第2章 空间向量与立体几何 章末复习课 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （湘教版2019）

章末复习课 第2章　空间向量与立体几何 知识网络 内容索引 一、空间向量的概念及运算 二、利用空间向量证明线面的位置关系(平行与垂直) 三、利用空间向量求距离 四、利用空间向量求空间角 空间向量的概念及运算 一 1.空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念，加减法的三角形法则和平行四边形法则，数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等等. 2.向量的运算过程较为烦杂，要注意培养学生的数学运算能力和运算技巧. 1 (2)已知点A(2，－1,1)，B(1,2,3)，C(0,2,1)，D(1,0，λ)在同一平面内，则 实数λ＝_____. 7 ∵点A，B，C，D在同一平面内， 即(－1,1，λ－1)＝m(－1,3,2)＋n(－2,3,0). 8 空间向量的数乘运算及向量共面的充要条件 (1)空间向量的数乘运算、共线向量的概念、向量共线的充要条件与平面向量的性质是一致的. (2)利用向量共面的充要条件可以判断第三个向量是否与已知的两个不共线的向量共面，特别地，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)， 反思感悟 9 跟踪训练1　(1)设x，y∈R，向量a＝(x,1,1)，b＝(1，y,1)，c＝(2，－4,2)，且a⊥b，b∥c，则|a＋b|等于 √ ∵b∥c，∴2y＝－4×1， ∴y＝－2，∴b＝(1，－2,1)， ∵a⊥b，∴a·b＝x·1＋1×(－2)＋1＝0， ∴x＝1，∴a＝(1,1,1). ∴a＋b＝(2，－1,2)， 10 (2)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为60°. 11 〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， ＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a) 12 ＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1， 13 二 利用空间向量证明线面的位置关系(平行与垂直) 1.用空间向量判断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量，利用向量的共线和垂直进行证明. 2.将立体几何的线面关系转化为向量间的关系，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力. 例2　在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4. (1)求证：AC⊥BC1； 16 在直三棱柱ABC－A1B1C1 中，因为AC＝3，BC＝4，AB＝5，所以AC，BC，CC1两两垂直， 则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4). (2)请说明在AB上是否存在点E，使得AC1∥平面CEB1. 18 假设在AB上存在点E，使得AC1∥平面CEB1， 又因为AC1∥平面CEB1， 所以在AB上存在点E，使得AC1∥平面CEB1，此时点E为AB的中点. 19 利用空间向量证明或求解立体几何问题时，首先要选择恰当的基向量或建立空间直角坐标系转化为其坐标运算，再借助于向量的有关性质求解(证). 反思感悟 20 跟踪训练2　如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.证明： (1)PA⊥BD； 21 取BC的中点O，连接PO， ∵平面PBC⊥底面ABCD，△PBC为等边三角形，平面PBC∩底面ABCD＝BC，PO⊂平面PBC， ∴PO⊥底面ABCD. 以点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴， 过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直 线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示. (2)平面PAD⊥平面PAB. 24 取PA的中点M，连接DM， 又∵PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB， ∴DM⊥平面PAB. ∵DM⊂平面PAD， ∴平面PAD⊥平面PAB. 三 利用空间向量求距离 1.空间两种距离的计算 (1)直线l外一点P到直线l的距离d＝ ，其中A是l上的定 点，v是直线l的方向向量. (2)平面α外一点P到平面α的距离d＝ ，其中A是平面α内的定点，n是 平面α的法向量. 2.通过利用向量计算空间的距离，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力. 例3　在三棱锥B－ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱长AC＝CD＝AD＝AB＝1，且∠BAD＝30°，求点D到平面ABC的距离. 29 如图所示，以AD的中点O为原点，以OD，OC所在直线为x轴、y轴，过点O作OM⊥平面ACD交AB于M，以直线OM为z轴建立空间直角坐标系， 设n＝(x，y，z)为平面ABC的法向量， 30 31 利用向量法求点面距，只需求出平面的一个法向量和该点与平面内任一点连线表示的向量，代入公式求解即可. 反思感悟 32 √ 33 易知A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)， 则点P到直线AB的距离为 34 四 利用空间向量求空间角 1.空间中三种角的计算公式 (1)设两条异面直线a与b所成的角为θ，v1与v2所成的角为φ，则cos θ＝|cos φ| ＝|cos〈v1，v2〉|＝ (其中v1，v2分别是两异面直线的方向向量). (2)设直线和平面所成的角为θ，v与n所成的角为φ，则sin θ＝|cos φ|＝ |cos〈v，n〉|＝ (其中v是直线的方向向量，n是平面的法向量). (3)设两个平面所成的角为θ，记〈n1，n2〉＝φ，则cos θ＝|cos φ|＝ |cos〈n1，n2〉|＝ (其中n1，n2分别是两平面的法向量). 2.通过利用向量计算空间角，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力. 例4　如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝8，AA1＝4，M为B1C1上一点且B1M＝2，点N在线段A1D上，A1D⊥AN. 37 建立空间直角坐标系，如图所示， 则A(0,0,0)，A1(0,0,4)，M(5,2,4)，D(0,8,0). 38 (2)求直线AD与平面ANM所成角的正弦值； 39 由(1)知A1D⊥AM， 又A1D⊥AN，AM∩AN＝A，AM，AN⊂平面AMN， ∴A1D⊥平面AMN， 40 (3)求平面ANM与平面ABCD所成角的余弦值. 41 (1)在建立空间直角坐标系的过程中，一定要依据题目所给几何图形的特征，建立合理的空间直角坐标系，这样才会容易求得解题时需要的坐标. (2)直线和平面所成的角、两个平面的夹角，此类问题有两种思路：①转化为两条直线所成的角求解；②利用平面的法向量求解. 反思感悟 42 跟踪训练4　如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点. (1)求证：GF∥平面ADE； 43 方法一　如图1，取AE的中点H，连接HG，HD， 因为G是BE的中点， 图1 又F是CD的中点， 由四边形ABCD是矩形，得AB∥CD，AB＝CD， 所以GH∥DF，且GH＝DF， 所以四边形HGFD是平行四边形，所以GF∥DH. 又DH⊂平面ADE，GF⊄平面ADE，所以GF∥平面ADE. 方法二　如图2，取AB的中点M，连接MG，MF. 由G是BE的中点，可知GM∥AE. 又AE⊂平面ADE，GM⊄平面ADE， 所以GM∥平面ADE. 在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点得 MF∥AD. 又AD⊂平面ADE，MF⊄平面ADE. 所以MF∥平面ADE. 又因为GM∩MF＝M，GM，MF⊂平面GMF，所以平面GMF∥平面ADE. 因为GF⊂平面GMF，所以GF∥平面ADE. 图2 (2)求平面AEF与平面BEC所成角的余弦值. 46 如图3，在平面BEC内，过B点作BQ∥EC. 因为BE⊥CE，所以BQ⊥BE. 又因为AB⊥平面BEC，所以AB⊥BE，AB⊥BQ. 图3 则A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，F(2,2,1). 47 设n＝(x，y，z)为平面AEF的法向量. 取z＝2，得n＝(2，－1,2). 48 从而有x＝1，y＝. 例1　(1)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， ＝，若＝x＋y(＋)，则x＝____， y＝_____. 由题意知＝＋＝＋＝＋(＋)， 易得＝(－1,3,2)，＝(－2,3,0)，＝(－1,1，λ－1)， ∴存在实数m，n使得＝m＋n， 则解得 使＝x＋y. A.2 　　　　B. 　　　　C.3 　　　　D.4 ∴|a＋b|＝＝3. ①求的长； ＝1＋1＋1＋2×＝6， ∴||＝. 记＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1， ∴a·b＝b·c＝c·a＝. ∵||2＝(a＋b＋c)2 ∴||＝，||＝， ·＝(b＋c－a)·(a＋b) ∴cos〈，〉＝＝. ②求与夹角的余弦值. ∵＝b＋c－a，＝a＋b， 所以·＝0，所以⊥，即AC⊥BC1. 以C为原点，以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 因为＝(－3,0,0)，＝(0，－4,4)， 又＝(－3,0,4)， 所以解得t＝. 设＝t＝(－3t,4t,0)，其中0≤t≤1. 则E(3－3t,4t,0)，＝(3－3t,4t－4，－4)，＝(0，－4，－4). 所以＝m＋n， 不妨设CD＝1，则AB＝BC＝2，PO＝， ∴A(1，－2,0)，B(1,0,0)，D(－1，－1,0)，P(0,0，)， ∴⊥，即PA⊥BD. ∴＝(－2，－1,0)，＝(1，－2，－). ∵·＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－) ＝0， ∴·＝×1＋0×0＋×(－)＝0， ∴⊥，即DM⊥PB. ∵·＝×1＋0×(－2)＋×(－)＝0， ∴⊥，即DM⊥PA. 则M . ∵＝，＝(1,0，－)， 则A，B，C ，D， ∴＝，＝，＝， 则 ∴y＝－x，z＝－x，可取n＝(－，1,3)， 代入d＝，得d＝＝， 即点D到平面ABC的距离是. 跟踪训练3　已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，若点P满足 ＝＋＋，则点P到直线AB的距离为 A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. ＝＝. 以点A为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，如图， 则向量 ＝，＝(1,0,0). (1)求cos〈，〉； ∴⊥，∴cos〈，〉＝0. ∵＝(5,2,4)，＝(0,8，－4)， ∴·＝0＋16－16＝0， ·＝64， ∴cos〈，〉＝＝＝. ∴AD与平面ANM所成角的正弦值为. ∴＝(0,8，－4)是平面ANM的一个法向量. 又＝(0,8,0)，||＝4，||＝8， ∴cos〈，〉＝＝＝－. ∴平面ANM与平面ABCD所成角的余弦值为. 由(2)知平面ANM的一个法向量是＝(0,8，－4)， 又平面ABCD的一个法向量是＝(0,0,4)， 所以GH∥AB，且GH＝AB. 所以DF＝CD. 以B为原点，分别以，，的方向为x轴、 y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系B－xyz， 因为AB⊥平面BEC，所以＝(0,0,2)为平面BEC的一个法向量. 从而|cos〈n，〉|＝＝＝， 所以平面AEF与平面BEC所成角的余弦值为. 又＝(2,0，－2)，＝(2,2，－1)， 由得 $$