2.6 培优专题　电磁感应中的电路与图像问题-2024-2025学年高二物理同步培优学案（人教版2019选择性必修第二册）

第2.6节 培优专题　电磁感应中的电路与图像问题 学习目标　 1.掌握电磁感应现象中电路问题和电荷量求解问题的基本思路和方法，建立解决电磁感应现象中电路问题的思维模型。 2.将抽象思维与形象思维相结合，综合应用楞次定律和法拉第电磁感应定律解决电磁感应中的图像问题。 提升1　电磁感应中的电路问题 处理电磁感应中电路问题的一般思路 (1)明确哪部分电路或导体产生感应电动势，该部分电路或导体就相当于电源，其他部分是外电路。 (2)画等效电路图，分清内、外电路。 (3)用法拉第电磁感应定律E＝n或E＝Blv确定感应电动势的大小，用楞次定律或右手定则确定感应电流的方向。在等效电源内部，电流方向从负极指向正极。 (4)运用闭合电路欧姆定律、串并联电路特点、电功率、电热等公式联立求解。 例1 (多选)(教材P46 B组T3改编)如图所示，固定在匀强磁场中的由均匀电阻丝构成的正方形导线框abcd边长为l、电阻为4R，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直于导线框所在平面向里。现有一段长为l、阻值为R的金属棒PQ架在线框上，并以恒定速度v从ad边滑向bc边。PQ在滑动过程中与ab边垂直且与导线框的接触良好，下列说法正确的是(　　) A.ad边的电流方向从a到d B.金属棒滑到ab(dc)中点时，流过PQ的电流大小为 C.金属棒所受安培力的最小值为 D.导线框消耗的最大电功率为 (1)“电源”的确定方法：“切割”磁感线的导体(或磁通量发生变化的线圈)相当于“电源”，该部分导体(或线圈)的电阻相当于“内电阻”。 (2)电流的流向：在“电源”内部电流从负极流向正极，在“电源”外部电流从正极流向负极。 训练1 粗细均匀的电阻丝围成的正方形线框置于有界匀强磁场中，磁场方向垂直于线框平面，其边界与正方形线框的边平行。现使线框以同样大小的速度沿四个不同方向平移出磁场，如图所示，则在移出过程中线框的一边a、b两点间电势差的绝对值最大的是(　　) 训练2如图所示，水平放置的平行金属导轨间距为，两金属导轨间接一定值电阻，质量为、长度为的金属杆垂直导轨静止放置，在虚线右侧有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为。现对金属杆施加水平向右、大小恒为的拉力，经过时间，金属杆刚好进入磁场并做匀速运动。已知杆与导轨间的动摩擦因数为0.2，杆与导轨始终保持垂直且接触良好，两者电阻均忽略不计，重力加速度取。求： (1)金属杆在磁场中运动时产生的电动势大小； (2)定值电阻的阻值。 提升2　电磁感应中的电荷量问题 　　　　　　　　　　　　　　 闭合回路中磁通量发生变化时，电荷发生定向移动而形成感应电流，在Δt时间内通过某一截面的电荷量(感应电荷量)q＝I·Δt＝·Δt＝n··Δt＝。 从上式可知，线圈匝数一定时，通过某一截面的感应电荷量仅由回路电阻和磁通量的变化量决定，与时间无关。 例2 如图甲所示，abcd为正方形导线框，线框处在磁场中，磁场垂直于线框平面，线框边长L＝0.5 m，电阻R＝1 Ω，磁感应强度B随时间t的变化如图乙所示，在0～0.5 s和1～2 s的时间内通过线框截面的电荷量分别为q1和q2。则q1∶q2为(　　) A.1∶1 B.2∶1 C.1∶2 D.1∶4 训练1 如图所示，用粗细相同的铜丝做成边长分别为d和2d的单匝闭合线框a和b，以相同的速度将线框从磁感应强度为B的匀强磁场区域中匀速地拉到磁场外。若此过程中流过两线框的电荷量分别为qa、qb，则qa∶qb为(　　) A.1∶4 B.1∶2 C.1∶1 D.不能确定 训练2（多选）在轨稳定运行的天和核心舱内，我国航天员进行的某次科研实验如图所示：一个正方形闭合线圈以速度v1垂直磁场边界进入矩形匀强磁场区域，此后线圈穿过该磁场，若线圈恰好离开磁场时的速度大小为v2，则下列关于线圈的说法正确的是（　　） A．进入磁场的过程中，感应电流的方向为逆时针方向 B．离开磁场的过程中，感应电流的方向为逆时针方向 C．完全进入磁场时的速度等于 D．完全进入磁场时的速度小于 提升3　电磁感应中的图像问题 　　　　　　　　　　　　　　 1.电磁感应中的图像问题 图像类型 (1)磁感应强度B、磁通量Φ、感应电动势E和感应电流I随时间t变化的图像，即B－t图像、Φ－t图像、E－t图像和I－t图像。 (2)对于切割磁感线产生感应电动势和感应电流的情况，还常涉及感应电动势E和感应电流I随导体位移x变化的图像，即E－x图像和I－x图像。 问题类型 (1)由给定的电磁感应过程选出或画出正确的图像。 (2)由给定的有关图像分析电磁感应过程，求解相应的物理量。 应用知识 左手定则、右手定则、安培定则、楞次定律、法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿运动定律、相关数学知识等。 2.解决此类问题的一般步骤 例3 如图所示，在空间中存在两个相邻的、磁感应强度大小相等、方向相反的有界匀强磁场，其宽度均为L。现将宽度也为L的矩形闭合线圈，从图示位置垂直于磁场方向匀速拉过磁场区域，则在该过程中，能正确反映线圈中所产生的感应电流或其所受的外力随时间变化的图像是(　　) 求解图像类选择题的两种常用方法 (1)排除法：定性分析电磁感应过程中物理量的变化趋势(增大还是减小)、变化情况(变化快慢及均匀变化还是非均匀变化)，特别是分析物理量的正负，以排除错误的选项。 (2)函数法：根据题目所给条件定量地写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图像进行分析和判断。 训练1 如图甲所示，矩形导线框abcd固定在变化的磁场中，产生了感应电流(电流方向沿abcda为正方向)。若规定垂直纸面向里的方向为磁场的正方向，能够产生如图乙所示电流的磁场为(　　) 训练2如图所示，在、的区域中存在垂直于平面的匀强磁场，磁感应强度大小相等，边界与轴正方向的夹角为，左侧磁场向里，右侧磁场向外。正方形导线框以恒定的速度沿轴正方向运动并穿过磁场区域，运动过程中边始终平行于轴。规定导线框中逆时针方向为电流的正方向。从刚进入磁场开始计时，下列能正确反映导线框中感应电流随时间变化图像的是（　　） A． B． C． D． 随堂对点自测 1.(电磁感应中的电路问题)(2024·山东菏泽高二期中)如图所示，竖直平面内有一金属环，半径为a，总电阻为R(指拉直时两端的电阻)，磁感应强度为B的匀强磁场垂直穿过环平面，在环的最高点A用铰链连接长度为2a、电阻为R的导体棒AB，AB由水平位置紧贴环面摆下(与环接触良好)，当摆到竖直位置时，B点的线速度为v，则此时AB两端的电压为(　　) A.2Bav B.Bav C. D. 2.(电磁感应中的电荷量问题)(2024·天津南开高二期末)如图所示，竖直虚线MN的左侧有方向垂直于线圈所在平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场，一面积为S、电阻为R的单匝圆形线圈以大小为v的速度向左匀速进入磁场，线圈的直径CD始终与MN平行，下列说法正确的是(　　) A.在线圈进入磁场的过程中，线圈上产生的感应电流始终沿顺时针方向 B.在线圈进入磁场的过程中，线圈受到的安培力先水平向右后水平向左 C.当CD与MN重合时，线圈上产生的感应电动势大小为2Bv D.从线圈开始进入至全部进入磁场的过程中，通过导线横截面的电荷量为 3.(电磁感应中的图像问题)(多选)如图所示，空间分布着宽为L、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。一金属线框从磁场左边界匀速向右通过磁场区域。规定顺时针方向为电流的正方向，则感应电流随位移变化的关系图像(i－x)、ab两端电势差随位移变化的关系图像(Uab－x)，可能正确的是(　　) 4.如图甲所示，一匝数、面积、电阻的圆形线圈，与一个阻值的电阻组成闭合回路，把线圈放入一个方向垂直线圈平面向里的圆形磁场中，磁场区域和线圈完全重合，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示，求： (1)时，通过电阻R的电流大小和方向； (2)内，通过电阻R的电荷量。 5．如图1所示，足够长的光滑金属框架竖直放置，顶端留有接口a、b，两竖直导轨间距为d，一质量为m、长度为d的金属棒始终与竖直导轨接触良好，磁感应强度大小为B的匀强磁场垂直于框架平面向里，重力加速度为g。不计空气阻力，不计框架和金属棒的电阻及电磁辐射的能量损失。 (1)若在a、b间接入一个阻值为R的定值电阻，如图2所示，从静止释放金属棒。 a．请分析说明金属棒的运动情况； b．定性画出通过电阻R的电流i随时间t变化的图像； c．求出金属棒的最终速度大小。 (2)若在a、b间接入一个电容为C的电容器，如图3所示，同样从静止释放金属棒，若电容器C不会被击穿。 a．依据必要的计算分析，说明金属棒的运动情况，并画出金属棒下降一段时间的速度随时间的变化关系图像； b．求金属棒下降高度为h时的速度。 基础对点练 题组一　电磁感应中的电路问题 1.如图所示，由均匀导线制成的半径为R的圆环以速度v匀速进入一磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的有直线边界(图中竖直虚线)的匀强磁场。当圆环运动到图示位置(∠aOb＝90°)时，a、b两点的电势差为(　　) A.BRv B.BRv C.BRv D.BRv 2.(多选)(2024·四川南充高二期中)在图中，EF、GH为平行的金属导轨，其电阻不计，R为电阻，C为电容器，AB为可在EF和GH上滑动的导体棒。有匀强磁场垂直于导轨平面。若用I1和I2分别表示图中该处导线中的电流，则当AB棒(　　) A.匀速滑动时，I1 ＝ 0，I2 ＝ 0 B.匀速滑动时，I1 ≠ 0，I2 ＝ 0 C.减速滑动时，I1 ≠ 0，I2≠ 0 D.减速滑动时，I1 ＝ 0，I2 ＝ 0 3.用相同导线绕制的边长为L或2L的四个闭合导体线框，以相同的速度匀速进入右侧匀强磁场，如图所示。在每个线框进入磁场的过程中，M、N两点间的电压分别为Ua、Ub、Uc和Ud。下列判断正确的是(　　) A.Ua<Ub<Uc<Ud B.Ua<Ub<Ud<Uc C.Ua＝Ub<Uc＝Ud D.Ub<Ua<Ud<Uc 题组二　电磁感应中的电荷量问题 4.如图所示，一匝数为N、面积为S、总电阻为R的圆形线圈，放在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于线圈平面。当线圈由原位置翻转180°，此过程中通过线圈导线横截面的电荷量为(　　) A. B. C. D. 5.(多选)(2024·辽宁大连高二期中)如图所示，长直导线通以方向向上的恒定电流I，矩形金属线圈abcd与导线共面，线圈的长宽比2∶1，第一次将线圈由静止从位置Ⅰ平移到位置Ⅱ停下，第二次将线圈由静止从位置Ⅰ绕过d点垂直纸面的轴线旋转90°到位置Ⅲ停下，两次变换位置的过程所用的时间相同，以下说法正确的是(　　) A.两次线圈所产生的平均感应电动势相等 B.两次通过线圈导线横截面积的电荷量相等 C.两次线圈所产生的平均感应电动势之比为2∶1 D.两次通过线圈导线横截面积的电荷量之比为2∶1 6.(2024·福建泉州高二期中)如图所示，先后以速度v1和v2匀速把一矩形线圈水平拉出有界匀强磁场区域，且v1＝2v2，则在先后两种情况下(　　) A.线圈中的感应电动势之比E1∶E2＝1∶2 B.线圈中的感应电流之比I1∶I2＝4∶1 C.线圈中产生的焦耳热之比Q1∶Q2＝2∶1 D.通过线圈某截面的电荷量之比q1∶q2＝2∶1 题组三　电磁感应中的图像问题 7.如图甲所示，在竖直向上的匀强磁场中，水平放置一个不变形的单匝金属圆线圈，规定线圈中感应电流的正方向如图甲所示。当磁场的磁感应强度B随时间t做如图乙所示的变化时，选项图中能正确表示线圈中感应电动势E变化的是(　　) 8.(2024·云南玉溪高二期末)如图所示，边长为2L的正方形MNPQ内左半部分存在垂直纸面向里的匀强磁场，右半部分存在垂直纸面向外的匀强磁场，两磁场磁感应强度大小相等。边长为L的正方形线框dabc从左向右匀速通过该磁场区域，运动过程中线框始终垂直于磁场且bc边始终平行于PQ。规定线框中顺时针为电流的正方向，从ab边刚进入磁场到cd边刚离开磁场的过程，下列图像能正确反映线框中感应电流i随时间t变化的是(　　) 综合提升练 9.如图所示，MN、PQ为两条平行放置、间距为L的光滑金属导轨，左右两端分别接有阻值均为R的定值电阻R1、R2，金属棒AB垂直放在两导轨之间且与导轨接触良好，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面。金属棒在水平向右、大小为F的恒力作用下向右匀速运动。不计金属导轨和金属棒的电阻，求： (1)判断流过R1的电流方向； (2)流过电阻R2的电流大小； (3)金属棒运动的速度v的大小。 10.（多选）电磁俘能器常在电器元件中使用。为探究俘能原理，某同学设计了如图所示的实验，俘能装置中两条相距为的平行光滑金属导轨位于同一水平面内，右端连接阻值为的定值电阻；质量为长为的金属杆静置在导轨上，金属杆与导轨垂直且接触良好。导轨之间边长为的正方形区域ABCD内有匀强磁场，磁感应强度大小为，方向垂直导轨平面向里。动力源带动磁场以速度向右匀速掠过金属杆。已知金属杆距离定值电阻足够远，导轨和金属杆的电阻不计，则下列说法正确的是（　　） A．流过定值电阻的最大电流为 B．金属杆的最大加速度为 C．磁场左边界经过金属杆的瞬间，金属杆的速率为 D．磁场左边界经过金属杆的瞬间，定值电阻的功率为 11．如图所示，两平行虚线间区域存在垂直纸面向里、宽度为l的匀强磁场，梯形abcd是位于纸面内的直角梯形导线框，ab边刚好与磁场区域右边界重合，bc间的距离为2l，．从时刻起，使线圈沿垂直于磁场区域边界的方向以速度v匀速穿越磁场区域，规定梯形线圈中感应电流顺时针方向为正方向，则在线圈穿越磁场区域的过程中，下列关于感应电流I随时间t变化的图像可能正确的是（　　） A． B． B． C． D． 12．（多选）如图甲所示，单匝正方形线框abcd的电阻R＝0.5 Ω，边长L＝20 cm，匀强磁场垂直于线框平面向里，磁感应强度的大小随时间变化规律如图乙所示，则下列说法中正确的是（　　） A．线框中的感应电流沿逆时针方向，大小为2.4×10－2 A B．0~2 s内通过ab边横截面的电荷量为4.8×10－2 C C．3 s时ab边所受安培力的大小为1.44×10－2 N D．0~4 s内线框中产生的焦耳热为1.152×10－3 J 培优加强练 13.如图甲所示，饭卡是学校等单位最常用的辅助支付手段，其内部主要部分是一个多匝线圈，当刷卡机发出电磁信号时，置于刷卡机上的饭卡线圈的磁通量发生变化，发生电磁感应，产生电信号，其原理可简化为如图乙所示。设线圈的匝数为1 200匝，每匝线圈面积均为S＝10－4 m2，线圈的总电阻为r＝0.1 Ω，线圈连接一电阻R＝0.3 Ω，其余部分电阻不计。线圈处磁场的方向不变，其大小按如图丙所示的规律变化(垂直纸面向里为正)，求： (1)t＝0.05 s时线圈产生的感应电动势大小； (2)0～0.1 s时间内，电阻R产生的焦耳热； (3)0.1～0.4 s时间内，通过电阻R的电荷量。 14.如图甲所示，电阻不计的两根足够长的平行光滑金属导轨固定在水平面内，左端连接电阻，匀强磁场的方向竖直向下。置于导轨上的金属杆始终保持与导轨垂直且接触良好，时刻金属杆的初速度方向水平向右，同时施加一水平向右的外力，杆运动的速度随时间变化的图像如图乙所示。下列关于外力随时间变化的图像正确的是（    ） A． B． B． D． 15．如图所示，空间有一个边长为2L的等边三角形匀强磁场区域，现有一个底边长为L的直角三角形金属线框，电阻为R，高度与磁场区域相等，金属线框以速度v匀速穿过磁场区域的过程中，规定逆时针方向的电流为正，则下列关于线框中感应电流i随位移x变化的图线正确的是（开始时线框右端点与磁场区域左端点重合）（　　） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2.6节 培优专题　电磁感应中的电路与图像问题 学习目标　 1.掌握电磁感应现象中电路问题和电荷量求解问题的基本思路和方法，建立解决电磁感应现象中电路问题的思维模型。 2.将抽象思维与形象思维相结合，综合应用楞次定律和法拉第电磁感应定律解决电磁感应中的图像问题。 提升1　电磁感应中的电路问题 处理电磁感应中电路问题的一般思路 (1)明确哪部分电路或导体产生感应电动势，该部分电路或导体就相当于电源，其他部分是外电路。 (2)画等效电路图，分清内、外电路。 (3)用法拉第电磁感应定律E＝n或E＝Blv确定感应电动势的大小，用楞次定律或右手定则确定感应电流的方向。在等效电源内部，电流方向从负极指向正极。 (4)运用闭合电路欧姆定律、串并联电路特点、电功率、电热等公式联立求解。 例1 (多选)(教材P46 B组T3改编)如图所示，固定在匀强磁场中的由均匀电阻丝构成的正方形导线框abcd边长为l、电阻为4R，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直于导线框所在平面向里。现有一段长为l、阻值为R的金属棒PQ架在线框上，并以恒定速度v从ad边滑向bc边。PQ在滑动过程中与ab边垂直且与导线框的接触良好，下列说法正确的是(　　) A.ad边的电流方向从a到d B.金属棒滑到ab(dc)中点时，流过PQ的电流大小为 C.金属棒所受安培力的最小值为 D.导线框消耗的最大电功率为 答案　AD 解析　由楞次定律可知，流过ad边的电流方向从a到d，A正确；金属棒滑到ab(dc)中点时，PQ切割磁感线产生的感应电动势为E＝Blv，外电路并联电阻R并＝R，回路总电阻R总＝R并＋R＝2R，故此时流过PQ的电流大小为I＝＝，B错误；金属棒滑动过程中外电路总电阻为R外＝，其中R左＋R右＝4R，则当R左＝R右，即金属棒滑到ab(dc)中点时，外电路并联电阻最大，回路总电阻最大，流过金属棒的电流最小为I＝，故PQ所受安培力的最小值为Fmin＝IlB＝，C错误；当金属棒滑到ab(dc)中点时，外电路并联电阻等于金属棒电阻，导线框消耗的电功率最大，最大值为Pmax＝，D正确。 (1)“电源”的确定方法：“切割”磁感线的导体(或磁通量发生变化的线圈)相当于“电源”，该部分导体(或线圈)的电阻相当于“内电阻”。 (2)电流的流向：在“电源”内部电流从负极流向正极，在“电源”外部电流从正极流向负极。 训练1 粗细均匀的电阻丝围成的正方形线框置于有界匀强磁场中，磁场方向垂直于线框平面，其边界与正方形线框的边平行。现使线框以同样大小的速度沿四个不同方向平移出磁场，如图所示，则在移出过程中线框的一边a、b两点间电势差的绝对值最大的是(　　) 答案　B 解析　磁场中切割磁感线的边相当于电源，外电路可看成由三个相同电阻串联形成，A、C、D选项中a、b两点间电势差的绝对值为外电路中一个电阻两端的电压U＝E＝；B选项中a、b两点间电势差的绝对值为路端电压U′＝E＝，所以a、b两点间电势差的绝对值最大的是B选项，故B正确。 训练2如图所示，水平放置的平行金属导轨间距为，两金属导轨间接一定值电阻，质量为、长度为的金属杆垂直导轨静止放置，在虚线右侧有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为。现对金属杆施加水平向右、大小恒为的拉力，经过时间，金属杆刚好进入磁场并做匀速运动。已知杆与导轨间的动摩擦因数为0.2，杆与导轨始终保持垂直且接触良好，两者电阻均忽略不计，重力加速度取。求： (1)金属杆在磁场中运动时产生的电动势大小； (2)定值电阻的阻值。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）进入磁场前，根据牛顿第二定律 即 解得 杆进入磁场（磁场足够大）时恰好开始做匀速直线运动，速度 故金属杆在磁场中运动时产生的电动势大小 （2）杆进入磁场（磁场足够大）时恰好开始做匀速直线运动，由平衡条件有 即 解得 根据欧姆定律 解得 提升2　电磁感应中的电荷量问题 　　　　　　　　　　　　　　 闭合回路中磁通量发生变化时，电荷发生定向移动而形成感应电流，在Δt时间内通过某一截面的电荷量(感应电荷量)q＝I·Δt＝·Δt＝n··Δt＝。 从上式可知，线圈匝数一定时，通过某一截面的感应电荷量仅由回路电阻和磁通量的变化量决定，与时间无关。 例2 如图甲所示，abcd为正方形导线框，线框处在磁场中，磁场垂直于线框平面，线框边长L＝0.5 m，电阻R＝1 Ω，磁感应强度B随时间t的变化如图乙所示，在0～0.5 s和1～2 s的时间内通过线框截面的电荷量分别为q1和q2。则q1∶q2为(　　) A.1∶1 B.2∶1 C.1∶2 D.1∶4 答案　C 解析　法一　根据E＝＝可得，0～0.5 s和1～2 s产生的感应电动势大小相等，根据闭合电路欧姆定律可得0～0.5 s和1～2 s通过线框的电流大小相等，据q＝It可得q1∶q2＝1∶2，故C正确。 法二　电磁感应现象中通过电路导体横截面的电荷量公式q＝n，当面积S不变时，可写为q＝ n，故q∝ΔB，所以＝＝，故C正确。 训练1 如图所示，用粗细相同的铜丝做成边长分别为d和2d的单匝闭合线框a和b，以相同的速度将线框从磁感应强度为B的匀强磁场区域中匀速地拉到磁场外。若此过程中流过两线框的电荷量分别为qa、qb，则qa∶qb为(　　) A.1∶4 B.1∶2 C.1∶1 D.不能确定 答案　B 解析　设闭合线框的边长为L，则Δt时间内流过线框的电荷量为q＝IΔt＝Δt＝Δt＝＝，R＝ρ，则q＝，则＝＝＝，故B正确。 训练2（多选）在轨稳定运行的天和核心舱内，我国航天员进行的某次科研实验如图所示：一个正方形闭合线圈以速度v1垂直磁场边界进入矩形匀强磁场区域，此后线圈穿过该磁场，若线圈恰好离开磁场时的速度大小为v2，则下列关于线圈的说法正确的是（　　） A．进入磁场的过程中，感应电流的方向为逆时针方向 B．离开磁场的过程中，感应电流的方向为逆时针方向 C．完全进入磁场时的速度等于 D．完全进入磁场时的速度小于 【答案】AC 【详解】A．进入磁场的过程中，穿过线圈的磁通量向里增加，根据楞次定律可知，感应电流的方向为逆时针方向，故A正确； B．离开磁场的过程中，穿过线圈的磁通量向里减小，根据楞次定律可知，感应电流的方向为顺时针方向，故B错误； CD．设完全进入磁场时的速度为v，线圈进入磁场的过程，根据动量定理可得 其中 线圈离开磁场的过程，根据动量定理可得 其中 联立可得 则有 故C正确，D错误。 故选AC。 提升3　电磁感应中的图像问题 　　　　　　　　　　　　　　 1.电磁感应中的图像问题 图像类型 (1)磁感应强度B、磁通量Φ、感应电动势E和感应电流I随时间t变化的图像，即B－t图像、Φ－t图像、E－t图像和I－t图像。 (2)对于切割磁感线产生感应电动势和感应电流的情况，还常涉及感应电动势E和感应电流I随导体位移x变化的图像，即E－x图像和I－x图像。 问题类型 (1)由给定的电磁感应过程选出或画出正确的图像。 (2)由给定的有关图像分析电磁感应过程，求解相应的物理量。 应用知识 左手定则、右手定则、安培定则、楞次定律、法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿运动定律、相关数学知识等。 2.解决此类问题的一般步骤 例3 如图所示，在空间中存在两个相邻的、磁感应强度大小相等、方向相反的有界匀强磁场，其宽度均为L。现将宽度也为L的矩形闭合线圈，从图示位置垂直于磁场方向匀速拉过磁场区域，则在该过程中，能正确反映线圈中所产生的感应电流或其所受的外力随时间变化的图像是(　　) 答案　D 解析　当矩形闭合线圈进入磁场时，由法拉第电磁感应定律判断，感应电流的大小在中间时段是最大的，故选项A、B错误；由楞次定律可知，当矩形闭合线圈进入磁场和出磁场时，磁场力总是阻碍线圈的运动，方向始终向左，因安培力的大小不同且在中间时最大，由左手定则知，在中间时安培力的方向也向左，所以外力始终水平向右，故选项C错误，D正确。 求解图像类选择题的两种常用方法 (1)排除法：定性分析电磁感应过程中物理量的变化趋势(增大还是减小)、变化情况(变化快慢及均匀变化还是非均匀变化)，特别是分析物理量的正负，以排除错误的选项。 (2)函数法：根据题目所给条件定量地写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图像进行分析和判断。 训练1 如图甲所示，矩形导线框abcd固定在变化的磁场中，产生了感应电流(电流方向沿abcda为正方向)。若规定垂直纸面向里的方向为磁场的正方向，能够产生如图乙所示电流的磁场为(　　) 答案　D 解析　由题图乙可知，0～t1内，线框中电流的大小与方向都不变，根据法拉第电磁感应定律可知，线框中磁通量的变化率不变，故0～t1内磁感应强度与时间的关系图线是一条倾斜的直线，A、B错误；又由于0～t1时间内电流的方向为正，即沿abcda方向，由楞次定律可知，电路中感应电流的磁场方向垂直纸面向里，故0～t1内原磁场垂直纸面向里减小或垂直纸面向外增大，C错误，D正确。 训练2如图所示，在、的区域中存在垂直于平面的匀强磁场，磁感应强度大小相等，边界与轴正方向的夹角为，左侧磁场向里，右侧磁场向外。正方形导线框以恒定的速度沿轴正方向运动并穿过磁场区域，运动过程中边始终平行于轴。规定导线框中逆时针方向为电流的正方向。从刚进入磁场开始计时，下列能正确反映导线框中感应电流随时间变化图像的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】线框刚进入磁场瞬间，bc边切割磁场，且有效切割部分在OM线上方，切割磁场，由右手定则知电流方向为逆时针，随着线框进入，bc边在OM线上方的部分在减少，在OM线下方的部分在增大，切割的有效长度逐渐减小，电流减小；当线框的一半进入磁场时，bc边在OM线上方和下方的距离相等，切割的有效长度为0，电流为0；之后bc边在OM线上方部分小于在OM线下方部分，切割向外磁场，由右手定则知电流为顺时针，且逐渐增大；运动到线框全部进入磁场一瞬间，bc边切割向外磁场，ad边切割向里磁场，电流方向一致，均为顺时针，故此瞬时电流大小为初始时刻的两倍；随着线框继续运动，ad边重复bc边进入过程，bc边切割有效长度不变，电流逐渐减小，直至整个线框运动至OM线右侧，电流减小至0。 故选D。 随堂对点自测 1.(电磁感应中的电路问题)(2024·山东菏泽高二期中)如图所示，竖直平面内有一金属环，半径为a，总电阻为R(指拉直时两端的电阻)，磁感应强度为B的匀强磁场垂直穿过环平面，在环的最高点A用铰链连接长度为2a、电阻为R的导体棒AB，AB由水平位置紧贴环面摆下(与环接触良好)，当摆到竖直位置时，B点的线速度为v，则此时AB两端的电压为(　　) A.2Bav B.Bav C. D. 答案　D 解析　导体棒摆到竖直位置时，产生的电动势大小为E＝B·2a·＝B·2a·＝Bav，分析可知此时电路相当于金属环左半边和右半边并联后与导体棒串联，两边金属环并联后的电阻为R并＝×＝，AB两端的电压为路端电压，有UAB＝· R并＝，故D正确。 2.(电磁感应中的电荷量问题)(2024·天津南开高二期末)如图所示，竖直虚线MN的左侧有方向垂直于线圈所在平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场，一面积为S、电阻为R的单匝圆形线圈以大小为v的速度向左匀速进入磁场，线圈的直径CD始终与MN平行，下列说法正确的是(　　) A.在线圈进入磁场的过程中，线圈上产生的感应电流始终沿顺时针方向 B.在线圈进入磁场的过程中，线圈受到的安培力先水平向右后水平向左 C.当CD与MN重合时，线圈上产生的感应电动势大小为2Bv D.从线圈开始进入至全部进入磁场的过程中，通过导线横截面的电荷量为 答案　C 解析　在线圈进入磁场的过程中，由楞次定律可知，线圈上产生的感应电流方向为逆时针方向，再由左手定则可知，线圈所受的安培力方向水平向右，A、B错误；当CD与MN重合时，线圈上产生的感应电动势大小为E＝BLv＝B·2·v＝2Bv，C正确；从线圈开始进入至全部进入磁场的过程中，通过导线横截面的电荷量为q＝Δt，又有＝＝，＝，解得q＝，D错误。 3.(电磁感应中的图像问题)(多选)如图所示，空间分布着宽为L、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。一金属线框从磁场左边界匀速向右通过磁场区域。规定顺时针方向为电流的正方向，则感应电流随位移变化的关系图像(i－x)、ab两端电势差随位移变化的关系图像(Uab－x)，可能正确的是(　　) 答案　AC 解析　设金属线框总电阻为R，以线框刚要进入磁场为0时刻。在0～L过程中，根据右手定则可知，线框中的感应电流方向为逆时针(负方向)，此时产生的电动势为E1＝BLv，感应电流大小为I1＝＝，ab两端电势差为Uab＝E1＝BLv，在L～2L过程中，根据右手定则可知，线框中的感应电流方向为逆时针(负方向)，此时产生的电动势为E2＝2BLv，感应电流大小为I2＝＝＝2I1，ab两端电势差为Uab′＝E2＝BLv＝2Uab，在2L～3L过程中，根据右手定则可知，线框中的感应电流方向为顺时针(正方向)，此时产生的电动势为E3＝3BLv，感应电流大小为I3＝＝＝3I1，ab两端电势差为Uab″＝E3＝BLv＝7Uab，故A、C正确。 4.如图甲所示，一匝数、面积、电阻的圆形线圈，与一个阻值的电阻组成闭合回路，把线圈放入一个方向垂直线圈平面向里的圆形磁场中，磁场区域和线圈完全重合，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示，求： (1)时，通过电阻R的电流大小和方向； (2)内，通过电阻R的电荷量。 【答案】(1)2A；电流的方向为从b到a (2)16C 【详解】（1）时，线圈内产生的感应电动势大小为 V 感应电流的大小为 A 由楞次定律可知，电阻R上感应电流的方向为从b到a； （2）内产生的平均感应电动势为 V 产生的平均感应电流为 A内通过的电荷量为 C 5．如图1所示，足够长的光滑金属框架竖直放置，顶端留有接口a、b，两竖直导轨间距为d，一质量为m、长度为d的金属棒始终与竖直导轨接触良好，磁感应强度大小为B的匀强磁场垂直于框架平面向里，重力加速度为g。不计空气阻力，不计框架和金属棒的电阻及电磁辐射的能量损失。 (1)若在a、b间接入一个阻值为R的定值电阻，如图2所示，从静止释放金属棒。 a．请分析说明金属棒的运动情况； b．定性画出通过电阻R的电流i随时间t变化的图像； c．求出金属棒的最终速度大小。 (2)若在a、b间接入一个电容为C的电容器，如图3所示，同样从静止释放金属棒，若电容器C不会被击穿。 a．依据必要的计算分析，说明金属棒的运动情况，并画出金属棒下降一段时间的速度随时间的变化关系图像； b．求金属棒下降高度为h时的速度。 【答案】(1)a．做加速度减小的加速运动，当时，达到最大速度，之后做匀速运动，b．c． (2)a．匀加速直线运动，，b． 【详解】（1）a．金属棒切割磁感线产生的感应电动势 回路中的电流 金属棒受到的安培力 根据牛顿第二定律 金属棒的速度增大，感应电动势E增大，电流I增大，安培力F增大，加速度a减小，所以金属棒做加速度减小的加速运动，当时，达到最大速度，之后做匀速运动。 b．通过电阻R的电流i随时间t变化的图像如图所示 c．当金属棒向下做匀速运动时，根据平衡条件，有 解得 （2）a．金属棒向下做加速运动，在极短时间内，金属棒的速度变化，根据加速度的定义有 金属棒产生的电动势变化 电容器增加的电荷量 根据电流的定义有 解得 金属棒受到的安培力 根据牛顿第二定律，有 解得 可以判断金属棒做匀加速直线运动，故金属棒下降一段时间的图像如图4所示 b．根据运动学公式 解得 基础对点练 题组一　电磁感应中的电路问题 1.如图所示，由均匀导线制成的半径为R的圆环以速度v匀速进入一磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的有直线边界(图中竖直虚线)的匀强磁场。当圆环运动到图示位置(∠aOb＝90°)时，a、b两点的电势差为(　　) A.BRv B.BRv C.BRv D.BRv 答案　D 解析　设整个圆环的电阻为r，当位于题图所示位置时，电路的外电阻是圆环总电阻的，在磁场内切割磁感线的有效长度是R，感应电动势E＝B·R·v，根据闭合电路欧姆定律可得Uab＝E＝BRv，选项D正确。 2.(多选)(2024·四川南充高二期中)在图中，EF、GH为平行的金属导轨，其电阻不计，R为电阻，C为电容器，AB为可在EF和GH上滑动的导体棒。有匀强磁场垂直于导轨平面。若用I1和I2分别表示图中该处导线中的电流，则当AB棒(　　) A.匀速滑动时，I1 ＝ 0，I2 ＝ 0 B.匀速滑动时，I1 ≠ 0，I2 ＝ 0 C.减速滑动时，I1 ≠ 0，I2≠ 0 D.减速滑动时，I1 ＝ 0，I2 ＝ 0 答案　BC 解析　电容器在电路中与等效电源并联，两端电压为AB端电压，所以当导体棒匀速滑动时，电容器两端电压不变，则I2＝0，电阻R中电流不为零，则I1 ≠ 0，故B正确，A错误；减速滑动时，电容器两端电压随导体棒速度的减小而减小，所以电容器一直在放电，放电电流不为零，通过电阻的电流也不为零，则I1 ≠ 0，I2≠ 0，故C正确，D错误。 3.用相同导线绕制的边长为L或2L的四个闭合导体线框，以相同的速度匀速进入右侧匀强磁场，如图所示。在每个线框进入磁场的过程中，M、N两点间的电压分别为Ua、Ub、Uc和Ud。下列判断正确的是(　　) A.Ua<Ub<Uc<Ud B.Ua<Ub<Ud<Uc C.Ua＝Ub<Uc＝Ud D.Ub<Ua<Ud<Uc 答案　B 解析　线框进入磁场的过程中，MN切割磁感线，等效为电源，则MN两端电压即为路端电压，四种情况下的等效电路图如图所示。 由题知Ea＝Eb＝BLv，Ec＝Ed＝2BLv，由闭合电路欧姆定律和串联电路电压规律可知Ua＝BLv，Ub＝BLv，Uc＝BLv，Ud＝BLv，故Ua<Ub<Ud<Uc，选项B正确。 题组二　电磁感应中的电荷量问题 4.如图所示，一匝数为N、面积为S、总电阻为R的圆形线圈，放在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于线圈平面。当线圈由原位置翻转180°，此过程中通过线圈导线横截面的电荷量为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由于开始时线圈平面与磁场方向垂直，把线圈翻转180°，有ΔΦ＝2BS，则通过线圈导线横截面的电荷量q＝N＝，选项B正确，A、C、D错误。 5.(多选)(2024·辽宁大连高二期中)如图所示，长直导线通以方向向上的恒定电流I，矩形金属线圈abcd与导线共面，线圈的长宽比2∶1，第一次将线圈由静止从位置Ⅰ平移到位置Ⅱ停下，第二次将线圈由静止从位置Ⅰ绕过d点垂直纸面的轴线旋转90°到位置Ⅲ停下，两次变换位置的过程所用的时间相同，以下说法正确的是(　　) A.两次线圈所产生的平均感应电动势相等 B.两次通过线圈导线横截面积的电荷量相等 C.两次线圈所产生的平均感应电动势之比为2∶1 D.两次通过线圈导线横截面积的电荷量之比为2∶1 答案　CD 解析　根据通电直导线周围的磁场分布和图中线圈位置可知，两次通过线圈的磁通量的改变量之比为＝，根据E＝n可知，两次线圈所产生的平均感应电动势之比为＝，故A错误，C正确；通过线圈导线横截面积的电荷量为q＝I·Δt＝·Δt＝n，可知两次通过线圈导线横截面积的电荷量之比为＝，故B错误，D正确。 6.(2024·福建泉州高二期中)如图所示，先后以速度v1和v2匀速把一矩形线圈水平拉出有界匀强磁场区域，且v1＝2v2，则在先后两种情况下(　　) A.线圈中的感应电动势之比E1∶E2＝1∶2 B.线圈中的感应电流之比I1∶I2＝4∶1 C.线圈中产生的焦耳热之比Q1∶Q2＝2∶1 D.通过线圈某截面的电荷量之比q1∶q2＝2∶1 答案　C 解析　因为v1＝2v2，根据E＝Blv知，线圈中的感应电动势之比为2∶1，故A错误；感应电流I＝＝，则线圈中的感应电流之比为2∶1，故B错误；由v1＝2v2知，线圈离开磁场所用的时间之比为1∶2，根据Q＝I2Rt知，线圈中产生的焦耳热之比为2∶1，故C正确；根据q＝t＝n，两种情况磁通量的变化量相同，可知通过线圈某截面的电荷量之比为1∶1，故D错误。 题组三　电磁感应中的图像问题 7.如图甲所示，在竖直向上的匀强磁场中，水平放置一个不变形的单匝金属圆线圈，规定线圈中感应电流的正方向如图甲所示。当磁场的磁感应强度B随时间t做如图乙所示的变化时，选项图中能正确表示线圈中感应电动势E变化的是(　　) 答案　A 解析　由题图乙知，0～1 s内磁通量向上均匀增加，根据楞次定律知，电流方向为正且保持不变；1～3 s内磁通量不变，故感应电动势为0；3～5 s内磁通量向上均匀减少，由楞次定律知，电流方向为负且保持不变。由法拉第电磁感应定律知，感应电动势的大小与磁通量的变化率成正比，所以3～5 s内的感应电动势是0～1 s内的感应电动势的，故选项A正确。 8.(2024·云南玉溪高二期末)如图所示，边长为2L的正方形MNPQ内左半部分存在垂直纸面向里的匀强磁场，右半部分存在垂直纸面向外的匀强磁场，两磁场磁感应强度大小相等。边长为L的正方形线框dabc从左向右匀速通过该磁场区域，运动过程中线框始终垂直于磁场且bc边始终平行于PQ。规定线框中顺时针为电流的正方向，从ab边刚进入磁场到cd边刚离开磁场的过程，下列图像能正确反映线框中感应电流i随时间t变化的是(　　) 答案　C 解析　根据右手定则可知，线框进入磁场过程中、在磁场中运动的过程中、出磁场的过程中，感应电流的方向分别为逆时针、顺时针、逆时针，分别为负值、正值、负值；又因为线框在磁场中运动的过程中，两条边切割磁感线，其电流是进入磁场、出磁场时电流的2倍，故C正确。 综合提升练 9.如图所示，MN、PQ为两条平行放置、间距为L的光滑金属导轨，左右两端分别接有阻值均为R的定值电阻R1、R2，金属棒AB垂直放在两导轨之间且与导轨接触良好，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面。金属棒在水平向右、大小为F的恒力作用下向右匀速运动。不计金属导轨和金属棒的电阻，求： (1)判断流过R1的电流方向； (2)流过电阻R2的电流大小； (3)金属棒运动的速度v的大小。 答案　(1)由M到P　(2)　(3) 解析　(1)根据右手定则可知，流过R1的电流方向为由M到P。 (2)金属棒向右匀速运动，满足F＝F安＝ILB，由于R1、R2的阻值相等，流过电阻R2的电流 I′＝＝。 (3)不计金属导轨和金属棒的电阻，由欧姆定律得E＝I′R2，感应电动势E＝BLv 联立解得v＝。 10.（多选）电磁俘能器常在电器元件中使用。为探究俘能原理，某同学设计了如图所示的实验，俘能装置中两条相距为的平行光滑金属导轨位于同一水平面内，右端连接阻值为的定值电阻；质量为长为的金属杆静置在导轨上，金属杆与导轨垂直且接触良好。导轨之间边长为的正方形区域ABCD内有匀强磁场，磁感应强度大小为，方向垂直导轨平面向里。动力源带动磁场以速度向右匀速掠过金属杆。已知金属杆距离定值电阻足够远，导轨和金属杆的电阻不计，则下列说法正确的是（　　） A．流过定值电阻的最大电流为 B．金属杆的最大加速度为 C．磁场左边界经过金属杆的瞬间，金属杆的速率为 D．磁场左边界经过金属杆的瞬间，定值电阻的功率为 【答案】AC 【详解】AB．以磁场为参考系，金属杆以大小为的初速度向左减速运动，则刚进入磁场时产生的电动势最大，感应电流最大，加速度也最大，根据法拉第电磁感应定律，感应电动势为 根据欧姆定律可得电流 根据牛顿第二定律可得， 联立解得加速度 A正确，B错误； CD．以磁场为参考系，对根据动量定理可得 即 解得 所以相对地面的速率 此时感应电动势 定值电阻的功率 C正确，D错误。 故选AC。 11．如图所示，两平行虚线间区域存在垂直纸面向里、宽度为l的匀强磁场，梯形abcd是位于纸面内的直角梯形导线框，ab边刚好与磁场区域右边界重合，bc间的距离为2l，．从时刻起，使线圈沿垂直于磁场区域边界的方向以速度v匀速穿越磁场区域，规定梯形线圈中感应电流顺时针方向为正方向，则在线圈穿越磁场区域的过程中，下列关于感应电流I随时间t变化的图像可能正确的是（　　） A． B． B． C． D． 【答案】B 【详解】由楞次定律可知，在时间内感应电流方向沿逆时针方向，线圈切割磁感线的有效长度越来越短且成线性递减，所以感应电动势减小，故感应电流也随时间线性减小；在时间内感应电流方向沿顺时针，只有ad边切割磁感线，有效切割长度不变，则感应电动势不变，故感应电流大小不变；在时间内感应电流方向沿顺时针，线圈切割磁感线的有效长度越来越短且成线性递减，则感应电动势减小，故感应电流也随时间线性减小。 故选B。 12．（多选）如图甲所示，单匝正方形线框abcd的电阻R＝0.5 Ω，边长L＝20 cm，匀强磁场垂直于线框平面向里，磁感应强度的大小随时间变化规律如图乙所示，则下列说法中正确的是（　　） A．线框中的感应电流沿逆时针方向，大小为2.4×10－2 A B．0~2 s内通过ab边横截面的电荷量为4.8×10－2 C C．3 s时ab边所受安培力的大小为1.44×10－2 N D．0~4 s内线框中产生的焦耳热为1.152×10－3 J 【答案】BD 【详解】A．由楞次定律判断感应电流为顺时针方向，由法拉第电磁感应定律得电动势 E＝S＝1.2×10－2 V 感应电流 I＝＝2.4×10－2 A 故A错误； B．电荷量 q＝IΔt 解得 q＝4.8×10－2 C 故B正确； C．安培力 F＝BIL 由题图乙得，3s时B＝0.3 T，代入数值得 F＝1.44×10－3 N 故C错误； D．由焦耳定律得 Q＝I2Rt 代入数值得 Q＝1.152×10－3 J 故D正确。 故选BD。 培优加强练 13.如图甲所示，饭卡是学校等单位最常用的辅助支付手段，其内部主要部分是一个多匝线圈，当刷卡机发出电磁信号时，置于刷卡机上的饭卡线圈的磁通量发生变化，发生电磁感应，产生电信号，其原理可简化为如图乙所示。设线圈的匝数为1 200匝，每匝线圈面积均为S＝10－4 m2，线圈的总电阻为r＝0.1 Ω，线圈连接一电阻R＝0.3 Ω，其余部分电阻不计。线圈处磁场的方向不变，其大小按如图丙所示的规律变化(垂直纸面向里为正)，求： (1)t＝0.05 s时线圈产生的感应电动势大小； (2)0～0.1 s时间内，电阻R产生的焦耳热； (3)0.1～0.4 s时间内，通过电阻R的电荷量。 答案　(1)0.024 V　(2)1.08×10－4 J　(3)0.006 C 解析　(1)由法拉第电磁感应定律有 E＝n＝nS 0～0.1 s时间内线圈产生的感应电动势为 E1＝nS＝1 200××10－4 V＝0.024 V 则t＝0.05 s时线圈产生的感应电动势大小为 0.024 V。 (2)根据闭合电路欧姆定律，有 I1＝＝ A＝0.06 A 根据焦耳定律，可得0～0.1 s时间内，电阻R产生的焦耳热为 Q＝IRt＝0.062×0.3×0.1 J＝1.08×10－4 J。 (3)0.1～0.4 s内，根据法拉第电磁感应定律有 ＝n 根据闭合电路欧姆定律有＝ 则通过电阻R的电荷量为q＝Δt＝n 结合图像可得q＝1 200× C＝0.006 C。 14.如图甲所示，电阻不计的两根足够长的平行光滑金属导轨固定在水平面内，左端连接电阻，匀强磁场的方向竖直向下。置于导轨上的金属杆始终保持与导轨垂直且接触良好，时刻金属杆的初速度方向水平向右，同时施加一水平向右的外力，杆运动的速度随时间变化的图像如图乙所示。下列关于外力随时间变化的图像正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图乙可知金属杆匀减速运动，根据牛顿第二定律有 根据法拉第电磁感应定律可知 又 解得 可知F-t图像为一次函数图像，其中斜率为负。 故选A。 15．如图所示，空间有一个边长为2L的等边三角形匀强磁场区域，现有一个底边长为L的直角三角形金属线框，电阻为R，高度与磁场区域相等，金属线框以速度v匀速穿过磁场区域的过程中，规定逆时针方向的电流为正，则下列关于线框中感应电流i随位移x变化的图线正确的是（开始时线框右端点与磁场区域左端点重合）（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】时，穿过线框的磁通量垂直纸面向里增大，由楞次定律可知，线框中感应电流沿逆时针方向为正，设线框有效切割长度为l，则由几何关系有 由法拉第电磁感应定律有 由闭合电路欧姆定律知 当时 时，穿过线框的磁通量垂直纸面向里增大，由楞次定律可知，线框中感应电流沿逆时针方向为正，由几何关系可得 当时，；时，穿过线框的磁通量垂直纸面向里减小，由楞次定律可知，线框中感应电流沿顺时针方向为负，当斜边刚出磁场时 之后，由几何关系可得 当时，，B图符合题意。 故选B。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$