第1章 导数及其应用（复习课件）数学湘教版选择性必修第二册

章末复习 湘教版选择性必修第二册 第1章 导数及其应用 学习目标 目标 1 复习导数概念导数几何意义基本初等函数的导数及导数的四则运算和复合函数的求导 应用导数解决函数的单调性，极值和最值问题； 应用导数解决三次函数的单调性极值最值和图像问题； 应用导数解决最优化问题 重点 2 应用导数解决函数的单调性，极值和最值问题； 应用导数解决最优化问题; 难点 3 应用导数解决含参函数的单调性极值和最值问题 知识结构图 知识梳理 1.平均变化率的概念 一般情况下,函数， 反映了因变量随自变量变化的快慢和变化方向（增减）, 因此我们把 称为函数在区间[a,b]内的平均变化率. 2.瞬时变化率: 一般地，若函数的平均变化率 在d趋近于0时，有确定的极限值，则称这个值为该函数在x=u处的瞬时变化率. 知识梳理 3.导数： 设函数 在包含 的某个区间上有定义，在d趋近于0时,如果比值 趋近于一个确定的极限值,则称此极限值为函数 在 处的导数或微商，记作 . 知识梳理 4.导函数：若函数在定义区间中任一点的导数都存在，则也是的函数,我们把叫作的导函数或一阶导数 或 或 若在定义区间中任一点处都可导 则它的导函数叫作的二阶导数,记作 类似的,可以定义函数的三阶导数,记作 知识梳理 5.导数的几何意义 函数 y=f(x) 在点x0处的导数f‘(x0)的几何意义是： 即： 故曲线 y=f(x) 在点P(x0，f(x0))处的切线方程为： 新课讲授 知识梳理 是曲线 y=f(x) 在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率. 6. 一些基本初等函数的导数 知识梳理 两函数之和的求导法则： 两函数之差的求导法则： 两函数乘积的求导法则： 函数常数倍的求导法则： 知识梳理 7.函数的和差积商求导法则 两函数之商的求导法则： 10 8.复合函数的概念和复合函数的求导法则 一般地，设y=f (u)是关于u的函数，u=g(x)是关于x的函数，则y=f (g(x))是关于x的函数，称为函数y=f (u)和u=g(x)的复合函数． 复合函数的求导法则： 知识梳理 11 若在区间(a，b)内， f ′ (x) > 0，则函数 f (x) 在此区间内单调递增，(a，b)为 f (x) 的单调递增区间； 若在区间(a，b)内， f ′ (x) < 0，则函数 f (x) 在此区间内单调递减，(a，b)为 f (x) 的单调递减区间． 9.函数的导数与函数的单调性的关系： 知识梳理 设函数 y = f (x)在区间(a，b)内有定义，x0是区间(a，b)内的一个点， (1)若点x0附近的函数值都小于或等于 f (x0)（即 f (x)≤ f (x0)），就说 f (x0)是函数 y = f (x)的一个极大值，此时x0称为 f (x)的一个极大值点． (2)若点x0 附近的函数值都大于或等于 f (x0)（即 f (x) ≥ f (x0)），就说 f (x0)是函数 y = f (x)的一个极小值，此时x0称为 f (x)的一个极小值点． 知识梳理 10.函数极值的定义 极大值、极小值统称为极值 极大值点、极小值点统称为极值点 （1）求导数 f ′ (x)． （2）求f (x)的驻点，即求方程f ′ (x)=0的解． （3）对于方程f ′ (x)=0的每一个解x0，分析f ′ (x)在x0左右两侧的符号（即 讨论f (x)的单调性），确定极值点： ①若f (x)在x0两侧的符号为“左正右负”，则x0为极大值点； ②若f (x)在x0两侧的符号为“左负右正”，则x0为极小值点． （4）求出各极值点的函数值，就得到函数 y = f (x)的全部极值． 11.求可导函数极值的一般步骤： 温故知新 14 12.三次函数的单调性与极值： 设F(x)=ax3＋bx2＋cx＋d (a≠0)，则F′ (x)=3ax2＋2bx＋c是二次函数． F′ (x)的判别式为∆． ∆ F′ (x)图像 F(x)的图像 F(x)的单调性 F(x)的极值 a>0 ∆≤0 在(－∞，＋∞)上递增 无极值 ∆>0 在(－∞，u)上递增，在(u，v)上递减， 在(v，＋∞)上递增 极大值F (u) 极小值F (v) 知识梳理 ∆ F′ (x)的图像 F(x)的图像 F(x)的单调性 F(x)的极值 a<0 ∆≤0 在(－∞，＋∞)上递减 无极值 ∆>0 在(－∞，u)上递减，在(u，v)上递增， 在(v，＋∞)上递减 极大值F (v) 极小值F (u) 三次函数的单调性与极值： 设F(x)=ax3＋bx2＋cx＋d (a≠0)，则F′ (x)=3ax2＋2bx＋c是二次函数． F′ (x)的判别式为∆． 知识梳理 13.求函数y = f (x)在闭区间[a，b]上最值的一般步骤： （1）求 f′ (x)； （2）求方程 f′ (x)= 0的解x1，x2，……（不在定义域内的要舍去）； （3）求f (x1)，f (x2)，……及f (a)，f (b)； （4）比较上述函数值的大小，最大的为最大值，最小的为最小值． 知识梳理 14.利用导数解决最优化问题的方法步骤 知识梳理 解： 题型一 导数的概念 典例分析 利用导数定义求函数导数的方法步骤为： 感悟提升 解析：由导数定义知f'（1）＝， 所以＝4×1－3＝1. 练习2 若，求 解析 由题意可知， 巩固练习 典例分析 题型二、导数的计算 感悟提升 求导数的方法 1.求导之前，要首先对函数解析式进行化简，然后准把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. 2. 熟练运用函数的求导法则求导； 3.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 解　(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x. 巩固练习 题型三 导数的几何意义及应用 例3 求曲线y＝在点（－1，－3）处的切线方程；  解：y'＝'＝＝， ∴y'︱x＝－1＝＝5， ∴切线方程为y＋3＝5（x＋1），即y＝5x＋2. 典例分析 例4 求过点且与曲线相切的直线的倾斜角 解：，设切点为，切线的倾斜角为， 则且，故， 故，故， 典例分析 利用导数的几何意义解决切线问题 （1）若已知点是切点，则该处的导数就是该点处切线的斜率， （2）若已知点不是切点，则应先设出切点，再利用斜率公式和导数的几何意义求解。 注意：“在”点和“过”点的切线的区别 “在”点处的切线问题，该点是切点 “过”点处的切线问题，该点不一定是切点 感悟提升 练习 已知曲线，求在点处的切线方程 变式：已知曲线，求过处的切线方程 巩固练习 典例分析 题型三 利用导数研究函数的单调性 角度1 不含参函数的单调性 g(x)在(0，＋∞)上单调递减，且g(1)＝0， ∴当x∈(0，1)时，g(x)＞0， 当x∈(1，＋∞)时，g(x)＜0， ∴f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减. 练习 函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 解：函数定义域是， 由已知，由得， ∴减区间为， 故选：A． 巩固练习 典例分析 角度2 含参函数的单调性 讨论函数f（x）单调性的方法步骤 （1）确定函数f（x）的定义域； （2）求导数f'（x），并求方程f'（x）＝0的根； （3）利用f'（x）＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f'（x）的正负，由符号确定f（x）在该区间上的单调性. 感悟提升 练习 已知函数，．讨论函数的单调性． 解：因为，，所以． ①当时，令，得，∴在上单调递减；令，得，∴在上单调递增． ②当时，令，得．∴在上单调递减； 令，得或．∴在和上单调递增． ③当时，在时恒成立，∴在R单调递增． ④当时，令，得．∴在上单调递减； 令，得或．∴在和上单调递增． 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增； 当时，在R上单调递减； 当时，在上单调递减，在和上单调递增． 巩固练习 题型四 已知函数单调性求参数 例6已知函数f（x）＝ln x－ax2－2x（a≠0）,若函数f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围； 解 f（x）＝ln x－ax2－2x，x∈（0，＋∞）， 所以f'（x）＝－ax－2， 由于f（x）在（0，＋∞）上存在单调递减区间， 所以当x∈（0，＋∞）时，－ax－2＜0有解. 即a＞－有解，设G（x）＝－， 所以只要a＞G（x）min即可.而G（x）＝－1， 所以G（x）min＝－1.所以a＞－1. 即a的取值范围是（－1，＋∞）. 典例分析 感悟提升 已知函数单调性求参数范围的步骤 （1）对含参数的函数f（x）求导，得到f'（x）； （2）若函数f（x）在[a，b]上单调递增，则f'（x）≥0恒成立；若函数f（x）在[a，b]上单调递减，则f'（x）≤0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围； （3）验证参数范围中取等号时，是否恒有f'（x）＝0.若f'（x）＝0恒成立，则函数f（x）在（a，b）上为常数函数，舍去此参数值. 练习 若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解析 函数的定义域为 ，且其导数为． 由存在单调递减区间知在 上有解，即有解． 因为函数的定义域为 ，所以． 要使<0有解，只需要的最小值小于， 所以，即， 所以实数的取值范围是 ． 故选：B． 巩固练习 题型五 求函数的极值或者极值点 解 由f（x）＝ln x－x，函数的定义域为（0，＋∞）， 且f'（x）＝－＝，令f'（x）＝0，得x＝2， 于是当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表： x （0，2） 2 （2，＋∞） f'（x） ＋ 0 － f（x） ↗ ln 2－1 ↘ 故f（x）在定义域上的极大值为f（2）＝ln 2－1，无极小值. 例7已知函数f（x）＝ln x－ x（a∈R）. 求f（x）的极值； 典例分析 利用导数求函数极值（极值点）的一般流程 1.求函数定义域 2.对函数求导 3.令导数等于0 4.验证导数左右的符号 5.得极值 感悟提升 巩固练习 巩固练习 题型六 函数的最值问题 例8已知函数f（x）＝，若f（x）在x＝－1处取得极值，求f（x）的最大值与最小值. 解　因为f（x）＝， 所以f'（x）＝＝， 由题意可得f'（－1）＝＝0，解得a＝3， 故f（x）＝，f'（x）＝， 典例分析 x （－∞，－1） －1 （－1，3） 3 （3，＋∞） f'（x） ＋ 0 － 0 ＋ f（x） 增 极大值 减 极小值 增 所以函数f（x）的单调递增区间为（－∞，－1），（3，＋∞），单调递减区间为（－1，3）. 当x＜1时，f（x）＞0；当x＞1时，f（x）＜0，所以f（x）max＝f（－1）＝，f（x）min＝f（3）＝－. 则列表如下： 典例分析 利用导数求给定区间上的最值的步骤 （1）求函数f（x）的导数f'（x）； （2）利用f'（x）＝0求f（x）在给定区间上所有可能极值点的函数值； （3）求f（x）在给定区间上的端点值； （4）将f（x）的各极值与f（x）的端点值进行比较，确定f（x）的最大值与最小值. 感悟提升 练习 若函数在上有最小值，则实数的取值范围是 ． 解 ，，取得到， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增； ，取， 则或， 函数在上有最小值， 则， 解得，即． 巩固练习 题型七 导数的实际应用 例9 某种圆柱形金属饮料罐的容积一定，如何确定它的高与底半径，才能使它的用料最省？ 典例分析 利用导数解决实际生活中的应用问题的一般步骤 (1) 认真审题，分析实际问题中各量之间的关系； (2) 根据题意合理设出自变量x，注意x的范围； (3) 根据实际问题的实际模型，列出实际问题中变量 之间的函数关系y＝f(x)； (4) 利用导数求出函数y＝f(x)的最值，给出数学问题 的解； (5) 把数学问题的解转化为实际问题的解，给出实际 的答案。 感悟提升 ⁠ 练习.已知某圆柱的表面积为6π，当该圆柱的体积最大时，求底面半径 解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的表面积为2πr2＋2πrh＝6π，所以r2＋rh＝3，可得h＝，所以圆柱体积为V＝πr2h＝πr2·＝πr（3－r2）＝3πr－πr3（r＞0），因此V'＝3π－3πr2 ＝3π（1－r2），当0＜r＜1时，V'＞0；当r＞1时，V'＜0，所以当r＝1时，V取得最大值，即当圆柱的底面半径为1时，圆柱的体积最大. 巩固练习 湘教版选择性必修第二册 感谢聆听 (5)y′＝·()′＝. (4)∵y＝xcos＝xsin(2x), ∴y′＝sin 2x+x·2cos 2x＝sin 2x+2xcos 2x. 练习：求下列函数的导数： (1)y＝x2sin x；（2） (3)y＝；(4)y＝xcos. (3)y′＝′＝＝－. 解：　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝， 令g(x)＝－ln x－1(x＞0)，g′(x)＝－－＜0， 例4 若函数f(x)＝，求函数f(x)的单调区间 则f′(x)＝2＋－＝＝. (1)当＝1时，a＝2时，对任意的x>0，f′(x)≥0，此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数无极值； (2)当0<<1时，即0<a<2时，由f′(x)>0，得0<x<或x>1，由f′(x)<0，得<x<1， 函数f(x)的单调递增区间为，(1，＋∞)，单调递减区间为， 所以函数的极大值为,极小值为 练习已知函数f(x)＝2x－－(a＋2)ln x(a>0)，求函数f(x)的极值 解　∵f(x)＝2x－－(a＋2)ln x，x>0， 函数f(x)的单调递增区间为(0，1)，，单调递减区间为. 所以函数的极大值为，极小值为 综上 当0<a<2时，函数f(x)的极大值为,极小值为 当a＝2时，函数f(x)在 (0，＋∞)上单调递增，无极值； 当a>2时，函数f(x)的极大值为，极小值为 (3)当>1，即a>2时，由f′(x)>0，得0<x<1或x>，由f′(x)<0，得1<x<， $$