精品解析：江苏省无锡市2024-2025学年高一上学期期末教学质量调研测试数学卷

无锡市2024年秋学期高一期终教学质量调研测试 数学 2025.01 命题单位：江阴市教师发展中心 制卷单位：无锡市教育科学研究院 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知全集，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 2. 设，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知扇形的周长为12，圆心角的弧度是4，则该扇形的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的定义域为 C. 是增函数 D. 6. 已知，若，则（ ） A B. C. D. 7. 已知正数满足，则最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 8. 已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离（单位：）与速度（单位：）之间有如下关系式：，其中是比例系数，且是汽车质量（单位：）.若某辆卡车不装货物（司机体重忽略不计）以的速度行驶时，从踩刹车到停车需要走.当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，为保证安全，要在发现前面处有障碍物时能在离障碍物以外处停车，则最高速度应低于（假定司机发现障碍物到踩刹车需要经过）（ ） A. 16 B. 18 C. 24 D. 27 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题是真命题是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则下列说法正确的有（ ） A. 为锐角 B. 点在的终边上 C. D. 11. 定义在上的函数，对任意，当时，都有.若当时，，则（ ） A. 函数是周期函数 B. 当时， C. 不等式的解为 D. 若，恒有，则的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象经过点，则__________ 13. 已知，则__________；__________.（结果用，b表示） 14. 在平面直角坐标系中，点是单位圆上的动点，过点作轴的垂线，与射线交于点，与轴交于点.记，且，则面积的最大值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）求； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. 已知均为锐角，且. （1）求的值： （2）求的值. 17. 已知函数的图象过点和点. （1）求函数的单调递增区间； （2）若的图象向左平移个单位后得到函数的图象，且图象关于直线对称，求函数与的图象在上的交点个数. 18. 已知为偶函数，为奇函数，且. （1）求与的解析式； （2）令. （i）解不等式； （ii）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数，其中. （1）若函数的定义域为，求的值； （2）记函数的最大值为，最小值为，若，求的取值范围； （3）当时，若，证明：函数在上存在唯一的零点，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 无锡市2024年秋学期高一期终教学质量调研测试 数学 2025.01 命题单位：江阴市教师发展中心 制卷单位：无锡市教育科学研究院 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】利用补集的定义直接求解得答案. 【详解】全集，则或. 故选：B 2. 设，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过举反例可判断A，B，根据不等式的性质或作差法可判断C，D. 【详解】当，时，显然不成立，故A错误； 当时，显然不成立，故B错误； 因为，所以成立，故C正确； 因为，由已知可知，但不能确定的符号，故D错误. 故选：C. 3. 已知扇形的周长为12，圆心角的弧度是4，则该扇形的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】利用扇形的周长与圆心角求出扇形的半径，然后利用扇形的面积公式计算即可. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为，弧长为， 则周长为12得：， 所以扇形的面积为：. 故选：C. 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式结合弦化切可得出所求代数式的值. 【详解】因为，则 . 故选：A. 5. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 定义域为 C. 是增函数 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正切函数的性质依次求出函数的最小正周期、定义域、单调区间即可求解． 【详解】对A：由，函数的最小正周期为，故A错误； 对B：由，，解得， 所以的定义域为，故B错误； 对C：，，解得，， 所以函数在，上单调递增，故C错误； 对D：由C知当时，在上单调递增，所以，故D正确； 故选：D. 6. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的图象性质，先可得，从而可判断，，，从而得解. 【详解】根据函数为增函数， 由于，则， 所以，即， 因为，所以，即， ，所以. 故选：B 7. 已知正数满足，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式求出原式的最大值即可. 【详解】原式，当且仅当，即时，等号成立，取得最大值. 故选：A 8. 已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离（单位：）与速度（单位：）之间有如下关系式：，其中是比例系数，且是汽车质量（单位：）.若某辆卡车不装货物（司机体重忽略不计）以的速度行驶时，从踩刹车到停车需要走.当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，为保证安全，要在发现前面处有障碍物时能在离障碍物以外处停车，则最高速度应低于（假定司机发现障碍物到踩刹车需要经过）（ ） A. 16 B. 18 C. 24 D. 27 【答案】B 【解析】 【分析】设卡车本身的质量为（），速度为（），刹车滑行距离为（），依题意可得，卡车司机发现障碍物到踩刹车需要经过，可得，解不等式可得答案. 【详解】设卡车本身的质量为（），速度为（），刹车滑行距离为（），依题意可得，将，代入可得：. 又卡车司机发现障碍物到踩刹车需要经过， 这内卡车行驶的路程为：（）. 由， 所以. 根据速度的意义，所以. 所以卡车行驶的速度应低于. 故选：B 【点睛】关键点点睛：理解题意，找出题目中的不等关系是解题关键. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题是真命题是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】判断每个选项的命题的真假即可. 【详解】对于A，因为，所以，或，所以，故A错误； 对于B，当时，，故B正确； 对于C，若，则，故C错误； 对于D，，则，满足条件，故D正确； 故选：BD 10. 已知，则下列说法正确的有（ ） A. 为锐角 B. 点在的终边上 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题中条件及平方关系式，解得，结合角的范围判断A；进而求得，可判断B，C；继而利用二倍角公式及两角差的正弦公式计算即可判断D. 【详解】由和， 解得，因为， 则，所以为锐角，A正确； 则，即，C正确； 可得， 由，可知点在的终边上，B错误； 由,， 所以，D正确. 故选：ACD. 11. 定义在上的函数，对任意，当时，都有.若当时，，则（ ） A. 函数是周期函数 B. 当时， C. 不等式的解为 D. 若，恒有，则最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由周期性的定义可判断A；先求，再利用即可判断B，分类讨论解不等式可判断C；利用C选项的结论可判断D. 【详解】对于A，因为对任意，当时，都有， 所以，即， 所以不可能是周期函数，故A错误； 对于B，当，，所以，又因为，所以，故B正确； 对于C，当时，不等式，即，解得， 且； 当时，不等式，即，解得， 且， 当，， 又，所以当时，不等式无解， 由，所以当时，不等式无解， 综上：不等式的解为，故C正确； 对于D，由C选项可知，要想满足，恒有， 只需且，解得，所以的最小值为，故D正确. 故选：BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象经过点，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义，将点坐标代入求解即可. 【详解】设. 故答案为： 13. 已知，则__________；__________.（结果用，b表示） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据对数的运算性质和换底公式计算即可求解. 【详解】由， 得. 则log1456＝ 故答案为：； 14. 在平面直角坐标系中，点是单位圆上的动点，过点作轴的垂线，与射线交于点，与轴交于点.记，且，则面积的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由三角函数的定义可得点的坐标，再利用的正余弦值表示三角形的面积，利用三角函数的性质可得其最值，即为三角形面积的最大值． 【详解】由三角函数定义，得，从而， 所以 ． 因为所以当时取等号，所以面积的最大值为． 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）求； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）或， （2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式、分式不等式求集合，再应用集合的交运算求集合； （2）由必要不充分条件有，进而分情况求解参数范围. 【小问1详解】 由题意知：集合， 集合或， 所以或，； 【小问2详解】 由“是的必要不充分条件”知：， 当时，，即，符合题意， 当时，，即， 综上所述，实数的取值范围是. 16. 已知均为锐角，且. （1）求的值： （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1），然后根据两角差的余弦公式展开，结合题目条件，分别算出每个量即可； （2）结合（1）的结果，求出，然后利用正切的角差公式，二倍角公式计算. 【小问1详解】 因为为锐角且， 所以， 因为，且， 所以 所以. 【小问2详解】 ，是锐角，则， 于是， 所以， 所以. 17. 已知函数的图象过点和点. （1）求函数的单调递增区间； （2）若的图象向左平移个单位后得到函数的图象，且图象关于直线对称，求函数与的图象在上的交点个数. 【答案】（1）； （2）4个. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，建立方程组求出解析式并化简，再利用正弦函数单调性求出增区间. （2）由（1）及图象变换求出函数，再把图象交点问题转化为方程解的问题求解. 【小问1详解】 依题意，，即，解得， 函数， 由，得 所以函数的单调递增区间为 【小问2详解】 依题意，， 由图象关于直线对称，得，即， 而，则，解得，因此， 函数与的图象在上的交点个数，即求方程在上解的个数 由，得，则， 即，而， 因此即， 由，得或或或， 所以与的图像在上的交点共4个. 18. 已知为偶函数，为奇函数，且. （1）求与的解析式； （2）令. （i）解不等式； （ii）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）求出，，联立即可求解和； （2）（i）证明为上的奇函数，证明是上的增函数，根据增函数列出不等式即可求解； （ii）求出，证明原题可转化为对任意的恒成立，令，根据单调性即可求出的取值范围. 【小问1详解】 因为①， 所以， 又因为为偶函数，为奇函数， 所以②， 由①②得：； 【小问2详解】 （i）， 又，故为上的奇函数， 将变形可得， ，且， 有， 因为在上单调递增，且， 所以，即， 又因为，所以， 所以是上的增函数， 因此不等式等价转化为， 即， 所以，即， 所以不等式的解集为 （ii）由（i）知为上奇函数， 所以，故对任意的恒成立， 又因为为上增函数， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，故， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 函数上单调递增， 故，所以，即. 【点睛】关键点睛：本题（2）（ii）关键在于证明原题可转化为对任意的恒成立. 19. 已知函数，其中. （1）若函数的定义域为，求的值； （2）记函数的最大值为，最小值为，若，求的取值范围； （3）当时，若，证明：函数在上存在唯一的零点，且. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据对数型复合函数定义域的求法进行求解； （2）令，则，根据对称轴与定义域的关系分类讨论求解； （3）根据函数的单调性和零点存在性定理证明；，根据对勾函数的单调性求最值. 【小问1详解】 ， 因为函数的定义域为， 所以不等式的解集为， 所以1，2是方程的两个不等实数根， 所以，即； 【小问2详解】 由题意知，， 令，则， ①当，即时，， 由，得，又，所以. ②当，即时，， 由，得，又，所以. ③当，即时，， 由，得， 又，所以. ④当，即时，， 由，得，又，所以. 综上所述： 【小问3详解】 当时，， 所以， 当时，易知单调递增， 又. 由零点存在性定理知函数在上有唯一零点，且， 当时，，所以恒成立， 故在上无零点. 当时，，所以恒成立， 故在上无零点. 综上所述，在上存在唯一的零点，且 因为 又为的零点，所以， 故， 因为，且，所以. 令，则， 显然，在上单调递减， 所以. 【点睛】关键点点睛：方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论； （2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析； （3）将分类讨论的结果整合得到最终结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$