专题10.2 实际问题与二元一次方程（组）（9大题型）-2024-2025学年七年级数学下册（人教版2024新教材）

专题10.2 实际问题与二元一次方程（组）（9大题型） 题型一 数字问题 1．（2024春•嘉禾县校级月考）有一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为9，十位上的数字比个位上的数字大3，则这个两位数是　　 A．47 B．56 C．63 D．84 【答案】 【分析】先设十位上的数字为，个位上的数字为，再结合“十位上的数字与个位上的数字之和为9，十位上的数字比个位上的数字大3，”进行列式计算，即可作答． 【解答】解：设十位上的数字为，个位上的数字为， 根据题意，得 解得 这个两位数是63， 故选． 2．已知一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字大1，若对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小9，求这个两位数，所列方程组正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】关键描述语是：十位上的数字比个位上的数字大1；新数比原数小9． 等量关系为：①十位上的数字个位上的数字；②原数新数． 【解答】解：根据十位上的数字比个位上的数字大1，得方程； 根据对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小9，得方程． 列方程组为． 故选． 3．（2024秋•九龙坡区校级期中）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有5个大容器和1个小容器可以装3斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），1个大容器、5个小容器可以装2斛．问：大容器、小容器分别可以装多少斛？设1个大容器装斛，1个小容器装斛，根据题意，可列方程组为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意，利用不同数量的大容器和小容器的总容量，分别列出两个方程，从而得到方程组． 【解答】解：设1个大容器的容积为斛，1个小容器的容积为斛，则根据题意可列方程组为： ． 故选． 4．（2024春•开封期末）我国古代数学著作《九章算术》中有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，请问有几个人？有几辆车？若设有辆车，有个人，根据题意可列方程组为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设有辆车，有个人，由每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行列方程可求解． 【解答】解：由题意得， 故选． 5．（2024春•平泉市期末）我国民间流传这样一道数学名题： 其大意是：听见隔壁一些人在分银两，每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤，问共有多少人？共有多少两银子？ 数学原题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两还缺7两，每人半斤多半斤，试问各位善算者，多少人分多少银？斤等于10两） 设有个人，共分两银子，根据题意，可列方程组为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据“每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤”，即可列出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：每人7两还缺7两， ； 每人半斤则多半斤， ， 根据题意可列出方程组． 故选． 6．（2024春•青秀区校级期末）中国传统数学重要著作《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”译为“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱．若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为100；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为100．问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为，乙的钱数为，根据题意，可列方程组为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据“乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为100；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为100”，列出相应的方程组即可． 【解答】解：由题意，得：， 故选． 7．（2020春•依安县期末）同学们每个星期都会听着国歌升国旗，但国歌歌词有多少个可能大家都不知道．已知歌词数量是一个两位数，十位数是个位数的两倍，且十位数比个位数大4，则国歌歌词数有 　84　个． 【答案】84 【分析】设这个两位数的个位数是，十位数是．根据十位数是个位数的两倍，得方程；根据十位数比个位数大4，得方程．联立解方程组即可． 【解答】解：设这个两位数的个位数是，十位数是． 根据题意，得 ， 解得 ． 则国歌歌词数有84个． 8．（2024春•路桥区期末）在《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是用算筹表示的．如图1，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数，图1的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示就是，则图2的算筹图所表示的方程组的解为 　　． 【答案】． 【分析】此题要理解图1中算筹所示的表示方法，依此即可推出图2所示的方程组． 【解答】解：根据图1所示的算筹的表示方法，可推出图2所示的算筹的表示的方程组：， 解得：． 故答案为：． 9．（2024•梓潼县开学）在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程或方程组的应用题．由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，回味无穷． 一、周瑜寿属 而立之年督东吴，早逝英年两位数； 十比个位正小三，个位六倍与寿符； 哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？ 诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数？ 解：设这个两位数的十位上的数字是，个位上的数字为，根据题意，得 解之得 答：这个两位数是36，即周瑜活到36时病逝． 下面两个诗歌算题同学们能通过列方程组算出来吗？ 二、官兵分布 一千官兵一千布，一官四尺无零数； 四兵才得布一尺，请问官兵多少数？ 三、老头买梨 一群老头去赶集，半路买了一堆梨； 一人一个多一个，一人两个少两梨． 请问君子知道否，几个老头几个梨？ 关于这类的问题还有很多，平时同学们可以搜集一些！（注意：在中考时也有这样的题目哟！ 【分析】二、设官兵各有人，人．根据共有1000人，得方程；根据共有1000尺布，得方程，联立解方程组即可； 三、设有个老头，个梨．根据一人一个多一个，得方程；根据一人两个少两梨，得方程．联立解方程组即可． 【解答】解：二、设官兵各有人，人．根据题意，得 ， 解得． 答：有200名军官，800名士兵． 三、设有个老头，个梨．根据题意，得 ， 解得． 答：有3个老头，4个梨． 题型二 鸡兔同笼问题 10．（2024•光明区校级三模）我国古代数学著作《孙子算经）中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有16头，下有44足，问鸡兔各几何．”设鸡只，兔只，可列方程组　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据“上有16头，下有44足”，即可列出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：上有16头， ； 下有44足， ． 根据题意可列方程组． 故选． 11．（2024春•玉溪期末）大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题．书中是这样叙述的：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚．问笼中各有多少只鸡和兔？设鸡有只，兔有只，列方程组得　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设笼中有鸡只，兔只，根据“从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚”，即可得出关于、的二元一次方程组． 【解答】解：设笼中有鸡只，兔只， 根据题意得：， 故选． 12．（2024春•康县期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问兽、禽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚．问兽、鸟各有多少？设兽有只，鸟有只，根据题意列方程组正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据兽与鸟共有76个头与46只脚，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：兽与鸟共有76个头， ； 兽与鸟共有46只脚， ． 根据题意可列方程组． 故选． 题型三 销售问题 13．（2024春•阳新县月考）小明要用16元钱买，两种饮料，两种饮料必须都买，16元全部用完．若种饮料每瓶3元，种饮料每瓶2元，则小明的购买方案有　　 A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】 【分析】设可以购买瓶种饮料，瓶种饮料，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程组，结合，均为正整数即可得出购买方案的数量． 【解答】解：设可以购买瓶种饮料，瓶种饮料， 依题意，得：， ． 又，均为正整数， 或， 小明有2种购买方案． 故选． 14．某服装店用6000元购进、两种新款服装，按标价全部售出后获得毛利润3800元（毛利润售价进价），这两款服装的进价、标价如表所示，则这两款服装共购进 　80　件． 类型 价格 款 款 进价（元件） 60 100 标价（元件） 100 160 【答案】80． 【分析】设购进件款服装，件款服装，根据“该服装店用6000元购进、两种新款服装，按标价全部售出后获得毛利润3800元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的值，再将其代入中，即可求出结论． 【解答】解：设购进件款服装，件款服装， 根据题意得：， 解得：， ， 这两款服装共购进80件． 故答案为：80． 15．（2024春•北碚区校级期中）五一假期即将到来，销售重庆特产的某商户准备继续推出去年较火的、、三种特产礼盒进行售卖．去年五一节期间，、、三种礼盒的销量比为，其中礼盒的售价为礼盒的售价的1.5倍，且礼盒的销售额为礼盒的销售额的4倍．今年由于成本变化，礼盒售价上调，礼盒售价有一定提高，礼盒售价与去年保持不变，该商家预估今年礼盒和礼盒的销量也与去年保持不变，如果今年总的销售额上涨且礼盒与礼盒的销售额之比为，则今年礼盒与礼盒的售价之比为 　　． 【答案】． 【分析】设去年礼盒的售价为元盒，则礼盒的售价为元盒，去年，，三个礼盒的销量分别为盒、盒，盒，去年的销售额分别为元，元，元，得出的售价为元盒，今年的售价为元盒，的销量为盒，根据题意列式计算出和即可求解． 【解答】解：设去年礼盒的售价为元盒，则礼盒的售价为元盒，去年，，三个礼盒的销量分别为盒、盒，盒， 去年的销售额分别为元，元，元． 的售价为元盒，去年的总销售额为元． 今年的售价为元盒，的销量为盒，根据题意得到表格： 去年售价 去年销量 去年销售额 今年售价 今年销量 礼盒与礼盒的销售额之比为， ， 解得：， 今年总的销售额上涨， ． ． ． 解得：． 今年礼盒与礼盒的售价之比为：， 故答案为：． 16．（2024春•石泉县期末）丝路之旅，让中国荔枝名满天下，丝路之约，让车厘子的甘甜绽放中国舌尖．在“一带一路”政策的帮扶下，更多的中国荔枝走出国门，更多的进口车厘子走入中国市场．一天小雪跟妈妈路过水果市场发现，买1千克车厘子的钱可以买3千克荔枝，妈妈用126元买了2千克车厘子和1千克荔枝．车厘子和荔枝的单价各是多少？ 【分析】设车厘子的单价是元斤，荔枝的单价是元斤，根据“买一斤车厘子的钱可以买三斤荔枝，且妈妈用126元买了两斤车厘子和一斤荔枝”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设车厘子的单价是元斤，荔枝的单价是元斤， 根据题意得：， 解得：． 答：车厘子的单价是54元斤，荔枝的单价是18元斤． 17．（2024春•和平区校级期末）商场销售，两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示：该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．毛利润（售价进价）销售量 进价（万元套） 1.5 1.2 售价（万元套） 1.65 1.4 （1）该商场计划购进，两种品牌的教学设备各多少套？ （2）现商场决定再用30万同时购进，两种设备，共有哪几种进货方案？ 【分析】（1）设购进品牌的教学设备套，品牌的教学设备套，根据购进两种教学设备的总费用及全部销售后获得的总毛利润，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设可以购进套品牌的教学设备，套品牌的教学设备，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各进货方案． 【解答】解：（1）设购进品牌的教学设备套，品牌的教学设备套， 依题意得：， 解得：． 答：购进品牌的教学设备20套，品牌的教学设备30套； （2）设可以购进套品牌的教学设备，套品牌的教学设备， 依题意得：， ． 又，均为正整数， 或或或， 共有4种进货方案， 方案1：购进16套品牌的教学设备，5套品牌的教学设备； 方案2：购进12套品牌的教学设备，10套品牌的教学设备； 方案3：购进8套品牌的教学设备，15套品牌的教学设备； 方案4：购进4套品牌的教学设备，20套品牌的教学设备． 18．（2024春•黔南州期末）黔南州某市通过网络直播带货助力乡村振兴，在直播间销售黔南州特色农产品．两名顾客在该直播间购买了一些独山盐酸菜扣肉和龙里辣子鸡，下面是他们的一段对话． （1）请你运用所学知识求出独山盐酸菜扣肉和龙里辣子鸡的单价； （2）小明爸爸准备去该直播间购买独山盐酸菜扣肉和龙里辣子鸡两种特色农产品共13盒，其中购买独山盐酸菜扣肉至少4盒，并且总费用不低于1440元，请帮小明爸爸计算并写出所有符合条件的购买方案． 【分析】（1）设独山盐酸菜扣肉的单价为元，龙里辣子鸡的单价为元，根据题意，可列：，求解即可； （2）设购买独山盐酸菜扣肉盒，则购买龙里辣子鸡盒，根据题意，可列：，先求解出的取值范围，再分别列出符合条件的购买方案即可． 【解答】解：（1）设独山盐酸菜扣肉的单价为元，龙里辣子鸡的单价为元， 根据题意，可列：， 解得：， 答：独山盐酸菜扣肉的单价为100元，龙里辣子鸡的单价为120元． （2）设购买独山盐酸菜扣肉盒，则购买龙里辣子鸡盒， 根据题意，可列：， 解得：， 取正整数， 或5或6， 小明爸爸有三种符合条件的购买方案： ①购买独山盐酸菜扣肉4盒，则购买龙里辣子鸡9盒； ②购买独山盐酸菜扣肉5盒，则购买龙里辣子鸡8盒； ③购买独山盐酸菜扣肉6盒，则购买龙里辣子鸡7盒． 19．（2024春•新抚区期末）某体育用品商场销售，两款足球，售价和进价如表： 类型 进价（元个） 售价（元个） 款 120 款 90 若该商场购进5个款足球和12个款足球共需1120元；若该商场购进10个款足球和15个款足球共需1700元． （1）求和的值； （2）已知商场购进10个款足球和20个款足球，售货员说：“每个款足球按售价进行打折销售，款足球不打折”．若两款足球全部售出后总盈利不少于640元，则每个款足球最多打几折？ 【分析】（1）根据“该商场购进5个款足球和12个款足球需1120元；购进10个款足球和15个款足球需1700元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值； （2）设每个款足球打折销售，根据总利润每个的利润销售数量结合总盈利不少于640元，得出关于的一元一次不等式，解之取其中最大值，即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意得： ， 解得：， 所以的值为80，的值为60； （2）设每个款足球打折销售， 根据题意得， 解得， 答：每个款足球最多打7折． 20．（2024春•厦门期末）银城饮料店坐落于西溪边上，环境优美． 该店特别推出和两种饮料进行销售，以下是银城饮料店开业期间的三则信息： 信息 “开业大酬宾”优惠方案 任意饮料一次性消费： ①满8杯（含8杯）减10元； ②满10杯（含10杯）减15元 信息 加料区 种类 单价（元 黑糖珍珠 1 秘制芋圆 1 软糯燕麦 2 脆波波球 2 碧根果奶油雪顶 3 说明1：可根据客人需求选择是否加料； 说明2：每杯饮料最多能加三种料，且加料不重复． 信息 饮料（杯 饮料（杯 总费用（元 是否加料 消费记录1 4 2 72 否 消费记录2 5 3 88 否 消费记录3 3 4 94 否 请根据所提供的信息完成以下问题： （1）请分别求出和两种饮料的销售单价； （2）已知小明买了若干杯饮料和5杯饮料，每杯饮料均未加料，共花费100元，求小明买了几杯饮料； （3）小坤与他的伙伴们想买6杯饮料和5杯饮料，且仅有3杯饮料不加料．若小坤只有185元，是否能够满足大家的各种加料需求？请说明理由． 【分析】（1）根据表格中任意两个消费记录的总费用列出方程组求解即可得到和两种饮料的销售单价； （2）设购买了饮料杯．根据的不同取值范围分类探讨总花费为100元时的情况即可； （3）设一共需要加料元．因为一共买饮料11杯，符合减15元的优惠，根据总费用不大于185可得的取值范围，进而根据有8杯需要加料，每杯饮料最多加料7元可得加料最多需要的钱数，看是否在的取值范围内即可判断是否满足大家的各种加料需求． 【解答】解：（1）设饮料的销售单价为元，饮料的销售单价为元． ． 解得：． 答：饮料的销售单价为10元，饮料的销售单价为16元； （2）设购买了饮料杯． ①． ． 解得：． ②． ． 解得：． ③． ． 解得：（不合题意，舍去）． 答：小明买了2或3杯饮料； （3）设一共需要加料元． ． 解得：． 每杯饮料最多能加三种料，且加料不重复． 每杯饮料加料最多需要（元． 仅有3杯饮料不加料， 有8杯饮料需加料． 最多需要56元． 能够满足大家的各种加料需求． 21．（2024春•渝北区期末）某房企为了迎接十周年庆典开展购置补贴活动，购置补贴活动在2024年一月正式开始．在政策出台前一个月共售出某型和型房屋共260套，政策出台后的第一个月售出这两种型号的房屋共330套，其中型房屋和型房屋的销售量分别比政策出台前一个月增长和． （1）在政策出台前一个月，销售的型房屋和型房屋分别为多少套？ （2）若型房屋每套销售价格为80万元，型房屋每套销售价格为90万元．根据补贴政策．房企按每套房屋销售价格的给购买型房屋的用户补贴．政策出台后的第一个月，房企规定对这330套房屋的用户一共最多补贴1420万元，购买型房源的用户每套房屋最多补贴多少万元？ 【分析】（1）根据出台政策前一个月售出某型和型房屋共260套，出台政策后第一个月售出这两种型号的房屋共330套列出方程组求解即可得到在政策出台前一个月，销售的型房屋和型房屋分别为多少套； （2）购买型房源的用户每套房屋最多补贴的钱数，把相关数值代入计算即可． 【解答】解：（1）设在政策出台前一个月，销售型房屋套，型房屋套． ． 解得：． 答：在政策出台前一个月，销售型房屋100套，型房屋160套； （2）（台， （台． （万元）． 答：购买型房源的用户每套房屋最多补贴4.5万元． 22．（2024春•拱墅区校级期中）请同学们根据以下表格中的素材以、素材二、素材三，探索完成任务一、任务二、任务三． 如何合理搭配消费券？ 素材一 为促进消费，某市人民政府决定，发放“双促双旺你消费我助力”消费券，一人可领取的消费券有：材材型消费券（满35减15元）3张，型消费券（满68减25元）2张，型消费券（满158减60元）1张． 素材二 消费券满减规则：按实际消费金额，达到满减金额的部分，可使用消费券；已享受满减的那部分金额不可再叠加使用其他消费券，如：消费193元，如果使用1张型消费券，已经享受满减的158元的这部分，不可再叠加使用其他消费券，剩余的35元可以使用1张型消费券． 素材三 在此次活动中，小观一家4人每人都领到了所有的消费券．某日小观一家在超市使用消费券，消费金额减了390元，请完成以下任务． 任务一 若小观一家用了5张型消费券，3张型的消费券，则用了 　4　张型的消费券，此时减券前的消费金额最少为 　　元． 任务二 若小观一家用13张，，型的消费券消费，已知型比型的消费券多1张，求，，型的消费券各多少张？ 任务三 若小观一家仅用两种不同类型的消费券消费，请问如何搭配使用消费券，使得付款额最少，并求出此时消费券的搭配方案． 【分析】任务一、型消费券的张数（消费金额减免的总数；消费金额最少使用型消费券的张数型消费券的张数型消费券的张数； 任务二、设型消费券用张，用表示出型消费券和型消费券的张数，根据减免总钱数为390列出方程求解即可； 任务三、分类探讨小观一家仅用两种不同类型的消费券消费，减免390元，得到最少付费，比较后可得付款额最少的消费券搭配方案． 【解答】解：任务一、 （张． 消费金额最少（元． 故答案为4，1011； 任务二、 设型消费券用张，则型消费券用，那么型消费券用了张． ． 解得：． ，． 答：小观一家共用了型消费券4张，型消费券6张，型消费券3张； 任务三、设型消费券用了张，型消费券用了张，型消费券用了张． 由题意得：，，． ①仅用型消费券和型消费券． ． 整理得：． ， ． 时，（不符合题意，舍去）， 时，（不符合题意，舍去）． 综上，无合适的解； ②仅用型消费券和型消费券． ． 整理得：． ． 符合题意的解为：，． 最少需要付款（元； ③仅用型消费券和型消费券． ． 整理得：． ． 符合题意的解为：，． 最少需要付款（元； ， 付款最少的方案是使用10张型券，4张型券． 23．（2024春•丰都县期末）据中央电视台2024年5月14日报道“重庆丰都：枇杷一树金，采摘正当时”．5月时节，丰都枇杷迎来了大丰收，一串串枇杷挂满了枝头，果香四溢，助力乡村振兴，带动村民增收致富．丰都某枇杷种植园主要通过三种渠道销售批杷：渠道一，园区现场采摘，单价18元千克；渠道二，网络销售，单价16元千克；渠道三，果品市场，单价14元千克． （1）在五月第1周里，通过园区现场采摘和果品市场销售的批杷，数量之比为，通过网络销售的枇杷数量比果品市场销售数量的还多350千克，三种渠道总计销售金额为38400元．那么在五月第1周里，园区现场采摘和水果市场渠道各销售多少千克枇杷？（列二元一次方程组解决问题） （2）在五月第2周里，网络销售更加红火，销售数量是第1周里网络销售数量的2倍少400千克，通过果品市场销售的枇杷是第2周里总销售数量的，在五月第2周里，枇杷种植园总计销售额不高于31181元，各种销售渠道的销售数量均为正整数．在五月第2周里，枇杷种植园可能销售了多少千克批杷？ 【分析】（1）设园区现场采摘销售枇杷千克，水果市场渠道销售枇杷千克，则网络销售的枇杷数量为千克．通过“销售数量单价销售金额”求出每种渠道的销售金额，进而得出三种渠道的总销售金额，结合已知，建立二元一次方程组即可求解． （2）设五月第2周总销售数量为千克，先依据上周销售数量求出第2周的网络销售和果品市场销售数量，再得出第二周枇杷种植园的总销售额，最后结合“枇杷种植园总计销售额不高于31181元，各种销售渠道的销售数量均为正整数”判断出答案． 【解答】解：（1）设园区现场采摘销售枇杷千克，水果市场渠道销售枇杷千克．根据题意，得 化简，得 解方程组，得 答：在五月第1周里，园区现场采摘销售了600千克枇杷，水果市场销售了1000千克枇杷． （2）设五月第2周园区枇杷总销售数量千克． 由（1）可得上周网络销售的枇杷数量为：（千克）． 则第2周网络销售枇杷数量为：（千克）． 依据题意可得：． 则． 由于，所以． 考虑到各种销售渠道的销售数量均为正整数，令，为正整数， 则，故． 当时，． 答：在五月第2周里，枇杷种植园可能销售了2020千克枇杷． 题型四 行程问题 24．如图，在一圆形跑道上，甲从点，乙从点同时出发，相向而行，8分钟后两人首次相遇，再过6分钟甲到达点，又过10分钟两人再次相遇，则甲环行一周所用的时间是 　28　分钟． 【答案】28． 【分析】设甲、乙的速度分别为、，一圈的路程为，根据题意“甲6分钟走的路程乙8分钟走的路程”可得；第一次相遇到再次相遇间隔16分钟，可得甲16分钟走的路程乙16分钟所走的路程全程，即；解方程组即可求解． 【解答】解：设甲、乙的速度分别为、，一圈的路程为，根据题意， 得， 解得， 答：甲环行一周所用的时间是28分钟． 故答案为：28． 25．（2024春•玄武区校级月考）甲、乙两地相距74千米，途中有上坡、平路和下坡．一汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分，停留30分钟后从乙地出发，6点48分返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、下坡分别是多少千米？ 【分析】设甲地到乙地的行驶过程中平路是千米，上坡路是千米，则下坡路是千米，利用时间路程速度，结合往、返所需时间，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的值（即甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡路的长度），再将其代入中，即可求出甲地到乙地的行驶过程中下坡路的长度． 【解答】解：从下午1点到下午3点30分共2.5小时，从下午4点到下午6点48分共2.8小时． 设甲地到乙地的行驶过程中平路是千米，上坡路是千米，则下坡路是千米， 根据题意得：， 解得：， ． 答：甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，上坡路是16千米，下坡路是28千米． 26．（2024春•船营区校级期末）列二元一次方程组解应用题： 随着“互联网”时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按元公里计算，耗时费按元分钟计算（总费用不足9元按9元计价），小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与打车时间如表： 里程数（公里） 时间（分钟） 车费（元 小明 8 8 12 小刚 10 12 16 （1）求出，的值； （2）周末小华去图书馆进行阅读也采用该打车方式，打车行驶了15公里，用时12分钟，那么小华的打车总费用为多少元？ 【分析】（1）根据表格内的数据结合打车费里程费里程耗时费耗时，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据里程数和时间来计算总费用． 【解答】解：（1）根据题意得： ， 解得：； （2）小华的里程数是，时间为． 则总费用是：（元． 答：总费用是21元． 题型五 工程问题 27．（2024春•船营区校级期末）为完善吉林市城市路网结构，营造便捷通畅的城市道路系统，提升城市面貌惠及民生，2024年5月起，吉林市各道路维修改造工程有序进行．已知甲工程队1天，乙工程队2天共修路400米；甲工程队2天，乙工程队3天共修路700米，求甲乙两工程队每天分别修路多少米？ 【分析】设甲工程队每天修路米，乙队每天修米，根据甲工程队1天、乙工程队2天共修路400米；甲工程队2天、乙工程队3天共修路700米，列出方程组，求出，的值即可． 【解答】解：设设甲工程队每天修路米，乙队每天修米， 由题意列方程组， 解这个方程组得． 答：甲每天修路200米，甲每天修路100米． 28．（2024春•平泉市期末）某县在创建省级卫生文明县城中，对县城内的河道进行整治，现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天． （1）小明、小华两位同学提出解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 根据题意，得； 小华同学：设整治任务完成后，表示 　甲工程队整治河道用的天数　，表示 　　； 得． 请补全括号及横线部分的内容． （2）求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程） 【分析】（1）根据小明同学设的未知数以及所列式子可知小华同学所列方程组即可求解； （2）从中任选一个方程组组解答即可． 【解答】解：（1）小明、小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 根据题意得； 小华同学：设整治任务完成后，表示甲工程队整治河道用的天数，表示乙工程队整治河道用时的天数； 得， 故答案为：甲工程队整治河道用的天数，乙工程队整治河道用时的天数； （2）选小明同学所列方程组解答如下： 设整治任务完成后甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 由题意得：； 解得：， 答：甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 29．（2024春•兰山区期末）下表是某工厂设计玩具的裁剪方案． 课题 设计裁剪方案 素材1 如图①所示是一套豌豆样式的玩具，主要由一个豌豆荚和三个豌豆组成．如图②所示，制作一个豌豆所需布料的尺寸是；如图③所示，制作一个豌豆荚所需布料的尺寸是．三个豌豆和一个豌豆荚可以组成一套完整的玩具． 素材2 某玩具加工厂在清点库存时发现仓库有一批的布料，于是厂家准备将这批布料裁剪成豌豆玩具所需的尺寸．（不计剪裁时的损耗） 我是裁剪师 任务一 拟定裁剪方案 若要不造成布料浪费，请你将下列方案补充完整． 方案一：裁剪50张豌豆的布料和0张豌豆荚的布料； 方案二：裁剪8张豌豆的布料和 　12　张豌豆荚的布料； 方案三：裁剪 　　张豌豆的布料和4张豌豆荚的布料． 任务二 解决实际问题 若该工厂现要制作800套豌豆玩具，按照方案一裁剪了4张布料，剩下按照方案二和方案三的方案裁剪，在没有布料浪费的条件下还需从仓库拿几张布料？ 【分析】（1）设一张该布料裁剪张豌豆的布料和张豌豆荚的布料，根据原始布料尺寸和所需布料尺寸，可以先将原始布料对半裁剪，再根据长度进行裁剪，利用布料长度相等列出二元一次方程，求出整数解即可； （2）设用张布料按方案二：裁剪8张豌豆的布料和12张豌豆荚的布料；用张布料按方案三：裁剪36张豌豆的布料和4张豌豆荚的布料，列方程组可得答案． 【解答】解：任务一：设一张该布料裁剪张豌豆的布料和张豌豆荚的布料，根据布料尺寸为，豌豆所需布料的尺寸是，豌豆荚所需布料的尺寸是，因此可以先将原始布料对半裁剪，即得到2块的布料，然后裁剪所需布料的长度即可．根据裁剪前后布料长度相等，可得： ，即， ，其中，为正整数， 当，，即为方案一：裁剪50张豌豆的布料和0张豌豆荚的布料； 当，，即为方案二：裁剪8张豌豆的布料和12张豌豆荚的布料； 当，，即为方案三：裁剪36张豌豆的布料和4张豌豆荚的布料． 任务二：设用张布料按方案二：裁剪8张豌豆的布料和12张豌豆荚的布料；用张布料按方案三：裁剪36张豌豆的布料和4张豌豆荚的布料． 则， 解得， ， 还需从仓库拿100张布料． 答：在没有布料浪费的条件下，还需从仓库拿100张布料． 30．（2024春•赣州期末）根据以下素材，请完成任务． 养成健康饮水的习惯 素材1：健康饮水知识一 1．人体每天所需水分为毫升．如果等到渴了再喝水，身体可能已经处于缺水状态．建议大家应养成主动饮水的习惯，把每天所需的水分安排在一天内喝完． 2．推荐喝温开水或茶水，少喝或不喝含糖饮料，不能用饮料代替白水． 3．饮水不足、过多均不利益身体健康，缺水后可能会引起供血量减少，血液粘性增加：喝的过量也会增加心、肾的患病风险． 素材2：健康饮水知识二 科学证明，健康饮水的适宜温度大约在．喝水的时候要注意避免喝过冷或过热的水，如果患者长期喝冷水，可能会刺激胃肠道，从而引起腹泻、腹痛等胃肠道不适症状．如果喝过热的水，容易造成食道口腔黏膜的损伤以及胃部损伤，引起炎症反应，出现溃疡等情况． 素材3 小贴士：若接水过程中不计热量损失，温度热量可以用下列公式转化： 温水体积温水温度开水体积开水温度混合后体积混合后温度 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．已知温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速． 问题解决 任务一 小健同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热量损失），求小健同学分别接温水和开水的时间； 任务二 如果小康同学先用水杯接了开水，为了身体的健康，小康同学至少要接多长时间温水才能达到饮用的适宜温度？ 【分析】（1）设小健同学分别接温水和开水的时间分别为 ， ，依题意列式，再解出方程的解，即可作答． （2）设小康同学接温水为 ，结合“健康饮水的适宜温度大约在”，列出一元一次不等式组，即可作答． 【解答】解：任务一：设小健同学分别接温水和开水的时间分别为 ， ，由愿意得： ， 解得， 答：小健同学生接温水的时间为，接开水的时间为； 任务二：设小康同学接温水为 ，由题意得： ， 解得， 答：小康同学接温水的时间至少为，才能达到饮用的适宜温度． 题型六 产品配套问题 31．（2024春•沂南县期末）某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排名工人生产镜片，名工人生产镜架，则可列方程组　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】等量关系为：生产镜片工人数量生产镜架工人数量，镜片数量镜架数量，把相关数值代入即可求解． 【解答】解：设安排名工人生产镜片，名工人生产镜架， 由题意，得． 故选． 32．（2024春•桦甸市期末）某学校为学生配备物理电学实验器材，一个电表包内装有1个电压表和2个电流表．某生产线共60名工人，每名工人每天可生产14个电压表或20个电流表．若分配名工人生产电压表，名工人生产电流表，恰好使每天生产的电压、电流表配成套，则可列出方程组　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据等量关系为：电流表数量电压表数量，把相关数值代入即可求解． 【解答】解：若分配名工人生产电压表，名工人生产电流表，由题意得： ． 故选． 33．（2024春•渝北区期末）某车间有18名工人，生产一种螺栓和螺母，每人每天平均能生产螺栓40只或螺母100只，要求一个螺栓配两个螺母，应怎样分配工人才能使每天生产的螺栓和螺母恰好配套？设分配人生产螺栓，人生产螺母，则下列方程组正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据“该车间共有18名工人，且每天生产的螺母的总数量是螺栓总数量的2倍”，即可列出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：该车间共有18名工人， ； 每人每天平均能生产螺栓40只或螺母100只，且一个螺栓配两个螺母， 即每天生产的螺母的总数量是螺栓总数量的2倍， ． 根据题意可列方程组． 故选． 34．（2023秋•沙坪坝区校级期末）现用190张铁皮制作一批盒子，每张铁皮可做8个盒身或做22个盒底，而一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子．问用多少张白铁皮制盒身、多少张白铁皮制盒底，可以使盒身和盒底正好配套．设用张铁皮做盒身，张铁皮做盒底，可以使盒身与盒底正好配套，则可列方程是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由题意可知：制盒身的铁皮制盒底的铁皮张；盒底的数量盒身数量的2倍．据此可列方程组求解即可． 【解答】解：设张铁皮制盒身，张铁皮制盒底，由题意得 ． 故选． 35．（2024春•威远县校级期中）果树基地安排26名工人将采摘的水果包装成果篮，每个工人每小时可包装200个苹果或者300个梨，每个果篮中放3个苹果和2个梨．为了使包装的水果刚好完整配成果篮，应该安排多少名工人包装苹果，多少名工人包装梨？设安排名工人包装苹果，名工人包装梨，可列方程组为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】等量关系：包装苹果工人人数包装梨工人人数；包装苹果的数量：包装梨的数量． 【解答】解：设安排名工人包装苹果，名工人包装梨，可列方程组为． 故选． 36．（2020•延边州二模）要用20张白卡纸做长方体的包装盒，准备把这些白卡纸分成两部分，一部分张做侧面，另一部分张做底面．已知每张白卡纸可以做侧面4个，或做底面6个，如果4个侧面可以和2个底面做成一个包装盒．依题意列方程组为 　　． 【答案】 【分析】根据“共有20张白卡纸，4个侧面可以和2个底面做成一个包装盒，且制作的侧面和底面正好配套”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：依题意，得：． 故答案为：． 37．（2024春•卧龙区校级月考）已知一张课桌需要一个桌面和四个桌腿．如果一立方米木材可做60个桌面或360条腿（其它材料不计），现有20立方米木材，安排多少立方米木材做桌面，多少立方米木材做桌腿刚好配套？ 【分析】设安排立方米木材做桌面，立方米木材做桌腿刚好配套，根据总共有20立方米，一个桌面配4条桌腿刚好配套，列方程组求解． 【解答】解：设安排立方米木材做桌面，立方米木材做桌腿刚好配套， 由题意得，， 解得：． 答：安排12立方米木材做桌面，8立方米木材做桌腿刚好配套． 38．（2024春•侯马市期末）学科实践 驱动任务： 日常生活中，我们经常可以看到各种各样的长方体形状的包装盒，如化妆盒、药品盒等．制作这类包装盒时，我们通常先在纸上裁剪出包装盒的侧面、底面，然后折叠、粘贴成长方体．在一次数学活动中，数学研习小组协助老师用白卡纸制作长方体纸盒． 操作发现： 制作1个长方体纸盒需要1个侧面和2个底面；1张白卡纸可以做2个侧面或3个底面． 问题解决： （1）他们准备用42张白卡纸制作长方体纸盒，计划将这些白卡纸分成两部分，一部分用于做侧面，另一部分用于做底面．如何分配才能使做成的侧面和底面正好配套？（用二元一次方程组的知识解答） （2）用20张白卡纸最多能制作多少个长方体纸盒？ 【分析】（1）设用张做侧面，张做底面正好配套，根据白卡纸的总张数及制作底面的总数是制作侧面总数的2倍，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设用张做侧面，则用张做底面，根据制作底面的总数是制作侧面总数的2倍，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，取及，求出制作长方体纸盒的数量，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设用张做侧面，张做底面正好配套， 根据题意得：， 解得：． 答：用18张做侧面，24张做底面正好配套； （2）设用张做侧面，则用张做底面， 根据题意得：， 解得：， 当时，可做（个侧面，（个底面， 此时可制作16个长方体纸盒； 当时，可做（个侧面，（个底面， （个（个， 此时可制作16个长方体纸盒． ， 最多能制作16个长方体纸盒． 答：用20张白卡纸最多能制作16个长方体纸盒． 39．（2024春•镇海区校级期末）根据以下素材，探索完成任务 如何设计板材裁切方案？ 素材1 图1中是一把学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成，图2是靠背与座垫的尺寸示意图． 素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫，已知该板材长为，宽为（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法，求出和的值， 方法一：裁切靠背16张和座垫0张． 方法二：裁切靠背9张和坐垫张． 方法三：裁切靠背张和坐垫6张． 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进100张该型号板材，加工后板材恰好全部用完，能制作成多少把学生椅？ 任务三 解决实际问题 现需要制作700把学生椅，该工厂仓库现有11张靠背和1张座垫，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？ 并给出一种只用方法二和方法三的裁切方案． 【分析】任务一：设一张该板材裁切靠背张，坐垫张，可得，求出非负整数解即可； 任务二：根据“总长度除以制作一把椅子所需要的长度”求解即可； 任务三：设用张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用张裁切靠背2张和坐垫6张，根据题意列方程组求解即可． 【解答】解：任务一：设一张该板材裁切靠背张，坐垫张， 根据题意得：， ， ，为非负整数， 或或， 方法二：裁切靠背9张和坐垫3张； 方法三：裁切靠背2张和坐垫6张； 故答案为：9，，6； 方法二：由题意得：， 解得：； 方法三：由题意得： ， 解得； 任务二：由题意得：（把， 答：能制作成480把学生椅； 任务三：设用张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用张裁切靠背2张和坐垫6张，由题意得： ， 解得：， （张， 答：需要购买该型号板材145张，用其中57张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用88张板材裁切靠背2张和坐垫6张． 题型七 比赛问题 40．（2024春•鹤壁期末）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队在10场比赛中得到17分，设这个队胜场，负场，则，的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据该队在10场比赛中共得到17分，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：依题意得：， 解得：． 故选． 41．（2024春•五华区校级期中）在全国足球甲级组的前11轮比赛中，某队保持不败，共积累23分．按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，那么该队胜的场数是　　 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】 【分析】“某队保持连续不败，”则说明该队每场比赛只有胜、平两种结果，设该队胜的场数是，平了场，根据题意可得等量关系：胜场数平场数场，胜场得分平场得分分，根据等量关系列出方程组，再解即可． 【解答】解：设该队胜的场数是，平了场，由题意得： ， 解得：， 故选． 42．某中学一年级举行足球友谊赛，规定：胜一场记3分，平1场记1分，负1场记0分，一年级一班在第一轮比赛中共积8分，其中胜的场数与平的场数相同，负的场数比胜的场数多1场，问一年级一班在此轮比赛中共胜了几场？ 【分析】设一年级一班在此轮比赛中共胜了场，输了场，则平了场，根据负的场数比胜的场数多1场及共积8分，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设一年级一班在此轮比赛中共胜了场，输了场，则平了场， 根据题意得：， 解得：． 答：一年级一班在此轮比赛中共胜了2场． 43．（2024•金州区一模）我市某校为了落实“阳光体育活动”，在八年级开展了篮球赛．比赛规则是：八年级10个班级每个班级派出一支队伍参赛，赛制采用的是单循环积分赛（每个班级都与其他9个班级进行一场比赛），胜一场记2分，负一场记1分，然后按照积分高低进行排名．赛程过半，小明所在的班级已经进行了5场比赛，积9分． （1）求小明所在班级胜、负的场次各是多少； （2）根据分析，总积分超过15分才能确保进入前两名，小明的班级若想进入前两名在剩下的比赛中至少还要取得几场胜利？ 【分析】（1）设小明所在班级胜了场，负了场，根据小明所在的班级已经进行了5场比赛，积9分，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设小明的班级在剩下的比赛中还要胜场，根据总积分超过15分才能确保进入前两名，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论． 【解答】解：（1）设小明所在班级胜了场，负了场， 依题意得， 解得， 小明所在班级胜了4场，负了1场； （2）设小明的班级在剩下的比赛中还要胜场， 依题意，得， 解得， 为正整数， ， 小明的班级在剩下的比赛中至少还要胜3场． 题型八 利息税收问题 44．小李以两种形式储蓄300元，一种储蓄的年利率为．另一种年利率为，一年后本息和为331.5元，则两种储蓄的存款分别为 　150元　，　　．（计算时可不考虑利息税） 【答案】150元，150元 【分析】设第一种储蓄存了元，第二种存了元，根据储蓄了300元钱可以列出方程，根据一年后共得利息31.5元可以列出方程，联立两个方程组成方程组，解方程组即可求出结果． 【解答】解：若设第一种储蓄存了元，第二种存了元， 则根据题意可列方程组为， ， 故答案为：150元，150元． 45．李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税后可得利息43.92元；已知这两种储蓄年利率的和为，求这两种储蓄的年利率各是百分之几？（公民应交利息所得税利息金额 【分析】本题中的等量关系有两个：两个款项的税后利息和元；两种储蓄的年利率和，据此可列方程组求解． 【解答】解：设两种储蓄的年利率分别是、，则 解得． 答：两种储蓄的年利率分别是，． 题型九 方案选择问题 46．（2024春•京口区月考）“母亲节”当天，小明去花店为妈妈选购鲜花，若康乃馨每枝2元，百合每枝3元，小明计划用30元购买这两种鲜花（两种都买），则不同的购买方案共有　　 A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】 【分析】设可以购买支康乃馨，支百合，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数即可得出小明有4种购买方案． 【解答】解：设可以购买支康乃馨，支百合， 依题意，得：， ． ，均为正整数， 或或或， 小明有4种购买方案． 故选． 47．（2024•东昌府区模拟）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有人，辆车，可列方程（组为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，列二元一次方程组． 【解答】解：依题意得：． 故选． 48．（2024•增城区二模）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？设绳子长尺，长木长尺，则所列方程组正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据“用绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺， ； 将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺， ． 所列方程组为， 即， 故选． 49．（2024春•巫山县期末）中国传统数学重要著作《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”译为“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱．若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为，乙的钱数为，根据题意，可列方程组为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据“乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为50”，列出相应的方程组即可． 【解答】解：由题意，得： ， 故选． 50．（2024春•娄底期末）我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若3个人乘一辆车，则空2辆车；若2个人乘一辆车，则有9个人要步行，求人数和车数．下列方案中 ①设车数为辆，列方程为：． ②设人数为人，列方程为：． ③设车数为辆，人数为人，列方程组为：． ④设人数为人，车数为辆，列方程组为：． 正确的有　　 A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】 【分析】根据题目中的等量关系列出方程即可． 【解答】解：①设车数为辆，列方程为：，正确，符合题意； ②设人数为人，列方程为：，正确，符合题意； ③设车数为辆，人数为人，列方程组为：，原方程错误，不符合题意； ④设人数为人，车数为辆，列方程组为：，正确，符合题意． 综上所述，正确的有①②④． 故选． 51．（2024春•康巴什期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，已知型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元．若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），则不同的购买方案共有 　3　种． 【答案】3． 【分析】该公司购进辆型汽车，辆型汽车，利用总价单价数量，可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出该公司共有3种不同的购买方案． 【解答】解：该公司购进辆型汽车，辆型汽车， 根据题意得：， ， 又，均为正整数， 或或， 该公司共有3种不同的购买方案． 故答案为：3． 52．（2024春•嘉禾县校级月考）某天早市上，何阿婆和李奶奶买了种类相同，但数量不同的蔬菜，已知何阿婆买了2千克西红柿和1.5千克辣椒共花费9元；李奶奶买了4千克西红柿和2.5千克辣椒共花费了17元，则购买3千克西红柿和1千克辣椒共需要花费 　11　元． 【答案】11． 【分析】先设西红柿和辣椒的单价分别为元千克和元千克，结合“买了2千克西红柿和1.5千克辣椒共花费9元；李奶奶买了4千克西红柿和2.5千克辣椒共花费了17元”得然后解方程组，即可作答． 【解答】解：设西红柿和辣椒的单价分别为元千克和元千克，根据题意，得： ， 解得， 西红柿的单价为3元千克，辣椒的单价为2元千克， （元． 即买3千克西红柿和1千克辣椒共需要花费11元． 53．（2023秋•临渭区期末）某医药超市销售、两种品牌的消毒液，购买2瓶品牌和3瓶品牌的消毒液共需160元；购买3瓶品牌和1瓶品牌的消毒液共需135元． （1）求这两种品牌消毒液的单价； （2）某学校为了给教室进行充分消杀，准备花1050元购进、两种品牌的消毒液，且要求品牌的消毒液的数量比品牌多，请你给出有哪几种购买方案？ 【分析】（1）设品牌消毒液的单价为元瓶，品牌消毒液的单价为元瓶，根据“购买2瓶品牌和3瓶品牌的消毒液共需160元；购买3瓶品牌和1瓶品牌的消毒液共需135元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进瓶品牌消毒液，瓶品牌消毒液，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程组，结合，均为正整数，且，即可得出各购买方案． 【解答】解：（1）设品牌消毒液的单价为元瓶，品牌消毒液的单价为元瓶， 根据题意得：， 解得：． 答：品牌消毒液的单价为35元瓶，品牌消毒液的单价为30元瓶； （2）设购进瓶品牌消毒液，瓶品牌消毒液， 根据题意得：， ． 又，均为正整数，且， 或， 共有2种购买方案， 方案1：购进24瓶品牌消毒液，7瓶品牌消毒液； 方案2：购进18瓶品牌消毒液，14瓶品牌消毒液． 54．（2024春•西山区校级期中）某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元． （1）若商场同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案； （2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售利润最多，你选择哪一种进货方案？ 【分析】（1）因为要购进两种不同型号电视机，可供选择的有3种，那么将有三种情况：甲乙组合，甲丙组合，乙丙组合． 等量关系为：台数相加，钱数相加； （2）算出各方案的利润加以比较． 【解答】解：（1）解分三种情况计算： ①设购甲种电视机台，乙种电视机台． 解得． ②设购甲种电视机台，丙种电视机台． 则， 解得：． ③设购乙种电视机台，丙种电视机台． 则 解得：（不合题意，舍去）； （2）方案一：． 方案二：元． 答：购甲种电视机25台，乙种电视机25台；或购甲种电视机35台，丙种电视机15台． 购买甲种电视机35台，丙种电视机15台获利最多． 55．（2024•灞桥区校级四模）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人辆） 35 30 租金（元辆） 400 320 学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元． （1）参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？ （2）每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？ 【分析】（1）设参加此次劳动实践活动的老师有人，根据参加实践活动的学生人数的两种不同表示方法作为等量关系列方程即可． （2）首先判断车辆总数为8，设租甲型客车辆，列出不等式组求出整数解即可． 【解答】解：（1）设参加此次劳动实践活动的老师有人， 根据题意，得， 解得， ． 答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，学生有247人． （2）师生总数为（人， 每位老师负责一辆车的组织工作， 一共租8辆车， 设租甲型客车辆，则租乙型客车辆， 根据题意，得： ， 解得， 为整数， 的值可取3，4，5， 一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆． 56．（2024春•遂平县期末）为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间活动”，某中学购买种品牌的足球50个，种品牌的足球25个，共花费4500元，已知种品牌足球的单价比种品牌足球的单价高30元． （1）求、两种品牌足球的单价各多少元？ （2）根据需要，学校决定再次购进、两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，种品牌的足球单价优惠4元，种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买、两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买种品牌的足球不少于23个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？ 【分析】（1）设种品牌足球的单价是元，种品牌足球的单价是元，根据“购买种品牌的足球50个，种品牌的足球25个，共需4500元，种品牌足球的单价比种品牌足球的单价高30元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买个种品牌的足球，则购买个种品牌的足球，根据“此次学校购买、两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买种品牌的足球不少于23个”，可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为正整数，可得出共有3种购买方案，再分别求出各方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设种品牌足球的单价是元，种品牌足球的单价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：种品牌足球的单价是50元，种品牌足球的单价是80元； （2）设购买个种品牌的足球，则购买个种品牌的足球， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为23，24，25， 共有3种购买方案， 方案1：购买27个种品牌的足球，23个种品牌的足球，总费用为（元； 方案2：购买26个种品牌的足球，24个种品牌的足球，总费用为（元； 方案3：购买25个种品牌的足球，25个种品牌的足球，总费用为（元． ， 为了节约资金，学校应选择购买方案1． 57．（2024春•龙湾区校级期中）综合与实践：设计运动会物资的购买方案． 【背景素材】七年级1班要为运动会购买物资，计划从某超市购入、两种品牌的运动饮料．若买25瓶品牌运动饮料，25瓶品牌运动饮料需325元；若买20瓶品牌运动饮料，30瓶品牌运动饮料需340元． 【问题解决】为设计方案，可以逐步进行探究． 思考1（确定售价）、两种品牌的运动饮料的销售单价分别是多少元？ 思考2（方案探究）：购买、两种品牌的运动饮料（两种都要），班级预算是200元，要使预算刚好花完，有几种购买方案？ 【分析】思考1：设品牌运动饮料的销售单价是元，品牌运动饮料的销售单价是元，根据“买25瓶品牌运动饮料，25瓶品牌运动饮料需325元；买20瓶品牌运动饮料，30瓶品牌运动饮料需340元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； 思考2：设购买瓶品牌运动饮料，瓶品牌运动饮料，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各购买方案． 【解答】解：思考1：设品牌运动饮料的销售单价是元，品牌运动饮料的销售单价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：品牌运动饮料的销售单价是5元，品牌运动饮料的销售单价是8元； 思考2：设购买瓶品牌运动饮料，瓶品牌运动饮料， 根据题意得：， ． 又，均为正整数， 或或或， 共有4种购买方案， 方案1：购买32瓶品牌运动饮料，5瓶品牌运动饮料； 方案2：购买24瓶品牌运动饮料，10瓶品牌运动饮料； 方案3：购买16瓶品牌运动饮料，15瓶品牌运动饮料； 方案4：购买8瓶品牌运动饮料，20瓶品牌运动饮料． 58．（2024春•禹州市月考）某中学拟组织七年级师生去参观河南省博物院．下面是李老师和小明、小刚的对话： 李老师：“客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，且租用1辆60座客车和1辆45座客车到河南省博物院，一天的租金共计1800元．” 小明说：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和3辆45座的客车到河南省博物院，一天的租金共计6400元．” 小刚说：“如果我们七年级租用45座的客车辆，那么还有30人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满．” 根据以上对话，解答下列问题： （1）参加此次活动的七年级师生共有 　480　人； （2）客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ （3）若同时租用两种或一种客车，要使七年级每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，问有几种租车方案？哪一种租车方案最省钱？ 【分析】（1）根据七年级租用45座的客车辆，那么还有30人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满，列出方程即可得到的值，进而得出七年级师生人数； （2）设60座客车每辆每天的租金为元，45座客车每辆每天的租金为元，根据题意列出方程组即可求解； （3）设租辆60座客车，辆45座客车，则，根据，都是非负整数，即可得到租金的值，进相比较即可得出结论． 【解答】解：（1）由题可得，， 解得， 此次活动的七年级师生共有（人； 故答案为：480； （2）设60座客车每辆每天的租金为元，45座客车每辆每天的租金为元，依题意得， ， 解得， 答：60座客车每辆每天的租金为1000元，45座客车每辆每天的租金为800元； （3）设租辆60座客车，辆45座客车，则 ， ， ，都是非负整数， ，，， 租金为， 当时，（元； 当时，（元； 当时，（元； 有三种方案，其中60座客车租8辆时最省钱． 59．（2024春•赣榆区月考）连云港市甲、乙两个有名的学校乐团，决定向某服装厂购买同样的演出服．如表是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 套（含39套） 套（含69套） 70套及以上 每套服装的价格 80元 70元 60元 经调查：两个乐团共85人（甲乐团人数不少于46人），如果分别各自购买演出服，两个乐团共需花费6300元．请回答以下问题： （1）如果甲、乙两个乐团联合起来购买服装，那么比各自购买服装最多可以节省多少元？ （2）甲、乙两个乐团各有多少名学生？ （3）现从甲乐团抽调人，从乙乐团抽调人（要求从每个乐团抽调的人数不少于5人），去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”；甲乐团每位成员负责5位小朋友，乙乐团每位成员负责3位小朋友．这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖．请写出所有的抽调方案，并说明理由． 【分析】（1）若甲、乙两个乐团合起来购买服装88套，则每套是60元，计算出总价，即可求得比各自购买服装共可以节省多少钱； （2）设甲、乙个乐团各有名、名学生准备参加演出．根据题意，显然各自购买时，甲乐团每套服装是70元，乙乐团每套服装是80元．根据等量关系：①共85人；②分别单独购买服装，一共应付6300元，列方程组即可求解； （3）利用甲乐团每位成员负责5位小朋友，乙乐团每位成员负责3位小朋友恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖列出方程探讨答案即可． 【解答】解：（1）买85套所花费为：（元， 最多可以节省：（元； （2）①甲乐团的人数人， 解：设甲乐团有人；乙乐团有人．根据题意，得： ， 解得：； ②甲乐团的人数人，设甲乐团有人；乙乐团有人．根据题意，得： ， 解得：（不合题意，舍去）． 答：甲、乙两个乐团各有50名和35名学生； （3）由题意，得， 变形，得， 因为每位乐团的人数不少于5人且人数为正整数，得： 或， 所以共有两种方案：从甲乐团抽调10人，从乙乐团抽调5人；或者从甲乐团抽调7人，从乙乐团抽调10人． 60．（2024春•德化县期末）根据以下素材，探索完成任务． 奖品购买及兑换方案设计 素材1 小明在瓷都爱心超市购物时发现：顾客甲购买2个风琴包和1个精美书签花了35元，顾客乙购买1个风琴包和3个精美书签花了30元． 素材2 瓷都中学花费600元购买该超市的风琴包和精美书签作为奖品颁发给七年级期末考试优秀学生，两种奖品的购买数量均不少于20个，且购买精美书签的数量是10的倍数． 素材3 学校花费600元后，该超市赠送张兑换券（如图）用于商品兑换．兑换后，精美书签与风琴包数量相同． 问题解决 任务1 探求商品单价 请运用列方程组的方法，求出风琴包与精美书签的单价． 任务2 探究购买方案 探究购买风琴包和精美书签数量的所有方案． 任务3 确定兑换方式 运用数学知识，求所有符合条件的兑换方式．（求风琴包和精美书签分别用的兑换券张数） 【分析】任务1：设风琴包的单价为元，精美书签的单价为元，根据“顾客甲购买2个风琴包和1个精美书签花了35元，顾客乙购买1个风琴包和3个精美书签花了30元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； 任务2：设购买个风琴包，个精美书签，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合，，，为整数，且是10的倍数，即可得出各购买方案； 任务3：由任务2的结论，可知分两种情况考虑，当购买30个风琴包，30个精美书签时，设用张兑换券兑换风琴包，则用张兑换精美书签，根据兑换后精美书签与风琴包数量相同，可列出关于，的二元一次方程，结合，为整数，，均为自然数，即可得出各兑换方案；当购买购买20个风琴包，60个精美书签时，设用张兑换券兑换风琴包，则用张兑换精美书签，根据兑换后精美书签与风琴包数量相同，可列出关于，的二元一次方程，结合，为整数，，均为自然数，即可得出各兑换方案． 【解答】解：任务1：设风琴包的单价为元，精美书签的单价为元， 根据题意得：， 解得：． 答：风琴包的单价为15元，精美书签的单价为5元； 任务2：设购买个风琴包，个精美书签， 根据题意得：， ． 又，，，为整数，且是10的倍数， 或， 共有2种购买方案， 方案1：购买30个风琴包，30个精美书签； 方案2：购买20个风琴包，60个精美书签； 任务3：①当购买30个风琴包，30个精美书签时，设用张兑换券兑换风琴包，则用张兑换精美书签， 根据题意得：， ， ，为整数，，均为自然数， 或， 当购买30个风琴包，30个精美书签时，若超市赠送4张兑换券，则3张兑换风琴包，1张兑换精美书签；若超市赠送8张兑换券，则6张兑换风琴包，2张兑换精美书签； ②当购买购买20个风琴包，60个精美书签时，设用张兑换券兑换风琴包，则用张兑换精美书签， 根据题意得：， ， ，为整数，，均为自然数， 或， 当购买20个风琴包，60个精美书签时，若超市赠送5张兑换券，则5张兑换风琴包：若超市赠送9张兑换券，则8张兑换风琴包，1张兑换精美书签． 答：当购买30个风琴包，30个精美书签时，若超市赠送4张兑换券，则3张兑换风琴包，1张兑换精美书签；若超市赠送8张兑换券，则6张兑换风琴包，2张兑换精美书签；当购买20个风琴包，60个精美书签时，若超市赠送5张兑换券，则5张兑换风琴包：若超市赠送9张兑换券，则8张兑换风琴包，1张兑换精美书签． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10.2 实际问题与二元一次方程（组）（9大题型） 题型一 数字问题 1．（2024春•嘉禾县校级月考）有一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为9，十位上的数字比个位上的数字大3，则这个两位数是　　 A．47 B．56 C．63 D．84 2．已知一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字大1，若对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小9，求这个两位数，所列方程组正确的是　　 A． B． C． D． 3．（2024秋•九龙坡区校级期中）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有5个大容器和1个小容器可以装3斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），1个大容器、5个小容器可以装2斛．问：大容器、小容器分别可以装多少斛？设1个大容器装斛，1个小容器装斛，根据题意，可列方程组为　　 A． B． C． D． 4．（2024春•开封期末）我国古代数学著作《九章算术》中有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，请问有几个人？有几辆车？若设有辆车，有个人，根据题意可列方程组为　　 A． B． C． D． 5．（2024春•平泉市期末）我国民间流传这样一道数学名题： 其大意是：听见隔壁一些人在分银两，每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤，问共有多少人？共有多少两银子？ 数学原题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两还缺7两，每人半斤多半斤，试问各位善算者，多少人分多少银？斤等于10两） 设有个人，共分两银子，根据题意，可列方程组为　　 A． B． C． D． 6．（2024春•青秀区校级期末）中国传统数学重要著作《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”译为“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱．若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为100；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为100．问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为，乙的钱数为，根据题意，可列方程组为　　 A． B． C． D． 7．（2020春•依安县期末）同学们每个星期都会听着国歌升国旗，但国歌歌词有多少个可能大家都不知道．已知歌词数量是一个两位数，十位数是个位数的两倍，且十位数比个位数大4，则国歌歌词数有 　　个． 8．（2024春•路桥区期末）在《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是用算筹表示的．如图1，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数，图1的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示就是，则图2的算筹图所表示的方程组的解为 　　． 9．（2024•梓潼县开学）在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程或方程组的应用题．由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，回味无穷． 一、周瑜寿属 而立之年督东吴，早逝英年两位数； 十比个位正小三，个位六倍与寿符； 哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？ 诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数？ 解：设这个两位数的十位上的数字是，个位上的数字为，根据题意，得 解之得 答：这个两位数是36，即周瑜活到36时病逝． 下面两个诗歌算题同学们能通过列方程组算出来吗？ 二、官兵分布 一千官兵一千布，一官四尺无零数； 四兵才得布一尺，请问官兵多少数？ 三、老头买梨 一群老头去赶集，半路买了一堆梨； 一人一个多一个，一人两个少两梨． 请问君子知道否，几个老头几个梨？ 关于这类的问题还有很多，平时同学们可以搜集一些！（注意：在中考时也有这样的题目哟！ 题型二 鸡兔同笼问题 10．（2024•光明区校级三模）我国古代数学著作《孙子算经）中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有16头，下有44足，问鸡兔各几何．”设鸡只，兔只，可列方程组　　 A． B． C． D． 11．（2024春•玉溪期末）大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题．书中是这样叙述的：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚．问笼中各有多少只鸡和兔？设鸡有只，兔有只，列方程组得　　 A． B． C． D． 12．（2024春•康县期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问兽、禽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚．问兽、鸟各有多少？设兽有只，鸟有只，根据题意列方程组正确的是　　 A． B． C． D． 题型三 销售问题 13．（2024春•阳新县月考）小明要用16元钱买，两种饮料，两种饮料必须都买，16元全部用完．若种饮料每瓶3元，种饮料每瓶2元，则小明的购买方案有　　 A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 14．某服装店用6000元购进、两种新款服装，按标价全部售出后获得毛利润3800元（毛利润售价进价），这两款服装的进价、标价如表所示，则这两款服装共购进 　　件． 类型 价格 款 款 进价（元件） 60 100 标价（元件） 100 160 15．（2024春•北碚区校级期中）五一假期即将到来，销售重庆特产的某商户准备继续推出去年较火的、、三种特产礼盒进行售卖．去年五一节期间，、、三种礼盒的销量比为，其中礼盒的售价为礼盒的售价的1.5倍，且礼盒的销售额为礼盒的销售额的4倍．今年由于成本变化，礼盒售价上调，礼盒售价有一定提高，礼盒售价与去年保持不变，该商家预估今年礼盒和礼盒的销量也与去年保持不变，如果今年总的销售额上涨且礼盒与礼盒的销售额之比为，则今年礼盒与礼盒的售价之比为 　　． 16．（2024春•石泉县期末）丝路之旅，让中国荔枝名满天下，丝路之约，让车厘子的甘甜绽放中国舌尖．在“一带一路”政策的帮扶下，更多的中国荔枝走出国门，更多的进口车厘子走入中国市场．一天小雪跟妈妈路过水果市场发现，买1千克车厘子的钱可以买3千克荔枝，妈妈用126元买了2千克车厘子和1千克荔枝．车厘子和荔枝的单价各是多少？ 17．（2024春•和平区校级期末）商场销售，两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示：该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．毛利润（售价进价）销售量 进价（万元套） 1.5 1.2 售价（万元套） 1.65 1.4 （1）该商场计划购进，两种品牌的教学设备各多少套？ （2）现商场决定再用30万同时购进，两种设备，共有哪几种进货方案？ 18．（2024春•黔南州期末）黔南州某市通过网络直播带货助力乡村振兴，在直播间销售黔南州特色农产品．两名顾客在该直播间购买了一些独山盐酸菜扣肉和龙里辣子鸡，下面是他们的一段对话． （1）请你运用所学知识求出独山盐酸菜扣肉和龙里辣子鸡的单价； （2）小明爸爸准备去该直播间购买独山盐酸菜扣肉和龙里辣子鸡两种特色农产品共13盒，其中购买独山盐酸菜扣肉至少4盒，并且总费用不低于1440元，请帮小明爸爸计算并写出所有符合条件的购买方案． 19．（2024春•新抚区期末）某体育用品商场销售，两款足球，售价和进价如表： 类型 进价（元个） 售价（元个） 款 120 款 90 若该商场购进5个款足球和12个款足球共需1120元；若该商场购进10个款足球和15个款足球共需1700元． （1）求和的值； （2）已知商场购进10个款足球和20个款足球，售货员说：“每个款足球按售价进行打折销售，款足球不打折”．若两款足球全部售出后总盈利不少于640元，则每个款足球最多打几折？ 20．（2024春•厦门期末）银城饮料店坐落于西溪边上，环境优美． 该店特别推出和两种饮料进行销售，以下是银城饮料店开业期间的三则信息： 信息 “开业大酬宾”优惠方案 任意饮料一次性消费： ①满8杯（含8杯）减10元； ②满10杯（含10杯）减15元 信息 加料区 种类 单价（元 黑糖珍珠 1 秘制芋圆 1 软糯燕麦 2 脆波波球 2 碧根果奶油雪顶 3 说明1：可根据客人需求选择是否加料； 说明2：每杯饮料最多能加三种料，且加料不重复． 信息 饮料（杯 饮料（杯 总费用（元 是否加料 消费记录1 4 2 72 否 消费记录2 5 3 88 否 消费记录3 3 4 94 否 请根据所提供的信息完成以下问题： （1）请分别求出和两种饮料的销售单价； （2）已知小明买了若干杯饮料和5杯饮料，每杯饮料均未加料，共花费100元，求小明买了几杯饮料； （3）小坤与他的伙伴们想买6杯饮料和5杯饮料，且仅有3杯饮料不加料．若小坤只有185元，是否能够满足大家的各种加料需求？请说明理由． 21．（2024春•渝北区期末）某房企为了迎接十周年庆典开展购置补贴活动，购置补贴活动在2024年一月正式开始．在政策出台前一个月共售出某型和型房屋共260套，政策出台后的第一个月售出这两种型号的房屋共330套，其中型房屋和型房屋的销售量分别比政策出台前一个月增长和． （1）在政策出台前一个月，销售的型房屋和型房屋分别为多少套？ （2）若型房屋每套销售价格为80万元，型房屋每套销售价格为90万元．根据补贴政策．房企按每套房屋销售价格的给购买型房屋的用户补贴．政策出台后的第一个月，房企规定对这330套房屋的用户一共最多补贴1420万元，购买型房源的用户每套房屋最多补贴多少万元？ 22．（2024春•拱墅区校级期中）请同学们根据以下表格中的素材以、素材二、素材三，探索完成任务一、任务二、任务三． 如何合理搭配消费券？ 素材一 为促进消费，某市人民政府决定，发放“双促双旺你消费我助力”消费券，一人可领取的消费券有：材材型消费券（满35减15元）3张，型消费券（满68减25元）2张，型消费券（满158减60元）1张． 素材二 消费券满减规则：按实际消费金额，达到满减金额的部分，可使用消费券；已享受满减的那部分金额不可再叠加使用其他消费券，如：消费193元，如果使用1张型消费券，已经享受满减的158元的这部分，不可再叠加使用其他消费券，剩余的35元可以使用1张型消费券． 素材三 在此次活动中，小观一家4人每人都领到了所有的消费券．某日小观一家在超市使用消费券，消费金额减了390元，请完成以下任务． 任务一 若小观一家用了5张型消费券，3张型的消费券，则用了 　　张型的消费券，此时减券前的消费金额最少为 　　元． 任务二 若小观一家用13张，，型的消费券消费，已知型比型的消费券多1张，求，，型的消费券各多少张？ 任务三 若小观一家仅用两种不同类型的消费券消费，请问如何搭配使用消费券，使得付款额最少，并求出此时消费券的搭配方案． 23．（2024春•丰都县期末）据中央电视台2024年5月14日报道“重庆丰都：枇杷一树金，采摘正当时”．5月时节，丰都枇杷迎来了大丰收，一串串枇杷挂满了枝头，果香四溢，助力乡村振兴，带动村民增收致富．丰都某枇杷种植园主要通过三种渠道销售批杷：渠道一，园区现场采摘，单价18元千克；渠道二，网络销售，单价16元千克；渠道三，果品市场，单价14元千克． （1）在五月第1周里，通过园区现场采摘和果品市场销售的批杷，数量之比为，通过网络销售的枇杷数量比果品市场销售数量的还多350千克，三种渠道总计销售金额为38400元．那么在五月第1周里，园区现场采摘和水果市场渠道各销售多少千克枇杷？（列二元一次方程组解决问题） （2）在五月第2周里，网络销售更加红火，销售数量是第1周里网络销售数量的2倍少400千克，通过果品市场销售的枇杷是第2周里总销售数量的，在五月第2周里，枇杷种植园总计销售额不高于31181元，各种销售渠道的销售数量均为正整数．在五月第2周里，枇杷种植园可能销售了多少千克批杷？ 题型四 行程问题 24．如图，在一圆形跑道上，甲从点，乙从点同时出发，相向而行，8分钟后两人首次相遇，再过6分钟甲到达点，又过10分钟两人再次相遇，则甲环行一周所用的时间是 　　分钟． 25．（2024春•玄武区校级月考）甲、乙两地相距74千米，途中有上坡、平路和下坡．一汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分，停留30分钟后从乙地出发，6点48分返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、下坡分别是多少千米？ 26．（2024春•船营区校级期末）列二元一次方程组解应用题： 随着“互联网”时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按元公里计算，耗时费按元分钟计算（总费用不足9元按9元计价），小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与打车时间如表： 里程数（公里） 时间（分钟） 车费（元 小明 8 8 12 小刚 10 12 16 （1）求出，的值； （2）周末小华去图书馆进行阅读也采用该打车方式，打车行驶了15公里，用时12分钟，那么小华的打车总费用为多少元？ 题型五 工程问题 27．（2024春•船营区校级期末）为完善吉林市城市路网结构，营造便捷通畅的城市道路系统，提升城市面貌惠及民生，2024年5月起，吉林市各道路维修改造工程有序进行．已知甲工程队1天，乙工程队2天共修路400米；甲工程队2天，乙工程队3天共修路700米，求甲乙两工程队每天分别修路多少米？ 28．（2024春•平泉市期末）某县在创建省级卫生文明县城中，对县城内的河道进行整治，现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天． （1）小明、小华两位同学提出解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 根据题意，得； 小华同学：设整治任务完成后，表示 　　，表示 　　； 得． 请补全括号及横线部分的内容． （2）求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程） 29．（2024春•兰山区期末）下表是某工厂设计玩具的裁剪方案． 课题 设计裁剪方案 素材1 如图①所示是一套豌豆样式的玩具，主要由一个豌豆荚和三个豌豆组成．如图②所示，制作一个豌豆所需布料的尺寸是；如图③所示，制作一个豌豆荚所需布料的尺寸是．三个豌豆和一个豌豆荚可以组成一套完整的玩具． 素材2 某玩具加工厂在清点库存时发现仓库有一批的布料，于是厂家准备将这批布料裁剪成豌豆玩具所需的尺寸．（不计剪裁时的损耗） 我是 裁剪师 任务一 拟定裁剪方案 若要不造成布料浪费，请你将下列方案补充完整． 方案一：裁剪50张豌豆的布料和0张豌豆荚的布料； 方案二：裁剪8张豌豆的布料和 　　张豌豆荚的布料； 方案三：裁剪 　　张豌豆的布料和4张豌豆荚的布料． 任务二 解决实际问题 若该工厂现要制作800套豌豆玩具，按照方案一裁剪了4张布料，剩下按照方案二和方案三的方案裁剪，在没有布料浪费的条件下还需从仓库拿几张布料？ 30．（2024春•赣州期末）根据以下素材，请完成任务． 养成健康饮水的习惯 素材1：健康饮水知识一 1．人体每天所需水分为毫升．如果等到渴了再喝水，身体可能已经处于缺水状态．建议大家应养成主动饮水的习惯，把每天所需的水分安排在一天内喝完． 2．推荐喝温开水或茶水，少喝或不喝含糖饮料，不能用饮料代替白水． 3．饮水不足、过多均不利益身体健康，缺水后可能会引起供血量减少，血液粘性增加：喝的过量也会增加心、肾的患病风险． 素材2：健康饮水知识二 科学证明，健康饮水的适宜温度大约在．喝水的时候要注意避免喝过冷或过热的水，如果患者长期喝冷水，可能会刺激胃肠道，从而引起腹泻、腹痛等胃肠道不适症状．如果喝过热的水，容易造成食道口腔黏膜的损伤以及胃部损伤，引起炎症反应，出现溃疡等情况． 素材3 小贴士：若接水过程中不计热量损失，温度热量可以用下列公式转化： 温水体积温水温度开水体积开水温度混合后体积混合后温度 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．已知温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速． 问题解决 任务一 小健同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热量损失），求小健同学分别接温水和开水的时间； 任务二 如果小康同学先用水杯接了开水，为了身体的健康，小康同学至少要接多长时间温水才能达到饮用的适宜温度？ 题型六 产品配套问题 31．（2024春•沂南县期末）某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排名工人生产镜片，名工人生产镜架，则可列方程组　　 A． B． C． D． 32．（2024春•桦甸市期末）某学校为学生配备物理电学实验器材，一个电表包内装有1个电压表和2个电流表．某生产线共60名工人，每名工人每天可生产14个电压表或20个电流表．若分配名工人生产电压表，名工人生产电流表，恰好使每天生产的电压、电流表配成套，则可列出方程组　　 A． B． C． D． 33．（2024春•渝北区期末）某车间有18名工人，生产一种螺栓和螺母，每人每天平均能生产螺栓40只或螺母100只，要求一个螺栓配两个螺母，应怎样分配工人才能使每天生产的螺栓和螺母恰好配套？设分配人生产螺栓，人生产螺母，则下列方程组正确的是　　 A． B． C． D． 34．（2023秋•沙坪坝区校级期末）现用190张铁皮制作一批盒子，每张铁皮可做8个盒身或做22个盒底，而一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子．问用多少张白铁皮制盒身、多少张白铁皮制盒底，可以使盒身和盒底正好配套．设用张铁皮做盒身，张铁皮做盒底，可以使盒身与盒底正好配套，则可列方程是　　 A． B． C． D． 35．（2024春•威远县校级期中）果树基地安排26名工人将采摘的水果包装成果篮，每个工人每小时可包装200个苹果或者300个梨，每个果篮中放3个苹果和2个梨．为了使包装的水果刚好完整配成果篮，应该安排多少名工人包装苹果，多少名工人包装梨？设安排名工人包装苹果，名工人包装梨，可列方程组为　　 A． B． C． D． 36．（2020•延边州二模）要用20张白卡纸做长方体的包装盒，准备把这些白卡纸分成两部分，一部分张做侧面，另一部分张做底面．已知每张白卡纸可以做侧面4个，或做底面6个，如果4个侧面可以和2个底面做成一个包装盒．依题意列方程组为 　　． 37．（2024春•卧龙区校级月考）已知一张课桌需要一个桌面和四个桌腿．如果一立方米木材可做60个桌面或360条腿（其它材料不计），现有20立方米木材，安排多少立方米木材做桌面，多少立方米木材做桌腿刚好配套？ 38．（2024春•侯马市期末）学科实践 驱动任务： 日常生活中，我们经常可以看到各种各样的长方体形状的包装盒，如化妆盒、药品盒等．制作这类包装盒时，我们通常先在纸上裁剪出包装盒的侧面、底面，然后折叠、粘贴成长方体．在一次数学活动中，数学研习小组协助老师用白卡纸制作长方体纸盒． 操作发现： 制作1个长方体纸盒需要1个侧面和2个底面；1张白卡纸可以做2个侧面或3个底面． 问题解决： （1）他们准备用42张白卡纸制作长方体纸盒，计划将这些白卡纸分成两部分，一部分用于做侧面，另一部分用于做底面．如何分配才能使做成的侧面和底面正好配套？（用二元一次方程组的知识解答） （2）用20张白卡纸最多能制作多少个长方体纸盒？ 39．（2024春•镇海区校级期末）根据以下素材，探索完成任务 如何设计板材裁切方案？ 素材1 图1中是一把学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成，图2是靠背与座垫的尺寸示意图． 素材 2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫，已知该板材长为，宽为（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法，求出和的值， 方法一：裁切靠背16张和座垫0张． 方法二：裁切靠背9张和坐垫张． 方法三：裁切靠背张和坐垫6张． 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进100张该型号板材，加工后板材恰好全部用完，能制作成多少把学生椅？ 任务三 解决实际问题 现需要制作700把学生椅，该工厂仓库现有11张靠背和1张座垫，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？ 并给出一种只用方法二和方法三的裁切方案． 题型七 比赛问题 40．（2024春•鹤壁期末）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队在10场比赛中得到17分，设这个队胜场，负场，则，的值为　　 A． B． C． D． 41．（2024春•五华区校级期中）在全国足球甲级组的前11轮比赛中，某队保持不败，共积累23分．按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，那么该队胜的场数是　　 A．4 B．5 C．6 D．7 42．某中学一年级举行足球友谊赛，规定：胜一场记3分，平1场记1分，负1场记0分，一年级一班在第一轮比赛中共积8分，其中胜的场数与平的场数相同，负的场数比胜的场数多1场，问一年级一班在此轮比赛中共胜了几场？ 43．（2024•金州区一模）我市某校为了落实“阳光体育活动”，在八年级开展了篮球赛．比赛规则是：八年级10个班级每个班级派出一支队伍参赛，赛制采用的是单循环积分赛（每个班级都与其他9个班级进行一场比赛），胜一场记2分，负一场记1分，然后按照积分高低进行排名．赛程过半，小明所在的班级已经进行了5场比赛，积9分． （1）求小明所在班级胜、负的场次各是多少； （2）根据分析，总积分超过15分才能确保进入前两名，小明的班级若想进入前两名在剩下的比赛中至少还要取得几场胜利？ 题型八 利息税收问题 44．小李以两种形式储蓄300元，一种储蓄的年利率为．另一种年利率为，一年后本息和为331.5元，则两种储蓄的存款分别为 　　，　　．（计算时可不考虑利息税） 45．李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税后可得利息43.92元；已知这两种储蓄年利率的和为，求这两种储蓄的年利率各是百分之几？（公民应交利息所得税利息金额 题型九 方案选择问题 46．（2024春•京口区月考）“母亲节”当天，小明去花店为妈妈选购鲜花，若康乃馨每枝2元，百合每枝3元，小明计划用30元购买这两种鲜花（两种都买），则不同的购买方案共有　　 A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 47．（2024•东昌府区模拟）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有人，辆车，可列方程（组为　　 A． B． C． D． 48．（2024•增城区二模）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？设绳子长尺，长木长尺，则所列方程组正确的是　　 A． B． C． D． 49．（2024春•巫山县期末）中国传统数学重要著作《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”译为“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱．若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为，乙的钱数为，根据题意，可列方程组为　　 A． B． C． D． 50．（2024春•娄底期末）我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若3个人乘一辆车，则空2辆车；若2个人乘一辆车，则有9个人要步行，求人数和车数．下列方案中 ①设车数为辆，列方程为：． ②设人数为人，列方程为：． ③设车数为辆，人数为人，列方程组为：． ④设人数为人，车数为辆，列方程组为：． 正确的有　　 A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 51．（2024春•康巴什期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，已知型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元．若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），则不同的购买方案共有 　　种． 52．（2024春•嘉禾县校级月考）某天早市上，何阿婆和李奶奶买了种类相同，但数量不同的蔬菜，已知何阿婆买了2千克西红柿和1.5千克辣椒共花费9元；李奶奶买了4千克西红柿和2.5千克辣椒共花费了17元，则购买3千克西红柿和1千克辣椒共需要花费 　　元． 53．（2023秋•临渭区期末）某医药超市销售、两种品牌的消毒液，购买2瓶品牌和3瓶品牌的消毒液共需160元；购买3瓶品牌和1瓶品牌的消毒液共需135元． （1）求这两种品牌消毒液的单价； （2）某学校为了给教室进行充分消杀，准备花1050元购进、两种品牌的消毒液，且要求品牌的消毒液的数量比品牌多，请你给出有哪几种购买方案？ 54．（2024春•西山区校级期中）某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元． （1）若商场同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案； （2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售利润最多，你选择哪一种进货方案？ 55．（2024•灞桥区校级四模）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人辆） 35 30 租金（元辆） 400 320 学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元． （1）参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？ （2）每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？ 56．（2024春•遂平县期末）为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间活动”，某中学购买种品牌的足球50个，种品牌的足球25个，共花费4500元，已知种品牌足球的单价比种品牌足球的单价高30元． （1）求、两种品牌足球的单价各多少元？ （2）根据需要，学校决定再次购进、两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，种品牌的足球单价优惠4元，种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买、两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买种品牌的足球不少于23个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？ 57．（2024春•龙湾区校级期中）综合与实践：设计运动会物资的购买方案． 【背景素材】七年级1班要为运动会购买物资，计划从某超市购入、两种品牌的运动饮料．若买25瓶品牌运动饮料，25瓶品牌运动饮料需325元；若买20瓶品牌运动饮料，30瓶品牌运动饮料需340元． 【问题解决】为设计方案，可以逐步进行探究． 思考1（确定售价）、两种品牌的运动饮料的销售单价分别是多少元？ 思考2（方案探究）：购买、两种品牌的运动饮料（两种都要），班级预算是200元，要使预算刚好花完，有几种购买方案？ 58．（2024春•禹州市月考）某中学拟组织七年级师生去参观河南省博物院．下面是李老师和小明、小刚的对话： 李老师：“客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，且租用1辆60座客车和1辆45座客车到河南省博物院，一天的租金共计1800元．” 小明说：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和3辆45座的客车到河南省博物院，一天的租金共计6400元．” 小刚说：“如果我们七年级租用45座的客车辆，那么还有30人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满．” 根据以上对话，解答下列问题： （1）参加此次活动的七年级师生共有 　　人； （2）客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ （3）若同时租用两种或一种客车，要使七年级每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，问有几种租车方案？哪一种租车方案最省钱？ 59．（2024春•赣榆区月考）连云港市甲、乙两个有名的学校乐团，决定向某服装厂购买同样的演出服．如表是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 套（含39套） 套（含69套） 70套及以上 每套服装的价格 80元 70元 60元 经调查：两个乐团共85人（甲乐团人数不少于46人），如果分别各自购买演出服，两个乐团共需花费6300元．请回答以下问题： （1）如果甲、乙两个乐团联合起来购买服装，那么比各自购买服装最多可以节省多少元？ （2）甲、乙两个乐团各有多少名学生？ （3）现从甲乐团抽调人，从乙乐团抽调人（要求从每个乐团抽调的人数不少于5人），去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”；甲乐团每位成员负责5位小朋友，乙乐团每位成员负责3位小朋友．这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖．请写出所有的抽调方案，并说明理由． 60．（2024春•德化县期末）根据以下素材，探索完成任务． 奖品购买及兑换方案设计 素材1 小明在瓷都爱心超市购物时发现：顾客甲购买2个风琴包和1个精美书签花了35元，顾客乙购买1个风琴包和3个精美书签花了30元． 素材2 瓷都中学花费600元购买该超市的风琴包和精美书签作为奖品颁发给七年级期末考试优秀学生，两种奖品的购买数量均不少于20个，且购买精美书签的数量是10的倍数． 素材3 学校花费600元后，该超市赠送张兑换券（如图）用于商品兑换．兑换后，精美书签与风琴包数量相同． 问题解决 任务1 探求商品单价 请运用列方程组的方法，求出风琴包与精美书签的单价． 任务2 探究购买方案 探究购买风琴包和精美书签数量的所有方案． 任务3 确定兑换方式 运用数学知识，求所有符合条件的兑换方式．（求风琴包和精美书签分别用的兑换券张数） 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$