2.2.1 空间向量及其线性运算 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （湘教版2019）

第1课时 空间向量及其线性运算 第2章　§2.2　空间向量及其运算 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念. 2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程. 3.掌握空间向量的线性运算. 学习目标 你见过滑翔伞滑翔的场景吗？可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等，显然，这些力不在同一个平面内.联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢？ 导语 一、空间向量的基本概念 二、空间向量的加减法 课时对点练 三、向量与实数相乘 随堂演练 内容索引 四、向量共线问题 空间向量的基本概念 一 问题1　平面向量是什么？你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？ 提示　平面内既有大小又有方向的量称为平面向量，空间向量是平面向量的推广，其表示方法以及一些相关概念与平面向量一致. 空间向量的有关概念 (1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量. (2)表示法： ①符号表示法：a，b，c， ②几何表示法：有向线段. (3)向量的模：空间向量a的大小(或长度)称为a的模，记为|a|. 知识梳理 (4)几类特殊向量 概念 定义 单位向量 长度为 的向量 零向量 模为 的向量，记作 .零向量的方向可以是任意的 相等向量 方向 且长度 的向量 相反向量 方向相反、长度相等的向量 共线向量 (平行向量) 对于空间任意两个向量a，b(a≠0)，若 ，其中λ为实数，则b与a共线或平行，记作 .零向量与任意向量______ 1 0 0 相同 相等 b＝λa b∥a 共线 知识梳理 注意点： (1)平面向量是一种特殊的空间向量. (2)两个空间向量相等的充要条件为长度相等，方向相同. (3)空间向量不能比较大小. (4)空间共线向量不一定具备传递性，比如0. 知识梳理 例1　(1)下列关于空间向量的说法中正确的是 A.单位向量都相等 B.若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反 A中，单位向量长度相等，方向不确定； B中，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定； C中，向量不能比较大小. √ 10 (2)如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中， 11 12 空间向量的概念与平面向量的概念类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念. 反思感悟 13 跟踪训练1　(多选)下列命题为真命题的是 A.若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b C.若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p D.空间中，若a∥b，b∥c，则a∥c √ √ 14 A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同； C为真命题，向量的相等满足传递性； D为假命题，平行向量不一定具有传递性，当b＝0时，a与c不一定平行. 15 二 空间向量的加减法 问题2　数学中，引进一种量后，一个很自然的问题就是研究它们的运算.空间两个向量是否可能异面？可以把平面向量的线性运算和运算律推广到空间向量吗？ 提示　由于空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，所以凡涉及两个空间向量的问题，平面向量中的有关结论仍适用于它们. 17 18 (1)三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的 平行六面体的体对角线所表示的向量. (2)利用向量加法的交换律和结合律，可以得到：有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变. 19 空间向量的加减运算 加法 运算 三角形 法则 语言表述 首尾顺次相接， 为和 图形表示   平行四边形法则 语言表述 以共起点的两边为邻边作平行四边形，_____ 为和 图形表示   首指向尾 共起 点对角线 知识梳理 20 减法 运算 三角形 法则 语言表述 共起点，连终点，方向指向 向量 图形表示   运算律 交换律 a＋b＝______ 结合律 (a＋b)＋c＝___________ 被减 b＋a a＋(b＋c) 知识梳理 21 注意点： 三角形法则、平行四边形法则在空间向量的运算中仍然适用. 知识梳理 22 √ √ 23 24 √ 25 26 空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：灵活运用相反向量可使向量首尾相接. (2)巧用平移：务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果. 反思感悟 27 跟踪训练2　如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果. 28 如图，连接GF， 29 三 向量与实数相乘 定义 任何一个向量a都可看作某平面上的向量，它与实数λ相乘可类比平面向量数乘的法则进行，因而有|λa|＝______ 几何 意义 λ>0 λa与a方向______ λa的长度是a的长度的 倍 λ<0 λa与a方向______ λ＝0 λa＝0，其方向是 的 运算律 对实数加法的分配律 (λ1＋λ2)a＝__________ 对向量加法的分配律 λ(a＋b)＝λa＋λb |λ||a| 相同 相反 任意 |λ| λ1a＋λ2a 知识梳理 31 注意点： (1)当λ＝0或a＝0时，λa＝0. (2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度. (3)向量λa与向量a一定是共线向量. 知识梳理 32 ∵P是C1D1的中点， 33 ∵N是BC的中点， 34 ∵M是AA1的中点， 35 36 利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量. (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质. 反思感悟 37 跟踪训练3　已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O，Q是CD的中点，求下列各题中x，y的值. 由图可知， 38 ∴x＝2，y＝－2. 39 四 向量共线问题 41 (2)求证：E，F，B三点共线. 42 43 判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a＝λb成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形通过化简，计算得出a＝λb，从而得到a∥b. 反思感悟 44 1.知识清单： (1)空间向量的基本概念. (2)空间向量的线性运算(加法、减法和数乘). (3)空间向量的线性运算的运算律. 2.方法归纳：类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想. 3.常见误区：应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数. 课堂小结 随堂演练 五 1.(多选)下列命题中为真命题的是 A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C.只有零向量的模等于0 D.共线的单位向量都相等 1 2 3 4 √ 容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量. √ √ 47 1 2 3 4 √ √ ∴四边形ABCD为平行四边形. 1 2 3 4 1 2 3 4 课时对点练 六 1.下列说法中正确的是 A.空间中共线的向量必在同一条直线上 B.不相等的两个空间向量的模必不相等 C.数乘运算中，λ既决定大小又决定方向 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，向量共线是指表示向量的有向线段所在直线平行或重合，所以A错误； 对于B，两个向量不相等，他们的模可以相等，所以B错误； 对于C，λ既决定大小又决定方向，所以C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，则 A.a＋b－c B.a－b＋c C.b－a－c D.b－a＋c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 连接OE，OF(图略)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，则下列选项中正确的有 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 作出平行六面体ABCD－A′B′C′D′的图象，如图所示. C显然正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中点.化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(多选)下列命题是假命题的是 A.若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个 向量不是共面向量 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为空间中任意两向量平移之后都可以共面，所以空间中任意两向量均共面，选项A是假命题； 空间向量不能比较大小，只能对向量的长度进行比较，选项C是假命题； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在四面体ABCD中，E，G分别是CD，BE的中点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.如图，在四面体中A－BCD中，M，N分别为△BCD和△ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3. 求证：B，G，N三点共线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，取CD的中点E，连接AE，BE， 因为M，N分别为△BCD和△ACD的重心， 所以M在BE上，N在AE上， 因为M为△BCD的重心， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为GM∶GA＝1∶3， 因为N为△ACD的重心， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又BN∩BG＝B， 所以B，G，N三点共线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16  . C.若向量，满足||>||，则> D.相等向量其方向必相同 与向量相等的所有向量(除它自身之外)为，，. 向量的相反向量为，，，. ①试写出与相等的所有向量； ②试写出的所有相反向量； ③若|AB|＝|AD|＝2，|AA1|＝1，求向量的模. ||＝＝＝3. B.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝ B为真命题，与的方向相同，模也相等，故＝； 问题3　如何证明加法结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)？ 如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，分 别标出＋＋，＋＋表示的向量. 从中你能体会向量加法运算的交换律和结合律吗？一 般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？ 提示　＋＋和＋＋表示同一向量  ，如图所示. 例2　(1)(多选)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是 A.－－ B.＋－ C.－－ D.－＋ C中，－－＝－＝－＝≠； D中，－＋＝＋＋＝＋≠. A中，－－＝－＝； B中，＋－＝＋＝； (2)对于空间中的非零向量，，，其中一定不成立的是 A.＋＝ B.－＝ C.||＋||＝|| D.||－||＝|| 对于B，由向量减法可知－＝，又为非零向量，所以B一定不成立. 根据空间向量的加减法运算，对于A，＋＝恒成立； 对于C，当，方向相同时，有||＋||＝||； 对于D，当，方向相同且||≥||时，有||－||＝||； (1)＋－；  ＋－＝＋＋＝＋＝，如图中向量. (2)－－. 则G＝，－－＝＋＋ ＝＋＝，如图中向量. ∴＝＋＋＝a＋＋ ＝a＋c＋＝a＋b＋c. 例3　如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中， 设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： (1)； ＝－a＋b＋＝－a＋b＋c. (2)； ∴＝＋＋＝－a＋b＋ ＝－a＋＝a＋b＋c. (3). ∴＝＋＝＋ 延伸探究　若把例3中“P是C1D1的中点”改为“P在线段C1D1上，且＝”，其他条件不变，如何表示？  ＝＋＋＝＋＋＝a＋b＋c. ＝－－， ∴x＝y＝－. (1)＝＋x＋y； ＝－＝－(＋) ∵＋＝2，∴＝2－， ∴＝2－(2－)＝2－2＋. (2)＝x＋y＋. ∵＋＝2，∴＝2－. 所以＝＋＋＝＋＋＝－b－c＋a， 所以＝a－b－c. 例4　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝.若＝a，＝b，＝c. (1)用a，b，c表示； 因为＝2，＝a，＝b，＝c， ＝(＋＋)＋＋ ＝(－b－a＋c)－c＋a ＝a－b－c＝＝， 又与相交于B，所以E，F，B三点共线.  ＝，  ＝＋＋＝＋＋ 2.化简－＋的结果是 A. B. C.0 D.  －＋＝＋＝－＝0. ∴＝. ∴∥且||＝||. 3.设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是 A.平行四边形 B.空间四边形 C.等腰梯形 D.矩形 ∵＋＝＋， －  ＝＋＋＝a＋(b－a)＋(c－b)＝－a＋b＋c. 所以x＝－，y＝，z＝. 4.如图，在空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M，N分别为OA，BC的中点，若＝xa＋yb＋zc， 则x＝______，y＝____，z＝____. D.在四边形ABCD中，一定有＋＝ 对于D，满足＋＝的一定是平行四边形，一般四边形是不满足的，所以D错误. 2.已知空间中任意四个点A，B，C，D，则＋－等于 A. B. C. D. 方法一　＋－＝(＋)－＝－＝. 方法二　＋－＝＋(－)＝＋＝. A.＋＋＝0 B.－－＝0 C.＋－＝0 D.－＋＝0 由题图观察可知，，，平移后可以首尾相接，故有＋＋＝0. 4.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则等于  ＝－＝(－)－， ∵＝＝c，∴＝b－a－c. 5.在空间四边形OABC中，若E，F分别是AB，BC的中点，H是EF上的点，且＝，记＝x＋y＋z，则(x，y，z)等于 A. B. C. D. ＝×(＋)＋×(＋) ＝＋＋， 故(x，y，z)＝. 因为＝，E，F分别是AB，BC的中点， 所以＝＋＝＋ ＝＋(－)＝＋ A.－＝ B.＝＋＋ C.＝ D.＋＋＋＝  －＝＋＝，故A正确；  ＋＋＝＋＋＝， 故B正确；  ＋＋＋＝＋＝，故D不正确. 7.如图所示，在由平行六面体ABCD－A′B′C′D′的顶点连接成的向量中，与向量相等的向量有_____个，与向量相反的向量有____个. 8.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M是AA1的中点，已知＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则＝_____________. －a－b＋c ∵＝＋＋＝－－＋， 又∵M是AA1的中点，∴＝， ∴＝－－＋， ∵＝a，＝＝b，＝c， ∴＝－a－b＋c. (1)＋； ＋＝. 又＝， 所以＋＋＝＋＝. (2)＋＋； 因为M是BB1的中点，所以＝. (3)－－.  －－＝－＝. 向量，，如图所示. 10.如图，设O为▱ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若＝＋x＋y，求x，y的值. ＝－＋＝－＋(＋) ＝－＋(＋) ＝－＋＋(－) 又＝＋x＋y，∴x＝，y＝－. ＝＋－， ∵＝＋＋ ＝－＋－－ B.＝的充要条件是A与C重合，B与D重合 C.若向量，满足||>||，且与同向，则> D.若两个非零向量与满足＋＝0，则与共线 由＝知，||＝||，且与同向，但A与C，B与D不一定重合，选项B是假命题； 因为＋＝0，所以＝－，故与共线，选项D是真命题. 12.如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AC与BD的交点为O，点M在BC′上，且BM＝2MC′，则等于 A.－＋＋ B.－＋＋ C.＋＋ D.－＋ 因为BM＝2MC′，所以＝， ＝＋＝＋＝＋(＋) ＝(－)＋(＋)＝＋＋. 13.已知M，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线段MN上，且MP＝2PN，设向量＝a，＝b，＝c，则＝______________ (用a，b，c表示). a＋b＋c ＝＋＝＋ ＝＋(－)＝＋ ＝×(＋)＋× ＝＋＋＝a＋b＋c. (1)化简－－＝________；    －－＝－(＋)＝－＝＋＝. (2)用，，表示，则＝________________. ＋＋ 因为＝＝(＋)， 所以＝＋＝(＋)＋ ＝＋＋. 15.如图，在四面体ABCD中，E，G分别是CD，BE的中点，若记＝a，＝b，＝c，则＝____________.(用a，b，c表示) a＋b＋c 则＝＋＝＋ ＝＋×(＋)＝＋(－＋－) ＝＋＋－＝＋＋ ＝a＋b＋c. ＝＋(－＋－)＝(＋＋)＝(a＋b＋c)， 设＝a，＝b，＝c， 所以＝＋＝＋×(＋)＝＋(＋) 所以＝， 所以＝＋＝＋ ＝－a＋(a＋b＋c)＝－a＋b＋c， 所以＝＋＝＋(＋)＝－a＋b＋c＝， 所以∥， $$