精品解析：江苏省无锡市第一中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题（艺术）

无锡市第一中学2024-2025学年度第一学期期末考试 高二数学 2025.1 一．单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 抛物线准线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 在等差数列中，若，，则前10项和为（ ） A. B. C. 10 D. 20 3. 设a为正实数，若圆与圆相外切，则a的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 24 D. 26 4. 如图，在空间四边形中，，，，且，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线的左、右焦点为，，若双曲线上存在点满足，则双曲线的一条渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 若直线和直线平行，则直线与直线间距离为（ ） A. B. C. D. 7. 若抛物线上的一点到坐标原点的距离为，则点到该抛物线焦点的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 已知椭圆的右焦点为，上、下顶点分别为，，是的中点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在空间直角坐标系中，已知点，则（ ） A. B. 异面直线OB与AC所成角的余弦值为 C. D. 点到直线的距离为 10. 已知圆，直线，则下列结论正确的有（ ） A. 直线l过定点 B. 直线l被圆截得的弦长最长时，直线l的方程为 C. 直线l被圆截得的弦长最小值为 D. 若点是圆上的动点，则的取值范围是 11. 已知等比数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 设数列的前n项和为，则__. 13. 在正方体中，则直线与平面所成角的正弦值为__________ 14. 已知点，，直线上不存在点，使得，则实数的取值范围是____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知圆A经过两点，，且圆心A在直线上. （1）求圆A的标准方程； （2）求过点且与圆A相切直线方程. 16. 数列中，， （1）求证等比数列； （2）记，求数列的前n项和 17. 已知等比数列，满足，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足：对任意正整数n，均成立，求数列的最大项的值. 18. 如图，在直三棱柱中，已知，，点，分别为线段，上的动点（不含端点），且，． （1）求该直三棱柱的高； （2）当三棱锥的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知椭圆：（）经过点，. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点，，为椭圆上异于A的两点，且，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无锡市第一中学2024-2025学年度第一学期期末考试 高二数学 2025.1 一．单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线标准方程求，再求其准线方程. 【详解】设抛物线的焦点到准线的距离为， 则，且抛物线的焦点在轴正半轴上， 所以抛物线的准线方程为. 故选：C. 2. 在等差数列中，若，，则的前10项和为（ ） A. B. C. 10 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】记等差数列的公差为，根据题中条件，求出公差和首项，再由等差数列求和公式，即可得出结果. 【详解】记等差数列的公差为， 因为，解得，所以； 故选：A 3. 设a为正实数，若圆与圆相外切，则a的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 24 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分析两个圆的圆心和半径，求出圆心距，由圆与圆的位置关系分析可得答案． 【详解】结合题意：圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 所以圆心距为，而， 因为两圆相外切，所以，即. 故选：B. 4. 如图，在空间四边形中，，，，且，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量加减运算与数乘运算的几何表示即可得解. 【详解】根据题意， . 故选：A 5. 已知双曲线的左、右焦点为，，若双曲线上存在点满足，则双曲线的一条渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用双曲线定义得a值，进而求得渐近线方程 【详解】由题意，则，故渐近线方程为 故选：D 6. 若直线和直线平行，则直线与直线间距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先讨论直线斜率不存在时，检验两直线是否平行，再讨论直线的斜率存在时，两直线平行，斜率相等，即可求得的值，再利用两条平行线之间的距离公式即可求解. 【详解】由题可知直线的斜率一定存在，且为， 若，则直线的斜率不存在且方程为：，即， 直线：，即， 此时直线与直线不平行，舍去； 若，则直线的斜率存在，且为， ，，即，或， 当时，，，两直线重合，不符合题意，舍去； 当时，，，两直线平行. 则直线与直线之间距离为：. 故选：C. 7. 若抛物线上的一点到坐标原点的距离为，则点到该抛物线焦点的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先设点的坐标，代入抛物线方程，还满足点到坐标原点的距离为，求得点的坐标，用抛物线的定义求得结果即可. 【详解】由于点在抛物线上，设， 由于，得：，解得或（舍去）， 所以点的横坐标为， 抛物线的准线方程为， 由抛物线的定义可知：点到该抛物线焦点的距离等于其到准线的距离， 所以点到该抛物线焦点的距离为：， 故选：C. 8. 已知椭圆的右焦点为，上、下顶点分别为，，是的中点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形三线合一可得，再根据的关系可得离心率. 【详解】由已知，且是的中点 则，即， 所以， 即， 所以. 故选：C. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在空间直角坐标系中，已知点，则（ ） A. B. 异面直线OB与AC所成角的余弦值为 C. D. 点到直线的距离为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题中条件，得到对应向量的坐标，由空间向量数量积的坐标运算，可得A错；由异面直线所成角的向量求法，可判断B正确；由向量模的坐标运算，得C正确；由空间中点到线的距离公式，可判断D错. 【详解】因为点， 所以，，则，故A错； 又，，则，故C正确； 所以， 因此异面直线OB与AC所成角的余弦值为，故B正确； 又点到直线的距离为，故D错； 故选：BC 10. 已知圆，直线，则下列结论正确的有（ ） A. 直线l过定点 B. 直线l被圆截得的弦长最长时，直线l的方程为 C. 直线l被圆截得的弦长最小值为 D. 若点是圆上的动点，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，将直线方程化为点斜式判断求解；对B，当圆心在直线上时，直线被圆解得的弦长最长，运算得解；对C，根据圆心与定点的连线与直线垂直，即可求解最短弦长判断；对D，根据圆的性质，，求解判断. 【详解】由题，圆，圆心，半径， 对于A，直线的方程可变为，所以直线过定点，故A正确； 对于B，当圆心在直线上时，直线被圆解得的弦长最长， 则，解得，此时直线的方程为，故B错误； 对于C，当定点与圆心的连线垂直于时，此时圆心到直线的距离最大为， 所以所截得的弦长最小为，故C正确； 对于D，根据圆性质，，即， 所以，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知等比数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据可得，由可得，进而根据选项即可逐一求解. 【详解】设等比数列的公比为，由，由于，所以． 又，即，于是，由于正负不定，故无法确定与0的大小，A错误； ，B正确； ，C正确； ，故，D错误． 故选：BC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 设数列的前n项和为，则__. 【答案】9 【解析】 【分析】由数列的前n项和公式求出的值，则，求出答案. 【详解】在数列中，由得：，， ∴. 故答案为：9. 13. 在正方体中，则直线与平面所成角的正弦值为__________ 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 设该正方体的棱长为1，所以，，，， 因此，，， 设平面的法向量为：，所以有： ，令，所以， 因此，设与的夹角为，直线与平面所成角为， 所以有， 故答案为： 14. 已知点，，直线上不存在点，使得，则实数的取值范围是____. 【答案】 【解析】 【分析】求出以线段为直径的圆的方程，由题意可知直线与该圆相离，再利用点到直线的距离公式计算即可. 【详解】以线段为直径的圆的方程为， 圆心，半径， 因为直线上不存在点，使得， 所以圆与直线没有交点， 则圆心到直线的距离， 即，解得； 又当时，点A在直线上，且， 所以直线与直线垂直，此时圆与直线只有一个交点A，也符合题意. 所以实数a的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知圆A经过两点，，且圆心A在直线上. （1）求圆A的标准方程； （2）求过点且与圆A相切的直线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得圆心和半径，从而求得圆标准方程. （2）判断直线符合题意，当切线斜率存在时，设出切线的方程，利用点到直线的距离公式来求得正确答案. 【小问1详解】 设圆心为，半径为r，由， 得，得， 点A的坐标为，圆半径， 圆A的标准方程为； 【小问2详解】 画出圆的图象如下图所示， 由图可知，直线过点，且与圆相切， 当过点与圆相切的直线斜率存在时， 设切线方程为， 到直线的距离，解得， 所以切线方程为. 综上所述，切线方程为或. 16. 在数列中，， （1）求证是等比数列； （2）记，求数列的前n项和 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）依据给定条件结合等比数列的定义判断即可. （2）利用给定条件求出数列通项公式，再结合裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 因为，所以， 且，， 故数列是以首项为4，公比为2的等比数列， 可得，即. 【小问2详解】 由上问知， 所以 17. 已知等比数列，满足，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足：对任意正整数n，均成立，求数列的最大项的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）通过等比数列的基本量列方程求解，求数列的通项公式. （2）通过仿写，两方程作差，求出的通项公式，然后通过作差判断其单调性，求出数列的最大项的值. 【小问1详解】 设等比数列的公比为q， 则由题 ， 故数列的通项公式为. 【小问2详解】 令有， 当时有： ①， ②， 由①②得， ， 又满足上式，， ， 时，，时， 的最大项为 18. 如图，在直三棱柱中，已知，，点，分别为线段，上的动点（不含端点），且，． （1）求该直三棱柱的高； （2）当三棱锥的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）利用题设条件建系，设，表示相关点，利用求出值即得； （2）根据（1）中条件，建立三棱锥的体积表达式，求其最大值得到值，分别求出平面与平面的法向量，利用空间向量的夹角公式即得. 【小问1详解】 在直三棱柱中，因为，所以，，两两垂直， 以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图. 设（），，则，又， 所以可得，，，，， 所以， 因为，所以，所以,解得：，即该直三棱柱的高为2． 【小问2详解】 在直三棱柱中，有平面， 又，由（1）知，,（）， 所以 因，则当且仅当时，三棱锥的体积最大，此时点，分别为线段，的中点， 故有，，，所以， 设是平面的一个法向量， 则故可取， 又平面的一个法向量可取为，设平面与平面的夹角，易知为锐角， 故，即平面与平面夹角的余弦值为． 19. 已知椭圆：（）经过点，. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点，，为椭圆上异于A的两点，且，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1） （2）证明见解析，定点 【解析】 【分析】（1）根据题意代入运算求解即可； （2）设直线的方程为，联立方程可得韦达定理，结合向量垂直的坐标表示运算求解. 【小问1详解】 由题意可得，解得，， 故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 因为，为椭圆上异于A的两点，所以直线的斜率存在， 不妨设直线的方程为，，， 联立方程，消去y得， 则，整理得， 由韦达定理得，， 因为，，，， 可得 化简得，解得或， 当时，直线的方程为，直线过点，不合题意； 当时，恒成立，直线的方程为， 所以直线过定点. 【点睛】方法点睛：过定点问题两大类型及解法 （1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； （2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $