第1章 专题强化3 带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界和多解问题-【步步高】2023-2024学年高二物理选择性必修 第二册 （粤教版2019）

专题强化3　带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界和多解问题 [学习目标]　1.会分析带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题(难点)。2.了解多解的成因，会分析带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题(难点)。 一、带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题 解决带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据匀强磁场边界和题设条件画出轨迹，建立几何关系求解。 (1)刚好穿出或刚好不能穿出匀强磁场的条件是带电粒子在匀强磁场中运动的轨迹与边界相切。 (2)当以一定的速率垂直射入匀强磁场时，运动的弧长越长、圆心角越大，则带电粒子在有界匀强磁场中的运动时间越长。 (3)比荷相同的带电粒子以不同的速率v进入磁场时，圆心角越大的，运动时间越长。 例1　如图所示，真空中狭长区域内的匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，区域宽度为d，边界为CD和EF，速度为v的电子从边界CD外侧垂直于磁场方向射入磁场，入射方向与CD的夹角为θ，已知电子的质量为m、带电荷量为e，为使电子能从另一边界EF射出，电子的速率应满足的条件是(　　) A．v> B．v< C．v> D．v< 答案　A 解析　由题意可知，电子从边界EF射出的临界条件为到达边界EF时，速度方向与EF平行，即运动轨迹与EF相切，如图所示。由几何知识得： R＋Rcos θ＝d，由洛伦兹力提供向心力得：ev0B＝， 解得v0＝，当v＞v0时，电子能从边界EF射出，故A正确。 例2　(2020·全国卷Ⅲ)真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　磁感应强度取最小值时对应的电子的运动轨迹临界状态如图所示，设电子在磁场中做圆周运动的半径为r，由几何关系得a2＋r2＝(3a－r)2，根据洛伦兹力提供向心力有evB＝m，联立解得B＝，故选C。 二、带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 多解的原因： (1)磁场方向不确定形成多解； (2)带电粒子电性不确定形成多解； (3)临界状态不唯一形成多解； (4)运动的往复性形成多解。 解决此类问题，首先应画出粒子的可能轨迹，然后找出圆心、半径的可能情况。 例3　(多选)如图所示，位于A点的离子源在纸面内沿垂直OQ的方向向上射出一束负离子，重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B应满足(　　) A．垂直纸面向里，B> B．垂直纸面向里，B> C．垂直纸面向外，B> D．垂直纸面向外，B> 答案　BC 解析　当所加匀强磁场方向垂直纸面向里时，由左手定则可知负离子向右偏转，负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切，如图(大圆弧)，由几何知识知R2＝OBsin 30°＝OB，而OB＝s＋R2，故R2＝s，所以当离子运动轨迹的半径小于s时满足约束条件；由牛顿第二定律可得qvB＝，所以应满足B>，选项A错误，B正确。当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时，由左手定则可知负离子向左偏转，负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切，如图(小圆弧)，由几何知识知R1＝，所以当离子运动轨迹的半径小于时满足约束条件；由牛顿第二定律得qvB＝，所以应满足B>，选项C正确，D错误。 例4　如图所示，边长为l的等边三角形ACD内、外分布着方向相反的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。顶点A处有一粒子源，能沿∠CAD的平分线方向发射不同速度的粒子，粒子质量均为m，电荷量均为＋q，不计粒子重力。则粒子以下列哪一速度发射时不能通过D点(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　粒子带正电，且经过D点，其可能的轨迹如图所示； 所有圆弧所对的圆心角均为60°，所以粒子运动的半径为r＝(n＝1,2,3，…)；粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvB＝m，解得v＝＝(n＝1,2,3，…)，故选C。 专题强化练 1.如图所示，△ABC为与匀强磁场垂直的边长为a的等边三角形，比荷为的电子以速度v0从A点沿AB边入射，不计电子重力，欲使电子经过BC边，磁感应强度B的取值范围为(　　) A．B> B．B< C．B> D．B< 答案　D 解析　由题意可知，电子正好经过C点时的运动轨迹如图所示，此时圆周运动的半径R＝＝a，要想电子从BC边经过，电子做圆周运动的半径要大于a，由带电粒子在磁场中做圆周运动的半径r＝有a<，即B<，D项正确。 2．(2022·天津双菱中学高二期末)如图所示，宽为d的带状区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一质量为m、电荷量为e的质子从A点出发，与边界成60°角进入匀强磁场，不计电子重力，要使质子从左边界飞出磁场，则质子速度的最大值为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　质子速度最大的临界状态是轨迹与PQ相切时，如图所示， 由几何知识可得r＋rcos 60°＝d，解得r＝d，质子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力evB＝，解得v＝，故选A。 3．(2022·广州市执信中学高二期末)如图所示，一矩形区域abcd内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B0的匀强磁场，ad和ab边长分别为d和2d，P为ad边中点。在P点，把带正电的粒子以大小不同的初速度平行纸面射入磁场，速度方向跟ad边夹角θ＝30°。已知粒子的质量为m，带电荷量为q，粒子重力不计，欲使粒子能从ab边上射出磁场，则初速度v0大小可能为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　若粒子速度大小为v0，其在磁场中做匀速圆周运动时洛伦兹力提供向心力，有 qv0B0＝m 即R＝ 设圆心在O1处，对应圆弧与ab边相切，轨迹如图(小圆弧) 设相应速度为v01，由几何知识得 R1＋R1sin θ＝ 得R1＝d 又R1＝ 解得v01＝ 同理设圆心在O2处，对应圆弧与cd边相切，轨迹如图(大圆弧) 设相应速度为v02，则 R2sin θ＝ 解得R2＝d 联立R2＝ 可得v02＝ 所以粒子能从ab边上射出磁场的v0应满足 <v0≤，故选A。 4.直线OM和直线ON之间的夹角为30°，如图所示，直线OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为m，电荷量为q(q>0)。粒子沿纸面以大小为v的速度从OM上的某点向左上方射入磁场，方向与OM成30°角。已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场，不计粒子重力。粒子离开磁场的出射点到两直线交点O的距离为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　带电粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为r＝。由题意可知，轨迹与ON相切，画出粒子的运动轨迹如图所示，由几何知识得CO′D为一直线段，＝＝2＝4r＝，故D正确。 5.(多选)(2022·惠州市高二期末)如图所示，在半径为R的圆形区域内，有匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直于圆平面(未画出)。一群比荷为的负离子(不计重力)以相同速率v0(离子在磁场中的运动半径大于R)，由P点在纸面内向不同方向射入磁场中发生偏转后，又飞出磁场，最终打在磁场区域右侧的荧光屏(足够大)上，则下列说法正确的是(　　) A．离子在磁场中运动时间一定相等 B．离子在磁场中的运动半径一定相等 C．由Q点飞出的离子在磁场中运动的时间最长 D．沿PQ方向射入的离子飞出时速度的偏转角最大 答案　BC 解析　设粒子轨迹所对应的圆心角为θ，则粒子在磁场中运动的时间为 t＝T 其中T＝ 所有粒子的运动周期相等，由于离子从圆上不同点射出时，轨迹的圆心角不同，所以离子在磁场中运动时间不同，故A错误； 离子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得 qvB＝m 解得R＝ 因粒子的速率相同，比荷相同，故半径一定相同，故B正确； 由圆的性质可知，轨迹圆与磁场圆相交，当轨迹圆的弦长最大时偏向角最大，故应该使弦长为PQ，故由Q点飞出的粒子圆心角最大，所对应的时间最长；此时粒子一定不会沿PQ射入，故C正确，D错误。 6.如图所示，匀强磁场的边界是两个同心圆，内圆的半径为r，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B，A是内侧边界上的一点。在圆心O处沿平行于纸面的方向射出一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，粒子速度方向与OA成60°角，粒子经磁场第一次偏转后刚好从A点射出磁场，不计粒子重力，则下列说法正确的是(　　) A．粒子一定带正电 B．粒子第一次在磁场中运动的时间为 C．粒子运动的速度大小为 D．磁场外边界圆的半径至少为r 答案　D 解析　根据题意，画出粒子第一次在磁场中运动的轨迹如图，根据左手定则可以判断出粒子带负电，选项A错误；粒子第一次在磁场中运动的时间为t＝T＝，选项B错误；粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径R＝rtan 30°＝r，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，解得v＝，选项C错误；磁场外边界圆的半径至少为r′＝R＋＝r，选项D正确。 7.(2022·汕头市金山中学高二期末)真空区域有宽度为L、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向如图所示，MN、PQ是磁场的边界，质量为m、电荷量为q的粒子(不计重力)沿着与MN夹角为θ＝30°的方向垂直射入磁场中，刚好没能从PQ边界射出磁场。求： (1)粒子射入磁场的速度大小； (2)粒子在磁场中运动的时间。 答案　(1)若粒子带正电，速度为；若粒子带负电，速度为　(2)若粒子带正电，运动时间为；若粒子带负电，运动时间为 解析　(1)若粒子带正电，粒子运动轨迹如图 由几何关系可知 r1cos 30°＋r1＝L 又qvB＝m 得v1＝ 若粒子带负电，粒子运动轨迹如图 由几何关系可知 r2－r2cos 30°＝L 则v2＝ (2)由T＝ 得T＝ 粒子带正电，粒子做圆周运动的圆心角为300°，则运动的时间为 t1＝ 粒子带负电，且圆心角为60°，则运动时间为 t2＝。 8.(2023·广州市第七中学高二期末)如图所示，P点距坐标原点的距离为L，坐标平面内的第一象限内有方向垂直坐标平面向外的匀强磁场(图中未画出)，磁感应强度大小为B。有一质量为m、电荷量为q的带电粒子从P点以与y轴正方向夹角为θ ＝45°的速度垂直磁场方向射入磁场区域，在磁场中运动，不计粒子重力。 (1)若粒子垂直于x轴离开磁场，求粒子进入磁场时的初速度大小； (2)若粒子从y轴离开磁场，求粒子在磁场中运动的时间。 答案　(1)　(2)或 解析　(1)若粒子垂直于x轴离开磁场，粒子的运动轨迹如图所示 由几何关系可得R1＝＝L 由洛伦兹力提供向心力得qvB＝m 解得v＝ (2)粒子在磁场中做圆周运动的周期为T＝ 若粒子从y轴离开磁场，如果粒子带正电，粒子的运动轨迹如图所示 由几何关系可知，粒子在磁场中的偏转角为α1＝270° 所以运动时间为t1＝T 解得t1＝ 如果粒子带负电，粒子在磁场中运动的轨迹如图所示 根据几何关系可知，粒子在磁场中的偏转角为α2＝90° 所以粒子在磁场中运动的时间为t2＝T＝·＝。 9．(2022·滁州市高二期末)如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，在磁场边界上的M点放置一个放射源，能在纸面内以速率v向各个方向发射大量的同种粒子，粒子的电荷量为＋q、质量为m(不计粒子的重力)，所有粒子均从某段圆弧边界射出，其圆弧长度为。下列说法正确的是(　　) A．粒子进入磁场时的速率为v＝ B．所有粒子中在磁场中运动的最长时间是t＝ C．将磁感应强度大小改为B时，有粒子射出的边界弧长变为 D．若粒子入射速率为v时，有粒子射出的边界弧长变为πR 答案　C 解析　由题意，如图甲所示，当粒子在磁场中运动转过的圆心角为180°时，其射出点N离M最远，此时对应磁场区域的圆心角为120°，则根据几何关系可知粒子做匀速圆周运动的半径为r1＝Rsin 60°＝R，根据牛顿第二定律有qvB＝m，解得v＝，故A错误； 粒子在磁场中运动的周期为T＝＝，当粒子的轨迹与磁场区域内切时，其运动时间最长，恰好为1个周期，故B错误； 将磁感应强度大小改为B时，由r＝知粒子运动半径变为r2＝＝R 如图乙所示，可知粒子轨迹弦长最大值为R，所以有粒子射出的边界弧长变为＝·2πR＝，故C正确； 若粒子入射速率为v时，粒子运动半径变为r3＝r1＝R 如图丙所示，可知粒子轨迹弦长最大值为R，所以有粒子射出的边界弧长变为＝·2πR＝，故D错误。 学科网（北京）股份有限公司 $$