来朗朗上口，是将数字入诗的代表作．其中有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇．醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮下19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为 ． 16．如图，四边形中，，，，，连接，则线段的最小值为 ． 三、解答题（本大题共9个小题，共98分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题10分）解决下面问题： (1)在，，，中任选3个代数式求和； (2)化简：． 18．（本题10分）随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷，为了了解社区居民每天的沟通方式，居委会在小区内随机选取50位成年人进行统计（每人选择一种最常用的沟通方式），得出相关统计表和条形统计图（不完整）． 沟通方式 电话 微信 短信 人数人 m 30 n 5 请根据图表所提供的信息，解答下列问题： (1)统计表中的______，______，并补全条形统计图； (2)若该小区有位成年居民，请据此估计该小区最常用电话和微信沟通的人数； (3)张大妈和李大爷恰好都是随机选取的最常用电话沟通中的两个人，现从最常用电话沟通的几个人中随机选择2位进行采访，求张大妈和李大爷同时被选中的概率． 19．（本题10分）“江作青罗带，山如碧玉簪”是唐朝诗人韩愈的诗句，美好的自然环境堪比金银，绿水青山就是金山银山．植树节这天，某校动员学生参与植树活动，已知八（1）班共有45名学生，男生每人植树5棵，女生每人植树3棵，八（1）班共植树185棵． (1)八（1）班男生、女生各有多少人？ (2)学校计划购买甲、乙两种树苗共4000棵，甲种树苗的价格为每棵6元，乙种树苗的价格为每棵3元，若购买树苗的经费不超过16000元，则最多可以购买多少棵甲种树苗？ 20．（本题10分）如图，在四边形中，，点E在边上， ．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求线段的长． 21．（本题10分）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点为原点，，，反比例函数上的图象经过的中点，交于点． (1)求反比例函数和直线的解析式； (2)若点为反比例函数图象上一个动点，点为轴上一个动点，是否存在以，，，为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（本题10分）正定县某学校在综合与实践活动中，要用测角仪测量复兴大街上的滹沱河大桥主塔的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角为，测得桥塔底部的俯角为，又在处测得桥塔顶部的仰角为． (1)求线段的长（结果取一位小数）； (2)求桥塔的高度（结果取一位小数）．（参考数据：．） 23．（本题12分）如图，是的直径，是的一条弦，直线为的切线，，交的延长线于点E (1)求证：； (2)连接，延长交于点F，延长交于点G．当F为的中点时，求证：； (3)若的半径为6，在（2）的条件下，求图中阴影部分面积． 24．（本题12分）高楼火灾越来越受到重视，某区消防中队开展消防技能比赛，如图，在一废弃高楼距地面的点A和其正上方点B处各设置了一个火源．消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分（水流出口与地面的距离忽略不计），第一次灭火时，站在水平地面上的点C处，水流恰好到达点A处，且水流的最大高度为．待A处火熄灭后，消防员退到点D处，调整水枪进行第二次灭火，使水流恰好到达点B处，已知点D到高楼的水平距离为，假设两次灭火时水流的最高点到高楼的水平距离均为．建立如图所示的平面直角坐标系． 水流的高度与到高楼的水平距离之间的函数关系式为． (1)求消防员第一次灭火时，水流所在抛物线的解析式； (2)若两次灭火时，水流所在抛物线的形状相同，求A、B之间的距离； (3)若消防员站在到高楼水平距离为的地方，想要扑灭距地面高度范围内的火苗，当水流最高点到高楼的水平距离始终为时，直接写出a的取值范围． 25．（本题14分）如图①，已知正方形和等腰直角，，连接，． (1)【问题发现】 如图①，线段与的数量关系为______，位置关系为______； (2)【问题探究】 如图②，将绕点A旋转，再将绕点F顺时针方向旋转至，连接，探究线段与线段的数量及位置关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 将绕点A旋转至，延长交直线于、交于，若，，求出的长． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第一次模拟考试（贵州卷） 数学·全解全析 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．-2025的相反数是（    ） A．-2025 B． C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】本题考查了相反数，熟练掌握相反数定义是解题关键． 首先根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数进行求解即可． 【详解】解：的相反数是． 故选：D． 2．景德镇瓷器以白瓷为闻名，瓷质优良，造型轻巧，装饰多样，素有“白如玉，明如镜，薄如纸，声如磬”之称，是称誉世界的古代陶瓷艺术杰出代表之一．如图是景德镇白瓷中的笔筒，它的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了俯视图“从上面观察物体所得到的视图是俯视图”，熟记俯视图的定义是解题关键．根据俯视图的定义即可得． 【详解】 解：景德镇白瓷中的笔筒的俯视图是， 故选：B． 3．《九章算术》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿万万，1兆万万亿，则1兆（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，其中a的范围是，n是整数，正确确定a，n的值是解答本题的关键．先计算1万万亿，然后用科学记数法表示即可． 【详解】解：∵1兆万万亿 ， 故选：C． 4．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 则， 表示在数轴上为： ． 故选：D． 5．一元二次方程的根是（    ） A．2 B．0 C．，1 D．，0 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程． 【详解】解：， ， 或， 所以，． 故选：D． 6．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．解题的关键是类比同分母分数的相加减进行计算即可．根据同分母分式的加减法，分母不变，分子相加减，即可计算． 【详解】解：， 故选：C． 7．如图，若，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先过P点作，再得，则，．结合，则，即可作答 【详解】解：如图，过P点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． 故选：D． 8．为了培养学生的阅读兴趣和提升文学素养，某市举行了一场中学生文学知识竞赛．经过激烈角逐，决赛成绩揭晓，以下是决赛成绩的分布情况： 成绩/分 人数 则本次文学知识竞赛决赛成绩的中位数和众数分别是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了中位数和众数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数（或最中间位置的两个数的平均数）叫做这组数据的中位数，众数是在一组数据中出现次数最多的数据．根据众数，中位数的定义计算即可． 【详解】∵出现的次数最多， ∴众数为； ∵数据有个， ∴中位数是第个和第个数据的平均数， 即． 故选：A． 9．如图,将三角尺ABC的一边AC沿位置固定的直尺推移得到△DEF,下列结论不一定正确的是 A．DE∥AB B．四边形ABED是平行四边形 C．AD∥BE D．AD=AB 【答案】D 【分析】由平移性质可得AD∥BE，且AD=BE，即可知四边形ABED是平行四边形，再根据平行四边形性质可得DE∥AB，从而可得答案． 【详解】解：由平移性质可得AD∥BE，且AD=BE， ∴四边形ABED是平行四边形， ∴DE∥AB，故A、B、C均正确， 故选D． 【点睛】本题主要考查平移的性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握平移的性质得出四边形是平行四边形是解题的关键． 10．在学校科技宣传活动中，某科技活动小组将5个标有“北斗”，2个标有“天眼”，3个标有“高铁”的小球（除标记外其它都相同）放入盒中，小红从盒中随机摸出1个小球，并对小球标记的内容进行介绍，下列叙述正确的是（ ） A．摸出“北斗”小球的可能性最大 B．摸出“天眼”小球的可能性最大 C．摸出“高铁”小球的可能性最大 D．摸出三种小球的可能性相同 【答案】A 【分析】本题考查的是可能性的大小，根据题意求出摸出各种小球的概率是解题的关键． 分别求出摸出三种小球的概率，再比较大小即可． 【详解】解：有5个标有“北斗”，2个标有“天眼”，3个标有“高铁”的小球， 小红从盒中随机摸出1个小球，摸出标有“北斗”的概率是； 摸出标有“天眼”的概率是； 摸出标有“高铁”的概率是， ， 摸出标有“北斗”小球的可能性最大． 故选：A． 11．如图，在△ABC中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于的长为半径画弧，分别交于点；②分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线交边于点D．若，则的面积是（   ） A．40 B．22 C．20 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了作图−基本作图：作已知角的角平分线．也考查了角平分线的性质．利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到点D到的距离为4，然后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过点D作于点H，    由作图可知，射线为的平分线， ， ， 的面积为 故选：C 12．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论： ①； ②； ③ （实数）； ④若方程有一根为 ，则不等式 的解集是 ； ⑤若，且，则． 其中结论错误的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握图象开口，对称轴直线，最值的计算等方法是解题的关键． 根据二次函数图象的开口，对称轴，与轴的交点可得，判定①②；根据二次函数最值的计算方法判定③；根据二次函数图象的对称轴可判定④；将变形得，则有，可判定⑤，由此即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口向上，与轴交于负半轴， ∴， ∵对称轴直线为， ∴， ∴， ∴，故①正确，不符合题意； 根据图示可得，当时，， ∴，即，故②错误，符合题意； ∵二次函数图象开口向上，对称轴直线为， ∴当时，二次函数有最小值，最小值为， ∴实数（）时，，故③错误，符合题意； 由二次函数图示可得，时，二次函数， ∵对称轴直线为， ∴当时的函数值与时的函数值相等， ∴不等式 的解集是 ，故④正确，不符合题意； 若，且， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴，故⑤正确，不符合题意； 综上所述，错误的有②③，共2个， 故选：B ． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 13．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14．如图，已知四边形的对角线、互相垂直且互相平分，，则四边形的周长为 ． 【答案】24 【分析】根据四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直且互相平分，可得四边形ABCD是菱形，根据四边相等可求． 【详解】解：∵四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直且互相平分， ∴四边形ABCD是菱形， 则四边形ABCD的周长为4AB＝4×6＝24． 故答案为：24． 【点睛】此题考查了菱形的判定与性质．注意证得四边形ABCD是菱形是解此题的关键． 15．明代的程大位创作了《算法统宗》，它是一本通俗实用的数学书，将枯燥的数学问题化成了美妙的诗歌，读来朗朗上口，是将数字入诗的代表作．其中有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇．醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮下19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为 ． 【答案】． 【分析】根据题意“好酒数量＋薄酒数量＝19和喝好酒醉倒人数＋喝薄酒醉倒人数＝33”可列方程组． 【详解】解：设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意， 可列方程组为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系． 16．如图，四边形中，，，，，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】将线段绕点逆时针旋转，得到线段，作中点，延长到点，使得，延长到点，使得，由，是等腰直角三角形，得到∠DAC=∠BAG=45°，，进而得到 ，， 结合，得到四边形是正方形，，由，，，得到，设，则，，，在中，根据勾股定理得到，当时，取得最小值，取得最小值，取得最小值， 本题考查了，等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形性质与判定，正方形的性质与判定，的最值，勾股定理，解题的关键是：连接辅助线，将转化． 【详解】解：将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，作中点，延长到点，使得，延长到点，使得，连接、、、， ∵，，线段绕点逆时针旋转，得到线段， ∴，是等腰直角三角形， ∴∠DAC=∠BAG=45°，， ∴ ， ∴，即：， ∵是中点，， ∴∠ABE=∠ABG=×90°=45°，，， 又∵， ∴∠CBE=∠CBF=∠EBH=∠90°， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，，， ∴，即：， 设，则，，， ∴， 在中，， 当时，取得最小值，取得最小值， 此时取得最小值，， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个小题，共98分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题10分）解决下面问题： (1)在，，，中任选3个代数式求和； (2)化简：． 【答案】(1)答案不唯一，详见解析 (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算和分式的混合运算； （1）根据零次幂、二次根式的性质、化简绝对值和特殊角的三角函数值计算即可； （2）先将括号里的异分母分式加减化为同分母分式加减，再进行分式的乘除法运算． 【详解】（1）解：答案不唯一，若选择①②③，则 ． 选择①②④，则 ． 选择①③④，则 ． 选择②③④， ． （2）原式 ． 18．（本题10分）随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷，为了了解社区居民每天的沟通方式，居委会在小区内随机选取50位成年人进行统计（每人选择一种最常用的沟通方式），得出相关统计表和条形统计图（不完整）． 沟通方式 电话 微信 短信 人数人 m 30 n 5 请根据图表所提供的信息，解答下列问题： (1)统计表中的______，______，并补全条形统计图； (2)若该小区有位成年居民，请据此估计该小区最常用电话和微信沟通的人数； (3)张大妈和李大爷恰好都是随机选取的最常用电话沟通中的两个人，现从最常用电话沟通的几个人中随机选择2位进行采访，求张大妈和李大爷同时被选中的概率． 【答案】(1)5，10，图见解析 (2)人 (3) 【分析】此题考查树状图或列表法求概率、样本估计总体、求条形统计图的相关数据和补全条形统计图． （1）利用条形统计图的数据和调查总人数即可求出m和n的值，据此补全条形统计图即可； （2）用小区总人数乘以抽取人数中最常用电话和微信沟通的人数的占比即可； （3）列表法列出所有等可能情况数，用符合要求的情况数除以总的情况数即可． 【详解】（1）解：由条形统计图可得，， ， 故答案为：5，10； 补全条形统计图如图所示： （2）（人） ∴估计该小区最常用电话和微信沟通的人数约3500人． （3）将最常用电话沟通的另外三个人分别记为A，B，C，列表如下： A B C 张大妈 李大爷 A （张大妈） （李大爷） B （张大妈） （B，李大爷） C （C，张大妈） （C，李大爷） 张大妈 （张大妈，A） （张大妈，B） （张大妈，C） （张大妈，李大爷） 李大爷 （李大爷，A） （李大爷，B） （李大爷，C） （李大爷，张大妈） 共有20种等可能的结果，其中张大妈和李大爷同时被选中的结果有：（张大妈，李大爷），（李大爷，张大妈），共2种，故张大妈和李大爷同时被选中的概率为． 19．（本题10分）“江作青罗带，山如碧玉簪”是唐朝诗人韩愈的诗句，美好的自然环境堪比金银，绿水青山就是金山银山．植树节这天，某校动员学生参与植树活动，已知八（1）班共有45名学生，男生每人植树5棵，女生每人植树3棵，八（1）班共植树185棵． (1)八（1）班男生、女生各有多少人？ (2)学校计划购买甲、乙两种树苗共4000棵，甲种树苗的价格为每棵6元，乙种树苗的价格为每棵3元，若购买树苗的经费不超过16000元，则最多可以购买多少棵甲种树苗？ 【答案】(1)八（1）班有男生25人，女生20人 (2)最多可以购买1333棵甲种树苗 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设八（1）班有女生x人、男生y人，结合已知八（1）班共有45名学生，男生每人植树5棵，女生每人植树3棵，八（1）班共植树185棵，列式，再解方程，即可作答． （2）设购买m棵甲种树苗，则购买乙种树苗棵，因为学校计划购买甲、乙两种树苗共4000棵，甲种树苗的价格为每棵6元，乙种树苗的价格为每棵3元，购买树苗的经费不超过16000元，所以列式，解不等式，即可作答． 【详解】（1）解：设八（1）班有女生x人、男生y人， 依题意得 解得 ∴八（1）班有男生25人，女生20人 （2）解：设购买m棵甲种树苗，则购买乙种树苗棵， 依题意得， 解得 ∵m为正整数， ∴m的最大值为1333， ∴最多可以购买1333棵甲种树苗． 20．（本题10分）如图，在四边形中，，点E在边上， ．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求线段的长． 【答案】(1)①或②，证明见解析； (2)6 【分析】题目主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题关键． （1）选择①或②，利用平行四边形的判定证明即可； （2）根据平行四边形的性质得出，再由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：选择①， 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； 选择②， 证明：∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：由（1）得， ∵，， ∴． 21．（本题10分）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点为原点，，，反比例函数上的图象经过的中点，交于点． (1)求反比例函数和直线的解析式； (2)若点为反比例函数图象上一个动点，点为轴上一个动点，是否存在以，，，为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在， 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求反比例函数的关系式，掌握反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求反比例函数的关系式的方法是解决问题的前提． （1）利用矩形的性质求得，得到，再利用待定系数法可求得反比例函数的解析式；再求得点Q的坐标，利用待定系数法可求得直线的解析式； （2）分两种情况讨论，①当点与点N对应时，②当点与点N对应时，利用平移的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形的顶点O为原点，，， ∴， ∵点P是的中点， ∴， ∵反比例函数上的图象经过的中点P， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点Q在上， ∴点Q的横坐标为4，当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得，， ∴直线的解析式为； （2）解：存在以P，Q，M，N为顶点的四边形是以为边的平行四边形， 分两种情况讨论，当时， ①当点与点N对应时，即纵坐标向下平移了5个单位， ∴点也向下平移5个单位得到点M，此时点M的纵坐标为， 当时，，解得， ∴点； ②当点与点N对应时，即纵坐标向下平移了个单位， ∴点也向下平移个单位得到点M，此时点M的纵坐标为， 当时，，解得， 点，但与点Q重合，舍去； 综上，点M的坐标为． 22．（本题10分）正定县某学校在综合与实践活动中，要用测角仪测量复兴大街上的滹沱河大桥主塔的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角为，测得桥塔底部的俯角为，又在处测得桥塔顶部的仰角为． (1)求线段的长（结果取一位小数）； (2)求桥塔的高度（结果取一位小数）．（参考数据：．） 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合是解题的关键． （1）设，在中，．在中，．则．解方程即可； （2）求出，根据即可得到答案． 【详解】（1）解：设 ， 在 中， ， ， 在 中， ， ， 即 ， ∴ ， 答： 线段 的长约为 ； （2）解：在 中 ， ， ， ， 答： 桥塔 的高度约为 ． 23．（本题12分）如图，是的直径，是的一条弦，直线为的切线，，交的延长线于点E (1)求证：； (2)连接，延长交于点F，延长交于点G．当F为的中点时，求证：； (3)若的半径为6，在（2）的条件下，求图中阴影部分面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，根据圆周角定理可得，再由等腰三角形的性质及角的转换即可得证； （2）由垂径定理和等边三角形的性质即可得证； （3）通过证明得到是等边三角形，再根据进行计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接，如图1，    图1 ∵直线为的切线， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图2，连接并延长交于，    图2 ∵， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 由（1），， ∴， ∴； （3）解：如图3，    图3 由（1）， 由（2）， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴是等边三角形， ∴，， ． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、扇形面积的计算，熟练掌握圆的切线的性质、圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质，添加适当的辅助线是解题的关键． 24．（本题12分）高楼火灾越来越受到重视，某区消防中队开展消防技能比赛，如图，在一废弃高楼距地面的点A和其正上方点B处各设置了一个火源．消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分（水流出口与地面的距离忽略不计），第一次灭火时，站在水平地面上的点C处，水流恰好到达点A处，且水流的最大高度为．待A处火熄灭后，消防员退到点D处，调整水枪进行第二次灭火，使水流恰好到达点B处，已知点D到高楼的水平距离为，假设两次灭火时水流的最高点到高楼的水平距离均为．建立如图所示的平面直角坐标系． 水流的高度与到高楼的水平距离之间的函数关系式为． (1)求消防员第一次灭火时，水流所在抛物线的解析式； (2)若两次灭火时，水流所在抛物线的形状相同，求A、B之间的距离； (3)若消防员站在到高楼水平距离为的地方，想要扑灭距地面高度范围内的火苗，当水流最高点到高楼的水平距离始终为时，直接写出a的取值范围． 【答案】(1) (2)之间的距离为 (3) 【分析】（1）根据题意，设顶点式，利用待定系数法将代入即可得到答案； （2）根据题意，设第二次灭火时水流所在抛物线的解析式为，利用待定系数法求出表达式，令，则，根据，，即可得到答案； （3）根据题意，由待定系数法得到灭火过程中与始终满足，由要扑灭距地面高度范围内的火苗，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知第一次灭火时水流最高点的坐标为， 设水流所在抛物线的解析式为， 点在抛物线上， ，解得， ， 消防员第一次灭火时水流所在抛物线解析式为； （2）解：两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，且水流的最高点到高楼的水平距离均为3米， 可设第二次灭火时水流所在抛物线的解析式为， 由题意可知该抛物线过点， ， 解得， ， 令，则， ， ， ， 即之间的距离为； （3）解：由题意可知灭火过程中与始终满足， 将代入后可得， ， ， 当抛物线过点时，，解得； 当抛物线过点时，，解得； ． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法求函数表达式，熟练掌握二次函数的图像与性质是解决问题的关键． 25．（本题14分）如图①，已知正方形和等腰直角，，连接，． (1)【问题发现】 如图①，线段与的数量关系为______，位置关系为______； (2)【问题探究】 如图②，将绕点A旋转，再将绕点F顺时针方向旋转至，连接，探究线段与线段的数量及位置关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 将绕点A旋转至，延长交直线于、交于，若，，求出的长． 【答案】(1)，； (2)，，理由见解析； (3)3或15． 【分析】（1）延长交于点，证明，，，，进而即可作答； （2）延长交于，交于，推出是等腰直角三角形，，，，，，则，推出四边形为平行四边形，即可作答； （3）分两种情况讨论，分别作答即可． 【详解】（1）解：延长交于点， 为等腰直角三角形，四边形为正方形， ，，， ， ，， ， ， ， ， 即， 故答案为：，； （2）解：，，理由如下： 如图，延长交于，交于， 四边形是正方形， ，， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， 四边形为平行四边形， ，； （3）解：分两种情况，情况一：如图， ，， ， 由（1）得， 四边形为正方形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ； 情况二：如图， 同理得，， ， 综上所述：的长为3或15． 【点睛】本题是正方形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，解题的关键是分类讨论画出相应的图形解决问题． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第一次模拟考试（贵州卷） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C D D C D A D A 题号 11 12 答案 C B 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13． 14．24 15．． 16． 三、解答题（本大题共9个小题，共98分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题10分）【详解】（1）解：答案不唯一，若选择①②③，则 （1分） （4分） ．（5分） 选择①②④，则 （1分） （4分） ．（5分） 选择①③④，则 （1分） （4分） ．（5分） 选择②③④， （1分） （4分） ．（5分） （2）原式（2分） （4分） ．（5分） 18．（本题10分）【详解】（1）解：由条形统计图可得，， ， 故答案为：5，10；（4分） 补全条形统计图如图所示：（5分） （2）（人） ∴估计该小区最常用电话和微信沟通的人数约3500人．（6分） （3）将最常用电话沟通的另外三个人分别记为A，B，C，列表如下： A B C 张大妈 李大爷 A （张大妈） （李大爷） B （张大妈） （B，李大爷） C （C，张大妈） （C，李大爷） 张大妈 （张大妈，A） （张大妈，B） （张大妈，C） （张大妈，李大爷） 李大爷 （李大爷，A） （李大爷，B） （李大爷，C） （李大爷，张大妈） 共有20种等可能的结果，其中张大妈和李大爷同时被选中的结果有：（张大妈，李大爷），（李大爷，张大妈），共2种，故张大妈和李大爷同时被选中的概率为．（10分） 19．（本题10分）【详解】（1）解：设八（1）班有女生x人、男生y人， （1分） 依题意得（3分） 解得 ∴八（1）班有男生25人，女生20人（5分） （2）解：设购买m棵甲种树苗，则购买乙种树苗棵，（6分） 依题意得， （8分） 解得 ∵m为正整数， ∴m的最大值为1333， ∴最多可以购买1333棵甲种树苗．（10分） 20．（本题10分）【详解】（1）解：选择①， 证明：∵， ∴，（2分） ∵， ∴四边形为平行四边形；（4分） 选择②， 证明：∵，， ∴， （2分） ∵， ∴四边形为平行四边形；（4分） （2）解：由（1）得，（5分） ∵，， ∴．（10分） 21．（本题10分）【详解】（1）解：∵矩形的顶点O为原点，，， ∴，（1分） ∵点P是的中点， ∴，（2分） ∵反比例函数上的图象经过的中点P， ∴， ∴反比例函数的解析式为，（3分） ∵点Q在上， ∴点Q的横坐标为4，当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得，， ∴直线的解析式为；（5分） （2）解：存在以P，Q，M，N为顶点的四边形是以为边的平行四边形， 分两种情况讨论，当时， ①当点与点N对应时，即纵坐标向下平移了5个单位， ∴点也向下平移5个单位得到点M，此时点M的纵坐标为， 当时，，解得， ∴点；（7分） ②当点与点N对应时，即纵坐标向下平移了个单位， ∴点也向下平移个单位得到点M，此时点M的纵坐标为， 当时，，解得， 点，但与点Q重合，舍去；（9分） 综上，点M的坐标为．（10分） 22．（本题10分）【详解】（1）解：设 ， 在 中， ， ，（2分） 在 中， ， ， 即 ， ∴ ，（4分） 答： 线段 的长约为 ；（5分） （2）解：在 中 ， ， ，（8分） ， 答： 桥塔 的高度约为 ．（10分） 23．（本题12分）【详解】（1）证明：连接，如图1，（1分）    图1 ∵直线为的切线， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴，，（5分） ∵， ∴， ∴，（3分） ∵， ∴；（4分） （2）证明：如图2，连接并延长交于，    图2 ∵， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴垂直平分，（6分） ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 由（1），， ∴， ∴；（8分） （3）解：如图3，    图3 由（1）， 由（2）， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，（10分） ∵， ∴四边形是菱形， ∴是等边三角形， ∴，， ．（12分） 24．（本题12分）【详解】（1）解：由题意可知第一次灭火时水流最高点的坐标为， 设水流所在抛物线的解析式为，（1分） 点在抛物线上， ，解得， ， 消防员第一次灭火时水流所在抛物线解析式为；（4分） （2）解：两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，且水流的最高点到高楼的水平距离均为3米， 可设第二次灭火时水流所在抛物线的解析式为， 由题意可知该抛物线过点， ， 解得， ，（6分） 令，则， ， ， ， 即之间的距离为；（8分） （3）解：由题意可知灭火过程中与始终满足， 将代入后可得， ， ，（10分） 当抛物线过点时，，解得； 当抛物线过点时，，解得； ．（12分） 25．（本题14分）【详解】（1）解：延长交于点， 为等腰直角三角形，四边形为正方形， ，，， ， ，，（2分） ， ， ， ， 即， 故答案为：，；（4分） （2）解：，，理由如下： 如图，延长交于，交于， 四边形是正方形， ，， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， ， ，（7分） ，， ，， ， 四边形为平行四边形， ，；（9分） （3）解：分两种情况，情况一：如图， ，， ， 由（1）得， 四边形为正方形， ，，（10分） ， ， ， ， ， ，， ， ；（12分） 情况二：如图， 同理得，， ， 综上所述：的长为3或15．（14分） 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11 2025年中考第一次模拟考试（贵州卷） 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、选择题（每小题3分，共36分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题（每小题4分，共16分） 13．_________________ 14．___________________ 15．__________________ 16．__________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共9个小题，共98分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分） 18. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. （10分） 20.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（10分） 22.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24. （12分） 23. （12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25. （14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$1 2025年中考第一次模拟考试（贵州卷） 数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 4分，共 16分） 13．_________________ 14．___________________ 15．__________________ 16．__________________ 一、选择题（每小题 3分，共 36分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 三、（本大题共 9个小题，共 98分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分） 18. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. （10分） 20.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（10分） 22.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24. （12分） 23. （12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25. （14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！