第9章中心对称图形-平行四边形11大考点汇总+提升训练-2024-2025学年苏科版数学八年级下册

第9章中心对称图形-平行四边形11大考点汇总+提升训练-2024-2025学年数学八年级下册苏科版 11大考点汇总 考点一:图形的旋转 考点二:中心对称图形 考点三:平行四边形的性质 考点四:平行四边形的判定 考点五:菱形的性质 考点六:菱形的判定 考点七:矩形的性质 考点八:矩形的判定 考点九:正方形的性质 考点十:正方形的判定 考点十一:三角形中位线定理 提升训练 一.选择题(共8小题) 考点一:图形的旋转 1.(2024秋•玉环市期末)如图,将 AOB绕点O按逆时针方向旋转50 后得到 COD,若∠AOB=20 ,则∠AOD的度数是( ) A.20 B.30 C.40 D.50 2.(2024•柳州一模)如图,将含45 的直角三角板ABC绕着点A顺时针旋转到 ADE处(点C,A,D在一条直线上),则这次旋转的旋转角为( ) A.45 B.90 C.135 D.180 3.(2024春•淮阴区期中)如图,在 ABC中,∠C=63 ,将 ABC绕着点A顺时针旋转后,得到 AB'C',且点C'在BC上,则∠B'C'B的度数为( ) A.54 B.45 C.46 D.56 4.(2023秋•仙居县期末)如图,在 ABC中,AB=AC,将 ABC绕点B旋转得到 DBE,使点D落在AC边上,DE,BC相交于点F.设∠BAC= ,∠BFD= .则下列关系正确的是( ) A. + =150 B.2 + =230 C. + =270 D.3 + =300 考点二:中心对称图形 5.(2024秋•哈密市期末)剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一,下列剪纸图案中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 6.(2024秋•礼县期末)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 7.(2024秋•凉州区校级期末)在如图的汽车标志图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 8.(2024秋•潼南区期末)围棋起源于中国,古代称之为“弈”,至今已有四千多年的历史.以下是在棋谱中截取的四个部分,由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 二.解答题(共36小题) 考点三:平行四边形的性质 9.(2024•顺昌县一模)如图,在 ABCD中,点E,F分别在AD,BC上,且AE=CF,EF,BD相交于点O,求证:OE=OF. 10.(2022•绿园区校级一模)如图,在 ABCD中,点O是对角线AC,BD的交点,EF过点O且垂直于AD. (1)求证:OE=OF; (2)若S ABCD=63,OE=3.5,求AD的长. 11.(2024春•防城区期中)已知:如图,在 ABCD中,点E、F分别在BC、AD上,∠AFB=∠CED. (1)请判断BF、DE的位置关系,并说明理由; (2)求证: ABF≌ CDE. 12.(2023秋•济宁期末)如图,在 ABCD中,EF∥AB且交BC于点E,交AD于点F,连接AE、BF交于点M,连接CF、DE交于点N,连接MN.试探讨MN与AD的大小关系和位置关系,并加以证明. 考点四:平行四边形的判定 13.(2024•新城区校级一模)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为BD上一点,且BE=BC,AB=EF,∠ABD=∠BFE,求证:四边形ABCD为平行四边形. 14.(2024春•克州期末)如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,AO=CO,∠ABD=∠CDB.求证:四边形ABCD是平行四边形. 15.(2024春•荔湾区期末)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,E和F为对角线AC上的两点,AE=CF,∠ABE=∠CDF. 求证:四边形ABCD为平行四边形. 16.(2024春•柯桥区期末)已知 ABC和 ADE均为等边三角形,点F、D分别在AC、BC上,AF=CD,连接BF、EF.求证: (1)AD=BF; (2)四边形BFED为平行四边形. 考点五:菱形的性质 17.(2024春•重庆期末)如图,在菱形ABCD中,P,Q是对角线BD上的两点,连接CP,CQ,且BP=DQ. (1)求证:∠BCP=∠QCD; (2)若PQ=CQ,∠DCQ=2∠CDQ,求∠A的度数. 18.(2024春•宽城县期末)如图,已知菱形ABCD的边长为2,∠ABC=60 ,点M、N分别是边BC、CD上的两个动点,∠MAN=60 ,连接MN. (1) AMN 是等边三角形吗?如是,请证明;如不是,请说明理由. (2)在M、N运动的过程中,四边形CMAN的面积是否发生变化?若不变化,求出面积的值;若变化,说明理由. 19.(2024春•横州市期中)如图,四边形ABCD是菱形,点C,点D的坐标分别是(4,0),(0,3). (1)请分别写出点A,点B的坐标; (2)求出该菱形的周长. 20.(2024春•寿县期末)如图,已知平行四边形ABCD,点O为BD中点,点E在AD上,连接EO并延长交BC于点F,连接BE,DF. (1)求证:四边形BEDF是平行四边形; (2)若AB=3,AD=6,∠BAD=135 ,当四边形BEDF为菱形时,求AE的长. 考点六:菱形的判定 21.(2023秋•阳山县期末)如图,平行四边形ABCD的对角线交于点O,且AB=13,AC=24,BD=10.求证:四边形ABCD是菱形. 22.(2024秋•白银期末)如图,点F在 ABC的边AC上,且AB=AF,过点F、B分别作AB、AC的平行线相交于点E,连接BF.求证:四边形ABEF是菱形. 23.(2024秋•临川区期中)已知:如图,四边形ABCD中,AC⊥BC,点E是AB的中点,AB∥CD,CE∥AD, 求证:四边形AECD是菱形. 24.(2024春•高安市期中)如图所示,在Rt ABC中,∠B=90 ,AC=100cm,∠A=60 ,点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒(0<t≤25),过点D作DF⊥BC于点F,连接DE,EF. (1)求证:四边形AEFD是平行四边形; (2)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值;如果不能,请说明理由. 考点七:矩形的性质 25.(2024秋•新民市期中)已知:如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,且AE=AD,DF⊥AE于点F. (1)求证:CE=FE; (2)若FD=5,CE=1,求矩形的面积. 26.(2024•龙凤区二模)如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,BC,EO为矩形BECO对角线,BC∥AD,AD=EO. (1)求证:四边形ABCD是菱形; (2)连接DE,若AC=4,∠BCD=120 ,求DE的值. 27.(2024春•城厢区校级期中)如图,矩形ABCD中,CD=4,∠CBD=30 .一动点P从B点出发沿对角线BD方向以每秒2个单位长度的速度向点D匀速运动,同时另一动点Q从D点出发沿DC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点P、Q运动的时间为t秒(t>0).过点P作PE⊥BC于点E,连接EQ,PQ. (1)求证:PE=DQ; (2)当t为何值时, PQE为直角三角形?请说明理由. 28.(2024春•铜梁区校级月考)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,F是经过点B且与AC平行的直线上一点,且∠BAF=∠ADB,点E在线段OD上,且满足AE=CD,连接CE. (1)若∠BAF=35 ,求∠EAC的度数; (2)若BF=2OE,求证:AF=CE. 考点八:矩形的判定 29.(2024•云梦县模拟)如图,在 ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,BE=DF,AC=EF.求证:四边形AECF是矩形. 30.(2024春•韩城市期末)如图,在 ABC中,AB=AC,D是BC的中点,过点A作AE∥BC,使AE=BD,连接BE.求证:四边形AEBD是矩形. 31.(2024秋•灞桥区校级期末)如图,点O是菱形ABCD对角线的交点,过点C作CE∥OD,过点D作DE∥AC,CE与DE相交于点E.求证:四边形OCED是矩形. 32.(2024春•广饶县期中)如图,在 ABC中,O是边AC上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,交∠ACB的平分线于点E,交 ABC的外角∠ACD的平分线于点F. (1)求证:OE=OF; (2)若CE=12,CF=5,求OC的长; (3)连接AE,AF,当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?请说明理由. 考点九:正方形的性质 33.(2024春•中山区期末)如图,四边形ABCD是正方形,点E在CD边上,点F在CB的延长线上,DE=BF,连接AE,AF,EF.求证:AE=AF. 34.(2024春•新宾县期末)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A、B分别在y轴正半轴、x轴正半轴上,过点D作DF⊥x轴交x轴于点F,交对角线AC于点E. (1)求证:BE=DE; (2)判断∠EBC、∠FBC的数量关系,并说明理由; (3)若点A,B坐标分别为(0,12)、(5,0),则 BEF的周长为 . 35.(2024秋•坪山区期中)在正方形ABCD中,点F是边AB上一点,连接DF,点E为DF中点.连接BE、CE、AE. (1)求证:∠DAE=∠ADE; (2)求证: AEB≌ DEC; (3)当EB=BC时,求∠AFD的度数. 36.(2024•房山区二模)如图,在正方形ABCD中,E是边AD上的一点(不与A,D重合),连接CE,点B关于直线CE的对称点是点F,连接CF,DF,直线CE与直线DF交于点P,连接BF与直线CE交于点Q. (1)依题意补全图形; (2)求∠CPF的度数; (3)用等式表示线段PC,PD,PF之间的数量关系,并证明. 考点十:正方形的判定 37.(2024秋•秦都区期末)如图,在Rt ABC中,∠ABC=90 ,点D是AB的中点,AD=BC.过点D作DE⊥AB且DE=BD,连接CE.求证:四边形BCED是正方形. 38.(2024•云梦县校级一模)如图,已知矩形ABCD 中,∠BAD 和∠ADC 的平分线交于BC边上一点E.点F为矩形外一点,四边形AEDF为平行四边形.求证:四边形AEDF是正方形. 39.(2024秋•牡丹区期中) ABC中,点O是AC上一动点,过点O作直线MN∥BC,若MN交∠BCA的平分线于点E,交∠DCA的平分线于点F,连接AE、AF. (1)说明:OE=OF; (2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形,证明你的结论; (3)在(2)的条件下,当 ABC满足什么条件时,四边形AECF为正方形. 40.(2024•河口区校级模拟)如图,在Rt ABC中,∠ACB=90 ,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,垂足为F,交直线MN于E,连接CD,BE. (1)求证:CE=AD; (2)当D为AB中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?说明你的理由; (3)在满足(2)的条件下,当 ABC满足什么条件时,四边形BECD是正方形?(不必说明理由) 考点十一:三角形中位线定理 41.(2024春•兴隆台区校级期中)如图,在 ABC中,ED,EF是中位线,连接EC和DF,交于点O. (1)求证:OEEC; (2)若OD=2,求AB的长. 42.(2024春•长安区月考)如图,在 ABC中,点D是BC的中点,连接AD,DE垂直平分AC,垂足为E,F是BA的中点,连接DF,求证:DF是AB的垂直平分线. 43.(2023秋•威海期末)如图,在四边形ABCD中,P是对角线BD的中点,E、F分别是AB、CD的中点,AD=BC,∠PEF=18 ,求∠PFE的度数. 44.(2024春•高州市期末)在Rt ABC中,∠BAC=90 ,E,F分别是BC,AC的中点,延长BA到点D,使得AB=2AD,连接DE,DF,AE,EF,AF于DE交于点O. (1)证明:AF与DE互相平分; (2)如果AB=6,BC=10,求DO的长. 第9章中心对称图形-平行四边形11大考点汇总+提升训练-2024-2025学年数学八年级下册苏科版 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A C D D A D 一.选择题(共8小题) 1.(2024秋•玉环市期末)如图,将 AOB绕点O按逆时针方向旋转50 后得到 COD,若∠AOB=20 ,则∠AOD的度数是( ) A.20 B.30 C.40 D.50 【解答】解:由题意及旋转变换的性质得:∠BOD=50 , ∵∠AOB=20 , ∴∠AOD=50 ﹣20 =30 , 故选:B. 2.(2024•柳州一模)如图,将含45 的直角三角板ABC绕着点A顺时针旋转到 ADE处(点C,A,D在一条直线上),则这次旋转的旋转角为( ) A.45 B.90 C.135 D.180 【解答】解:旋转角是∠BAD=180 ﹣45 =135 . 故选:C. 3.(2024春•淮阴区期中)如图,在 ABC中,∠C=63 ,将 ABC绕着点A顺时针旋转后,得到 AB'C',且点C'在BC上,则∠B'C'B的度数为( ) A.54 B.45 C.46 D.56 【解答】解:∵将 ABC绕着点A顺时针旋转后,得到 AB'C',且点C'在BC上, ∴AC=AC',∠C=∠AC'B', ∴∠C=∠AC'C, ∵∠C=63 , ∴∠AC'B'=63 ,∠AC'C=63 , ∴∠B'C'B=180 ﹣∠AC'B'﹣∠AC'C=54 , 故选:A. 4.(2023秋•仙居县期末)如图,在 ABC中,AB=AC,将 ABC绕点B旋转得到 DBE,使点D落在AC边上,DE,BC相交于点F.设∠BAC= ,∠BFD= .则下列关系正确的是( ) A. + =150 B.2 + =230 C. + =270 D.3 + =300 【解答】解:∵AB=AC,∠BAC= , ∴∠C=∠ABC(180 ﹣ )=90 , 由旋转得DB=AB,∠CBE=∠ABD,∠E=∠C=90 , ∴∠BDA=∠BAC= , ∴∠CBE=∠ABD=180 ﹣2 , ∵∠BFD=∠E+∠CBE,且∠BFD= , ∴ =90 +180 ﹣2 , 整理得 + =270 , 故选:C. 5.(2024秋•哈密市期末)剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一,下列剪纸图案中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 【解答】解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不符合题意; B、既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故此选项不符合题意; C、不是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不符合题意; D、既是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项符合题意; 故选:D. 6.(2024秋•礼县期末)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 【解答】解:A.不是轴对称图形,是中心对称图形,故选项A不符合题意; B.是轴对称图形,不是中心对称图形,故选项B不符合题意; C.既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故选项C不符合题意; D.既是轴对称图形,又是中心对称图形,故选项D符合题意; 故选:D. 7.(2024秋•凉州区校级期末)在如图的汽车标志图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【解答】解:①是轴对称图形,是中心对称图形,不符合题意; ②不是轴对称图形,是中心对称图形,符合题意; ③不是中心对称图形,是轴对称图形,不符合题意; ④是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意; ⑤不是轴对称图形,是中心对称图形,符合题意; 故选:A. 8.(2024秋•潼南区期末)围棋起源于中国,古代称之为“弈”,至今已有四千多年的历史.以下是在棋谱中截取的四个部分,由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 【解答】解:选项A、B、C不都能找到一个点,使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合,所以不是中心对称图形. 选项D能找到一个点,使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合,所以是中心对称图形. 故选:D. 二.解答题(共36小题) 9.(2024•顺昌县一模)如图,在 ABCD中,点E,F分别在AD,BC上,且AE=CF,EF,BD相交于点O,求证:OE=OF. 【解答】证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,AD=BC, ∴∠ODE=∠OBF, ∵AE=CF, ∴DE=BF,且∠DOE=∠BOF,∠ODE=∠OBF, ∴ DOE≌ BOF(AAS), ∴OE=OF 10.(2022•绿园区校级一模)如图,在 ABCD中,点O是对角线AC,BD的交点,EF过点O且垂直于AD. (1)求证:OE=OF; (2)若S ABCD=63,OE=3.5,求AD的长. 【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,OA=OC, ∴∠EAO=∠FCO, 在 AEO和 CFO中, ∵∠EAO=∠FCO,OA=OC,∠AOE=∠COF, ∴ AEO≌ CFO,(ASA) ∴OE=OF; (2)解:∵OE=OF,OE=3.5, ∴EF=2OE=7, 又∵EF⊥AD, ∴S ABCD=AD EF=63, ∴AD=9. 11.(2024春•防城区期中)已知:如图,在 ABCD中,点E、F分别在BC、AD上,∠AFB=∠CED. (1)请判断BF、DE的位置关系,并说明理由; (2)求证: ABF≌ CDE. 【解答】(1)解:BF∥DE,理由如下: 在 ABCD中,AD∥BC, ∴∠AFB=∠CBF, ∵∠AFB=∠CED, ∴∠CBF=∠CED. ∴BF∥DE; (2)证明:在 ABCD中,AB=CD,∠A=∠C, 在 ABF和 CDE中, ∴ ABF≌ CDE(AAS). 12.(2023秋•济宁期末)如图,在 ABCD中,EF∥AB且交BC于点E,交AD于点F,连接AE、BF交于点M,连接CF、DE交于点N,连接MN.试探讨MN与AD的大小关系和位置关系,并加以证明. 【解答】解:MNAD,MN∥AD; 证明:∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD,AD∥BC, ∵EF∥AB∴EF∥CD ∴四边形ABEF、四边形EFDC均是平行四边形, ∴AM=EM,FN=CN, ∴MN是 AED的中位线, ∴MNAD,MN∥AD; 13.(2024•新城区校级一模)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为BD上一点,且BE=BC,AB=EF,∠ABD=∠BFE,求证:四边形ABCD为平行四边形. 【解答】证明:∵AD∥BC, ∴∠ADB=∠EBF, ∵∠ABD=∠BFE, ∴∠A=∠BEF, 在 ABD和 EBF中, , ∴ ABD≌ EBF(ASA), ∴AD=BE, 又∵BE=BC, ∴AD=BC, ∵AD∥BC, ∴四边形ABCD为平行四边形. 14.(2024春•克州期末)如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,AO=CO,∠ABD=∠CDB.求证:四边形ABCD是平行四边形. 【解答】证明:在 ABO与 CDO中, , ∴ ABO≌ CDO(AAS), ∴BO=DO, ∵AO=CO, ∴四边形ABCD是平行四边形. 15.(2024春•荔湾区期末)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,E和F为对角线AC上的两点,AE=CF,∠ABE=∠CDF. 求证:四边形ABCD为平行四边形. 【解答】证明:∵AB∥CD, ∴∠EAB=∠FCD, 在 AEB和 CFD中, , ∴ AEB≌ CFD(AAS), ∴AB=DC, 又∵AB∥CD, ∴四边形ABCD是平行四边形. 16.(2024春•柯桥区期末)已知 ABC和 ADE均为等边三角形,点F、D分别在AC、BC上,AF=CD,连接BF、EF.求证: (1)AD=BF; (2)四边形BFED为平行四边形. 【解答】证明:(1)∵ ABC和 ADE均为等边三角形, ∴AB=AC,∠BAF=∠C=60 , 又∵AF=CD, ∴ ABF≌ CAD(SAS), ∴AD=BF; (2)如图,设AC与DE相交于点H, 由(1)知,BF=AD, ∵ ADE是等边三角形, ∴AD=DE, ∴BF=DE, ∵∠C=∠AED=60 ,∠DHC=∠AHE, ∴∠CDH=∠CAE, ∵∠CAE+∠DAC=∠CBF+∠ABF=60 ,∠ABF=∠DAC, ∴∠CBF=∠CAE, ∴∠CBD=∠CDH, ∴BF∥DE, ∴四边形BFED为平行四边形. 17.(2024春•重庆期末)如图,在菱形ABCD中,P,Q是对角线BD上的两点,连接CP,CQ,且BP=DQ. (1)求证:∠BCP=∠QCD; (2)若PQ=CQ,∠DCQ=2∠CDQ,求∠A的度数. 【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴BC=CD,∠CBD=∠CDB, 在 BCP和 DCQ中, , ∴ BCP≌ DCQ(SAS), ∴∠BCP=∠DCQ; (2)解:∵ BCP≌ DCQ, ∴CP=CQ, ∵PQ=CQ, ∴ PCQ是等边三角形, ∴∠PQC=60 , ∵∠DCQ=2∠CDQ,∠PQC=∠DCQ+∠CDQ, ∴∠DCQ=∠BCP=40 , ∴∠BCD=140 , ∵四边形ABCD是菱形, ∴∠A=∠BCD=140 . 18.(2024春•宽城县期末)如图,已知菱形ABCD的边长为2,∠ABC=60 ,点M、N分别是边BC、CD上的两个动点,∠MAN=60 ,连接MN. (1) AMN 是等边三角形吗?如是,请证明;如不是,请说明理由. (2)在M、N运动的过程中,四边形CMAN的面积是否发生变化?若不变化,求出面积的值;若变化,说明理由. 【解答】解:(1) AMN是等边三角形, 证明:如图,连接AC, ∵四边形ABCD是菱形, ∴∠B=∠D=60 ,AB=BC=CD=AD, ∴ ABC, ACD都是等边三角形, ∴AB=AC,∠B=∠BAC=∠ACD=∠MAN=60 , ∴∠BAM=∠CAN, 在 BAM和 CAN中, , ∴ BAM≌ CAN(ASA), ∴AM=AN, ∵∠MAN=60 , ∴ AMN是等边三角形; (2)四边形CMAN的面积不发生变化,理由如下: ∵ BAM≌ CAN, ∴S BAM=S CAN, ∴四边形AMCN的面积=S ACD2, ∴四边形AMCN的面积不发生变化. 19.(2024春•横州市期中)如图,四边形ABCD是菱形,点C,点D的坐标分别是(4,0),(0,3). (1)请分别写出点A,点B的坐标; (2)求出该菱形的周长. 【解答】解:(1)∵四边形ABCD是菱形, ∴OA=OC,OB=OD,AC⊥BD, ∴点A与点C关于点O对称,点B与点D关于点O对称, ∵点C、点D的坐标分别是(4,0)、(0,3), ∴点A(﹣4,0),点B(0,﹣3); (2)∵点C、点D的坐标分别是(4,0)、(0,3), ∴OC=4,OD=3, 在Rt COD中,由勾股定理得:CD5, ∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC=AD=CD=5, ∴菱形ABCD的周长=4CD=4 5=20. 20.(2024春•寿县期末)如图,已知平行四边形ABCD,点O为BD中点,点E在AD上,连接EO并延长交BC于点F,连接BE,DF. (1)求证:四边形BEDF是平行四边形; (2)若AB=3,AD=6,∠BAD=135 ,当四边形BEDF为菱形时,求AE的长. 【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴BC∥AD, ∴∠ADB=∠CBD, 又∵点O为BD中点, ∴BO=OD ∵在 DOE和 BOF中, ∴ DOE≌ BOF(ASA), ∴ED=BF, ∴四边形BEDF是平行四边形; (2)如图,过点B作BH⊥AD,交DA延长线于点H, ∵∠BAD=135 , ∴∠BAH=45 在Rt ABH中,AB=3, ∴BH=HA=3, 设AE=x, ∵四边形BEDF为菱形, ∴EB=ED=6﹣x 在Rt BHE中,BH2+HE2=BE2, ∴32+(3+x)2=(6﹣x)2 解得:x=1, ∴AE=1. 21.(2023秋•阳山县期末)如图,平行四边形ABCD的对角线交于点O,且AB=13,AC=24,BD=10.求证:四边形ABCD是菱形. 【解答】证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OAAC=12,OBBD=5, ∵OA2+OB2=122+52=169,AB2=132=169, ∴OA2+OB2=AB2, ∴∠AOB=90 , ∴AC⊥BD, ∴ ABCD是菱形. 22.(2024秋•白银期末)如图,点F在 ABC的边AC上,且AB=AF,过点F、B分别作AB、AC的平行线相交于点E,连接BF.求证:四边形ABEF是菱形. 【解答】证明:∵EF∥AB,BE∥AF, ∴四边形ABEF是平行四边形, ∵AB=AF, ∴ ABEF是菱形. 23.(2024秋•临川区期中)已知:如图,四边形ABCD中,AC⊥BC,点E是AB的中点,AB∥CD,CE∥AD, 求证:四边形AECD是菱形. 【解答】证明:∵AB∥CD,CE∥AD, ∴四边形AECD是平行四边形, ∵AC⊥BC, ∴∠ACB=90 , ∵点E是AB的中点, ∴CEAB=AE, ∴四边形AECD是菱形. 24.(2024春•高安市期中)如图所示,在Rt ABC中,∠B=90 ,AC=100cm,∠A=60 ,点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒(0<t≤25),过点D作DF⊥BC于点F,连接DE,EF. (1)求证:四边形AEFD是平行四边形; (2)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值;如果不能,请说明理由. 【解答】证明:(1)由题意得:AE=2t,CD=4t, ∵DF⊥BC, ∴∠CFD=90 , ∵∠C=30 , ∴DFCD4t=2t, ∴AE=DF; ∵DF⊥BC, ∴∠CFD=∠B=90 , ∴DF∥AE, ∴四边形AEFD是平行四边形. (2)四边形AEFD能够成为菱形,理由是: 由(1)得:AE=DF, ∵∠DFC=∠B=90 , ∴AE∥DF, ∴四边形AEFD为平行四边形, 若 AEFD为菱形,则AE=AD, ∵AC=100,CD=4t, ∴AD=100﹣4t, ∴2t=100﹣4t, ∴t, ∴当t时,四边形AEFD能够成为菱形. 25.(2024秋•新民市期中)已知:如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,且AE=AD,DF⊥AE于点F. (1)求证:CE=FE; (2)若FD=5,CE=1,求矩形的面积. 【解答】解:(1)连结DE,如图, ∵四边形ABCD是矩形, ∴AD∥BC, ∴∠DAF=∠AEB, ∵DF⊥AE, ∴∠AFD=∠B=90 , 在 ABE和 DFA中, , ABE≌ DFA(AAS), ∴AB=CD=DF, 在Rt DFE和Rt DCE中, , ∴Rt DFE≌Rt DCE(HL). ∴CE=FE. (2)∵ DEF≌ DEC, ∴FE=CE=1,DC=DF=5, 设AD=x, 则AF=AE﹣EF=AD﹣1=x﹣1, 在Rt AFD中,由勾股定理得:AF2+DF2=AD2, ∴(x﹣1)2+52=x2, ∴x=13, 即AD=13, ∴S矩形ABCD=AD•DC=65. 26.(2024•龙凤区二模)如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,BC,EO为矩形BECO对角线,BC∥AD,AD=EO. (1)求证:四边形ABCD是菱形; (2)连接DE,若AC=4,∠BCD=120 ,求DE的值. 【解答】(1)证明:∵四边形BECO是矩形, ∴BC=EO,∠BOC=90 , ∴AC⊥BD, ∵AD=EO, ∴AD=BC, ∵BC∥AD, ∴四边形ABCD是菱形; (2)解:∵四边形ABCD是菱形,∠BCD=120 , ∴∠ABC=180 ﹣120 =60 ,AB=BC,AC⊥BD,AO=CO=2,BO=DO,∠ABO=∠CBO, ∴ ABC是等边三角形, ∴AB=AC=4, ∴BO2, ∴BD=4, ∵四边形BECO是矩形, ∴BE=CO=2,∠DBE=90 , ∴DE2. 27.(2024春•城厢区校级期中)如图,矩形ABCD中,CD=4,∠CBD=30 .一动点P从B点出发沿对角线BD方向以每秒2个单位长度的速度向点D匀速运动,同时另一动点Q从D点出发沿DC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点P、Q运动的时间为t秒(t>0).过点P作PE⊥BC于点E,连接EQ,PQ. (1)求证:PE=DQ; (2)当t为何值时, PQE为直角三角形?请说明理由. 【解答】(1)证明:∵PE⊥BC, ∴∠BEP=90 , 在Rt BEP中,BP=2t, ∵∠CBD=30 , ∴PE=t, 又∵DQ=t, ∴PE=DQ; (2)解:①当∠EPQ=90 时,四边形EPQC为矩形, ∴PE=QC, ∵PE=t,QC=4﹣t, ∴t=4﹣t,即t=2; ②当∠PQE=90 时,∠DPQ=∠PQE=90 , 在Rt DPQ中,∠PQD=90 ﹣60 =30 , ∴DQ=2DP, ∵DQ=t,DP=8﹣2t ∴t=2(8﹣2t), ∴t, ③当∠PEQ=90 时,此种情况不存在, 综上所述,当t=2或时, PQE为直角三角形. 28.(2024春•铜梁区校级月考)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,F是经过点B且与AC平行的直线上一点,且∠BAF=∠ADB,点E在线段OD上,且满足AE=CD,连接CE. (1)若∠BAF=35 ,求∠EAC的度数; (2)若BF=2OE,求证:AF=CE. 【解答】(1)解:∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=CD,∠BAD=90 ,OA=OB, ∵∠BAF=∠ADB,∠BAF=35 , ∴∠ABD=90 ﹣∠ADB=55 , ∴∠BAO=∠ABD=55 , ∵AE=CD, ∴AE=AB, ∴∠AEB=∠ABD=55 , ∴∠BAE=180 ﹣55 ﹣55 =70 , ∴∠EAC=∠BAE﹣∠BAO=15 ; (2)证明:如图,取BF的中点G,连接AG, 若BF=2OE,则有BG=FG=OE, ∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=CD,∠BAD=90 ,OA=OB=OC=OD, ∴∠BAO=∠ABD,∠DAO=∠ADO, ∴∠BAF=∠ADB=∠DAO, ∴∠DAO+∠BAO=∠BAF+∠BAO=∠FAO=90 , ∵AE=CD, ∴AE=AB, ∴∠AEB=∠ABD, 由题意知BF∥AC, ∴∠BAO=∠ABF=∠ABD,∠F=180 ﹣∠FAO=90 , ∴∠ABF=∠AEB, 在 AOE和 AGB中, , ∴ AOE≌ AGB(SAS), ∴AO=AG,∠AOE=∠AGB, ∴AG=CO, ∵∠AGF+∠AGB=180 ,∠AOE+∠AOB=180 ,∠AOB=∠COE, ∴∠AGF=∠COE, 在 AFG和 CEO中, ∵, ∴ AFG≌ CEO(SAS), ∴AF=CE. 29.(2024•云梦县模拟)如图,在 ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,BE=DF,AC=EF.求证:四边形AECF是矩形. 【解答】证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD=BC,AD∥BC, ∵BE=DF, ∴AD﹣DF=BC﹣BE, 即AF=EC, ∴四边形AECF是平行四边形, ∵AC=EF, ∴平行四边形AECF是矩形. 30.(2024春•韩城市期末)如图,在 ABC中,AB=AC,D是BC的中点,过点A作AE∥BC,使AE=BD,连接BE.求证:四边形AEBD是矩形. 【解答】证明:∵AE∥BC,AE=BD, ∴四边形AEBD是平行四边形, ∵AB=AC,D是BC的中点, ∴AD⊥BC, ∴∠ADB=90 , ∴四边形AEBD是矩形. 31.(2024秋•灞桥区校级期末)如图,点O是菱形ABCD对角线的交点,过点C作CE∥OD,过点D作DE∥AC,CE与DE相交于点E.求证:四边形OCED是矩形. 【解答】证明:∵CE∥OD,DE∥AC, ∴四边形OCED是平行四边形, ∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD, ∴∠DOC=90 , ∴四边形OCED是矩形. 32.(2024春•广饶县期中)如图,在 ABC中,O是边AC上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,交∠ACB的平分线于点E,交 ABC的外角∠ACD的平分线于点F. (1)求证:OE=OF; (2)若CE=12,CF=5,求OC的长; (3)连接AE,AF,当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?请说明理由. 【解答】(1)证明:∵CE平分∠ACB, ∴∠ACE=∠ECB, ∵MN∥BC, ∴∠ECB=∠OEC, ∴∠ACE=∠OEC, ∴OE=OC, 同理可得OC=OF, ∴OE=OF; (2)解:∵CE、CF分别平分∠ACB和∠ACD, ∴∠ACE∠ACB,∠ACF∠ACD, ∴∠ACE+∠ACF∠BCD180 =90 , ∴EF13, ∴OCEF=6.5, 即OC的长为6.5; (3)解:当O在AC的中点时,四边形AECF是矩形,理由如下: 当O为AC中点时,则OA=OC, 由(1)可知,OC=OE=OF, ∴OA=OC=OE=OF, ∴四边形AECF为平行四边形,AC=EF, ∵AC=EF, ∴平行四边形AECF为矩形. 33.(2024春•中山区期末)如图,四边形ABCD是正方形,点E在CD边上,点F在CB的延长线上,DE=BF,连接AE,AF,EF.求证:AE=AF. 【解答】证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴∠D=∠ABC=90 ,AD=AB, ∵∠ABC+∠ABF=180 , ∴∠D=∠ABF=90 , 在Rt ADE和Rt ABF, , ∴Rt ADE≌Rt ABF(SAS), ∴AE=AF. 34.(2024春•新宾县期末)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A、B分别在y轴正半轴、x轴正半轴上,过点D作DF⊥x轴交x轴于点F,交对角线AC于点E. (1)求证:BE=DE; (2)判断∠EBC、∠FBC的数量关系,并说明理由; (3)若点A,B坐标分别为(0,12)、(5,0),则 BEF的周长为 24 . 【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴AD=AB,∠DAE=∠BAE, 在 ADE与 ABE中, , ∴ ADE≌ ABE(SAS) ∴BE=DE; (2)解:∠EBC=∠FBC,理由如下: 如图所示,设BC,DF交于点H, ∵DF⊥x轴,∠DCH=90 ∴∠HFB=∠DCH, 又∵∠DHC=∠BHF, ∴∠CBF=∠CDF, ∵ ADE≌ ABE ∴∠ADE=∠ABE, 又∵∠ADC=∠ABC=90 , ∴∠ADC﹣∠ADE=∠ABC﹣∠ABE,即∠EBC=∠EDC, ∴∠EBC=∠FBC; (3)解:如图所示,过点D作DG⊥y轴于点G, 则四边形OGDF是矩形, ∵四边形ABCD是正方形, ∴AD=AB,∠BAD=90 , ∵∠DGA=∠AOB=90 , ∴∠BAO=90 ﹣∠GAD=∠ADG, ∴ BAO≌ ADG(AAS), ∴GD=AO,AG=OB, ∵点A,B坐标分别为(0,12)、(5,0), ∴OA=GD=12,AG=OB=5, ∴DF=OG=12+5=17,BF=OF﹣BO=GD﹣OB=12﹣5=7, ∵BE=DE, ∴ BEF的周长为BE+EF+BF=DE+EF+BF=DF+BF=17+7=24. 故答案为:24. 35.(2024秋•坪山区期中)在正方形ABCD中,点F是边AB上一点,连接DF,点E为DF中点.连接BE、CE、AE. (1)求证:∠DAE=∠ADE; (2)求证: AEB≌ DEC; (3)当EB=BC时,求∠AFD的度数. 【解答】(1)证明:∵ABCD为正方形, ∴∠BAD=90 , ∵点E为DF中点, ∴AE=EF=DEDF, ∴∠EAD=∠EDA; (2)证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=CD,∠BAD=∠ADC=90 , ∵∠EAD=∠EDA, ∵∠BAE=∠BAD﹣∠EAD,∠CDE=∠ADC﹣∠EDA, ∴∠BAE=∠CDE, 在 AEB和 DEC中, , ∴ AEB≌ DEC(SAS); (3)解:∵ AEB≌ DEC, ∴EB=EC, ∵EB=BC, ∴EB=BC=EC, ∴ BCE是等边三角形, ∴∠EBC=60 , ∴∠ABE=90 ﹣60 =30 , ∵EB=BC=AB, ∴∠BAE(180 ﹣30 )=75 , 又∵AE=EF, ∴∠AFD=∠BAE=75 . 36.(2024•房山区二模)如图,在正方形ABCD中,E是边AD上的一点(不与A,D重合),连接CE,点B关于直线CE的对称点是点F,连接CF,DF,直线CE与直线DF交于点P,连接BF与直线CE交于点Q. (1)依题意补全图形; (2)求∠CPF的度数; (3)用等式表示线段PC,PD,PF之间的数量关系,并证明. 【解答】解:(1)依题意补全图形,如图1. (2)∵四边形ABCD是正方形, ∴BC=CD,∠BCD=90 . ∵点B,F是关于直线CP对称, ∴∠CBF=∠CFB,CP⊥BF,BC=CF. ∴∠BCQ+∠QBC=∠BCQ+∠PCD=90 . ∴∠QBC=∠PCD. ∵BC=CF=CD, ∴∠CFD=∠CDF. ∵∠CFD=∠CFQ+∠QFD=∠CDF=∠PCD+∠CPD, ∴∠QFD=∠CPD. ∴∠CPD=45 ,即∠CPF=45 . (3). 证明:过点C作CH⊥PC交PF延长线于点H. ∴∠PCH=90 . ∵∠CPF=45 , ∴∠H=∠CPF=45 . ∴PC=CH. ∵CD=CF, ∴∠CDF=∠CFD. ∴∠CDP=∠CFH. ∴ CPD≌ CHF(AAS). ∴PD=HF. 在Rt PCH中,. ∴. 37.(2024秋•秦都区期末)如图,在Rt ABC中,∠ABC=90 ,点D是AB的中点,AD=BC.过点D作DE⊥AB且DE=BD,连接CE.求证:四边形BCED是正方形. 【解答】证明:∵点D是AB的中点, ∴AD=BD, ∵AD=BC, ∴BD=BC, ∵∠ABC=90 ,DE⊥AB且DE=BD, ∴∠ADE=∠ABC=90 ,DE=BC, ∴DE∥BC,且DE=BC, ∴四边形BCED是平行四边形, ∵∠B=90 , ∴四边形BCED是矩形, ∵DE=BD, ∴四边形BCED是正方形. 38.(2024•云梦县校级一模)如图,已知矩形ABCD 中,∠BAD 和∠ADC 的平分线交于BC边上一点E.点F为矩形外一点,四边形AEDF为平行四边形.求证:四边形AEDF是正方形. 【解答】证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠BAD=∠CDA=90 , ∵AE,DE平分∠BAD 与∠CDA, ∴,, ∴∠EAD=∠EDA, ∴AE=DE, ∵∠EAD+∠EDA+∠AED=180 , ∴∠AED=180 ﹣∠EAD﹣∠EDA=90 , ∴ AEDF是正方形. 39.(2024秋•牡丹区期中) ABC中,点O是AC上一动点,过点O作直线MN∥BC,若MN交∠BCA的平分线于点E,交∠DCA的平分线于点F,连接AE、AF. (1)说明:OE=OF; (2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形,证明你的结论; (3)在(2)的条件下,当 ABC满足什么条件时,四边形AECF为正方形. 【解答】(1)证明:∵MN∥BC, ∴∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠DCF, 又∵CE平分∠BCO,CF平分∠DCO, ∴∠OCE=∠BCE,∠OCF=∠DCF, ∴∠OCE=∠OEC,∠OCF=∠OFC, ∴EO=CO,FO=CO, ∴OE=OF; (2)解:当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.理由如下: ∵当点O运动到AC的中点时,AO=CO, 又∵EO=FO, ∴四边形AECF是平行四边形, ∵FO=CO, ∴AO=CO=EO=FO, ∴AO+CO=EO+FO,即AC=EF, ∴四边形AECF是矩形; (3)解:当点O运动到AC的中点时,且 ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时,四边形AECF是正方形. ∵由(2)知,当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形, 已知MN∥BC,当∠ACB=90 ,则 ∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90 , ∴AC⊥EF, ∴四边形AECF是正方形. 40.(2024•河口区校级模拟)如图,在Rt ABC中,∠ACB=90 ,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,垂足为F,交直线MN于E,连接CD,BE. (1)求证:CE=AD; (2)当D为AB中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?说明你的理由; (3)在满足(2)的条件下,当 ABC满足什么条件时,四边形BECD是正方形?(不必说明理由) 【解答】(1)证明:∵DE⊥BC, ∴∠DFB=90 , ∵∠ACB=90 , ∴∠ACB=∠DFB, ∴AC∥DE, ∵MN∥AB,即CE∥AD, ∴四边形ADEC是平行四边形, ∴CE=AD; (2)解:四边形BECD是菱形, 理由是:∵D为AB中点, ∴AD=BD, ∵CE=AD, ∴BD=CE, ∵BD∥CE, ∴四边形BECD是平行四边形, ∵∠ACB=90 ,D为AB中点, ∴CD=BD, ∴四边形BECD是菱形; (3)解:当∠A=45 时,四边形BECD是正方形, 理由:∵∠ACB=90 , ∴∠ABC=45 , 由(2)可知,四边形BECD是菱形, ∴∠ABC=∠CBE=45 , ∴∠DBE=90 , ∴四边形BECD是正方形. 41.(2024春•兴隆台区校级期中)如图,在 ABC中,ED,EF是中位线,连接EC和DF,交于点O. (1)求证:OEEC; (2)若OD=2,求AB的长. 【解答】(1)证明:∵ED,EF是中位线, ∴ED∥FC,EF∥DC, ∴四边形EFCD是平行四边形, ∵对角线CE和DF相交于点O, ∴OE; (2)解:∵EC,DF是平行四边形EFCD的对角线,OD=2, ∴DF=2OD=4, ∵ED,EF是 ABC的中位线, ∴点D,F分别是AC,BC的中点, ∴DF是 ABC的中位线, ∴DF, ∴AB=2DF=8. 42.(2024春•长安区月考)如图,在 ABC中,点D是BC的中点,连接AD,DE垂直平分AC,垂足为E,F是BA的中点,连接DF,求证:DF是AB的垂直平分线. 【解答】证明:∵DE垂直平分AC, ∴DA=DC, ∵点D是BC的中点, ∴BD=DC, ∴BD=AD, ∵F是BA的中点, ∴DF垂直平分AB. 43.(2023秋•威海期末)如图,在四边形ABCD中,P是对角线BD的中点,E、F分别是AB、CD的中点,AD=BC,∠PEF=18 ,求∠PFE的度数. 【解答】解:∵E、P分别是AB、BD的中点, ∴EP是 ABD的中位线, ∴EPAD, 同理可得:FPBC, ∵AD=BC, ∴EP=FP, ∴∠PFE=∠PEF=18 . 44.(2024春•高州市期末)在Rt ABC中,∠BAC=90 ,E,F分别是BC,AC的中点,延长BA到点D,使得AB=2AD,连接DE,DF,AE,EF,AF于DE交于点O. (1)证明:AF与DE互相平分; (2)如果AB=6,BC=10,求DO的长. 【解答】(1)证明:∵BE=EC,AF=FC, ∴EF∥AB,AB=2EF, ∵AB=2AD, ∴AD=EF,AD∥EF, ∴四边形ADFE是平行四边形, ∴AF与DE互相平分. (2)解:在Rt ABC中,∵∠BAC=90 ,AB=6,BC=10, ∴AC8, ∵EFAB=3, ∴OA=OFQC=2, ∴OD=OE. 第1页(共1页) 学科网(北京)股份有限公司 $$