精品解析：广东省广州市八区联考2024-2025学年高一上学期期末教学质量监测数学试卷

2024-2025学年第一学期期末教学质量监测 高一数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的学校､姓名､考生号､试室号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔将考生号填涂在答题卡相应位置上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4 化简等于（ ） A. B. C. 3 D. 1 5 已知，则（ ） A. B. C. D. ± 6. 已知，q：角x为第二象限角，则p是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时19%的速度减少，那么他至少经过（ ）小时才能驾驶？ （参考数据：） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8. 已知函数，设，，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 10. 已知函数则（ ） A B. 在上单调递增 C. 的解集是 D. 曲线的对称中心为 11. “二元函数”是指含有两个自变量的函数，通常表示为.已知关于实数的二元函数，则（ ） A. B. C. 则实数的取值范围是 D. ，则实数的取值范围是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 求值：__________；__________. 13. 若函数在上是增函数，则实数k的取值范围是__________. 14. 方程在上的实数解之和为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知角的终边过点. （1）求的值； （2）若角的终边按逆时针方向旋转得到角，求 16. 已知函数，且满足 （1）求的值； （2）求函数的零点； （3）解关于不等式. 17. 某地区上年度电价为0.8元/（），年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元/（）至0.7元/（）之间，而用户期望电价为0.4元/（）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价为0.3元/（）. （1）写出本年度电价下调后电力部门的收益（单价：元）关于实际电价（单位：元/（））的函数解析式；（收益=实际电量（实际电价-成本价）） （2）设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长？ 18. 已知函数的图象过点 （1）求的值，判断函数的单调性，并根据定义证明； （2）证明：的图象关于点对称； （3）任取，且，恒有成立，求实数m的取值范围. 19. 若一个集合含有个元素（，），且这个元素之和等于这个元素之积，则称该集合为元“完美集”. （1）写出一个2元“完美集”（无需写出求解过程）； （2）求证：对任意一个2元“完美集”，若其元素均为正数，则其元素之积大于4； （3）记为集合中元素的个数.若集合是元素均为正整数的“完美集”，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期末教学质量监测 高一数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的学校､姓名､考生号､试室号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔将考生号填涂在答题卡相应位置上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合交集运算求解即可. 【详解】因为集合， 所以. 故选：A. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据特称命题的否定即可得到答案. 【详解】根据特称命题的否定为全称命题知： 命题“”的否定为“”. 故选：B. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于ABC：举反例说明即可；对于D：利用作差法分析判断. 【详解】对于选项ABC：例如， 则，即，故A错误； 则，即，故B错误； 则，即，故C错误； 对于选项D：因为， 因为，则， 可得，所以，故D正确； 故选：D. 4. 化简等于（ ） A. B. C. 3 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】转化为两角差的正切公式，即可求解. 【详解】原式． 故选：B 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. ± 【答案】A 【解析】 【分析】应用二倍角公式变形后再转化为关于的二次齐次式，化为的式子，然后代入计算． 【详解】． 故选：A． 6. 已知，q：角x为第二象限角，则p是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由倍角公式可得，根据题意结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为， 若角x为第二象限角，则，可得， 所以，即必要性成立； 例如，则，满足， 但不为第二象限角，故充分性不成立； 综上所述：p是的必要不充分条件. 故选：B. 7. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时19%的速度减少，那么他至少经过（ ）小时才能驾驶？ （参考数据：） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】设经过个小时才能驾驶，则，再根据指数函数的性质及对数的运算计算可得. 【详解】设经过个小时才能驾驶，则，即， 而函数在定义域上单调递减， 则， 所以他至少经过9小时才能驾驶. 故选：C 8. 已知函数，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断为偶函数，得，再判断在区间上单调递增，根据正余弦函数的单调性可得，进而可得. 【详解】由题意的定义域为， ， 故为偶函数，故 当时，， 因，，故，故， 因单调递增，单调递增， 故在区间上单调递增， 因在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故，，故， 故，故， 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意可得.对于A：可得，即可得结果；对于B：分析可知为方程的根，即可得结果；对于C：，结合运算求解即可；对于D：举反例说明即可. 【详解】因为，两边平方整理可得， 且，则. 对于选项A：若，则，所以，故A正确； 对于选项B：若，则，， 可知为方程的根， 又因为的根为，所以，故B正确； 对于选项C：若，则， 可得， 且，，可知，所以，故C正确； 对于选项D：例如，则，故D错误； 故选：ABC. 10. 已知函数则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 的解集是 D. 曲线的对称中心为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：可得，结合正弦函数单调性分析判断；对于CD：以为整体，结合正弦函数性质分析求解即可. 【详解】对于选项A：因为， 所以，故A错误； 对于选项B：因为，则， 且在内单调递增， 所以在上单调递增，故B正确； 对于选项C：因为，即， 可得，解得， 所以的解集是，故C错误； 对于选项D：令，解得， 所以曲线的对称中心为，故D正确； 故选：BD. 11. “二元函数”是指含有两个自变量的函数，通常表示为.已知关于实数的二元函数，则（ ） A. B. C. 则实数的取值范围是 D. ，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：直接代入即可得结果；对于B：代入结合基本不等式分析判断；对于C：可得，结合判别式运算求解；对于D：可得，根据对勾函数性质分析求解即可. 【详解】因为. 对于选项A：因为， 所以，故A错误； 对于选项B：因为，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，故B正确； 由题意可得：， 对于选项C：因为，可得， 即， 则，解得， 所以实数的取值范围是，故C正确； 对于选项D：因为，且，可得， 即， 因为在内单调递增，则， 可得，解得， 所以实数的取值范围是，故D正确； 故选：BCD. 【点睛】思路点睛：对新定义的题型要注意一下几点： （1）读懂定义所给的主要信息筛选出重要的关键点； （2）利用好定义所给的表达式以及相关的条件； （3）含有参数是要注意分类讨论的思想. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 求值：__________；__________. 【答案】 ①. 2 ②. ##0.2 【解析】 【分析】利用指数、对数运算计算得解. 【详解】；. 故答案为：2； 13. 若函数在上是增函数，则实数k的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据为上的增函数列出关于实数的不等式组即可求解. 【详解】因为函数为上的增函数， 所以，解得， 所以实数的取值范围为， 故答案为： 14. 方程在上的实数解之和为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简并解方程即可求解. 【详解】由得， 即，解得或， 因为，所以或或或或， 所以方程在区间上的解集为. 它们的和为 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知角的终边过点. （1）求的值； （2）若角的终边按逆时针方向旋转得到角，求 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用三角函数定义求出三角函数值，再利用诱导公式及齐次式法计算得解. （2）利用三角函数定义求出角的正余弦，再利用和角的余弦公式计算即得. 【小问1详解】 由角的终边过点，得， 所以. 【小问2详解】 由角的终边过点，得， 所以. 16. 已知函数，且满足 （1）求值； （2）求函数的零点； （3）解关于的不等式. 【答案】（1） （2） （3）答案见详解 【解析】 【分析】（1）分析可知的对称轴为，结合二次函数对称性运算求解即可； （2）可知的零点为，进而可得函数的零点； （3）整理可得，分类讨论两根大小运算求解. 【小问1详解】 因为，可知对称轴为， 且的对称轴为，解得. 【小问2详解】 由（1）可知：， 令，解得或， 可知的零点为. 对于函数，令或，解得或， 所以函数的零点为. 【小问3详解】 因为，整理可得， 令，解得或， 若，不等式的解集为； 若，不等式的解集为； 若，不等式的解集为. 17. 某地区上年度电价为0.8元/（），年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元/（）至0.7元/（）之间，而用户期望电价为0.4元/（）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价为0.3元/（）. （1）写出本年度电价下调后电力部门的收益（单价：元）关于实际电价（单位：元/（））的函数解析式；（收益=实际电量（实际电价-成本价）） （2）设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长？ 【答案】（1）， （2）当电价最低定为元/（）时，可保证电力部门的收益比上年至少增长 【解析】 【分析】（1）设下调电价后新增用电量为，可得出，进而得出收益关于实际电价的函数解析式； （2）根据题意列不等式组，解一元二次不等式即可得出结论. 【小问1详解】 设下调电价后新增用电量为， 因为下调电价后新增用电量和实际电价与用户期望电价的差成反比（比例系数为）， 则，所以本年度的用电量为， 所以本年度电力部门的收益关于实际电价的函数解析式为：，. 【小问2详解】 依题意有：， 整理得：，解得：， 所以当电价最低定为元/（）时，可保证电力部门的收益比上年至少增长． 18. 已知函数的图象过点 （1）求的值，判断函数的单调性，并根据定义证明； （2）证明：的图象关于点对称； （3）任取，且，恒有成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）；在定义域内单调递增，证明见详解 （2）证明见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意直接代入求得，并根据单调性的定义分析证明的单调性； （2）根据题意可证，即可得对称中心； （3）根据单调性和对称性可得，结合恒成立问题可得，运算求解即可. 【小问1详解】 因为函数的图象过点， 则，解得， 所以. 可知在定义域内单调递增，证明如下： 任取，令， 则， 因为，则， 可得，即， 所以在定义域内单调递增. 【小问2详解】 因为定义域为， 且， 所以的图象关于点对称. 【小问3详解】 因为，即， 由（1）可知：在定义域内单调递增，则， 由（2）可知：，即， 可得，即， 又因为，可得， 即，解得， 所以实数m的取值范围. 19. 若一个集合含有个元素（，），且这个元素之和等于这个元素之积，则称该集合为元“完美集”. （1）写出一个2元“完美集”（无需写出求解过程）； （2）求证：对任意一个2元“完美集”，若其元素均为正数，则其元素之积大于4； （3）记为集合中元素的个数.若集合是元素均为正整数的“完美集”，求的最大值. 【答案】（1）（答案不唯一） （2）证明见详解 （3）3 【解析】 【分析】（1）根据“复活集”的定义写出一个2元“完美集”； （2）根据“复活集”的定义可得，利用基本不等式证得结论成立； （3）利用反证法可证，再举例说明成立，即可得结果. 【小问1详解】 设一个2元“完美集”为（），则， 例如，则， 所以一个2元“完美集”可为（答案不唯一）. 【小问2详解】 由上述分析可知，2元“完美集”（），则， 因为，则， 即，且，可得， 所以对任意一个2元“完美集”，若其元素均为正数，则其元素之积一定大于4. 【小问3详解】 设元“完美集”为，其中，不妨设， 则，可得， 假设，可知， 所以假设不成立，即， 又因为，所以存在元素均为正整数的元“完美集”， 所以的最大值为3. 【点睛】关键点点睛:在第（3）小问中的求解过程中，先必要性探路，利用反证法证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $