精品解析：江苏省徐州市2024-2025学年高二上学期期末抽测数学试卷

2024~2025学年度第一学期期末抽测 高二年级数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线标准方程直接求出准线方程. 【详解】由抛物线知，，故其准线方程为， 故选：A 2. 在等比数列中，若，则公比为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式计算可得结果. 【详解】设数列的公比为， 由得，，解得. 故选：C 3. 椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出、的值，即可得出该椭圆的离心率的值. 【详解】在椭圆中，，，， 故该椭圆的离心率为. 故选：D. 4. 已知点在所在平面内，若对于空间中任意一点都有，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据四点共面的性质即可求解. 【详解】由题意可知四点共面， 故，故， 故选：A 5. 两条平行直线与间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行的充要条件求出，再由平行线间的距离公式求解. 【详解】因为直线与平行， 所以且，解得， 所以直线方程为与， 故， 故选：C 6. 在棱长为1的正四面体中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算及数量积的运算求解. 【详解】因为， 所以 故选：A 7. 已知椭圆的左焦点为，点在上，点在圆上，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 9 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】根据“两点之间，线段最短”可求得的最小值. 【详解】由椭圆，得，∴， 由得，所以圆心，半径为. 设分别与椭圆、圆交于点 则，, 所以， 当且仅当四点共线时取等号 的最小值为. 故选：A. 8. 已知点，若圆上存在点，使得（为坐标原点），则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先设出点的坐标，根据得出点的轨迹方程，再根据圆与圆的位置关系求出实数的取值范围. 【详解】设点，因为为坐标原点，，且. 根据两点间距离公式，则，. 所以，展开整理可得：. 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆. 已知圆，其圆心为，半径. 因为圆上存在点满足条件，所以两圆有公共点. 根据两圆位置关系，两圆的圆心距. 两圆有公共点，则，即. 对于，两边平方得，展开整理得，， ，函数图象开口向上，所以恒成立. 对于，两边平方得，展开得，即，，解得. 综上所得，. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若数列的通项公式为，前项和为，则（ ） A. B. 数列中存在三项成等比数列 C. 数列是公差为1的等差数列 D. 数列的前项和为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据条件可得数列是以2为首项，2为公差等差数列，表示可得选项A错误；根据可得选项B正确；根据可得选项C错误；利用裂项相消法可得选项D正确. 【详解】由得，， ∴数列是以2为首项，2为公差的等差数列， ∴. A. ，选项A错误. B．由题意得，， ∴，即成等比数列，选项B正确. C.∵，∴， ∴数列是公差为的等差数列，选项C错误. D.∵， ∴数列的前项和为，选项D正确. 故选：BD. 10. 在正方体中，点满足，则（ ） A. 平面 B. 在上的投影向量为 C. 当时，直线与所成角的余弦值为 D. 与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据面面平行判断A，根据向量的投影向量判断B，根据向量法求线线角、线面角判断CD. 【详解】 对A，由正方体性质可知，平面，平面， 所以平面，同理，平面，又，平面， 所以平面平面，又平面，所以平面，故A正确； 对B，由正方体性质可知，，，且垂足分别为，故由投影向量概念知B正确； 对C，建立如图所示空间直角坐标系，设 正方体棱长为1，当时， 则，所以， 设直线与所成角为，则，故C错误； 对D，设，则， ，， 又，，所以， ，即，，所以为平面的一个法向量， 设与平面所成角为，则， 即最大值为，故D错误. 故选：AB 11. 在直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，直线与交于两点，是上异于顶点的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若过点，则为钝角 B. 若，则的斜率为 C. 若，则点的横坐标为2时，最小 D. 若四边形为平行四边形，则过定点 【答案】ACD 【解析】 【分析】联立直线与抛物线方程利用向量数量积的符号可判断A正确，由可得坐标间的关系，联立解方程组可得B错误，利用抛物线定义以及几何关系可得C正确，根据四边形为平行四边形并结合韦达定理，利用向量表示解方程可得D正确. 【详解】易知焦点， 对于A，若过点，可设直线方程为，； 联立抛物线方程可得，可得， 所以 ， 所以为钝角，即A正确； 对于B，由可得过点，由（1）可得； 所以，结合可得， 可得的斜率为，即B错误； 对于C，易知是抛物线的准线与轴的交点，作与准线垂直，垂足为，如下图所示： 由抛物线定义可得，所以， 又在中，，且， 因此当取得最大值时，满足题意，此时斜率存在且与抛物线相切， 设的方程为，代入抛物线方程可得， 所以，即； 解得，此时，因此点的横坐标为2时，最小，即C正确； 对于D，设，直线，如下图： 联立，可得，因此； 所以， 因为四边形为平行四边形，所以， 即，所以； 代入可得，解得； 即，显然过定点，即D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：在求解D选项时，关键是利用向量的平行四边形法则联立直线和抛物线方程，结合韦达定理解方程得到直线方程的表达式即可得出结论. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若将公比不为1的等比数列，，调整顺序后为等差数列，则的一个值为_____. 【答案】（或，答案不唯一） 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式列出调整顺序后的数列满足等差数列的等式，进而求出公比的值. 【详解】设等比数列为，调整顺序后为等差数列有以下几种可能情况： 情况一：为等差数列， 根据等差数列性质，， 因为（等比数列首项不为），得到， 解得或，因为，所以， 情况二：为等差数列， 则，得，解得或，因为，所以， 情况三：为等差数列， 则，得，解得或，因为，所以， 综上所得，的一个值为或. 故答案为：（或，答案不唯一）. 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点，若，则的离心率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先求出点的坐标，再利用建立等式，最后通过双曲线的性质求出离心率. 【详解】对于双曲线，其渐近线方程为. 设，过的直线与一条渐近线平行，则该直线方程为. 与另一条渐近线联立，可得， ，，. 将代入，可得，所以. 已知，则. 因为，所以. 又因为双曲线的离心率，且， 把代入可得，即. 所以离心率. 故答案为：. 14. 已知正方形和矩形所在平面互相垂直，，，若平面与平面的交线为，则点到的距离为_____. 【答案】 【解析】 【分析】作出平面的交线，再利用等面积法求点到直线距离即可. 【详解】过作，交的延长线于点，连接，如图， 因为四边形为平行四边形，所以， 所以，，即平面 又平面，所以平面与平面的交线为， 因为，， 设点到的距离为， 由等面积法可知，， 所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆的圆心在直线上，且圆与轴相切于点. （1）求圆的标准方程； （2）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）分析可知圆心在直线上，结合已知条件可得出圆心的坐标以及圆的半径，由此可得出圆的标准方程； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线垂直于轴时，直接验证即可；在直线不垂直于轴时，设出直线的方程，利用勾股定理计算出圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式求出参数值，即可得出直线的方程. 【小问1详解】 因为圆与轴相切于点，所以圆心在直线上， 又圆心在直线上，所以圆心为，半径为， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 设圆心到直线的距离为，因为直线被圆截得的弦长为， 所以，解得， 当直线垂直于轴时，则圆心到直线的距离为， 此时，直线与圆相切，不满足条件. 当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，即， 所以，整理得，解得或. 所以直线的方程为或. 16. 已知数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）记数列的前项和为，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）运用与关系式计算即可;（2）运用错位相减法计算即可. 【小问1详解】 因为，当时，，所以， 当时，， 所以，即. 又，所以，从而数列为公比为2的等比数列， 所以. 【小问2详解】 由（1）得，所以. 所以， ， 两式相减得 所以. 因为，所以，所以. 17. 如图，三棱柱的棱长均为4，，，分别是棱，，的中点，平面. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明线线垂直； （2）利用向量法求二面角的余弦值即可. 【小问1详解】 因为平面，，平面， 所以，. 因为为等边三角形，且为中点，所以， 故，，两两互相垂直.以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，， 所以，. 所以， 所以，即. 【小问2详解】 因为，所以， 而，所以，则. 设平面的法向量为， 则所以即 令，则，， 所以平面的一个法向量为. 又因为平面的一个法向量为， 所以 由图形可知，二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，实轴长是虚轴长的2倍，且过点. （1）求的标准方程； （2）若直线与相切于第一象限内的点，且与轴相交于点， ①证明：平分； ②过坐标原点作的垂线（垂足为），与相交于点，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）由已知可得且，可求的标准方程； （2）①设，设切线，联立方程组利用判别式可求得，进而求得，可证到两边距离相等，可证结论；②由①可知的方程为，联立方程线求得的纵坐标，进而可求得面积的最大值. 【小问1详解】 因为实轴长是虚轴长的2倍，则，即. 又过点，所以，解得，. 所以的标准方程为. 【小问2详解】 ①设，则，切线， 联立化简得. 由，解得， 所以直线：，令，得. 直线的方程为，即， 所以到的距离为. 同理点到直线的距离为. 所以，故平分. ②由①可知的方程为， 联立解得. 联立解得. . 当且仅当时，取等号. 所以的面积， 即面积的最大值为. 19. 已知数列共有项，且各项均为正整数，设集合，记的元素个数为. （1）若为1，2，3，5，求及； （2）若是单调数列，求证：“为等差数列”的充要条件是“”； （3）若是由这个数组成，且这个数在中都至少出现一次，，求的所有可能值. 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3） 【解析】 【小问1详解】 因为，，，，所以，的可能情况有： ，，，，，， 所以，故. 【小问2详解】 不妨设为递增数列. 必要性：若是递增等差数列，设公差为，则. 则当时，，所以，则. 充分性：若. 因为是递增数列，所以， 所以，且互不相等，正好满足， 所以. 又， 所以，且互不相等. 所以， 即，所以为等差数列. 当为递减数列时，同理可证. 综上所述，“为等差数列”的充要条件是“”. 【小问3详解】 因为数列由这个数组成，任意两个不同的数作差， 差值只可能为和， 共个不同的值；且对任意的，和这两个数中至少有一个在中. 又因为这个数在数列中共出现次， 所以数列中存在，所以. 综上，. 设数列：. 此时，. 现对数列分别作如下变换： 把一个1移动到3，5之间，得到数列：. 此时，. 把一个1移动到5，7之间，得到数列：. 此时，…… 把一个1移动到，之间，得到数列： . 此时，. 把一个1移动到，之间，得到数列：. 此时，. 再对数列依次作如下变换： 把一个1移为的后一项，得到新数列：. 此时，； 再把一个3移为的后一项：得到新数列：. 此时，； 依此类推，最后把一个移为的后一项： 得到新数列：. 此时，，. 综上所述，可以取到从到的所有个整数值， 故的所有可能值为. 【点睛】方法点睛：这类问题首先要会用特殊到一般的思想，从列举证明到归纳推理证明，从而来得到解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第一学期期末抽测 高二年级数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 在等比数列中，若，则的公比为（ ） A. B. C. 2 D. 3. 椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点在所在平面内，若对于空间中任意一点都有，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 5. 两条平行直线与间的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 在棱长为1的正四面体中，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左焦点为，点在上，点在圆上，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 9 D. 11 8. 已知点，若圆上存在点，使得（为坐标原点），则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若数列的通项公式为，前项和为，则（ ） A. B. 数列中存三项成等比数列 C. 数列是公差为1的等差数列 D. 数列的前项和为 10. 正方体中，点满足，则（ ） A. 平面 B. 在上的投影向量为 C. 当时，直线与所成角的余弦值为 D. 与平面所成角的正弦值的最大值为 11. 在直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，直线与交于两点，是上异于顶点的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若过点，则为钝角 B. 若，则的斜率为 C. 若，则点的横坐标为2时，最小 D. 若四边形平行四边形，则过定点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若将公比不为1的等比数列，，调整顺序后为等差数列，则的一个值为_____. 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点，若，则的离心率为_____. 14. 已知正方形和矩形所在平面互相垂直，，，若平面与平面交线为，则点到的距离为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆的圆心在直线上，且圆与轴相切于点. （1）求圆的标准方程； （2）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程. 16. 已知数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）记数列的前项和为，证明：. 17. 如图，三棱柱棱长均为4，，，分别是棱，，的中点，平面. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值. 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，实轴长是虚轴长的2倍，且过点. （1）求的标准方程； （2）若直线与相切于第一象限内的点，且与轴相交于点， ①证明：平分； ②过坐标原点作的垂线（垂足为），与相交于点，求面积的最大值. 19. 已知数列共有项，且各项均为正整数，设集合，记的元素个数为. （1）若为1，2，3，5，求及； （2）若是单调数列，求证：“为等差数列”的充要条件是“”； （3）若是由这个数组成，且这个数在中都至少出现一次，，求的所有可能值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$