精品解析：江苏省盐城市2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷

2024-2025学年度高一年级第一学期期末考试 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 若，则角的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 3. 如果函数满足，那么等于（ ） A. B. C. D. 4. 若角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 6. 如图是的图象，则的图象为（ ） A. B. C. D. 7. 设，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数为奇函数，为偶函数，下列关于函数的最值说法正确的是（ ） A. 函数无最值 B. 只有最大值为 C. 只有最小值为 D. 最小值，最大值为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知且，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 11. 已知定义域为函数满足，为奇函数，则下列说法正确的有（ ） A. 关于对称 B. 的周期为2 C. 为奇函数 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12. 函数的图象恒过的点____. 13. 若的值域为，则的取值范围为____. 14. 将余弦函数的图象向左平移个单位，再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的得到函数的图象，若在区间上恰有1个最小值和3个零点，则的取值范围为___. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设全集，已知，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. （1）化简：； （2）求值：； （3）求值：. 17. 已知函数的部分图象如图所示， （1）求函数的解析式及单调递增区间； （2）若，求值. 18. 现有足够长的“”型的河道，如图所示，宽度分别为5m和m，，若经过点拉一张网，开辟如图的直角用于养鱼，设. （1）求渔网长度，用含有的式子表示，并写出定义域； （2）求养殖面积的最小值，及此时的值； （3）若分别以为直径制作两个圆形的遮阳蓬，求两遮阳蓬面积和的最小值. 19. 定义：对于函数，，，若存在实数使得，则称 为的生成函数. （1）设，，，判断并证明生成函数在的单调性； （2）设，，，函数的图象恒在轴的上方，的取值范围； （3）设，，能否生成一个函数，同时满足下列条件：为偶函数；②的最大值为；若能求出，否则说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度高一年级第一学期期末考试 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 若，则角的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】利用象限角的定义判断即可. 【详解】因，则为第一象限角， 的终边与角的终边重合，故角的终边在第一象限. 故选：A. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出表示的数集，再由交集，并集的定义求解即可. 【详解】,, 因为表示所有的整数，，表示所有的偶整数， 所以，， 故选：B. 3. 如果函数满足，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，求出，再代入计算可得. 【详解】因为，令，则， 所以. 故选：A 4. 若角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出，再根据同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得. 【详解】因为角的终边经过点，所以， 所以 . 故选：D 5. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数单调性以及零点存在性定理分析判断. 【详解】因为的定义域为， 且在内单调递增，可知在内单调递增， 又因为， 所以函数的唯一零点所在区间为. 故选：C. 6. 如图是的图象，则的图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由关于轴对称变换得的图象，再向右平移一个单位可得的图象． 【详解】作函数的图象关于轴对称的图象得到函数的图象， 再将函数的图象向右平移1个单位长度得到的图象． 故选：B． 7. 设，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数、正弦函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】因为对数函数为增函数，则， 又因为正弦函数在上单调递增，则， 因此，. 故选：D. 8. 若函数为奇函数，为偶函数，下列关于函数的最值说法正确的是（ ） A. 函数无最值 B. 只有最大值为 C. 只有最小值为 D. 最小值，最大值为 【答案】B 【解析】 【分析】令，，利用奇偶性得到关于、的方程组，求出的解析式，再利用基本不等式计算可得. 【详解】令，， 则为奇函数，为偶函数， 所以，， 解得， 因为，，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以只有最大值为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键是根据函数的奇偶性得到关于、的方程组，从而求出的解析式. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知且，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据同角三角关系可得，进而分析判断. 【详解】因，解得或， 且，则，可得. 可得，，，， 故AD正确，BC错误. 故选：AD. 10. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可知：的根为，且，即可判断A；利用韦达定理判断B；代入解不等式判断CD. 【详解】由题意可知：的根为，且，故A正确； 由韦达定理可得，即， 所以，故B错误； 不等式即为，且， 解得，所以不等式的解集为，故C正确； 不等式即为，且， 可得，解得， 所以不等式的解集为，故D正确； 故选：ACD. 11. 已知定义域为的函数满足，为奇函数，则下列说法正确的有（ ） A. 关于对称 B. 的周期为2 C. 为奇函数 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】推导出，从而得到的周期性，即可判断B，再由为奇函数，得到，即可得到的对称性，即可判断A，结合周期性与对称性判断C、D. 【详解】因为的定义域为， 又因为，则， 所以，所以的周期为，故B错误； 又为奇函数，所以，所以， 所以，所以关于对称，故A正确； 因为关于对称，所以，又， 所以，即，所以为奇函数，故C正确； 若，则，故D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论 （1）关于轴对称， （2）关于中心对称， （3）的一个周期为， （4）的一个周期为. 可以类比三角函数的性质记忆以上结论. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12. 函数的图象恒过的点____. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数的性质计算可得. 【详解】对于函数，令，解得，此时， 所以函数的图象恒过的点为. 故答案为： 13. 若的值域为，则的取值范围为____. 【答案】 【解析】 【分析】结合指数函数单调性可知在内值域为，进而可知在内的值域包含，结合一次函数性质分析判断. 【详解】因为在内单调递增，可知在内单调递增， 则，可知在内值域为， 又因为的值域为， 可知在内的值域包含， 可得，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 14. 将余弦函数的图象向左平移个单位，再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的得到函数的图象，若在区间上恰有1个最小值和3个零点，则的取值范围为___. 【答案】 【解析】 【分析】根据图像变换可得，再以为整体，结合余弦函数性质列式求解即可. 【详解】余弦函数的图象向左平移个单位，可得， 再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，可得， 因为，且，则， 由题意可得：，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设全集，已知，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式化简集合，根据交集运算列式求解即可； （2）分析可知集合B是集合A的真子集，根据包含关系列式求解即可. 【小问1详解】 对于，可得，等价于，解得， 所以； 又因为，可得； 若，则或，可得或， 所以实数取值范围. 【小问2详解】 由（2）可知：集合，集合， 若“”是“”的必要不充分条件，可知集合B是集合A的真子集， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 16. （1）化简：； （2）求值：； （3）求值：. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式计算可得； （2）根据对数的运算性质及换底公式计算可得； （3）根据指数幂运算性质及对数的运算法则计算可得. 【详解】（1） ； （2） ； （3） . 17. 已知函数的部分图象如图所示， （1）求函数的解析式及单调递增区间； （2）若，求的值. 【答案】（1），单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）结合函数图象及周期性求出，再由函数在处取得最大值，求出，即可得到函数解析式，最后根据正弦函数的性质计算可得； （2）依题意可得，再由诱导公式计算可得. 【小问1详解】 由函数图象可知函数图象关于对称， 又，即函数关于对称， 所以，则，又，所以，解得， 又函数在处取得最大值， 所以，则，解得， 又，所以，所以， 令，解得， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 因为，即， 所以 . 18. 现有足够长的“”型的河道，如图所示，宽度分别为5m和m，，若经过点拉一张网，开辟如图的直角用于养鱼，设. （1）求渔网长度，用含有的式子表示，并写出定义域； （2）求养殖面积的最小值，及此时的值； （3）若分别以为直径制作两个圆形遮阳蓬，求两遮阳蓬面积和的最小值. 【答案】（1），. （2）养殖面积的最小值为，及此时的. （3） 【解析】 【分析】（1）过点作垂直于，垂直点为，求得，，即可求出，此时. （2）表示出，，所以，再由基本不等式即可求出养殖面积的最小值. （3）表示出两遮阳蓬面积和，由不等式“1”的代换即可得出答案. 【小问1详解】 过点作垂直于，垂足为， 则，， 所以，， 所以，. 【小问2详解】 ，， 所以，， 所以 ， 当且仅当，即，即时取等， 所以养殖面积的最小值为，及此时的. 【小问3详解】 因为，， 设两遮阳蓬面积和为， 则 ， 当且仅当即时取等. 故两遮阳蓬面积和的最小值为. 19. 定义：对于函数，，，若存在实数使得，则称 为的生成函数. （1）设，，，判断并证明生成函数在的单调性； （2）设，，，函数的图象恒在轴的上方，的取值范围； （3）设，，能否生成一个函数，同时满足下列条件：为偶函数；②的最大值为；若能求出，否则说明理由. 【答案】（1）为上的增函数，证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据单调性的定义可证明为上的增函数. （2）原不等式等价于，其中，利用参变分离可求参数的取值范围. （3）根据偶函数的性质和最大值可求参数的值，从而可求. 【小问1详解】 为上的增函数 证明：，设， 则， 因为，则且， 故，即，所以为上的增函数. 【小问2详解】 ， 由题设有在上恒成立，设，则， 又，故， 所以恒成立，而在上为增函数， 故，故. 【小问3详解】 设，则， 因为为偶函数，则， 故，故即， 所以， 令，， 因为最大值为，故在上的最大值为， 而当且仅当时等号成立，故且， 故. 所以. 【点睛】思路点睛：对于复合函数的最值问题，注意根据函数的形式选择合适的换元，从而把复杂函数的最值问题转化为二次函数的最值或利用基本不等式求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$