第1章 专题强化2 带电粒子在匀强磁场中的运动-【步步高】2023-2024学年高二物理选择性必修 第二册 （粤教版2019）

专题强化2　带电粒子在匀强磁场中的运动 [学习目标]　1.会解决带电粒子在匀强磁场中运动的基本问题(难点)。2.会分析带电粒子在有界匀强磁场中的运动(重点)。 一、带电粒子在匀强磁场中运动的基本分析思路 1．圆心的确定 圆心位置的确定通常有以下两种基本方法： (1)已知入射方向和出射方向时，可以过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图甲所示，P为入射点，M为出射点)。 (2)已知入射方向和出射点的位置时，可以过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作连线的中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)。 2．半径的确定 (1)r＝；(2)几何关系。 3．粒子速度偏向角 速度的偏向角φ＝圆弧所对的圆心角(回旋角)θ＝弦切角α的2倍。(如图) 4．粒子在匀强磁场中运动时间的确定 方法一：周期一定时，由圆心角求：t＝·T； 方法二：v一定时，由弧长求：t＝＝。 例1　(2023·广州市从化区从化中学高二期末)一个重力不计的带电粒子以大小为v的速度从坐标为(0，L)的a点，平行于x轴射入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的圆形匀强磁场区域，并从x轴上的b点射出磁场，射出磁场时的速度方向与x轴正方向的夹角为60°，如图所示。 (1)求带电粒子在磁场中运动的轨迹半径； (2)求粒子从a点运动到b点的时间； (3)其他条件不变，要使该粒子恰从O点射出磁场，求粒子的入射速度大小。 答案　(1)2L　(2)　(3)v 解析　(1)粒子在磁场中运动的轨迹如图所示 由几何知识可知 Rcos 60°＋L＝R 解得R＝2L (2)粒子运动的周期为 T＝＝ 粒子从a点运动到b点的时间为 t＝T＝ (3)要使该粒子恰从O点射出磁场，则应满足 R′＝ 设粒子质量为m，由洛伦兹力提供向心力可得 qBv′＝ 对原粒子在磁场中的运动有qBv＝ 联立解得v′＝v。 例2　(2022·江门市高二期中)如图所示，空间存在范围足够大的垂直xOy平面向里的匀强磁场(图中未画出)，一质量为m、带电荷量为＋q(q>0)的带电粒子(不计所受重力)从坐标原点O沿x轴正方向以速度v0射出，带电粒子恰好经过点A(h，h)，求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小B； (2)粒子从O点运动到A点所用的时间t。 答案　(1)　(2) 解析　(1)根据洛伦兹力提供向心力，结合几何关系有qv0B＝，(h)2＋(h－R)2＝R2 解得R＝h，B＝ (2)由几何关系知粒子从O到A轨迹的圆心角为120°，设带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期为T，则有T＝，t＝T 解得t＝。 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的解题方法 二、带电粒子在有界匀强磁场中的运动 1．直线边界 从某一直线边界射入的粒子，再从这一边界射出时，速度与边界的夹角相等，如图所示。 2．平行边界 3．圆形边界 (1)在圆形磁场区域内，沿半径方向射入的粒子，必沿半径方向射出，如图甲所示。 (2)在圆形磁场区域内，不沿半径方向射入的粒子，入射速度方向与半径的夹角为θ，出射速度方向与半径的夹角也为θ，如图乙所示。 4．三角形边界 如图所示是等边三角形ABC区域内某带正电的粒子垂直AB方向进入磁场的临界轨迹示意图，粒子能从AC间射出的两个临界轨迹如图甲、乙所示。 例3　(2023·宿迁市高二统考期末)如图所示，在边界PQ上方有垂直纸面向里的匀强磁场，一对比荷相同的正、负离子同时从边界上的O点沿与PQ成θ角的方向以相同的速度v射入磁场中，不计离子重力，则正、负离子(　　) A．在磁场中的运动时间相同 B．在磁场中运动的位移相同 C．出边界时两者的速度相同 D．正离子出边界点到O点的距离更大 答案　C 解析　两离子在磁场中运动周期为T＝ 则知两个离子圆周运动的周期相等。根据左手定则分析可知，正离子逆时针偏转，负离子顺时针偏转，作出两离子的运动轨迹，如图所示 两离子重新回到边界时，正离子的速度偏向角为2π－2θ，轨迹的圆心角也为2π－2θ，运动时间t1＝T 同理，负离子运动时间t2＝T 正、负离子在磁场中运动时间不相等，故A错误； 根据洛伦兹力提供向心力，则有qvB＝ 得r＝ 由题意知r相同，根据几何知识可得，重新回到边界的位置与O点距离s＝2rsin θ， r、θ相同，则s相同，故两离子在磁场中运动的位移大小相同，方向不同，故B、D错误； 两离子在磁场中均做匀速圆周运动，速度沿轨迹的切线方向，根据圆的对称性可知，重新回到边界时速度大小与方向相同，故C正确。 例4　在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿－x方向射入磁场，它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿＋y方向飞出。 (1)请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷； (2)若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B′，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°，求磁感应强度B′的大小及此次粒子在磁场中运动所用时间t。 答案　(1)负电荷　　(2)B　 解析　(1)由粒子的运动轨迹(如图)，利用左手定则可知，该粒子带负电荷。粒子由A点射入，由C点飞出，其速度方向改变了90°，则粒子轨迹半径R＝r，又qvB＝m， 则粒子的比荷＝。 (2)设粒子从D点飞出磁场，运动轨迹如图，偏转角为60°，故AD弧所对圆心角为60°，由几何知识可知，粒子做圆周运动的半径R′＝＝r，又R′＝，所以B′＝B，此次粒子在磁场中运动所用时间t＝T＝×＝。 专题强化练 1.如图，ABCD是一个正方形的匀强磁场区域，两相同的粒子甲、乙分别以不同的速率从A、D两点沿图示方向射入磁场，不计粒子重力，均从C点射出，则它们的速率之比v甲∶v乙和它们通过该磁场所用时间之比t甲∶t乙分别为(　　) A．1∶1　2∶1 B．2∶1　2∶1 C．2∶1　1∶2 D．1∶2　1∶1 答案　C 解析　根据qvB＝m，得v＝，根据题图可知，甲、乙两粒子的半径之比为2∶1，又因为两粒子相同，故v甲∶v乙＝r甲∶r乙＝2∶1，粒子在磁场中的运动周期T＝，两粒子相同，可知甲、乙两粒子的周期之比为1∶1，根据题图可知，甲、乙两粒子转过的圆心角之比为1∶2，故两粒子在磁场中运动的时间之比t甲∶t乙＝1∶2，选C。 2.如图所示，两个速度大小不同的同种带电粒子1、2沿水平方向从同一点垂直射入匀强磁场中，不计粒子重力，磁场方向垂直纸面向里，当它们从磁场下边界飞出时相对入射方向的偏转角分别为90°、60°，则粒子1、2在磁场中运动的(　　) A．轨迹半径之比为2∶1 B．速度之比为1∶2 C．时间之比为2∶3 D．周期之比为1∶2 答案　B 解析　带电粒子在匀强磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律有qvB＝m，可得r＝，又T＝，联立可得T＝，故两粒子运动的周期相同，D错误；速度的偏转角等于轨迹所对的圆心角，故粒子1的运动时间t1＝T＝T，粒子2的运动时间t2＝T＝T，则时间之比为3∶2，C错误；粒子1和粒子2运动轨迹的圆心O1和O2如图所示，设粒子1的轨迹半径R1＝d，对于粒子2，由几何关系可得R2sin 30°＋d＝R2，解得R2＝2d，故轨迹半径之比为1∶2，A错误；由r＝可知，速度之比为1∶2，B正确。 3.如图所示，在第Ⅰ象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，一对质量与电荷量都相等的正、负粒子分别以相同速率沿与x轴成30°角的方向从原点射入磁场，不计粒子重力，则正、负粒子在磁场中运动的时间之比为(　　) A．1∶2 B．2∶1 C．1∶ D．1∶1 答案　B 解析　由洛伦兹力提供向心力有qvB＝，又T＝，解得T＝，则正、负粒子在磁场中的运动周期相等，正、负粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，正粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为120°，负粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为60°，故时间之比为2∶1，B正确。 4.(多选)(2023·广州市第七十五中学高二期中)如图所示，在纸面内半径为R的圆形区域中充满了垂直于纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。一点电荷从图中A点以速度v0垂直磁场射入，经磁场偏转后恰能从点A′射出且速度方向刚好改变了90°。已知AA′为区域磁场的一条直径，不计电荷的重力，下列说法正确的是(　　) A．该点电荷带负电 B．该点电荷在磁场中做圆周运动的半径为R C．该点电荷的比荷为＝ D．该点电荷在磁场中的运动时间为t＝ 答案　AC 解析　由左手定则可知该电荷带负电，故A正确； 点电荷在磁场中做匀速圆周运动，根据几何关系作出轨迹，如图所示。 设轨迹圆的半径为r，可得r＝2Rsin 45°＝R，故B错误； 根据qv0B＝m，联立解得＝，故C正确；该点电荷在磁场中的运动时间为t＝＝，故D错误。 5.(多选)如图所示，直角三角形ABC区域内部存在一匀强磁场，比荷相同的两个带电粒子沿AB方向射入磁场，分别从AC边上的P、Q两点射出，不计粒子重力，则(　　) A．从P射出的粒子速度大 B．从Q射出的粒子速度大 C．从P射出的粒子在磁场中运动的时间长 D．两粒子在磁场中运动的时间一样长 答案　BD 解析　作出两带电粒子各自的运动轨迹，如图所示，根据圆周运动特点知，两粒子分别从P、Q点射出时，速度方向与AC边的夹角相等，故可判定两粒子从P、Q点射出时，半径RP<RQ，故由R＝可知从Q点射出的粒子速度大，A错误，B正确；由T＝＝得，两粒子在磁场中做圆周运动的周期相等，根据图示，可知两轨迹对应的圆心角相等，由t＝T得两粒子在磁场中的运动时间相等，C错误，D正确。 6.空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，图中的正方形为其边界。一细束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从O点入射。这两种粒子带同种电荷，它们的电荷量、质量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子，不计重力。下列说法正确的是(　　) A．入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同 B．入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同 C．在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹一定相同 D．在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹一定越长 答案　B 解析　根据qvB＝m，周期T＝，得r＝，T＝，这两种粒子带同种电荷，比荷相同，则周期相同，若不同速度粒子都从左边界离开磁场，圆心角均为180°，运动时间一定相同，但运动轨迹不同，故A、C错误；由r＝知运动圆弧对应的半径与速率成正比，入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同，故B正确；如图，运动轨迹为1的粒子的运动时间较长，但轨迹长度比2的短，故D错误。 7.(2023·东莞市石龙中学高二月考)如图，半径为R的圆心区域中充满了垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，一不计重力的带电粒子从图中A点以速度v0垂直磁场射入，速度方向与半径方向成45°角，当该粒子离开磁场时，速度方向恰好改变了180°，下列说法正确的是(　　) A．该粒子带正电 B．该粒子的比荷为 C．该粒子出磁场时速度方向的反向延长线通过O点 D．该粒子在磁场中的运动时间为 答案　D 解析　由题意知该粒子离开磁场时，速度方向恰好改变了180°，粒子一定向下偏转，由左手定则可知粒子带负电，A错误； 粒子的运动轨迹如图所示， 由几何关系可知粒子的轨道半径为r＝R，由洛伦兹力提供向心力有qv0B＝m，解得＝，B错误； 由运动轨迹可知，该粒子出磁场时速度方向的反向延长线不通过O点，C错误； 该粒子在磁场中的运动时间为t＝T＝×＝，D正确。 8.如图所示，在圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，ab是圆的直径。一不计重力的带电粒子从a点射入磁场，速度大小为v1、方向与ab成30°角时，恰好从b点飞出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为t；若同一带电粒子从a点沿ab方向射入磁场，也经时间t飞出磁场，则其速度大小为(　　) A.v1 B.v1 C.v1 D.v1 答案　C 解析　画出两种情况下带电粒子的运动轨迹如图所示，由题意，同一粒子在磁场中偏转时间均为t，则两种情况下带电粒子的偏转角均为60°；设圆的半径为R，由几何关系可以确定带电粒子在两种情况下做匀速圆周运动的半径分别为r1＝2R，r2＝Rtan 60°＝R，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，则速度v＝，则＝＝，所以当粒子沿ab方向射入时，v2＝v1，A、B、D错误，C正确。 9.(2019·全国卷Ⅲ)如图，在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为B和B、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子垂直于x轴射入第二象限，随后垂直于y轴进入第一象限，最后经过x轴离开第一象限。粒子在磁场中运动的时间为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设带电粒子进入第二象限的速度为v，在第二象限和第一象限中运动的轨迹如图所示，对应的轨迹半径分别为R1和R2，由洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m、T＝，可得R1＝、R2＝、T1＝、T2＝，带电粒子在第二象限中运动的时间为t1＝，在第一象限中运动的时间为t2＝T2，又由几何关系有cos θ＝＝，可得t2＝，则粒子在磁场中运动的时间为t＝t1＋t2，联立以上各式解得t＝，选项B正确，A、C、D错误。 10.(2023·河源市龙川县第一中学高二期末)如图所示，在xOy坐标系的第一象限内存在磁感应强度方向垂直纸面向里的匀强磁场。一带正电的粒子在P点以与x轴正方向成α＝60°的方向以速度v0垂直磁场射入，一段时间后粒子从y轴上的Q点(图中未画出)射出磁场，带电粒子在Q点的速度方向与y轴负方向的夹角β＝60°。已知带电粒子的质量为m、电荷量为q，OP＝a，不计粒子所受重力。求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小B； (2)带电粒子在第一象限内运动的时间。 答案　(1)　(2) 解析　(1)画出带电粒子的运动轨迹如图所示，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qvB＝m 解得r＝ 由几何关系得rsin α＋rcos β＝a 解得B＝ (2)设带电粒子的轨迹的圆心角为θ，则由几何关系得θ＝ T＝ t＝T 解得t＝。 11.(多选)(2023·汕头市潮阳区河溪中学高二期中)如图，质子(不计重力)以一定初速度从ad的中点平行ab边方向进入立方体区域abcd－a′b′c′d′，立方体区域存在竖直向下垂直于abcd平面的匀强磁场，质子可能从哪条边界射出立方体(　　) A．ad边 B．b′c′边 C．cd边 D．a′d′边 答案　AC 解析　根据qvB＝m， 令棱长为L，当半径R≤， 即v≤时，根据左手定则可知，质子从ad边飞出，A正确； 若在上述基础上，增大速度，半径增大，质子将从cd边飞出，继续增大速度，质子将从cb边飞出，C正确； 根据左手定则，质子始终在abcd平面内偏转，不可能从b′c′边与a′d′边飞出，B、D错误。 学科网（北京）股份有限公司 $$