第1章 专题强化2 带电粒子在有界匀强磁场中的运动-【步步高】2023-2024学年高二物理选择性必修 第二册 （鲁科版2019）

专题强化2　带电粒子在有界匀强磁场中的运动 [学习目标]　1.会分析带电粒子在有界匀强磁场中的运动(重点)。2.能熟练应用“定圆心、描轨迹、求半径”的解题思路(难点)。 一、直线边界 一带负电粒子从一直线边界射入匀强磁场，再从这一边界射出。粒子入射时速度与该边界夹角为θ，粒子运动半径为R，粒子重力不计。请画出下面三种情况下粒子的运动轨迹，求出粒子射出该边界时速度与边界的夹角并观察出射角与入射角的大小关系。 答案　 粒子入射直线边界磁场的出射角等于入射角。 例1　(2023·宿迁市高二统考期末)如图所示，在边界PQ上方有垂直纸面向里的匀强磁场，一对比荷相同的正、负离子同时从边界上的O点沿与PQ成θ角的方向以相同的速度v射入磁场中，不计离子的重力，则正、负离子(　　) A．在磁场中的运动时间相同 B．在磁场中运动的位移相同 C．出边界时两者的速度相同 D．正离子出边界点到O点的距离更大 答案　C 解析　两离子在磁场中运动周期为T＝，则知两个离子圆周运动的周期相等。根据左手定则分析可知，正离子逆时针偏转，负离子顺时针偏转，作出两离子的运动轨迹，如图所示，两离子重新回到边界时，正离子的速度偏向角为2π－2θ，轨迹的圆心角也为2π－2θ，运动时间t1＝T，同理，负离子运动时间t2＝T，正、负离子在磁场中运动时间不相等，故A错误； 根据洛伦兹力提供向心力，则有qvB＝，得r＝，由题知、v、B大小均相同，则r相同，根据几何知识可得，重新回到边界的位置与O点距离s＝2rsin θ，r、θ相同，则s相同，故两离子在磁场中运动的位移大小相同，方向不同，故B、D错误； 两离子在磁场中均做匀速圆周运动，速度沿轨迹的切线方向，根据圆的对称性可知，重新回到边界时速度大小与方向相同，故C正确。 例2　(2023·天津河西高二校考期末)三个质量均为m，电荷量均为q的质子1、2和3分别以大小相等的初速度v经平板MN上的小孔O射入匀强磁场，各初速度的方向如图所示，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B，整个装置处在真空中，且不计质子重力。最终这三个质子打到平板MN上的位置到小孔的距离分别为s1、s2和s3，则以下正确的是(　　) A．s1＜s2＜s3 B．s2＞s3＞s1 C．s1＝s3＜s2＝ D．s1＝s3＜s2＝ 答案　C 解析　三个质子速度大小相等，根据qvB＝m可知，质子运动的半径相同；1和3与MN板的夹角相等，根据对称性可知这两个质子的轨迹恰好构成一个完整的圆，所以1和3打到MN板上的位置到小孔的距离相等，长度为圆弧的弦长(小于直径)；2垂直入射，垂直出射，打到MN板上的位置到小孔的距离为直径：s2＝2R＝，所以s1＝s3<s2＝，故C正确，A、B、D错误。 二、平行边界 例3　如图一质量为m、电荷量为q的带负电粒子，从左边界射入磁感应强度为B的平行边界匀强磁场，粒子速度为v且与左边界夹角为30°，并垂直右边界射出。粒子的重力不计，求磁场宽度。 答案　 解析　粒子运动轨迹如图， 粒子转过圆心角θ＝60°， 由qvB＝，d＝Rsin 60°， 得d＝。 三、圆形边界 (1)在圆形磁场区域内，沿半径方向射入的粒子，必沿半径方向射出，如图甲所示。 (2)在圆形磁场区域内，不沿半径方向射入的粒子，入射速度方向与半径的夹角为θ，出射速度方向与半径的夹角也为θ，如图乙所示。 例4　(多选)(2023·河北邯郸高二校考期末)如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，O为圆心，A、B、C为圆形区域边界上的三点，BC为直径，∠AOC＝60°，现有一对质量相等、电荷量不等的正、负粒子，从A点沿AO方向以相同大小的速度垂直磁场射入，一个从B点离开磁场，另一个从C点离开磁场。粒子的重力及相互作用力均不计，则下列说法正确的是(　　) A．从B点离开磁场的粒子带负电 B．正、负粒子的电荷量大小之比为1∶3 C．正、负粒子在磁场中运动的周期之比为1∶3 D．正、负粒子在磁场中运动的时间之比为2∶3 答案　ACD 解析　带电粒子进入磁场，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，根据左手定则可以判断，从B点离开磁场的粒子带负电，故A正确；由以上分析可得，从C点出去的是带正电的粒子，画出运动轨迹，圆心为O1，从B点出去的是带负电的粒子，画出运动轨迹，圆心为O2，如图所示，设磁场的磁感应强度为B′，由几何关系得R1＝Rtan 30°＝R，R2＝Rtan 60°＝ R，匀速圆周运动中，洛伦兹力提供向心力q1vB′＝m，q1vB′＝mR1，联立解得R1＝，T1＝，同理得R2＝，T2＝，联立得正、负粒子的电荷量大小之比为q1∶q2＝3∶1，正、负粒子在磁场中运动的周期之比为T1∶T2＝1∶3，故B错误，C正确； 正、负粒子在磁场中运动的时间之比为t1∶t2＝T1∶T2＝2∶3，故D正确。 四、三角形边界 如图所示是等边三角形ABC区域内(包括边界)某带正电的粒子垂直AB方向进入磁场的临界轨迹示意图，粒子能从AC间射出的两个临界轨迹如图甲、乙所示。 例5　如图所示，边长为L的正三角形ABC区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场(包括边界)，D为AB边的中点，一个质量为m、电荷量为q的带正电的粒子平行BC边射入磁场，粒子的速度大小为v0，结果刚好垂直BC边射出磁场，不计粒子的重力，求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小； (2)若要使粒子在磁场中的运动轨迹刚好与BC相切，粒子的速度大小为多少？粒子在磁场中运动的时间为多少？ 答案　(1)　(2)　 解析　(1)根据题意知，粒子在磁场中的运动轨迹如图中的轨迹①所示。 根据几何关系可知，粒子做圆周运动的半径 r1＝cos 30°＝L 根据牛顿第二定律有qv0B＝m 解得B＝。 (2)设粒子的速度为v时，粒子的运动轨迹与BC相切，如图中的轨迹②所示，由几何关系可知，粒子做圆周运动的半径r2＝r1＝L 由牛顿第二定律有qvB＝m 解得v＝＝v0 由几何关系可知，粒子在磁场中的运动轨迹所对应的圆心角为240°，此粒子在磁场中运动的时间 t＝T＝×＝。 专题强化练 1．(2023·重庆八中高二期末)如图所示，一线状粒子源垂直于磁场边界不断地发射速度相同的同种粒子，不考虑粒子间的相互作用及重力，则粒子经过磁场的区域(阴影部分)可能的是(　　) 答案　C 解析　粒子在磁场中做匀速圆周运动，如图所示，粒子源最左端发射的粒子落在A点，最右端发射的粒子落在B点，故选C。 2.如图所示，在第Ⅰ象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，一对质量与电荷量都相等的正、负粒子分别以相同速率沿与x轴成30°角的方向从原点射入磁场，不计粒子重力，则正、负粒子在磁场中运动的时间之比为(　　) A．1∶2 B．2∶1 C．1∶ D．1∶1 答案　B 解析　由洛伦兹力提供向心力有qvB＝，又T＝，解得T＝，则正、负粒子在磁场中的运动周期相等，正、负粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，正粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为120°，负粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为60°，故时间之比为2∶1，B正确。 3.(2023·吉林高二期末)如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，质量为m、电荷量为q的正电荷(重力忽略不计)以速度v沿正对着圆心O的方向射入磁场，从磁场中射出时速度方向改变了θ角。则磁场的磁感应强度大小为(　　) A. B.  C. D. 答案　B 解析　正电荷运动的轨迹如图所示，设电荷运动的轨迹半径为r，由几何关系可得tan ＝，洛伦兹力提供电荷在磁场中做匀速圆周运动的向心力，可得qvB＝m，联立可得B＝，故选B。 4.(2023·宁夏中卫高二期末)如图所示，直线MN上方有垂直纸面向里的匀强磁场，电子1从磁场边界上的a点垂直MN和磁场方向射入磁场，经t1时间从b点离开磁场。之后电子2也由a点沿图示方向以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，则为(　　) A．3 B．2 C. D. 答案　A 解析　电子在磁场中都做匀速圆周运动，根据题意画出电子的运动轨迹，如图所示， 电子1垂直射入磁场，从b点离开，则运动了半个圆周，ab即为直径，c点为圆心，电子2以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，根据qvB＝得，轨迹半径r＝，可知电子1和2的半径相等，又因T＝，所以电子1和2的周期相等，根据几何关系可知，△aOc为等边三角形，则电子2转过的圆心角为60°，所以电子1运动的时间t1＝＝，电子2运动的时间t2＝＝，所以＝3，故选A。 5.(多选)如图所示，直角三角形ABC中存在一匀强磁场，比荷相同的两个带电粒子沿AB方向射入磁场，分别从AC边上的P、Q两点射出，不计粒子重力及粒子间的相互作用力，则(　　) A．从P射出的粒子速度大 B．从Q射出的粒子速度大 C．从P射出的粒子在磁场中运动的时间长 D．两粒子在磁场中运动的时间一样长 答案　BD 解析　作出两带电粒子各自的运动轨迹，如图所示， 根据圆周运动特点知，两粒子分别从P、Q点射出时，速度方向与AC边的夹角相等，故可判定两粒子从P、Q点射出时，半径RP<RQ，故由R＝可知从Q点射出的粒子速度大，A错误，B正确；由T＝＝得，两粒子在磁场中做圆周运动的周期相等，根据图示，可知两轨迹对应的圆心角相等，由t＝T得两粒子在磁场中的运动时间相等，C错误，D正确。 6.(2022·青岛市高二期末)空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，图中的正方形为其边界。一细束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从O点入射。这两种粒子带同种电荷，它们的电荷量、质量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子，不计重力。下列说法正确的是(　　) A．入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同 B．入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同 C．在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹一定相同 D．在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹一定越长 答案　B 解析　根据qvB＝m，周期T＝，得r＝，T＝，这两种粒子带同种电荷，比荷相同，则周期相同，若不同速度粒子都从左边界离开磁场，圆心角均为180°，运动时间一定相同，但运动轨迹不同，故A、C错误；根据qvB＝m，在磁场中运动半径r＝， 运动轨迹对应的半径与速率成正比，入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同，故B正确；如图，运动轨迹为1的粒子的运动时间较长，但轨迹长度比2的短，故D错误。 7.(2023·广州大学附属中学高二期末)如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外。ab边中点有一电子源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k。则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为(　　) A.kBl，kBl B.kBl，kBl C.kBl，kBl D.kBl，kBl 答案　B 解析　从a点射出电子半径Ra＝＝，得va＝＝，从d点射出电子半径为Rd2＝l2＋(Rd－)2，解得Rd＝l＝，故vd＝＝，故B选项符合题意。 8.(2022·天津一中高二期末)如图所示，在纸面内半径为R的圆形区域中存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，O点为圆形区域的圆心，磁感应强度大小为B，一个比荷为k的带电粒子以某一速率从M点沿着直径MON方向垂直射入磁场，运动轨迹如图所示，并从P点离开磁场。已知直径MON、POQ的夹角θ＝60°，不计粒子的重力，下列说法正确的是(　　) A．粒子带正电 B．粒子做圆周运动的半径为R C．粒子运动的速率为kBR D．粒子在磁场中运动的时间为 答案　C 解析　粒子向右偏转，根据左手定则可知，粒子带负电，A错；粒子做圆周运动的圆心为O′，如图所示。根据几何知识有粒子做匀速圆周运动的半径为r＝Rtan ＝R，B错；因为qvB＝m，所以粒子运动的速率为v＝kBR，C对；粒子在磁场中运动的圆心角为α＝120°，所以粒子在磁场中运动的时间为t＝×＝，D错。 9.(2023·开滦第二中学高二期末)如图，一个质量为m、电荷量为q的带负电的粒子，不计重力，从x轴上的P点以速度v射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。已知v与x轴成45°角，OP＝a。则下列说法错误的是(　　) A．带电粒子运动轨迹的半径为a B．磁场的磁感应强度为 C．OQ的长度为a D．粒子在第一象限内运动的时间为 答案　C 解析　带电粒子做匀速圆周运动的圆心和轨迹如图，设带电粒子运动轨迹的半径为R，根据几何知识可得＝sin 45°，解得R＝a，故A正确；根据洛伦兹力提供向心力可得Bqv＝，解得B＝，故B正确；根据几何知识可得O′Q＝R＝a，O′O＝a，故OQ＝OO′＋O′Q＝(＋1)a，故C错误；带电粒子做匀速圆周运动的周期为T＝，由几何知识可得∠QO′P＝135°，故粒子在第一象限内运动的时间为t＝·T＝，故D正确。 10.(2023·山东威海市高二期末)如图所示，直角三角形OPQ区域内有垂直纸面向里的匀强磁场(未画出)，磁感应强度大小为B，∠O＝60°，边长OQ＝2a。质量为m、电荷量为q的带负电粒子从O点沿OP方向射入磁场，从OQ边射出且半径最大，粒子重力不计，下列说法正确的是(　　) A．粒子的速度大小为 B．粒子在磁场中的运动时间为 C．粒子在磁场中运动的圆弧对应的弦长为 D．粒子离开磁场的位置到Q点的距离为(2－)a 答案　D 解析　依题意，粒子的轨迹如图所示， 与PQ边相切，可得r＝a，又qvB＝m，联立解得v＝，故A错误；由几何关系可知，粒子在磁场中运动的轨迹圆弧所对应圆心角为120°，有t＝T，又T＝，联立解得t＝，故B错误；设粒子在磁场中运动的圆弧对应的弦长为L，由几何关系可得＝rcos 30°，联立解得L＝a，故C错误；粒子离开磁场的位置到Q点的距离为QQ′＝OQ－L＝(2－)a，故D正确。 学科网（北京）股份有限公司 $$