第1章 专题强化3 带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界和多解问题-【步步高】2023-2024学年高二物理选择性必修 第二册 （粤教版2019）

专题强化3　带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界和多解问题

[学习目标]　1.会分析带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题(难点)。2.了解多解的成因，会分析带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题(难点)。

一、带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题

解决带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据匀强磁场边界和题设条件画出轨迹，建立几何关系求解。

(1)刚好穿出或刚好不能穿出匀强磁场的条件是带电粒子在匀强磁场中运动的轨迹与边界相切。

(2)当以一定的速率垂直射入匀强磁场时，运动的弧长越长、圆心角越大，则带电粒子在有界匀强磁场中的运动时间越长。

(3)比荷相同的带电粒子以不同的速率v进入磁场时，圆心角越大的，运动时间越长。

例1　如图所示，真空中狭长区域内的匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，区域宽度为d，边界为CD和EF，速度为v的电子从边界CD外侧垂直于磁场方向射入磁场，入射方向与CD的夹角为θ，已知电子的质量为m、带电荷量为e，为使电子能从另一边界EF射出，电子的速率应满足的条件是(　　)

A．v>   B．v<

C．v>   D．v<

答案　A

解析　由题意可知，电子从边界EF射出的临界条件为到达边界EF时，速度方向与EF平行，

即运动轨迹与EF相切，如图所示。由几何知识得：

R＋Rcos θ＝d，由洛伦兹力提供向心力得：ev0B＝，

解得v0＝，当v＞v0时，电子能从边界EF射出，故A正确。

例2　(2020·全国卷Ⅲ)真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　磁感应强度取最小值时对应的电子的运动轨迹临界状态如图所示，设电子在磁场中做圆周运动的半径为r，由几何关系得a2＋r2＝(3a－r)2，根据洛伦兹力提供向心力有evB＝m，联立解得B＝，故选C。

二、带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题

多解的原因：

(1)磁场方向不确定形成多解；

(2)带电粒子电性不确定形成多解；

(3)临界状态不唯一形成多解；

(4)运动的往复性形成多解。

解决此类问题，首先应画出粒子的可能轨迹，然后找出圆心、半径的可能情况。

例3　(多选)如图所示，位于A点的离子源在纸面内沿垂直OQ的方向向上射出一束负离子，重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B应满足(　　)

A．垂直纸面向里，B>

B．垂直纸面向里，B>

C．垂直纸面向外，B>

D．垂直纸面向外，B>

答案　BC

解析　当所加匀强磁场方向垂直纸面向里时，由左手定则可知负离子向右偏转，负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切，如图(大圆弧)，由几何知识知R2＝OBsin 30°＝OB，而OB＝s＋R2，故R2＝s，所以当离子运动轨迹的半径小于s时满足约束条件；由牛顿第二定律可得qvB＝，所以应满足B>，选项A错误，B正确。当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时，由左手定则可知负离子向左偏转，负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切，如图(小圆弧)，由几何知识知R1＝，所以当离子运动轨迹的半径小于时满足约束条件；由牛顿第二定律得qvB＝，所以应满足B>，选项C正确，D错误。