精品解析：江苏省常州市2024-2025学年高二上学期期末质量调研数学试题

常州市2024—2025学年第一学期高二期末质量调研 数学 2025年1月 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求出、的值，即可求出该双曲线的离心率的值. 【详解】将双曲线方程化为标准方程可得， 则，，所以， 因此该双曲线的离心率为. 故选：C. 2. 若的三个顶点为，则边上的高所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂直关系，以及点斜式直线方程，即可求解. 【详解】，所以边上的高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线的方程为，即. 故选：A 3. 某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、体育、艺术、通技各一节课的课表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同的排法种数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先排数学、体育，再排其余4节，利用乘法原理即可得到结果． 【详解】由题意，要求数学课排在上午，体育课排在下午，有种排法， 再排其余4节，有种排法， 根据乘法原理，共有种排法， 故选：B． 4. 设某厂去年的产值为1，从今年起，该厂计划每年的产值比上年增长，则从今年起到第十年，该厂这十年的总产值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的求和公式求和即可. 【详解】依题意，这十年的总产值为： . 故选：C 5. 点到直线的距离的最大值为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析得直线过定点，当与直线垂直时距离有最大值，利用两点间距离公式计算可得结果. 【详解】 由得， 由得，故直线过定点. 记点为点，当与直线垂直时，点到直线的距离有最大值， 最大值为. 故选：D. 6. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由组合数的性质计算可得结果. 【详解】由组合数性质得， . 故选：C. 7. 数列中，（），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】探索数列奇数项的特点，可求的值. 【详解】令，则. 令，则， 所以. 又，所以，所以. 故选：A 8. 已知是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆的右焦点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆性质可知，结合椭圆定义可知，代入结合对勾函数运算求解. 【详解】由椭圆方程可知：. 设椭圆的左焦点为，可知， 因为，可得， 则， 又因为在内单调递减，且， 可知在内的值域为，所以的取值范围是. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于回归分析与独立性检验的说法正确的有（ ） A. 回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 B. 相关变量的线性回归方程为，若样本点中心为，则 C. 在独立性检验中，随机变量的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越大 D. 以拟合一组数据时，经代换后的线性回归方程为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据回归直线的概念可得选项A错误；根据回归直线经过样本点中心可得选项B正确；根据独立性检验思想可得选项C正确；利用变形可得选项D正确. 【详解】A.回归直线可能不过散点图中的任何一点，选项A错误. B.根据回归直线经过样本点中心得，，解得，选项B正确. C.根据独立性检验思想，随机变量的观测值越小， “认为两个变量无关”这种判断正确的概率越大， 即“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越大，选项C正确. D.由得，， ∴，即， ∴，选项D正确. 故选：BCD. 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】令可得选项A正确；令可得选项B错误；分析二项展开式中系数的正负可得选项C正确；令可得选项D错误. 【详解】A.令得，，故，选项A正确. B.令得，，故，选项B错误. C.二项式展开式的通项为， ∴， 当为偶数时，，当为奇数时，， 令得，，选项C正确. D. 令得，， ∵，∴，选项D错误. 故选：AC. 11. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积.如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，，左、右顶点分别为，，，，设C的离心率为e，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 四边形的面积与的面积之比为 C. 四边形的内切圆方程为 D. 设条形阴影部分的面积为，灰色阴影部分的面积为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据椭圆的面积与菱形面积计算即可判断B；根据菱形内切圆的几何性质求得半径与圆心即可得圆的方程，从而判断C；根据椭圆面积及菱形面积关系，即可判断，的关系，从而可判断D. 【详解】由题可得，上、下顶点分别为， 左、右顶点分别为， 因为，，，所以， 若,则则，故选项A正确. 对于B，四边形的面积为， 椭圆的面积，则面积比为，故B不正确； 对于C，设四边形的内切圆半径为，则在中可得， 所以，则四边形的内切圆方程为，故C正确； 对于D，由题意有又，所以， 所以，而且， 故，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 经过两点的直线的倾斜角为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两点求直线的斜率，再由斜率求倾斜角. 详解】由题意：， 设直线的倾斜角为，则，且. 所以. 故答案为： 13. 已知等差数列的公差d不为0，若，，成等比数列，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式表示，，，再由等比中项可得关于，的方程，进而求得的值 【详解】因为是公差不为零的等差数列，且，，成等比数列 所以，即，化简得，又因为 所以 故答案为：2 14. 动点是两直线与的交点，过作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最大值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据，转化，再根据三角形的面积公式，转化为 动点与定点距离的最值问题，再根据两直线的位置关系与定点，确定点的轨迹方程，即可求解. 【详解】圆的几何性质可知，， 四边形的面积为，， 所以 直线，过定点，直线过定点， 且两直线的系数满足，所以， 所以点的轨迹是以为直径的圆，圆心是，半径为， 所以的最大值为， 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是分析出两条直线所过定点，以及互相垂直，从而确定点P的轨迹. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前n项和为，. （1）求的通项公式； （2）若，求前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求解即可. （2）利用等差数列和等比数列的求和公式求解即可. 【小问1详解】 因为是等差数列，设其公差为， 由题知，解得， 所以的通项公式为. 【小问2详解】 由题知， 所以 16. 已知直线与圆相切.直线过点，且与C相交于两点. （1）求的方程； （2）若的面积为，求的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据直线与圆相切，转化为圆心到直线的距离等于半径，即可列式求解； （2）首先根据三角形的面积公式求，再根据圆心到直线的距离，即可求解直线方程. 【小问1详解】 由已知得圆， 所以，圆心，半径. 因为圆与直线相切， 知圆心到直线的距离，解得， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 由题， 又，得 所以圆心C到直线的距离为. 直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为，满足题意； 直线斜率存在时，设直线的方程为，即， 由圆心C到直线的距离为，解得， 所以直线的方程为，即. 综上，直线的方程为或. 17. 某款3A级别游戏自发布以来便受到了广泛关注，仅用了三天时间便在各大平台上卖出超过1000万份，这一速度令人惊讶.下表是该游戏发布以来在某一平台各月的销售量统计表. 月份编号 1 2 3 4 5 销售量（百万份） 8 6.3 51 3.2 2.4 （1）依据表中的统计数据，计算样本相关系数（结果保留两位小数），并判断月份编号与销售量之间是否具有较强的线性相关性； （2）预计该平台半年时间的销售量能否突破26百万份. 参考数据：； 参考公式：. 【答案】（1），具有较强的线性相关性 （2）不能 【解析】 【分析】（1）计算、、、、，代入可得答案. （2）用最小二乘法求月销售量与月份编号的一元线性回归方程，代入计算可得答案. 【小问1详解】 由题知，， ， ， ， 所以， 所以月份编号与销售量之间具有较强的线性相关性. 【小问2详解】 ，， 所以经验回归方程为. 当时，， 所以该平台半年时间的销售量不能突破26百万份. 18. 已知，，其中. （1）时，求的最大值； （2）时，记，求数列前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由展开式的通项以及求出，再通过不等式法解出系数最大项即可； （2）代入，通过赋值法令得到，进而得，再利用错位相减法即可求得 【小问1详解】 由题知， 所以. ， 由得 ，化简得，解得 因为，所以. 所以的最大值为. 【小问2详解】 时，， 令，得， ∴. 则， ， ∴ 所以. 19. 已知椭圆的离心率为，长轴长为，直线与轴，轴分别交于点（均不与坐标原点O重合），与椭圆相交于两点. （1）求的方程； （2）直线的斜率为时，求与的面积之比； （3）椭圆右顶点为，当时，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1） （2）1 （3）过定点， 【解析】 【分析】（1）根据条件，确定的值，得椭圆的标准方程. （2）设直线，得到点的坐标，再与椭圆方程联立，借助韦达定理，得到点坐标的关系，表示出与的面积，可求它们的比. （3）分斜率是否存在进行讨论.当直线斜率存在时，设直线，与椭圆方程联立，根据韦达定理，结合，可探索的关系，得到直线过定点. 【小问1详解】 由题知，，所以， 又离心率，得， 则有 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 如图： 设直线，所以， 联立直线与椭圆方程得 ，整理得，，得， 设，则，即， . 所以与的面积之比为1. 【小问3详解】 当直线斜率存在，设直线，联立直线与椭圆方程得 ，整理得，， 整理得，即， 所以或，均满足 当时，直线过点，不满足题意. 当时，直线过定点. 当直线斜率不存在时，直线的方程为，过点. 综上可知，直线过定点. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为由方向、有目的的一般性证明. （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点. （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 常州市2024—2025学年第一学期高二期末质量调研 数学 2025年1月 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2. 若的三个顶点为，则边上的高所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、体育、艺术、通技各一节课的课表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同的排法种数是（ ） A B. C. D. 4. 设某厂去年的产值为1，从今年起，该厂计划每年的产值比上年增长，则从今年起到第十年，该厂这十年的总产值为（ ） A. B. C. D. 5. 点到直线的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. （ ） A B. C. D. 7. 数列中，（），则（ ） A. B. C. D. 8. 已知是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆的右焦点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于回归分析与独立性检验的说法正确的有（ ） A. 回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 B. 相关变量的线性回归方程为，若样本点中心为，则 C. 在独立性检验中，随机变量的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越大 D. 以拟合一组数据时，经代换后的线性回归方程为，则 10. 若，则（ ） A. B C. D. 11. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积.如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，，左、右顶点分别为，，，，设C的离心率为e，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 四边形的面积与的面积之比为 C. 四边形的内切圆方程为 D. 设条形阴影部分的面积为，灰色阴影部分的面积为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 经过两点直线的倾斜角为_________. 13. 已知等差数列的公差d不为0，若，，成等比数列，则的值为______． 14. 动点是两直线与的交点，过作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最大值为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前n项和为，. （1）求的通项公式； （2）若，求前n项和. 16. 已知直线与圆相切.直线过点，且与C相交于两点. （1）求的方程； （2）若的面积为，求的方程. 17. 某款3A级别游戏自发布以来便受到了广泛关注，仅用了三天时间便在各大平台上卖出超过1000万份，这一速度令人惊讶.下表是该游戏发布以来在某一平台各月的销售量统计表. 月份编号 1 2 3 4 5 销售量（百万份） 8 6.3 5.1 3.2 2.4 （1）依据表中的统计数据，计算样本相关系数（结果保留两位小数），并判断月份编号与销售量之间是否具有较强的线性相关性； （2）预计该平台半年时间的销售量能否突破26百万份. 参考数据：； 参考公式：. 18. 已知，，其中. （1）时，求的最大值； （2）时，记，求数列前项和. 19. 已知椭圆的离心率为，长轴长为，直线与轴，轴分别交于点（均不与坐标原点O重合），与椭圆相交于两点. （1）求的方程； （2）直线斜率为时，求与的面积之比； （3）椭圆右顶点为，当时，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$