精品解析：江苏省常州市北郊高级中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷

2024-2025学年第一学期期末考试 高一数学试卷 （时间：120分钟 满分150分） 命题人：沈凯 审卷人：王桂春 2025年1月 一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式可得，再由交集、并集运算可得结果. 【详解】因为集合，， 所以，. 故选：A. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，则，即可以推导出，故充分性成立； 由推不出，如，，满足，但是，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 已知函数满足，则实数的值为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】代入即可求解. 【详解】， 故， 故选：B 4. 已知不等式的解集为，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由不等式的解结合韦达定理求得的值，进而利用对数的运算求解即可. 【详解】由题意可得，且，为方程的两根， 由韦达定理可得，解得， 故． 故选：D． 5. 已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则实数m的取值为（ ） A. 2 B. C. 0或 D. 0或2 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义及性质得解. 【详解】由题意可知，，解得或， 故选：C 6. 定义在上的奇函数满足：且，都有，，则满足不等式的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得在上单调递减，根据奇函数的性质得到在上单调递减，即可得到的取值情况，从而求出不等式的解集. 【详解】因为且，都有， 所以在上单调递减，又是定义在上的奇函数， 所以在上单调递减，又，所以， 所以当或时，，当或时，， 不等式，即或， 解得或， 所以满足不等式的实数的取值范围为. 故选：D 7. 如图是函数的部分图象，则函数的解析式可为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据周期可得或，对进行讨论，结合时，函数取最小值，求出，即可得函数表达式判断ABC；结合诱导公式即可判断D． 【详解】根据图象可得最小正周期为， 所以，故或， 由图可知当时，函数取最小值， 当时，可得，， 所以，，此时， 当时，可得，， 所以，，取可得，， 故函数的解析式可能为，B、C错； 由，D错误． 故选：A． 8. 若函数在区间上有且仅有5条对称轴，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦函数的性质求解出对称轴，再结合题意建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】令，解得， 若函数在区间上有且仅有5条对称轴， 则函数在上由小到大的第1条对称轴为， 第2条对称轴为，第3条对称轴为， 第4条对称轴为，第5条对称轴为， 第6条对称轴为，由题意知，， 解得，故D正确. 故选：D 二、多选题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9. 已知函数（，且）的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 的图象不经过第四象限 【答案】BD 【解析】 【分析】根据图象，结合指数函数的单调性，可得答案. 【详解】对于A，由图象可知函数单调递减，则，故A错误； 对于B，当时，，由图象可得，解得，故B正确； 对于C，，由是增函数，则，故C错误； 对于D，由，，则函数是增函数， 当时，，故D正确. 故选：BD. 10. 已知，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据基本不等式及其变形式逐项分析判断即可. 【详解】对于A：因为，， 所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B：因为，当且仅当时取等号，故B错误； 对于C：因为，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D：因为， 所以，当且仅当，即时取等号，故D正确； 故选：ACD. 11. 对于函数和，下列说法正确的是（ ） A. 与有相同的最小正周期 B. 与一定不存在相同的零点 C. 与的图象有相同的对称轴 D. 存在区间与均单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据余弦函数的周期公式，零点，对称轴方程，单调性逐一分析每个选项即可. 【详解】对于A，函数，又函数， 所以函数与有相同的最小正周期，故A正确； 对于B，对于函数的零点，可令，解得； 对于函数的零点，可令，解得， 由于，所以函数与一定不存在相同的零点，故B正确； 对于C，对于函数的对称轴，可令，解得； 对于函数的对称轴，可令，解得， 由于，所以函数与一定不存在相同的对称轴，故C错误； 对于D，对于函数的单调递增区间，可令，解得； 对于函数单调递增区间，可令，解得， 由于，可令，则区间为函数与的一个共同单调递增区间，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题(本题共3小题,每小题5分，共15分) 12. 若命题：“”为假命题，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】由条件可得，列不等式求取值范围. 【详解】因为“”为假命题， 所以“”为真命题， 即方程没有实数根， 所以，故， 所以的取值范围为. 故答案为：. 13. 如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分，已知，弧，弧，则此扇环形砖雕的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由条件，根据圆心角的弧度数与弧长和半径的关系列方程求，结合扇形面积公式求结论. 【详解】设圆心角为，则， 所以， 解得，所以，， 所以此扇环形砖雕的面积为 . 故答案为：. 14. 若将函数（ω＞0）的图像向右平移个单位长度后，与函数y＝的图像重合，则ω的最小值为________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据图像变换得到,解出ω的范围，即可求出ω的最小值. 【详解】将函数（ω＞0）的图像向右平移个单位长度后，得到的图象，由于与函数的图像重合， 所以（k∈Z），整理得：ω＝1﹣12k. 因为ω＞0，所以当k＝0时，ω的最小正值为1. 故答案为：1 四、解答题（本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 15. 已知函数． （1）求函数的最小正周期与单调递增区间； （2）求函数在区间上的值域． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦函数性质求出最小正周期及单调递增区间. （2）利用相位的范围，结合余弦函数的单调性求出最值即可. 【小问1详解】 函数的最小正周期； 由，，得， 所以函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 由，得，而在上单调递减，在上单调递增， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 于是，而，则， 所以函数在区间上的值域为. 16. 已知函数． （1）求函数的定义域，并判断是否具有奇偶性； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），为奇函数 （2） 【解析】 【分析】（1）利用对数函数的性质求解定义域，再判断其与原点对称，最后结合奇偶性的定义判断奇偶性即可. （2）利用函数的奇偶性和对数函数的单调性解不等式，求解参数范围即可. 【小问1详解】 由题意得，解得， 所以的定义域为，关于原点对称， 判断为奇函数，证明如下：， 都有，对于， 又所以为奇函数； 【小问2详解】 因为为奇函数，所以， 因为，所以，即， 即，故，解，得到或， 解，得， 综上，，即的取值范围是. 17. （1）已知是第三象限角，且是方程的一个实根，求的值； （2）已知，且，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到的值，将除以，分子分母同时除以，即可得到有关的式子，代入即可得到答案； （2）先根据完全平方公式得到的值，然后再利用完全平方公式得到的值，构造等式即可求得结果. 【详解】（1）由，得或， 是方程的一个实根，且是第三象限角，， （2）， ，则， ，所以， 故， . 18. 在平面直角坐标系xOy中，锐角的顶点是坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点.将角的终边按逆时针方向旋转得到角. （1）求； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据单位圆的定义，求，再根据三角函数的定义，以及诱导公式，即可求解； （2）根据（1）的结果，以及诱导公式，即可求解. 【小问1详解】 由条件可知，，且，则， 所以，， ； 【小问2详解】 ，， 原式. 19. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求的值，并用定义证明的单调性： （2）若时，不等式有解，求实数的取值范围． （3）若对任意的时，不等式恒成立，求正实数的取值范围． 【答案】（1），证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由奇函数的性质求得解析式，然后根据单调性的定义证明单调性； （2）利用奇偶性与单调性转化问题为在上有解，分离参数为，有解，再转化为求，的最大值； （3）问题转化为，再解一元二次不等式即可． 【小问1详解】 因为函数是定义在R上的奇函数，所以， 即，解得，所以， 即，则，符合题意， 令，则=， 因为所以，则，因为，所以， 所以在R上单调递增. 【小问2详解】 因为在定义域上单调递增，又是定义在R上的奇函数， 所以在有解， 等价于在上有解， 即在上有解，即，有解， 令，，因为在[2，3]上单调递减， 所以，所以. 【小问3详解】 若对任意的时，不等式恒成立， 则有恒成立， 因为在R上单调递增， 当时，，所以， 所以，所以恒成立， 当时，有，化简得，解得或， 综上得的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用单调性与奇偶性解不等式，如是奇函数且是增函数，不等式，先化为，由奇函数性质得，再由增函数性质化为，然后再求解．如果是偶函数，则不等式化为，然后由函数在上单调性变形可得，其它形式不等式类似变形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期期末考试 高一数学试卷 （时间：120分钟 满分150分） 命题人：沈凯 审卷人：王桂春 2025年1月 一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数满足，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知不等式的解集为，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 5. 已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则实数m的取值为（ ） A. 2 B. C. 0或 D. 0或2 6. 定义在上的奇函数满足：且，都有，，则满足不等式的实数的取值范围为（ ） A. B. C D. 7. 如图是函数的部分图象，则函数的解析式可为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在区间上有且仅有5条对称轴，则取值范围是（ ） A B. C. D. 二、多选题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9. 已知函数（，且）图象如图所示，则下列选项正确的是（ ） A B. C. D. 的图象不经过第四象限 10. 已知，且，则下列不等式恒成立是（ ） A. B. C. D. 11. 对于函数和，下列说法正确的是（ ） A. 与有相同的最小正周期 B. 与一定不存在相同的零点 C. 与的图象有相同的对称轴 D. 存在区间与均单调递增 三、填空题(本题共3小题,每小题5分，共15分) 12. 若命题：“”为假命题，则实数的取值范围为________． 13. 如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分，已知，弧，弧，则此扇环形砖雕的面积为______． 14. 若将函数（ω＞0）的图像向右平移个单位长度后，与函数y＝的图像重合，则ω的最小值为________. 四、解答题（本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 15. 已知函数． （1）求函数的最小正周期与单调递增区间； （2）求函数在区间上的值域． 16. 已知函数． （1）求函数的定义域，并判断是否具有奇偶性； （2）若，求实数的取值范围． 17. （1）已知是第三象限角，且是方程的一个实根，求的值； （2）已知，且，求的值. 18. 在平面直角坐标系xOy中，锐角的顶点是坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点.将角的终边按逆时针方向旋转得到角. （1）求； （2）求的值. 19. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求的值，并用定义证明的单调性： （2）若时，不等式有解，求实数的取值范围． （3）若对任意的时，不等式恒成立，求正实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$