精品解析：江苏省无锡市2024-2025学年高二上学期期终教学质量调研测试数学卷

无锡市2024年秋学期高二期终教学质量调研测试 数 学 2025.01 命题单位：滨湖区教育研究发展中心 制卷单位：无锡市教育科学研究院 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足（其中为虚数单位），则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将复数利用复数的四则运算求解出来，即可得出虚部. 【详解】由题意，得，所以的虚部为， 故选：B． 2. 直线与直线平行，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先根据求解出的值，然后再进行检验是否重合，由此求解出的值. 【详解】因为，所以，解得或， 当时，，，此时重合，舍去； 当时，，，此时满足， 故选：D. 3. 已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出的坐标，利用相关点法求解出的轨迹方程. 【详解】设， 由题意可知，所以， 又因为， 所以， 化简可得， 所以的轨迹方程为， 故选：A. 4. 斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着非常广泛的应用．斐波那契数列满足如下递推关系：，．已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据递推公式推导出，从而求出，再推导出即可得解.. 【详解】因为，，…，，， 以上各式相加得，， 化简得， 由，即， 所以，解得； 因为， 所以，，，， 所以 . 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是推导出. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 5. 过椭圆的右焦点作椭圆长轴的垂线，交椭圆于A，B两点，为椭圆的左焦点，若为正三角形，则该椭圆的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，结合椭圆的定义计算即可求解. 【详解】由题意知，为正三角形，且， 则， 所以， ， 由椭圆的定义知， 即，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 6. 已知圆经过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据圆心所在直线设出圆心坐标，结合圆过的点列出方程求解圆心进而求圆的方程； （2）先求出圆心到直线的距离，再分类讨论直线斜率不存在和存在两种情况求解方程即可. 【小问1详解】 因为圆心在直线上， 所以设， 因为圆经过两点， 所以， 解得，即，半径， 所以圆的标准方程为 【小问2详解】 因为过点的直线被圆截得的弦长为8， 所以到直线距离， 当直线斜率不存在时，直线满足题意； 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 所以，解得， 此时直线方程为，即. 综上所述，直线的方程为或 7. 已知双曲线：的离心率为2，右焦点F到渐近线的距离为． （1）求双曲线的方程； （2）若双曲线的右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，分别与直线交于M，N两点，记的面积为，的面积为． ①求证：为定值； ②求的取值范围． 【答案】（1） （2）①由题意知，设直线PQ的方程为， 联立方程组，得， 因为过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，故， 则， 则； 当直线PQ斜率不存在时，, 故为定值； ② 【解析】 【分析】（1）由题意求出，即可求得答案； （2）①设直线PQ的方程并联立双曲线方程，可得根与系数关系式，结合的表达式，即可证明结论；②利用直线方程求出相关点坐标，可得的表达式，即可求出的表达式，结合不等式性质，即可求得答案. 【小问1详解】 设双曲线的半焦距为c，由题意得，渐近线方程不妨取，即， 则，而， 故双曲线方程为； 【小问2详解】 ①略 ②由题意可得， 直线AP的方程为，则， 直线AQ的方程为，则， 则， 所以， 由于。即，，故， 当直线PQ斜率不存在时，， 直线AP方程为， 直线AQ方程为，可得， 综上的取值范围为. 【点睛】难点点睛：本题综合考查了直线和双曲线位置关系中的三角形面积问题，解答的难点在于的取值范围的确定，解答时要注意结合直线和双曲线方程联立求出的表达式，计算过程比较复杂，计算量较大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无锡市2024年秋学期高二期终教学质量调研测试 数 学 2025.01 命题单位：滨湖区教育研究发展中心 制卷单位：无锡市教育科学研究院 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足（其中为虚数单位），则的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 直线与直线平行，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 4. 斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着非常广泛的应用．斐波那契数列满足如下递推关系：，．已知，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 5. 过椭圆的右焦点作椭圆长轴的垂线，交椭圆于A，B两点，为椭圆的左焦点，若为正三角形，则该椭圆的离心率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 6. 已知圆经过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程. 7. 已知双曲线：的离心率为2，右焦点F到渐近线的距离为． （1）求双曲线的方程； （2）若双曲线的右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，分别与直线交于M，N两点，记的面积为，的面积为． ①求证：为定值； ②求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $