精品解析：江苏省常州高级中学2024-2025学年高一上学期期末质量检查数学试卷

江苏省常州高级中学 2024~2025学年第一学期期末质量检查高一年级 数学试卷 2025.01 说明：1.请将所有题目的答案填涂在答卷纸上. 2.本卷总分150分，考试时间120分钟. 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.） 1. 若，则下列各式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 若角满足，则角是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 3. 设集合，集合，则与的关系为（ ） A. B.  C.  D. 4. 函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若，，，则有（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 8. 函数最小值为0，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 设函数，若，则的取值可能是（ ） A. 0 B. 3 C. -1 D. 2 10. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数定义域为 B. 函数是偶函数 C. 函数是周期函数 D. 函数在区间上单调递减 11. 已知函数，其中为实数，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数在上单调递增 C. 函数一定存在最小值 D. 存在使得函数有个零点 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知函数，若，则的一个取值为__________． 13. 已知，，当时，不等式恒成立，则的最小值为_____. 14. 已知是定义在上的奇函数，当时，，且对任意，成立，则实数的取值范围为_____. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边在第二象限与单位圆交于点，点的横坐标为. （1）求的值. （2）若将射线绕点逆时针旋转，得到角，求的值. 16. 已知函数. （1）设函数是定义域在上奇函数，当时，，求函数的解析式. （2）已知当时，函数（其中）的最小值为，求实数的值. 17. 已知函数的图象如图所示. （1）求函数对称中心； （2）先将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向左平移个单位后得到函数的图象.若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知且，函数满足，设. （1）求函数在区间上的值域； （2）若函数和在区间上单调性相同，求实数的取值范围. 19. 在平面直角坐标系中，我们把函数上满足（其中表示正整数）的点称为函数的“正格点”. （1）写出当时，函数图象上的正格点坐标； （2）若函数与函数的图象有正格点交点，求的值. （3）对于（2）中的值和函数，若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省常州高级中学 2024~2025学年第一学期期末质量检查高一年级 数学试卷 2025.01 说明：1.请将所有题目的答案填涂在答卷纸上. 2.本卷总分150分，考试时间120分钟. 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.） 1. 若，则下列各式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取推翻ABD，作差判断C即可. 【详解】对于ABD，取，则、、无意义，故ABD错误； 对于C，若，则， 由于不同时为0，所以，故C正确. 故选：C. 2. 若角满足，则角是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数四个象限符号确定. 【详解】为第二，三象限角或者轴负半轴上的角； 又为第二，四象限角 所以为第二象限角. 故选：B 3. 设集合，集合，则与的关系为（ ） A. B.  C.  D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据终边相同的角的知识确定正确答案. 【详解】由于集合，所以集合表示终边落在轴上的角的集合； 由于集合，所以集合表示终边落在轴上的角的集合； 所以. 故选：A 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数排除D，根据排除C，根据当时，排除B即可求解. 【详解】由题意要使得函数有意义，则，且， 这表明函数定义域关于原点对称， 且，从而函数是奇函数，故排除D， 由，排除C， 当时，，排除B. 故选：A. 5. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 通过基本不等式可得充分性成立，举出反例说明必要性不成立. 【详解】当，时，， 则当时，有，解得，充分性成立； 当，时，满足，但此时，必要性不成立， 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6. 若，，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】注意题干给的数的特征，猜测的大小介于中间，进一步结合对数单调性即可判断. 【详解】由题意. 故选：C. 7. 已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由为奇函数得对称中心为，结合为偶函数，求周期为，从而求出，即可得到的值. 【详解】因为为奇函数，则，且函数的图象关于中心对称，即， 因为为偶函数，所以，则， 所以，，所以，故的周期为， 因为， 所以， 故选：B. 【点睛】关键点点睛： 由为奇函数，为偶函数，求对称中心和对称轴，推函数的周期，关于抽象函数考查对称性和周期性的综合题，一般都是借助题中的条件找到对称中心和对称轴再推周期. 8. 函数的最小值为0，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，使得，进一步关于的方程在上有解，从而即可得解. 【详解】设， 显然， 又因为函数的最小值为0， 这表明，使得， 所以， 也就是说关于的方程在上有解， 首先，其次要使得最小， 则需最小，最大，即当时，最小， 故所求最小值为. 故选：C. 二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 设函数，若，则的取值可能是（ ） A. 0 B. 3 C. -1 D. 2 【答案】AB 【解析】 【分析】对分类讨论解方程即可求解. 【详解】若，解得， 若，解得. 故选：AB. 10. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数定义域为 B. 函数是偶函数 C. 函数是周期函数 D. 函数在区间上单调递减 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数的定义域、奇偶性、周期性、单调性对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由于，所以定义域不是，A选项错误. 由得，所以， 所以的定义域是，的定义域关于原点对称， ，所以是偶函数，B选项正确. ，所以是周期函数，C选项正确. 当时，恒成立， 在上单调递增，所以在区间上单调递减，D选项正确. 故选：BCD 11. 已知函数，其中为实数，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数在上单调递增 C. 函数一定存在最小值 D. 存在使得函数有个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】分别作出、、、、时的函数图象，数形结合即可逐一判断. 【详解】当时，作出函数图象如图所示： 当时，作出函数图象如图所示： 当时，作出函数图象如图所示： 当时，作出函数图象如图所示： 当时，作出函数图象如图所示： 对于A，因为， 无论为何值， ，故A正确； 对于B，当时，在上不单调，故B错误； 对于C，由图可知函数有最小值，故 C正确； 对于D，由图可知，当，时，函数有个零点，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知函数，若，则的一个取值为__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】利用和角的正弦公式和诱导公式化简，求出即可求解. 【详解】，， 即，解得， ，，. 的一个取值为. 故答案为：（答案不唯一）. 13. 已知，，当时，不等式恒成立，则的最小值为_____. 【答案】8 【解析】 【分析】由题意得到有相同零点，即，结合基本不等式即可求解. 【详解】已知，，当时，函数是增函数，函数是减函数， 所以函数有相同的零点， 否则，存在，与题意矛盾， 从而，即， 所以，等号成立当且仅当时成立， 综上所述，所求为8. 故答案为：8. 14. 已知是定义在上的奇函数，当时，，且对任意，成立，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】作出的图象，再根据与函数图象平移分析即可. 【详解】由题意可得，所以， 当时，，当时，，结合 为定义在上的奇函数可作出的图象，. 又的函数图象为向左平移6个单位得到的，， 则图象在的上方， 则，解得. 综上所述，满足题意的的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边在第二象限与单位圆交于点，点的横坐标为. （1）求的值. （2）若将射线绕点逆时针旋转，得到角，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义可得的值，利用同角三角函数的基本关系可求得的值，结合齐次式求解即可得到结果. （2）根据诱导公式求得，利用齐次式求解即可. 【小问1详解】 根据三角函数的定义得，， ∵角终边在第二象限，∴，故， ∴. 【小问2详解】 由题意得，， ∴，， ∴， ∴ . 16. 已知函数. （1）设函数是定义域在上的奇函数，当时，，求函数的解析式. （2）已知当时，函数（其中）的最小值为，求实数的值. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性对解析式进行求解即可； （2）由题意，化简后，使用换元法进行求解即可. 【小问1详解】 当时，， 当时，，∴ 又∵为奇函数，∴当时，， 又∵是定义域在上的奇函数，∴， 综上所述，函数的解析式为. 【小问2详解】 当时，，， ∴ 令，当时，， 设，， ∵，∴由二次函数知识知，当时，最小值为， 令，解得（舍）或， ∴当时，函数（其中）的最小值为， 则实数的值为. 17. 已知函数的图象如图所示. （1）求函数的对称中心； （2）先将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向左平移个单位后得到函数的图象.若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象求得的解析式，然后利用整体代入法求得的对称中心. （2）利用三角函数图象变换的知识求得的解析式，根据在区间上的值域转化不等式，由此求得的取值范围. 【小问1详解】 由图可知：，所以，所以，， 又， 所以，. 所以. 令，， 则，. 所以的对称中心为，. 【小问2详解】 由题. 当时，. 因为对任意的恒成立， 则. 所以. 18. 已知且，函数满足，设. （1）求函数在区间上的值域； （2）若函数和在区间上的单调性相同，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先对和进行分类讨论，再利用题目所给的函数解析式与等式关系可求出的值，则所求函数利用换元法可得到二次函数，利用配方法及二次函数性质即可求出值域. （2）先得到两个函数解析式和，对上两函数同时单调递增和同时单调递减进行分类讨论，得到关于的不等式组，进而求出的取值范围即可. 【小问1详解】 当时，，. ∵，且， ，即，解得. 当时，，. ∵，且， ，即，无解. 综上，，. . 令，，，. 当时，；当时，. 综上，函数在区间上的值域为. 【小问2详解】 由题意，函数在上单调递减，函数在上单调递增. 由题可知：和在区间上同增或者同减. 若两函数在区间上均单调递增， 则在区间上恒成立， 故，解得. 若两函数在区间上均单调递减， 则在区间上恒成立， 故，该不等式组无解. 综上，实数的取值范围是. 19. 在平面直角坐标系中，我们把函数上满足（其中表示正整数）点称为函数的“正格点”. （1）写出当时，函数图象上的正格点坐标； （2）若函数与函数的图象有正格点交点，求的值. （3）对于（2）中的值和函数，若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），，； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据正格点定义及正弦函数性质写出正格点坐标； （2）画出正弦、对数函数的大致图象，数形结合易知正格点为，代入函数求参数值； （3）由题设有，讨论、并结合对数函数性质求参数范围. 【小问1详解】 因为，所以，， 所以函数的正格点为，，. 【小问2详解】 根据题设，可得两个函数大致图象如下， 函数，，与函数的图象只有一个“正格点”交点. ∴，则，又，可得. 【小问3详解】 由（2）知，，则， 所以，故； 当时，不等式不能恒成立； 当时，如下图知， 由，解得， 综上，实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：第二、三问，根据正弦函数、对数函数的图象及性质，及正格点的定义、不等式恒成立求参数范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$