精品解析：江苏省徐州市2024-2025学年高一上学期期末抽测数学试题

2024～2025学年度第一学期期末抽测 高一年级数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 3. 若幂函数的图象经过点，则（ ） A. B. C. 2 D. 4. 将函数图象上每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，所得到的图象的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，摩天轮的半径为，点距地面的距离为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则在摩天轮转动的过程中，（ ） A 转动后点距离地面 B. 第和第点距离地面的高度相同. C. 转速减半时转动一圈所需的时间变为原来的 D. 转动一圈内，点距离地面的高度不低于的时长为 7. 函数与图象的交点个数为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 8. 已知函数的定义域为，，对于任意的，当时，有.若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A B. C. D. 若，则 10. 已知函数（且，），则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的图象过定点 B. 若，则的最小值为4 C. 若，则 D. 若， 11. 已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则（ ） A. 是以2为周期的函数 B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点对称 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的圆心角为2，半径为，则这个扇形的面积为______. 13. 若则______. 14. 已知是偶函数，则______，若存在，使得，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求，； （2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 16. 已知角的终边经过点，且. （1）求的值； （2）求的值. 17. 已知函数. （1）证明：在上是增函数； （2）若对于任意的，恒有，求实数的取值范围. 18. 已知函数（，，）部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）直接写出函数增区间及取得最大值时的集合； （3）若关于的方程在上有四个不同的实数根，求实数的取值范围. 19. 设函数的定义域为，若对任意的，，，恒有，则称为—函数. （1）证明：函数是—函数； （2）判断函数，（）是否为—函数，并说明理由； （3）设函数的定义域为，且不是常函数，若存在非零常数，使得对于任意的，都有，证明：不是—函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第一学期期末抽测 高一年级数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由即可求解； 【详解】由题意可得：，得：， 所以数的定义域为， 故选：B 2. 命题“”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解； 【详解】的否定为：，. 故选：D 3. 若幂函数的图象经过点，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的概念可求得，利用函数图象过点可得，由此可计算的值. 【详解】因为函数为幂函数， 所以，即，所以， 因为函数的图象经过点， 所以，即， 所以，解得， 所以. 故选：A. 4. 将函数图象上每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，所得到的图象的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的图象变换，准确运算，即可求解. 【详解】将函数图象上每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）， 可得：， 再将得到的图象向左平移个单位长度可得：， 故选：C 5. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数单调性及零点存在性定理可得答案. 【详解】因均在上单调递减，则在 上单调递减， 又， ，， ，. 注意到，由零点存在性定理可得函数的零点所在的区间为. 故选：C 6. 如图，摩天轮的半径为，点距地面的距离为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则在摩天轮转动的过程中，（ ） A. 转动后点距离地面 B. 第和第点距离地面的高度相同. C. 转速减半时转动一圈所需的时间变为原来的 D. 转动一圈内，点距离地面的高度不低于的时长为 【答案】B 【解析】 【分析】设转动过程中，点离地面距离的函数为，由题意求得解析式，然后逐项求解判断. 【详解】设转动过程中，点离地面距离的函数为：， 由题意得：，又， 即，故，， 所以 所以， 选项A，转到后，点距离地面的高度为，故A错误； 选项B，因为 ， ， 所以， 即第和第点距离地面的高度相同，故B正确； 选项C，若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的2倍，故C不正确； 选项D，令，则， 由，解得， 考虑第一圈时，点距离地面的高度不低于的时长，可得 当时，，当时，， 即摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于m的时间为，故D错误； 故选：B. 7. 函数与图象的交点个数为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】在同一坐标系中画出函数与函数交点个数可得答案. 【详解】由题. 在一个周期内，所过5个特殊点对应表格为： 1 0 -1 0 据此可在同一坐标系中画出大致图像如下，由图可得共8个交点. 故选：A 8. 已知函数的定义域为，，对于任意的，当时，有.若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】题目条件可变形为，构造函数，分析可知在上为增函数，把不等式等价变形为，根据函数单调性解不等式可得结果. 【详解】∵， ∴，即， 令，则任意的，有， ∴函数在上为增函数. ∵不等式可变形为，即， ∴， ∴，解得，即实数的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是把条件等价变形为，通过构造函数、分析函数的单调性可解不等式. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】AB由指数运算性质可判断选项正误； CD由对数运算性质可判断选项正误. 详解】对于A，由指数运算性质可得：，故A正确； 对于B，由指数运算性质可得：，故B错误； 对于C，由题，故C错误； 对于D，，则.故D正确. 故选：AD 10. 已知函数（且，），则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的图象过定点 B. 若，则的最小值为4 C. 若，则 D. 若， 【答案】ABD 【解析】 【分析】A由可得的图象所过定点；B由题可得，然后由基本不等式可得答案；CD由指数函数单调性，结合作差法，正切函数单调性可判断选项正误； 【详解】对于A，令，，则的图象过定点，故A正确； 对于B，，， 当且仅当，即时取等号，故B正确； 对于C，因，则在R上单调递增，又， 则，故C错误； 对于D，因，则在R上单调递减， 又注意到时，函数单调递增， 则，故D正确. 故选：ABD 11. 已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则（ ） A. 是以2为周期的函数 B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点对称 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由题及周期函数定义可完成判断；对于B，由题可得4是的一个周期，为图象一条对称轴，据此可完成判断；对于C，由及可得为图象的一个对称中心，然后由B中所得周期可判断选线正误；对于D，利用赋值法结合，可得，然后由题可得，据此可完成判断. 【详解】对于A，若是以2为周期的函数， 则，但由题目条件不能得到只有满足题意，故A不一定正确； 对于B，， 则4是的一个周期，又为奇函数， 则， 则，故为偶函数，为图象一条对称轴， 又，则的图象关于直线对称，故B正确； 对于C，由为奇函数，可得为图象的一个对称中心， 又由B分析，，则的图象关于点对称，故C正确； 对于D，因，令，则， 得，则 . 又由奇函数，则，令可得 结合为偶函数，可得，故，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的圆心角为2，半径为，则这个扇形的面积为______. 【答案】4 【解析】 【分析】由扇形面积公式即可求解； 【详解】由面积公式：， 故答案为：4 13. 若则______. 【答案】 【解析】 【分析】代入即可求解. 【详解】， 故答案： 14. 已知是偶函数，则______，若存在，使得，则的最大值为______. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，结合对数的运算性质可得，分离参数，将问题转化为，根据对勾函数的单调性求解最值即可求解. 【详解】由于是偶函数， 故， 根据可得， ，解得， 由可得， 故， 因此， 由于，故，令， 则在单调递减，在单调递增，且当和时，，， 故， 因此， 故的最大值为， 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求，； （2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式可化简集合A，然后由交集，并集定义可得答案； （2）由题可得，据此可得答案. 【小问1详解】 时，，. 则.故，. 【小问2详解】 因“”是“”的充分条件，则. 则. 16. 已知角终边经过点，且. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由任意角的定义即可求解； （2）由诱导公式及弦化切即可求解； 【小问1详解】 由，可知：， 由任意角余弦定义可得：， 解得：， 所以； 【小问2详解】 . 17. 已知函数. （1）证明：在上是增函数； （2）若对于任意的，恒有，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）由单调性的定义即可求证； （2）由函数的单调性及奇偶性去求解即可； 【小问1详解】 假设， 则 ， 因为，所以，即，又， 所以， 所以在上是增函数， 【小问2详解】 由，所以为奇函数， 所以，在恒成立， 等价于， 又在上是增函数， 所以在恒成立， 则在恒成立， ，当时，取等号， 所以，即. 18. 已知函数（，，）的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）直接写出函数的增区间及取得最大值时的集合； （3）若关于的方程在上有四个不同的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）单增区间为，取得最大值时的集合 （3） 【解析】 【分析】（1）根据振幅和周期可得，代入最值点即可求， （2）利用整体法即可求解， （3）根据三角恒等变换可将问题转化为在上有四个不同的实数根，利用换元以及三角函数的图象，进一步将问题转化为在上有两个不相等的实数根，即可分离常数，结合对勾函数的图象求解. 【小问1详解】 由图可知周期，故, 此时， 代入可得,故，解得 由于，故取，， 小问2详解】 ,解得， 故单增区间为， 由可得,故，解得， 故取得最大值时的集合 【小问3详解】 由可得，， 即在上有四个不同的实数根， 令，则， ，则，， 令,则,如图， 要使在上有四个不同的实数根， 则需要在上有两个不相等的实数根 故， 由于时，无解，故，则， 令则且，故， 由于在单调递减，此时至多一个实数根，不符合题意， 故，如图： 当时，， 当且仅当时，取等号， 故 【点睛】方法点睛：已知函数有零点或方程有根求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 19. 设函数的定义域为，若对任意的，，，恒有，则称为—函数. （1）证明：函数是—函数； （2）判断函数，（）是否为—函数，并说明理由； （3）设函数的定义域为，且不是常函数，若存在非零常数，使得对于任意的，都有，证明：不是—函数. 【答案】（1）证明见解析 （2）是—函数，（）不是—函数，理由见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据—函数的定义即可求解， （2）根据—函数的定义即可求解是—函数，举反例即可求解（）不是—函数， （3）根据可判定为周期函数，进而根据的大小关系分两种情况讨论，结合—函数的定义可得在上是常数函数，这与已知矛盾，即可得解. 【小问1详解】 证明如下：对任意实数及，， 有 故， 函数是—函数 【小问2详解】 是—函数，（）不是—函数， 理由如下： 对任意实数及， ， 由于，，故， 因此，故， 即，故是—函数， 对于（） 取，，， 则不符合，故 （）不是函数； 【小问3详解】 （3）假设是—函数， 由可得， 所以为周期函数，且周期， 若存在且，使得 （i）若， 记，，，则，且， 那么 ， 这与矛盾； （ii）若， 记，，，同理也可得到矛盾； ∴在上是常数函数， 这与不是常函数矛盾， 所以不是上的函数. 【点睛】方法点睛：对于以函数为背景的新定义问题的求解策略： 1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2、用好函数的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素. 3、对于函数问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $