精品解析：江苏省无锡市2024-2025学年高二上学期期终教学质量调研测试数学卷

无锡市2024年秋学期高二期终教学质量调研测试 数 学 2025.01 命题单位：滨湖区教育研究发展中心 制卷单位：无锡市教育科学研究院 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简得的，结合复数的概念，即可求解. 【详解】根据复数的运算法则，可得，可得 故复数的虚部为. 故选：B. 2. 直线与直线平行，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先根据求解出的值，然后再进行检验是否重合，由此求解出的值. 【详解】因为，所以，解得或， 当时，，，此时重合，舍去； 当时，，，此时满足， 故选：D. 3. 已知直线l的一个方向向量是，平面的一个法向量是，则l与的位置关系是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据得到，即可判断. 【详解】因为直线l的一个方向向量是，平面的一个法向量是， 所以，所以， 则或. 故选：D 4. 在正项等比数列中，，且，，10成等差数列，则的值为（ ） A. B. 18 C. D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】设公比为，由题意可求出q，，继而由求得答案. 【详解】在正项等比数列中，设公比为， 则，又，，10成等差数列， 则，则， 故， 故选：B 5. 已知正四面体的棱长为，点在上，且，点为中点，则用基底表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的基本定理可得出关于基底的表达式. 【详解】如下图所示： 因为为的中点，则，所以，，则， 因此，. 故选：C. 6. 已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出的坐标，利用相关点法求解出的轨迹方程. 【详解】设， 由题意可知，所以， 又因为， 所以， 化简可得， 所以的轨迹方程为， 故选：A. 7. 已知圆：与圆：有两条公切线，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意判断两圆的位置关系，由此列出不等式，求得答案. 【详解】由于圆：与圆：有两条公切线， 故两圆相交，则， 解得，即实数a的取值范围为， 故选：C 8. 斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着非常广泛的应用．斐波那契数列满足如下递推关系：，．已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据递推公式推导出，从而求出，再推导出即可得解.. 【详解】因为，，…，，， 以上各式相加得，， 化简得， 由，即， 所以，解得； 因为， 所以，，，， 所以 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是推导出. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 为实数 B. C. 若，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】设复数根据复数的运算以及模的计算公式一一判断各选项，即可得答案. 【详解】设复数，则， 则，为实数，A正确； ，，则，B正确； 若，不妨取，则不成立，C错误； ， 则， ， 则， 则，D正确， 故选：ABD 10. 在长方体中，，底面是边长为3正方形，，则下列选项正确的有（ ） A. ，三棱锥的体积是定值 B. 当时，存在唯一的使得平面 C. 当时，的周长取得最小值 D. 当直线与所成角余弦值为时，的值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三棱锥体积公式可判断A；根据线面垂直的性质可求出参数，进而判断点的个数判断B；利用将长方体侧面展开求最值的方法可判断C；利用空间角的向量求法可判断D. 【详解】对于A，由于平面，故E到平面的距离为定值3， 而的面积为，故三棱锥的体积为，为定值，A正确； 对于B，当时，，若平面，而平面， 故，设，则，， 即，， 即，解得， 即当时，上存在两个不同的点E，使得平面， 由于，即存在不同的使得平面，B错误； 对于C，如图，将四边形展开到一个平面上，连接，交于E点， 由于，故为三角形的中位线，即E为的中点， 则，此时的值最小，即的周长取得最小值，C正确； 对于D，如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 由于，故，则， 故， 则， 解得（负值舍去），D正确， 故选：ACD 11. 已知抛物线E：上一点到其焦点的距离为2，过点作一条直线l与抛物线交于A，B两点，过原点O作，垂足为H，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 抛物线E上的点到M距离的最小值为4 D. 存在一个定点Q，使得线段长度为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用抛物线焦半径求出p的值，判断A；设直线l的方程并联立抛物线方程，利用韦达定理以及向量的数量积的坐标运算，可判断B；利用两点间距离公式结合二次函数求最值，判断C；利用动点的轨迹结合圆的性质判断D. 【详解】对于A，抛物线E：上一点到其焦点的距离为2， 则，A正确； 对于B，设直线l的方程为， 联立，得，， 则， 故，则，故，B正确； 对于C，设抛物线上的点， 则， 当时，取到最小值，C错误； 对于D，由于，故H点在以OM为直径的圆上（不含原点）， 而，故存在点，使得线段长度为定值2，D正确， 故选：ABD 【点睛】方法点睛：解答直线和圆锥曲线类题目，常常利用直线联立曲线方程，结合韦达定理去化简求值，另外要注意动点的轨迹问题，这也是经常考查的内容. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，则实数______． 【答案】9 【解析】 【分析】记等差数列的公差为，根据等差数列的通项公式和求和公式，将所给条件化简求解，即可得出结果. 【详解】记等差数列的公差为，因为，所以， 即，解得； 故答案为：9 13. 过椭圆的右焦点作椭圆长轴的垂线，交椭圆于A，B两点，为椭圆的左焦点，若为正三角形，则该椭圆的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，结合椭圆的定义计算即可求解. 【详解】由题意知，为正三角形，且， 则， 所以， ， 由椭圆的定义知， 即，解得. 故答案为：. 14. 空间直角坐标系中，表示经过点，且法向量为平面的方程．已知平面的方程为，过点作直线，点为直线上任意一点，则，满足的关系式为______；点P到平面的距离为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】依题意可得平面的法向量为，结合及向量共线的坐标表示得到第一空的答案，再由平面过点，根据点P到平面的距离为计算可得. 【详解】因为平面的方程为，则平面的法向量为， 又过点作直线，点为直线上任意一点，则 又，所以，所以； 因为平面的方程为，即， 所以平面过点， 所以，则点P到平面的距离为. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：本题关键是根据题干所给信息得到平面的法向量为以及平面过点. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆经过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据圆心所在直线设出圆心坐标，结合圆过的点列出方程求解圆心进而求圆的方程； （2）先求出圆心到直线的距离，再分类讨论直线斜率不存在和存在两种情况求解方程即可. 【小问1详解】 因为圆心在直线上， 所以设， 因为圆经过两点， 所以， 解得，即，半径， 所以圆的标准方程为 【小问2详解】 因为过点的直线被圆截得的弦长为8， 所以到直线距离， 当直线斜率不存时，直线满足题意； 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 所以，解得， 此时直线方程为，即. 综上所述，直线的方程为或 16. 已知等比数列的公比为整数，其前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）记等比数列的公比为，根据题中条件列出方程组，求出公比和首项，即可得出通项公式； （2）由（1）求出，得到，利用错位相减法，即可求出． 【小问1详解】 由题意，记等比数列的公比为， 由得，解得或， 因为公比为整数，所以，所以，因此； 【小问2详解】 由（1）可得，， 所以， 因此① 所以② ①②得： ， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，E是的中点，作交于点F． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法得到，即可得证； （2）求出平面的法向量与直线的方向向量，利用空间向量法计算可得； （3）求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 因为底面是正方形，侧棱底面， 如图以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系， 设，则，，. 因为， 故，所以. 【小问2详解】 设平面的法向量，因为， 所以，所以，令，得； 又， 设直线与平面所成角为，则， 又，所以，即直线与平面所成角为； 【小问3详解】 因为 设平面的法向量， 所以，所以，令，得， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知数列，其前项和为，，． （1）求的通项公式； （2）若，设数列的前项和，求证：； （3）若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据作差得到，再用累乘法计算可得； （2）由（1）可得，利用裂项相消法求和即可得证； （3）参变分离可得对恒成立，令，利用作差法说明的单调性，即可求出，即可得解. 【小问1详解】 因为，当时， 所以， 即，所以， 即，所以，，，，，， 累乘可得，又，所以， 当时也成立，所以； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以 ； 【小问3详解】 因为对恒成立， 即对恒成立， 即对恒成立， 令， 则， 所以时，当时，当时， 即， 所以，所以，即实数的取值范围为； 19. 已知双曲线：的离心率为2，右焦点F到渐近线的距离为． （1）求双曲线的方程； （2）若双曲线的右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，分别与直线交于M，N两点，记的面积为，的面积为． ①求证：为定值； ②求的取值范围． 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）由题意求出，即可求得答案； （2）①设直线PQ的方程并联立双曲线方程，可得根与系数关系式，结合的表达式，即可证明结论；②利用直线方程求出相关点坐标，可得的表达式，即可求出的表达式，结合不等式性质，即可求得答案. 【小问1详解】 设双曲线的半焦距为c，由题意得，渐近线方程不妨取，即， 则，而， 故双曲线方程为； 【小问2详解】 ①由题意知，设直线PQ的方程为， 联立方程组，得， 因为过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，故， 则， 则； 当直线PQ斜率不存在时，, 故为定值； ②由题意可得， 直线AP的方程为，则， 直线AQ的方程为，则， 则， 所以， 由于。即，，故， 当直线PQ斜率不存在时，， 直线AP方程为， 直线AQ方程为，可得， 综上的取值范围为. 【点睛】难点点睛：本题综合考查了直线和双曲线位置关系中的三角形面积问题，解答的难点在于的取值范围的确定，解答时要注意结合直线和双曲线方程联立求出的表达式，计算过程比较复杂，计算量较大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 无锡市2024年秋学期高二期终教学质量调研测试 数 学 2025.01 命题单位：滨湖区教育研究发展中心 制卷单位：无锡市教育科学研究院 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 直线与直线平行，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知直线l的一个方向向量是，平面的一个法向量是，则l与的位置关系是（ ） A. B. C. D. 或 4. 在正项等比数列中，，且，，10成等差数列，则的值为（ ） A. B. 18 C. D. 24 5. 已知正四面体的棱长为，点在上，且，点为中点，则用基底表示为（ ） A B. C. D. 6. 已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆：与圆：有两条公切线，则实数a的取值范围为（ ） A B. C. D. 8. 斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着非常广泛的应用．斐波那契数列满足如下递推关系：，．已知，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 为实数 B. C. 若，则 D. 10. 在长方体中，，底面是边长为3正方形，，则下列选项正确有（ ） A. ，三棱锥的体积是定值 B. 当时，存在唯一的使得平面 C. 当时，的周长取得最小值 D. 当直线与所成角的余弦值为时，的值为 11. 已知抛物线E：上一点到其焦点的距离为2，过点作一条直线l与抛物线交于A，B两点，过原点O作，垂足为H，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 抛物线E上的点到M距离的最小值为4 D. 存在一个定点Q，使得线段长度为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，则实数______． 13. 过椭圆的右焦点作椭圆长轴的垂线，交椭圆于A，B两点，为椭圆的左焦点，若为正三角形，则该椭圆的离心率为______. 14. 空间直角坐标系中，表示经过点，且法向量为的平面的方程．已知平面的方程为，过点作直线，点为直线上任意一点，则，满足的关系式为______；点P到平面的距离为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆经过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程. 16. 已知等比数列的公比为整数，其前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，E是的中点，作交于点F． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知数列，其前项和，，． （1）求的通项公式； （2）若，设数列的前项和，求证：； （3）若对恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知双曲线：离心率为2，右焦点F到渐近线的距离为． （1）求双曲线的方程； （2）若双曲线的右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，分别与直线交于M，N两点，记的面积为，的面积为． ①求证：为定值； ②求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$