安徽省滁州市第二中学2024-2025学年高二上学期期末测试数学试卷

滁州二中2024-2025学年度高二上学期期末数学测试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若，，则(     ) A. B. C. D. 2.空间四边形中，，，，且，，则(     ) A. B. C. D. 3.过点作直线的垂线，垂足为，则到直线距离的最小值为(     ) A. B. C. D. 4.已知等差数列满足，则(     ) A. B. C. D. 5.一条光线从点射出，与轴相交于点，并经轴反射，则反射光线所在的直线方程是(     ) A. B. C. D. 6.过点作圆：的切线，直线：与直线平行，则直线与的距离为(     ) A. B. C. D. 7.已知，是双曲线的左、右焦点，椭圆与双曲线的焦点相同，与在第一象限的交点为，若的中点在双曲线的渐近线上，且，则椭圆的离心率是(     ) A. B. C. D. 8.已知数列满足，设，为数列的前项和．若对恒成立，则实数的最小值是(     ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.以下四个命题表述正确的是(     ) A. 直线恒过定点 B. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点 C. 曲线与曲线恰有三条公切线，则 D. 圆上存在个点到直线的距离都等于 10.下列关于圆锥曲线的说法中，正确的是( ) A. 设为两个定点，为常数，，则动点的轨迹为双曲线的一支 B. 在圆上一点作圆的动弦为原点，若，则动点的轨迹为椭圆 C. 方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 D. 双曲线与椭圆有相同的焦点 11.如图，四棱锥中，底面为菱形，，，面面，为等腰直角三角形，且，与交于点为的中点，在直线上，若，则下列说法正确的有(     ) A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 当时，平面平面 C. 点到平面的距离为 D. 存在，使得 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.过点且与圆相切的直线方程为_________． 13.已知数列的前项和为，且点总在直线上，则数列的前项和_________． 14.已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左，右焦点分别为，，与在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，与的离心率分别为，，则的取值范围是_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知空间直角坐标系中的三点，，． 若，且，求向量的坐标； 已知向量与互相垂直，求的值； 求点到直线的距离． 16.本小题5分 已知圆的圆心在直线上，且过圆上一点的切线方程为． 求圆的方程； 设过点的直线与圆交于另一点，求的最大值及此时的直线的方程． 17.本小题5分 如图，四棱台中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，，分别为，的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为． 求证：平面 求点到平面的距离 在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为，若存在，求出线段的长若不存在，请说明理由． 18.本小题7分 已知为坐标原点，椭圆的左，右焦点分别为，，点又恰为抛物线的焦点，以为直径的圆与椭圆仅有两个公共点． 求椭圆的标准方程； 若直线与相交于，两点，记点，到直线的距离分别为，，且直线与相交于，两点，记，的面积分别为，． 证明：的周长为定值； 求的最大值． 19.本小题分 已知点集，，，将中的元素按照一定顺序排成一列，可得到数对序列，，，定义：，，其中表示，中最大的数． 对于数对序列，，求，的值 有序实数对，可排成两个序列，和，，在，，，四个数中最小的数分别为和两种情况下，比较和的大小 若为奇数且，，，，证明：集合中存在两个非空子集，，满足，，中所有点的横坐标之和，中所有点的纵坐标之和． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 滁州二中2024-2025学年度高二上学期期末数学测试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 第I卷（选择题） 1.若，，则(     ) A. B. C. D. 【答案】A  解：，， ， 则． 2.空间四边形中，，，，且，，则(     ) A. B. C. D. 【答案】D  解：由题知，空间四边形中，，，，且，， 如图， 所以， 所以， 3.过点作直线的垂线，垂足为，则到直线距离的最小值为(     ) A. B. C. D. 【答案】C  【解答】解：过点作直线的垂线，垂足为， 直线过定点， 点，的中点， 垂直直线， 点在以点为圆心， 以为半径的圆上， 其圆的标准方程为：， 圆心到直线点距离： ． 到直线的距离最小值为：． 故选：． 4.已知等差数列满足，则(     ) A. B. C. D. 【答案】B  解：，，． 故选B． 5.一条光线从点射出，与轴相交于点，并经轴反射，则反射光线所在的直线方程是(     ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：设入射光线，反射光线， 光线从点射出，与轴相交于点， 根据两点式，入射光线的方程：，整理，得． 入射光线的斜率，反射光线的斜率， 反射光线过点点， 反射光线的方程，即． 故选：． 6.过点作圆：的切线，直线：与直线平行，则直线与的距离为(     ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查圆的切线、两直线垂直的判断和两平行直线之间的距离，考查推理能力和计算能力，属于基础题． 先求出和直线的方程，然后利用两平行直线间的距离公式即可求解． 【解答】 解：由已知，切线斜率存在且不为， 因为为圆上一点，则有 而， ． 所以直线 直线即 与的距离为． 故选：． 7.已知，是双曲线的左、右焦点，椭圆与双曲线的焦点相同，与在第一象限的交点为，若的中点在双曲线的渐近线上，且，则椭圆的离心率是(     ) A. B. C. D. 【答案】A  解：根据题意设  ， 设椭圆长半轴长为 ，短半轴长为 ，双曲线实半轴长为 ，虚半轴长为，设的中点为， 则由椭圆及双曲线定义可得  ， 又因为  ，且  分别为 ，的中点，所以 ， 所以  到渐近线  的距离为  ， 所以  ，  ， 结合  ，可得   因为  ，所以  即 ， 整理得，将代入得 ， 又，所以椭圆的离心率是． 8.已知数列满足，设，为数列的前项和．若对恒成立，则实数的最小值是(     ) A. B. C. D. 【答案】D  解：， ， ，即， 当时， 数列是从第二项起的等比数列， 则前项和为： ，又， 可知随着的增大，越来越接近，所以最小值为， 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.以下四个命题表述正确的是(     ) A. 直线恒过定点 B. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点 C. 曲线与曲线恰有三条公切线，则 D. 圆上存在个点到直线的距离都等于 【答案】BC  解：对于，直线， 即， 由，解得 所以直线过定点，A错误 对于，因为点为直线上一动点， 所以设， 显然点不能在圆上，即或， 因为、是圆的两条切线，切点分别为、，为圆心， 所以， 所以点在以为直径的圆上， 即弦是圆和圆的公共弦． 因为圆心的坐标是，且半径， 所以圆的方程为 ， 又， 所以，得， 即公共弦所在的直线方程为， 所以由，得 所以直线过定点，B正确； 对于，曲线，即， 则圆心，半径为， 曲线，即， 则圆心，半径为， 两圆的圆心距为， 因为圆：与圆：有三条公切线， 则两圆属于外切的位置关系， 所以，解得，C正确； 对于，圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， 又因为， 所以圆上有且仅有个点到直线的距离都等于，D错误； 10.下列关于圆锥曲线的说法中，正确的是( ) A. 设为两个定点，为常数，，则动点的轨迹为双曲线的一支 B. 设定圆上一定点作圆的动弦，为坐标原点，若，则动点的轨迹为椭圆 C. 方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 D. 双曲线与椭圆有相同的焦点 【答案】CD  解：对于，，当时，动点的运动轨迹为线段的垂直平分线，不是双曲线的一支，故A错误；对于，，为弦的中点， 不妨设在单位圆中，定点，动点， 设，则，得到 则，即， 故的轨迹方程是． 点的轨迹不是椭圆，B错误； 对于，的两根是，，椭圆的离心率范围是，双曲线的离心率范围是，C正确； 对于，中双曲线的焦点是，椭圆的焦点，D正确． 11.如图，四棱锥中，底面为菱形，，，面面，为等腰直角三角形，且，与交于点为的中点，在直线上，若，则下列说法正确的有(     ) A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 当时，平面平面 C. 点到平面的距离为 D. 存在，使得 【答案】AD  【解析】【分析】 本题主要考查了面面垂直的性质，利用空间向量解决异面直线所成的角，点到平面的距离，面面垂直的关系，线线垂直关系，属于较难题． 取的中点，连接，，可证明，以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系如图，写出各点的坐标，依次用空间向量进行解答． 【解答】 解：取的中点，连接，， 为等腰直角三角形，且，， 又面面，面面，面， 面， 又，底面是菱形，是等边三角形，， 以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系如图， 则，，，，，， ，， ， ，， ， 故选项A正确； 当时，， 平面的法向量为， 平面的法向量为， 则， 所以选项B错误； 设面的法向量， 则 取， 又， 点到平面的距离为， 故选项C错误； ，， 时，， 故选项D正确． 故选：． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.过点且与圆相切的直线方程为__________． 【答案】或  解：当，时，，所以点在圆外， 由标准方程可知，圆心为，半径为， 当所求切线斜率不存在时，方程为， 圆心到该直线的距离为和半径相等，所以是所求切线； 当所求切线斜率存在时，设斜率为，则切线方程为， 即，圆心到直线的距离，解得，所以切线方程为， 综上所述，切线方程为或； 故答案为或． 13. 13.已知数列的前项和为，且点总在直线上，则数列的前项和________． 【答案】  解：数列的前项和为，且点总在直线上， 所以， 当时，， 两式相减得，，又， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，， 则， 所以， 两式相减得： 所以数列的前项和． 14.已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左，右焦点分别为，，与在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，与的离心率分别为，，则的取值范围是      ． 【答案】．  解：设椭圆和双曲线的半焦距为，椭圆的半长轴长为，双曲线的半实轴长为． ，， 由于是以为底边的等腰三角形． 若，即有，， 由椭圆的定义可得， 由双曲线的定义可得， 即有，，， 再由三角形的两边之和大于第三边，可得， 可得，即有． 由离心率公式可得 ， 其中． 令， 由于是上的单调增函数， 是上的单调减函数， 是上的单调增函数， 又，， 又，且趋近于时，趋近于， 的取值范围是， 即的取值范围是． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知空间直角坐标系中的三点，，． 若，且，求向量的坐标； 已知向量与互相垂直，求的值； 求点到直线的距离． 【答案】解：因为，， 所以， 因为， 可设，， 然后根据， 可得， 所以或； ，，， 可得，， 由向量与互相垂直， 可得， 解得； 由于， ， 则在上的投影向量的模长， 则所求距离， 故点到直线的距离为．  16.本小题5分 已知圆的圆心在直线上，且过圆上一点的切线方程为． 求圆的方程； 设过点的直线与圆交于另一点，求的最大值及此时的直线的方程． 【答案】解：由题意，过点的直径所在直线方程为， 联立  ，解得 圆心坐标为，半径  ， 圆的方程为； 设圆心到直线的距离为， 则的面积， 由于， 当，即时面积最大为． 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时到的距离为； 故直线斜率存在，设为，则直线的方程为， 由到的距离， 解得或，故此时直线方程为或． 17.本小题分 如图，四棱台中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，，分别为，的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为． 求证：平面 求点到平面的距离 在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为，若存在，求出线段的长若不存在，请说明理由． 【答案】证明：因为平面， 以点为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为侧棱所在的直线与上下底面中心的连线所成的角为，可求得， 则，，，，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 因为，所以， 所以，又因为平面， 所以平面 解：由知，，， 所以点到平面的距离为 解：假设上存在点满足条件，， 则，， 设直线与平面所成角为， 由题意可得， ，， 化简得，则或， 即存在点符合题意，此时或．  19.本小题分 已知为坐标原点，椭圆的左，右焦点分别为，，点又恰为抛物线的焦点，以为直径的圆与椭圆仅有两个公共点． 求椭圆的标准方程； 若直线与相交于，两点，记点，到直线的距离分别为，，且直线与相交于，两点，记，的面积分别为，． 证明：的周长为定值； 求的最大值． 【答案】解：因为为抛物线的焦点，故，所以． 又因为以为直径的圆与椭圆仅有两个公共点，所以， 所以，． 所以椭圆的标准方程为：； 由题知，因为为抛物线的准线， 由抛物线的定义知：， 又因为，当且仅当，，三点共线时等号成立， 所以直线过定点． 根据椭圆定义得：； (ⅱ)若直线的斜率不存在，则直线的方程为． 因为，，所以． 若直线的斜率存在，则可设直线，设，． 由得，． 所以，． 设，， 由得，， 则，． 所以 ． 则 综上知：的最大值等于． 19.本小题分 已知点集，，，将中的元素按照一定顺序排成一列，可得到数对序列，，，定义：，，其中表示，中最大的数． 对于数对序列，，求，的值 有序实数对，可排成两个序列，和，，在，，，四个数中最小的数分别为和两种情况下，比较和的大小 若为奇数且，，，，证明：集合中存在两个非空子集，，满足，，中所有点的横坐标之和，中所有点的纵坐标之和． 解：对于，根据定义，这里， 所以． 对于，根据定义， 已知，，，， ，， 所以． 对于序列，， ， ． 对于序列，， ， ． 当时， ， 因为，且， 所以 当时， ， 因为，且， 所以 综上所述，在，，，四个数中最小的数分别为和两种情况下，都有 不妨设， 若， 因为中任意，所以存在为单元素集合，为的补集即可 若， 因为，，所以一定存在正整数， 使得， 则有， 于是． 又因为 ， 当且仅当时取等号． 于是取，，， ，，， 即可满足且，命题得证． 综上所述，存在两个非空子集，，满足题意  1 学科网（北京）股份有限公司 $$